Типові математичні схеми моделювання. IV

МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ

РОБОЧА ПРОГРАМА, Методичні вказівки

ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ ТА КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ

Факультети ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИЧНИЙ, здо

Спеціальність 220201 - УПРАВЛІННЯ ТА ІНФОРМАТИКА В

ТЕХНІЧНИХ СИСТЕМАХ

Напрямок бакалаврату 220200 - АВТОМАТИЗАЦІЯ І УПРАВЛІННЯ

Моделювання систем: робоча програма, Методичні вказівки для самостійної роботи та контрольні завдання. - Вологда: Вогт, 2008. - 22 с.

Наводиться робоча програма дисципліни з зазначенням тематики основних розділів, методичні вказівки з посиланнями на джерела інформації, контрольні завдання і список літератури.

Призначена для студентів денної та заочної форм навчання, які навчаються за напрямом: 220200 - автоматизація і управління та спеціальності 220201 - управління та інформатика в технічних системахі по напрямку бакалаврату: 220200 - автоматизація і управління.

Затверджено редакційно-видавничим радою Вогт

Укладач: В.Н. Тюкін, канд. техн. наук, доцент

Рецензент: Є.В. Незговоров, канд. техн. наук, доцент

кафедри УіВС Вогт

За основу програми прийняті вимоги Державного освітнього стандарту вищої професійної освіти до мінімуму змісту та рівня підготовки інженерів за фахом 210100 - управління та інформатика в технічних системах, введеного з 10.03.2000 р

Вимоги до знань і вмінь з дисципліни

В результаті вивчення дисципліни студенти повинні:

1. Студент повинен мати уявлення:

Про моделі і моделюванні;

Про роль моделювання при дослідженні, проектуванні і експлуатації систем;

Про призначення ЕОМ при моделюванні систем;

Про програмних і технічних засобах моделювання систем.

2. Студент повинен знати:

Призначення і вимоги, що пред'являються до моделі;

Класифікацію видів моделювання систем;

Принципи підходу в моделюванні систем;

Математичні схеми моделювання систем;

Основні етапи моделювання систем.

3. Студент повинен вміти:

Отримувати математичні моделі систем;

Проводити формалізацію і алгоритмізацію процесу функціонування систем;

Будувати концептуальні та машинні моделі систем;

Отримувати і інтерпретувати результати моделювання.

Вимоги до мінімуму змісту дисципліни

Класифікація моделей і види моделювання; приклади моделей систем; основні положення теорії подібності; етапи математичного моделювання; принципи побудови та основні вимоги до математичних моделей систем; мети і завдання дослідження математичних моделей систем; загальна схема розробки математичних моделей; формалізація процесу функціонування системи; поняття агрегатної моделі; форми подання математичних моделей; методи дослідження математичних моделей систем та процесів; імітаційне моделювання; методи спрощення математичних моделей; технічні та програмні засоби моделювання.

Таблиця 1

Розподіл годин навчального плану за формами навчання та видами занять

види занять	Денне навчання	Заочне навчання
	сем. 7		всього годину	сем. 9		всього годину.
лекції
Практичні заняття
Лаб. роботи
Самост. робота
всього
підсумковий контроль	з, е.			з, е, 2 к.р.

Таблиця 2

Розподіл годин самостійної роботи студента за видами робіт

ПРОГРАМА КУРСУ

ВСТУП

В 1. Сучасний станпроблеми моделювання систем.

В 2. Використання моделювання при дослідженні, проектуванні і

управлінні систем.

Література: стор. 4-6.

1. Основні поняття МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ

1.1. Визначення моделі і моделювання. Вимоги, що пред'являються до моделі. Призначення моделі.

1.2. Принципи підходу в моделюванні систем.

1.3. Класифікація видів моделювання систем.

1.4. Можливості та ефективність моделювання систем на обчислювальних машинах.

Література: стор. 6-34.

2. МАТЕМАТИЧНІ СХЕМИ МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ

2.1. Основні підходи до побудови математичних моделей систем. Математична схема загального вигляду.

2.2. Безперервно-детерміновані моделі (D - схеми).

2.3. Дискретно-детерміновані моделі (F - схеми).

2.4. Дискретно-стохастичні моделі (Р - схеми).

2.5. Безперервно-стохастичні моделі (Q - схеми).

2.6. Узагальнені моделі (A - схеми).

Література: стор. 35-67, стр.168-180.

3. ФОРМАЛІЗАЦІЯ І алгоритмізації ПРОЦЕСУ

ФУНКЦІОНУВАННЯ СИСТЕМ

3.1. Послідовність розробки і машинної реалізації моделей систем.

3.2. Побудова концептуальної моделі системи і її формалізація.

3.3. Алгоритмізація моделі і її машинна реалізація.

3.4. Отримання і інтерпретація результатів моделювання.

Література: стор. 68-89.

4. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ

4.1. Канонічні форми моделей динамічних систем і методи їх дослідження.

4.2. Імітаційне моделювання.

4.3. Статистичне моделювання.

4.4. Програмні та технічні засоби моделювання систем.

Література:.

МЕТА КУРСУ

"Зрозуміти - значить побудувати модель".

У.Томсон (Кельвін)

Реальні виробничі об'єкти представляють собою, як правило, великі системи, дослідження яких є досить складним завданням. Основною метою курсу є вироблення методичного підходу до задачі моделювання великих систем і систем управління ними. Ця основна задача може бути розділена на ряд підзадач, також є цілями курсу:

Знайомство з методами аналізу та принципами підходу до моделювання систем;

Вивчення основ математичного моделювання систем;

Вивчення принципів і апарату моделювання систем;

Знайомство з методами моделювання в проектуванні і експлуатації систем;

Вивчення програмних і технічних засобів моделювання систем;

Набуття практичних навичок побудови моделей великих систем і методів обробки результатів моделювання.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

Курс "Моделювання систем управління" повинен дати студенту сучасний потужний робочий інструмент інженера для ефективної розробки та експлуатації автоматизованих виробничих систем. Саме моделювання є засобом, що дозволяє без капітальних витрат вирішити проблему побудови великих систем, до яких відноситься і сучасне автоматизоване виробництво.

Важливість досліджуваного курсу полягає також в оволодінні прийомами і технологією практичного вирішення завдань моделювання процесів функціонування систем на ЕОМ.

Студенти повинні вивчити матеріал курсу в основному самостійно. За найбільш складних питань курсу, а також з питань, недостатньо висвітленим у літературі, читаються лекції. Практичні навички з моделювання студенти отримують на практичних і лабораторних заняттях. Крім того, в процесі вивчення курсу, студенти заочного навчання виконують контрольну роботу.

ВСТУП

Вивчення курсу слід почати з ознайомлення з сучасним виробництвом, яке можна розглядати як складну систему взаємопов'язаних і взаємодіючих елементів, в якій в якості технологічного об'єкта управління виступає матеріально-виробнича система, а роль регулятора виконує інформаційно-керуюча система. Підвищення ефективності реалізації процесів управління у виробництві вимагає широкого впровадження автоматизованих систем управління, що створюються із застосуванням економіко-математичних методів і засобів інформаційно-обчислювальної техніки. В даний час повне і всебічне дослідження автоматизованих систем управління на всіх етапах розробки, починаючи з обстеження об'єкта управління і складання технічного завдання на проектування і закінчуючи впровадженням системи в експлуатацію, неможливо без методів моделювання на ЕОМ.

Необхідно усвідомити, що методологічною основою моделювання є діалектико-матеріалістичний метод пізнання і наукового дослідження. Узагальнено моделювання можна визначити як метод опосередкованого пізнання, при якому досліджуваний об'єкт-оригінал знаходиться в деякому відповідно до іншим об'єктом-моделлю, причому модель здатна в тому чи іншому відношенні заміщати оригінал на деяких стадіях пізнавального процесу.

Основними принципами моделювання є.

Принцип інформативною достатності.Визначає рівень апріорних відомостей, при якому може бути створена адекватна модель.

Принцип здійсненності.Визначається ймовірністю досягнення мети моделювання за кінцевий час.

Принцип множинності моделей.Створювана модель повинна відображати в першу чергу ті властивості реальної системи, які впливають на обраний показник ефективності.

Принцип агрегування.Модель об'єкта представляти з агрегатів (підсистем), які придатні для опису стантартнимі математичними схемами.

Принцип параметризації.Модель повинна мати в своєму складі підсистеми, що характеризуються параметрами.

Основні поняття моделювання систем

"Визначте значення слів,

І ви позбавите людство

Від половини його помилок ".

Вивчаючи цей розділ важливо усвідомити основні поняття, визначення, цілі і принципи моделювання.

Модель це зображення оригіналу на основі прийнятих гіпотез і аналогій, а моделювання - уявлення об'єкта моделлю для отримання інформації про цей об'єкт шляхом проведення експериментів з його моделлю.

Основна вимога якому повинна задовольняти модель адекватність об'єкту. Адекватність моделі залежить від мети моделювання і прийнятих критеріїв. Модель адекватна об'єкту, якщо результати моделювання підтверджуються і можуть служити основою для прогнозування процесів, що протікають в досліджуваних об'єктах.

Моделювання вирішує завдання вивчення і дослідження об'єктів, передбачення їх функціонування, синтезу структури, параметрів і алгоритмів поведінки.

При управлінні моделі дозволяють оцінювати неспостережувані змінні процесу, прогнозувати стан процесу при наявних або обираних управліннях і автоматично синтезувати оптимальні стратегії управління.

При проектуванні та експлуатації автоматизованих систем виникають численні завдання, що вимагають оцінки кількісних і якісних закономірностей процесів функціонування систем, проведення структурного, алгоритмічного і параметричного синтезу. Вирішення цих проблем в даний час неможливо без використання різних видів моделювання, що обумовлено особливостями великих систем, такими як складністю структур, стохастичную зв'язків між елементами та зовнішнім середовищем, неоднозначністю алгоритмів поведінки, великій кількості параметрів і змінних, неповнотою і недетермінірованностью вихідної інформації. Математичне моделювання дозволяє істотно зменшити час проектування, у багатьох випадках дозволяє знайти оптимальне вирішення, Виключити метод натурних проб і помилок, перейти до паралельного процесу проектування.

В даний час при аналізі і синтезі великих систем отримав розвиток системний підхід, який передбачає послідовний перехід від загального до конкретного, коли в основі розгляду лежить мета, причому досліджуваний об'єкт виділяється з навколишнього середовища. Модель в цьому випадку створюється під поставлену проблему, а моделювання полягає у вирішенні проблеми мети, проблеми побудови моделі, проблеми роботи з моделлю. Для правильно обраної моделі характерним є те, що вона виявляє лише ті закономірності, які потрібні досліднику, і не розглядає властивості системи не істотні для даного дослідження.

В основі класифікації видів моделювання систем лежать різні ознаки, такі як ступінь повноти моделі, характер математичного опису. Важливе місце займає математичне моделювання, що представляє собою процес встановлення відповідності даному реальному об'єкту деякого математичного об'єкта, Званого математичної моделлю, і дослідження цієї моделі, що дозволяє отримати характеристики розглянутого реального об'єкта. Математичне моделювання включає в себе аналітичне та імітаційне. Імітаційне моделювання грунтується на прямому описі об'єкта, що моделюється, використовуючи структурний подібність об'єкта і моделі, тобто кожному суттєвого з точки зору розв'язуваної задачі елементу об'єкта ставиться у відповідність елемент моделі.

технічним засобомрішення інженерних задачна базі моделювання є ЕОМ. Машинний експеримент з моделлю дає можливість досліджувати процес функціонування в будь-яких умовах, скорочує тривалість випробувань в порівнянні з натурним експериментом, є гнучким варіювання параметрів, структури, алгоритмів, що моделюється, є єдиним практично реалізованим методом дослідження процесу функціонування систем на етапі їх проектування.

Питання для самоперевірки

1. Що таке модель і моделювання?

2.Сформуліруйте основні вимоги пред'являються до моделі.

3.Какова роль моделювання при дослідженні та проектуванні систем і управлінні?

4.Дайте визначення системи, зовнішнього середовища, функціонування системи.

5. У чому сенс системного підходу в моделюванні?

6.Перечислите ознаки класифікації видів моделювання систем.

7.Расскажіте про математичне моделювання і його видах.

8. У чому відмінність аналітичного і імітаційного моделювання?

9.Что таке кібернетичне моделювання?

10.Роль і призначення ЕОМ при моделюванні.

Математичні схеми моделювання систем

"Вища призначення математики -

Знаходити порядок у хаосі,

Який нас оточує ".

При вивченні цього розділу перш за все необхідно звернути увагу на поняття математичних схем моделювання як загального вигляду, так і типових.

Математичну схему визначають як ланка при переході від змістовного до формального опису процесу функціонування системи з урахуванням впливу зовнішнього середовища, тобто має місце ланцюжок "описова модель - математична схема - математична модель". Математична схема дозволяє розглядати математику не як метод розрахунку, а як метод мислення, як засіб формулювання понять, що є найбільш важливим при переході від словесного опису системи до формального поданням процесу її функціонування у вигляді деякої математичної моделі.

Модель об'єкта моделювання, тобто систему, можна представити у вигляді безлічі величин, що описують процес функціонування реальної системи і утворюють в загальному випадку наступні підмножини: сукупність вхідних впливів на систему, сукупність впливів зовнішнього середовища, сукупність внутрішніх (власних) параметрів системи і сукупність вихідних характеристик системи. Вхідні впливу, впливу зовнішнього середовища, внутрішні параметри є незалежними (е к з о г е н н и м и) змінними, а вихідні характеристики системи є залежними (е н д о р е н н и м и) змінними. Математична схема моделювання загального вигляду задається оператором, який перетворює екзогенні змінні в ендогенні.

У практиці моделювання користується типовими математичними схемами, які не володіють спільністю, але мають переваги простоти і наочності. До них відносяться детерміновані, стохастичні й агрегатні типові моделі. Як детермінованих моделей використовуються диференціальні, інтегральні, інтегродиференціальних і інші рівняння, а для подання систем, що функціонують в дискретне час - різницеві рівняння і кінцеві автомати. Як стохастичних моделей для представлення систем з дискретним часом використовуються імовірнісні автомати, а для представлення систем з безперервним часом - системи масового обслуговування. Агрегатні моделі відображають системний характер об'єктів, які розчленовуються на кінцеве число частин, зберігаючи зв'язку, що забезпечують взаємодію частин.

Типові математичні схеми (D-, F-, P-, Q-, A-) дозволяють формалізувати досить широкий клас великих систем, з якими доводиться мати справу в практиці дослідження і проектування виробничих завдань.

Питання для самоперевірки

1.Какова роль математичної схеми моделювання?

2. Що являє собою математична схема загального вигляду?

3.Назовите основні форми подання безперервно-детермінованих моделей.

4.Дайте опис дискретного кінцевого автомата.

5.Перечислите способи завдання роботи F - автоматів.

6. Які чином задається імовірнісний автомат.

7. Що являє собою СМО? Назвіть основні елементи СМО.

8.Что таке транзакт?

9.Раскажіте про символіку Q-схем. Як графічно зображуються: джерело заявок, канал обслуговування, накопичувач, клапан, потоки подій. Наведіть приклад зображення СМО в символіці Q - схем.

10.Каково структура агрегатної системи?

Математичні схеми моделювання систем

Переваги та недоліки імітаційного моделювання

Основні гідностіімітаційного моделювання при дослідженні складних систем:

· Можливість досліджувати особливості процесу функціонування системи S в будь-яких умовах;

· За рахунок застосування ЕОМ суттєво скорочується тривалість випробувань в порівнянні з натурним експериментом;

· Результати натурних випробувань реальної системи або її частин можна використовувати для проведення імітаційного моделювання;

· Гнучкість варіювання структури, алгоритмів і параметрів модельованої системи при пошуку оптимального варіанта системи;

· Для складних систем - це єдиний практично реалізований метод дослідження процесу функціонування систем.

Основні недолікиімітаційного моделювання:

· Для повного аналізу характеристик процесу функціонування систем і пошуку оптимального варіанту потрібно багато разів відтворювати імітаційний експеримент, варіюючи вихідні дані завдання;

· Великі витрати машинного часу.

Ефективність машинного моделювання.При моделюванні необхідно забезпечити максимальну ефективність моделі системи. ефективністьзазвичай визначається як деяка різниця між якимись показниками цінності результатів, отриманих при експлуатації моделі, і тими витратами, які були вкладені в її розробку і створення.

Ефективність імітаційного моделювання може оцінюватися низкою критеріїв:

· Точністю і достовірністю результатів моделювання,

· Часом побудови і роботи з моделлю М,

· Витратою машинних ресурсів (час і пам'ять),

· Вартістю розробки та експлуатації моделі.

Найкращою оцінкою ефективності є порівняння отриманих результатів з реальними дослідженнями. За допомогою статистичного підходу з певним ступенем точності (в залежності від числа реалізацій машинного експерименту) отримують усереднені характеристики поведінки системи.

Сумарні витрати машинного часу складаються з часу по введенню і виведенню за кожним алгоритму моделювання, часу на проведення обчислювальних операцій, з урахуванням звернення до оперативної пам'ятіі зовнішніх пристроїв, А також складності кожного моделює алгоритму і планування експериментів.

Математичні схеми.Математична модель- це сукупність математичних об'єктів (чисел, змінних, множин, векторів, матриць і т.п.) і відносин між ними, адекватно відображає фізичні властивості створюваного технічного об'єкта. Процес формування математичної моделі і використання її для аналізу і синтезу називається математичним моделюванням.

При побудові математичної моделі системи необхідно вирішити питання про її повноті. Повнота моделі регулюється, в основному, вибором кордону «система S- середовище Е». Також повинна бути вирішена задача спрощення моделі, яка допомагає виділити в залежності від мети моделювання основні властивості системи, відкинувши другорядні.

При переході від змістовного до формального опису процесу функціонування системи з урахуванням впливу зовнішнього середовища застосовують математичну схемуяк ланка в ланцюжку «описова модель - математична схема - математична (аналітична або (і) імітаційна) модель».

Формальна модель об'єкта.Модель об'єкта (системи S) Можна представити у вигляді безлічі величин, що описують процес функціонування реальної системи:

· Сукупність вхідних впливів на систему

x i = X,i =;

· Сукупність впливів зовнішнього середовища

v j = V, j= ;

· Сукупність внутрішніх (власних) параметрів систем

h k = H, k =;

· Сукупність вихідних характеристик системи

y j = Y, j =.

У загальному випадку x i, v j, h k, y jє елементами непересічних підмножин і містять як детерміновані, так і стохастичні складові.

Вхідні впливу, впливу зовнішнього середовища Еі внутрішні параметри системи є незалежними (екзогенними) Змінними, які у векторній формі мають відповідно вид ( t) = (x 1 (t), x 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (v 1 (t), v 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h NН(t)), А вихідні характеристики є залежними (ендогенними) Змінними і в векторній формі мають вигляд: ( t) = (у 1 (t), у 2 (t), …, у nY(t)). Можна виділити керовані і некеровані змінні.

Процес функціонування системи Sописується в часі оператором F S, Який перетворює екзогенні змінні в ендогенні відповідно до співвідношеннями виду

(t) = F S(,,, t). (2.1)

Сукупність залежностей вихідних характеристик системи від часу y j(t) Для всіх видів j =називається вихідний траєкторією (t). Залежність (2.1) називається законом функціонування системи F S, Який задається в вигляді функції, функціонала, логічних умов, в алгоритмічної, табличній формах або у вигляді словесного правила відповідності. Алгоритмом функціонування A Sназивається метод отримання вихідних характеристик з урахуванням вхідних впливів ( t), Впливів зовнішнього середовища ( t) І власних параметрів системи ( t). Один і той же закон функціонування F Sсистеми Sможе бути реалізований різними способами, Тобто за допомогою безлічі різних алгоритмів функціонування A S.

Математичні моделі називаються динамічними(2.1), якщо математичні співвідношення описують поведінку об'єкта (системи) моделювання в часі t, Тобто відображають динамічні властивості.

для статичнихмоделей математична модель являє собою відображення між двома підмножинами властивостей модельованого об'єкта Yі ( X, V, H) в певний момент, Що в векторній формі може бути записано як

= f(, , ). (2.2)

Співвідношення (2.1) і (2.2) можуть бути задані різними способами: аналітично (за допомогою формул), графічно, таблично і т.д. Ці співвідношення можуть бути отримані через властивості системи Sв конкретні моменти часу, звані станами. стан системи Sхарактеризується векторами

" = (z " 1, z " 2, ..., z "k) і "" = (z "" 1 ,z "" 2 , ..., z "" k),

де z " 1 = z 1 (t "), z " 2 = z 2 (t "), …, z "k= z k(t ") у момент t "Î ( t 0 , T); z "" 1 = z 1 (t ""), z "" 2 = z 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") у момент t ""Î ( t 0 , T) і т.д. k =.

Якщо розглядати процес функціонування системи Sяк послідовну зміну станів z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), То вони можуть бути інтерпретовані як координати точки в k-мірному фазовому просторі. Причому кожної реалізації процесу відповідатиме деяка фазова траєкторія. Сукупність усіх можливих значень станів () називається простором станівоб'єкта моделювання Z, причому
z kÎ Z.

стану системи Sв момент часу t 0 < t * £ Tповністю визначаються початковими умовами 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [Де z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], вхідними впливами ( t), Внутрішніми параметрами ( t) І впливами зовнішнього середовища ( t), Які мали місце в проміжку часу t * – t 0, c допомогою двох векторних рівнянь

(t) = Ф (0,,,, t); (2.3)

(t) = F (, t). (2.4)

Перше рівняння по початкового стану 0 і екзогенних змінних,, визначає вектор-функцію ( t), А друге за отриманим значенням станів ( t) - ендогенні змінні на виході системи ( t). Таким чином, ланцюжок рівнянь об'єкта «вхід - стану - вихід» дозволяє визначити характеристики системи

(t) = F [Ф (0,,,, t)]. (2.5)

У загальному випадку час в моделі системи Sможе розглядатися на інтервалі моделювання (0, Т) Як безперервне, так і дискретне, тобто квантування на відрізки довжиною D tтимчасових одиниць кожен, коли T = m D t, де m = - число інтервалів дискретизації.

Таким чином, під математичною моделлюоб'єкта (реальної системи) розуміють кінцеве підмножина змінних (( t), (t), (t)) Разом з математичними зв'язками між ними і характеристиками ( t).

Якщо математичний опис об'єкта моделювання не містить елементів випадковості або вони не враховуються, тобто якщо можна вважати, що в цьому випадку стохастичні впливу зовнішнього середовища ( t) І стохастичні внутрішні параметри ( t) Відсутні, то модель називається детермінованоюв тому сенсі, що характеристики однозначно визначаються детермінованими вхідними впливами

(t) = f(, t). (2.6)

Очевидно, що детермінована модель є окремим випадком стохастичної моделі.

Типові математичні схеми.У практиці моделювання об'єктів в області системотехніки та системного аналізу на початкових етапах дослідження системи раціональніше використовувати типові математичні схеми: Диференціальні рівняння, кінцеві і імовірнісні автомати, системи масового обслуговування, мережі Петрі, агрегативного системи і т.д.

Типові математичні схеми мають переваги простоти і наочності. Як детермінованих моделей, коли при дослідженні випадкові чинники не враховуються, для представлення систем, що функціонують в безперервному часу, використовуються диференціальні, інтегральні, інтегродиференціальних і інші рівняння, а для подання систем, що функціонують в дискретному часі, кінцеві автомати і звичайно-різницеві схеми. Як стохастичних моделей (при обліку випадкових факторів) для представлення систем з дискретним часом використовуються імовірнісні автомати, а для представлення систем з безперервним часом - системи масового обслуговування. Для аналізу причинно-наслідкових зв'язків в складних системах, де одночасно паралельно протікає кілька процесів, застосовують мережі Петрі. Для опису поведінки безперервних і дискретних, детермінованих і стохастичних систем (наприклад АСОИУ) можна застосовувати узагальнений (універсальний) підхід на основі агрегативной системи. При агрегативного описі складний об'єкт (система) розчленовується на кінцеве число частин (підсистем), зберігаючи при цьому зв'язку, що забезпечують взаємодію частин.

Таким чином, при побудові математичних моделей процесів функціонування систем можна виділити наступні основні підходи: безперервно-детермінований ( D-схеми); дискретно-детермінований ( F-схеми); дискретно-стохастичний ( Р-схеми); безперервно-стохастичний ( Q-схеми); мережевий ( N-схеми); узагальнений або універсальний ( а-схеми).

2.2. Безперервно-детерміновані моделі ( D-схеми)

Основні співвідношення. Розглянемо особливості безперервно-детермінованого підходу на прикладі використання в якості математичних моделей диференціальних рівнянь. диференціальнимирівнянняминазиваються такі рівняння, в яких невідомими будуть функції одного або декількох змінних, причому в рівняння входять не тільки функції, але і їх похідні різних порядків. Якщо невідомі функції багатьох змінних, то рівняння називаються рівняннями приватних похідних, Інакше при розгляді функції однієї незалежної змінної рівняння називаються звичайними диференціальними рівняннями.

Математичне співвідношення для детермінованих систем (2.6) в загальному вигляді буде

" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)

де " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) І = ( f 1 , f 2 , …, f n) – n-мірні вектори; (, t) - вектор-функція, яка визначена на деякому ( n+1) -мірному (, t) Дуже багато і є безперервною.

Математичні схеми такого виду називаються D-схемами(Англ. Dynamic), вони відображають динаміку досліджуваної системи, і в якості незалежної змінної, від якої залежать невідомі шукані функції, зазвичай служить час t.

У найпростішому випадку звичайне диференціальне рівняння має вигляд:

y "(t) = f(y, t). (2.8)

Розглянемо найпростіший приклад формалізації процесу функціонування двох елементарних схем різної природи: механічної S M (коливання маятника, рис.2.1, а) І електричної S K (коливальний контур, рис.2.1, б).

Мал. 2.1. елементарні системи

Процес малих коливань маятника описується звичайним диференціальним рівнянням

m M l M 2 ( d 2 F(t)/ dt 2) + m M gl M F(t) = 0,

де m M, l M - маса і довжина підвісу маятника; g- прискорення вільного падіння; F(t) - кут відхилення маятника в момент часу t.

З цього рівняння вільного коливання маятника можна знайти оцінки цікавлять характеристик. Наприклад, період коливання маятника

T M = 2p.

Аналогічно, процеси в електричному коливальному контурі описуються звичайним диференціальним рівнянням

L K ( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) = 0,

де L K, C K - індуктивність і ємність конденсатора; q(t) - заряд конденсатора в момент часу t.

З цього рівняння можна отримати різні оцінки характеристик процесу в коливальному контурі. Наприклад, період електричних коливань

T M = 2p.

Очевидно, що ввівши позначення h 2 = m M l M 2 = L K, h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1 / C K, F(t) = q(t) = z(t), Отримаємо звичайне диференціальне рівняння другого порядку, що описує поведінку цієї замкнутої системи:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)

де h 0 , h 1 , h 2 - параметри системи; z(t) - стан системи в момент
часу t.

Таким чином, поведінка цих двох об'єктів може бути досліджено на основі загальної математичної моделі (2.9). Крім того, необхідно відзначити, що поведінка маятника (системи S M) може бути вивчена за допомогою електричного коливального контуру (системи SК).

Якщо досліджувана система S(Маятник або контур) взаємодіє із зовнішнім середовищем Е, То з'являється вхідний вплив x(t) (Зовнішня сила для маятника і джерело енергії для контуру), і безперервно-детермінована модель такої системи буде мати вигляд:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = x(t). (2.10)

З точки зору загальної математичної моделі (див. П. 2.1) x(t) Є вхідним (керуючим) впливом, а стан системи Sв даному випадку можна розглядати як вихідну характеристику, тобто вихідна змінна збігається зі станом системи в даний момент часу y = z.

можливі додатки D-схеми. Для опису лінійних системуправління, як будь-який динамічної системи, неоднорідні диференціальні рівняння мають постійні коефіцієнти

де,, ..., - невідома функція часу і її похідні; і - відомі функції.

Використовуючи, наприклад пакет програм VisSim, призначений для імітаційного моделювання процесів в системах управління, які можна описати диференціальнимирівняннями, Промоделюємо рішення звичайного неоднорідного диференціального рівняння

де - деяка шукана функція часу на відрізку при нульових початкових умовах, приймемо h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Представивши задане рівняння щодо найвищої з похідних, отримаємо рівняння

яке можна промоделювати, використовуючи набір стандартних блоків пакета VisSim: арифметичні блоки - Gain (множення на константу), Summing-Junction (суматор); блоки інтегрування - Integrator (чисельне інтегрування), Transfer Function (завдання рівняння, представленого у вигляді передавальної функції); блоки завдання сигналів - Const (константа), Step (одинична функція у вигляді «сходинки»), Ramp (лінійно наростаючий сигнал); блоки-приймачі сигналів - Plot (відображення в тимчасовій області сигналів, які аналізуються дослідником в ході моделювання).

На рис. 2.2 зображено графічне представлення даного диференціального рівняння. Входу крайнього лівого інтегратора відповідає змінна, входу середнього інтегратора -, а входу крайнього правого інтегратора -. Вихід крайнього правого інтегратора відповідає змінної y.

Окремим випадком динамічних систем, що описуються D-схема, є системи автоматичного управління(САУ)і регулювання(САР). Реальний об'єкт представляється у вигляді двох систем: керуючої і керованої (об'єкта управління). Структура багатовимірної системи автоматичного управління загального вигляду представлена ​​на рис. 2.3, де позначені ендогеннізмінні: ( t) - вектор вхідних (задають) впливів; ( t) - вектор збурюючих впливів; " (t) - вектор сигналів помилки; "" (t) - вектор керуючих впливів; екзогеннізмінні: ( t) - вектор стану системи S; (t) - вектор вихідних змінних, зазвичай ( t) = (t).

Мал. 2.2. Графічне представлення рівняння

Керуюча система - це сукупність програмно-технічних засобів, що забезпечують досягнення об'єктом управління певної мети. Наскільки точно об'єкт досягає заданої мети, можна судити (для одновимірної системи) по координаті стану y(t). Різниця між заданим yзад ( t) І дійсним y(t) Законом зміни керованої величини є помилка управління " (t) = yзад ( t) – y(t). Якщо запропонований закон зміни керованої величини відповідає закону зміни вхідного (задає) впливу, тобто x(t) = yзад ( t), То " (t) = x(t) – y(t).

Системи, для яких помилки управління " (t) = 0 в усі моменти часу, називаються ідеальними. На практиці реалізація ідеальних систем неможлива. Завданням системи автоматичного управління є зміна змінної y(t) Відповідно до заданого закону з певною точністю (з допустимою помилкою). Параметри системи повинні забезпечувати необхідну точність управління, а також стійкість системи в перехідному процесі. Якщо система стійка, то аналізують поведінку системи в часі, максимальне відхилення регульованої змінної y(t) В перехідному процесі, час перехідного процесу і т.п. Порядок диференціального рівняння і значення його коефіцієнтів повністю визначаються статичними і динамічними параметрами системи.

Мал. 2.3. Структура системи автоматичного управління:

УC - керуюча система; OУ - об'єкт управління

Таким чином, використання D-схема дозволяє формалізувати процес функціонування безперервно детермінованих систем Sі оцінити їх основні характеристики, застосовуючи аналітичний або імітаційний підхід, реалізований у вигляді відповідної мови для моделювання безперервних систем або використовує аналогові та гібридні засоби обчислювальної техніки.

2.3. Дискретно-детерміновані моделі ( F-схеми)

Основні співвідношення. Розглянемо особливості дискретно-детермінованого підходу на прикладі використання в якості математичного апарату теорії автоматів. Система представляється у вигляді автомата як деякого пристрою з вхідними та вихідними сигналами, переробного дискретну інформацію і змінює свої внутрішні стану лише в допустимі моменти часу. кінцевим автоматомназивається автомат, у якого безлічі внутрішніх станів, вхідних і вихідних сигналів є кінцевими множинами.

Абстрактно кінцевий автомат (англ. Finite automata) можна уявити як математичну схему ( F-схему), Що характеризується шістьма елементами: кінцевим безліччю Хвхідних сигналів (вхідним алфавітом); кінцевим безліччю Yвихідних сигналів (вихідним алфавітом); кінцевим безліччю Zвнутрішніх станів (внутрішнім алфавітом або алфавітом станів); початковим станом z 0 , z 0 Î Z; функцією переходів j ( z, x); функцією виходів y ( z, x). Автомат, що задається F-схема: F = á Z, X, Y, Y, j, z 0 ñ, функціонує в дискретному часі, моментами якого є такти, кожному з яких відповідають постійні значення вхідного і вихідного сигналів і внутрішні стану. Позначимо стан, а також вхідний і вихідний сигнали, відповідні t-му такту при t= 0, 1, 2, ..., через z(t), x(t), y(t). При цьому за умовою z(0) = z 0, а z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Y.

Абстрактний кінцевий автомат має один вхідний і один вихідний канали. У кожен момент t= 0, 1, 2, ... дискретного часу Fавтомат знаходиться в певному стані z(t) З безлічі Zстанів автомата, причому в початковий момент часу t= 0 він завжди знаходиться в початковому стані z(0) = z 0. У момент t, Будучи в стані z(t), Автомат здатний сприйняти на вхідному каналі сигнал x(t)Î Xі видати на вихідному каналі сигнал y(t) = y [ z(t),x(t)], Переходячи в стан z ( t+1) = j [ z(t), x(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Y. Абстрактний кінцевий автомат реалізує деяке відображення безлічі слів вхідного алфавіту Xна безліч слів вихідного
алфавіту Y. Іншими словами, якщо на вхід кінцевого автомата, встановленого в початковий стан z 0, подавати в деякій послідовності букви вхідного алфавіту x(0), x(1), x(2), ..., тобто вхідний слово, то на виході автомата будуть послідовно з'являтися літери вихідного алфавіту y(0), y(1), y(2), ..., утворюючи вихідний слово.

Таким чином, робота кінцевого автомата відбувається за такою схемою: в кожному t-м такті на вхід автомата, що знаходиться в стані z(t), Подається деякий сигнал x(t), На який він реагує переходом ( t+1) -го такту в новий стан z(t+1) і видачею деякого вихідного сигналу. Сказане вище можна описати наступними рівняннями: для Fавтомат першого роду, відомого також як автоматом Мілі,

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(t) = Y [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)

для Fавтомат другого роду

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(t) = Y [ z(t), x(t - 1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)

Автомат другого роду, для якого

y(t) = Y [ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)

тобто функція виходу не залежить від вхідної змінної x(t), Називається автоматом Мура.

Таким чином, рівняння (2.15) - (2.19), повністю задають
Fавтомат, є окремим випадком рівнянь (2.3) і (2.4), коли
система S- детермінована і на її єдиний вхід надходить дискретний сигнал X.

За кількістю станів розрізняють кінцеві автомати з пам'яттю і без пам'яті. Автомати з пам'яттю мають більше одного стану, а автомати без пам'яті (комбінаційні або логічні схеми) Мають лише одним станом. При цьому, згідно з (2.16), робота комбінаційної схеми полягає в тому, що вона ставить у відповідність кожному вхідному сигналу x(t) Певний вихідний сигнал y(t), Тобто реалізує логічну функцію виду

y(t) = Y [ x(t)], t= 0, 1, 2, … .

Ця функція називається булевої, якщо алфавіт Xі Y, Яким належать значення сигналів xі y, Складаються з двох букв.

За характером відліку дискретного часу кінцеві автомати діляться на синхронні і асинхронні. У синхронних Fавтомат моменти часу, в які автомат «зчитує» вхідні сигнали, визначаються примусово синхронізуючими сигналами. Після чергового синхронизирующего сигналу з урахуванням «ліченого» і відповідно до рівняннями (2.15) - (2.19) відбувається перехід в новий стан і видача сигналу на виході, після чого автомат може сприймати таке значення вхідного сигналу. Таким чином, реакція автомата на кожне значення вхідного сигналу закінчується за один такт, тривалість якого визначається інтервалом між сусідніми синхронізуючими сигналами. асинхронний Fавтомат зчитує вхідний сигнал безперервно і тому, реагуючи на досить довгий вхідний сигнал постійної величини x, Він може, як випливає з (2.15) - (2.19), кілька разів змінювати стан, видаючи відповідне число вихідних сигналів, поки не перейде в стійке, яке вже не може бути змінено даними вхідним сигналом.

можливі додатки F-схеми.Щоб задати кінцевий Fавтомат, необхідно описати всі елементи безлічі F= <Z, X, Y, Y, j, z 0>, тобто вхідний, внутрішній і вихідний алфавіти, а також функції переходів і виходів, причому серед безлічі станів необхідно виділити стан z 0, в якому автомат знаходиться в стані t= 0. Існують кілька способів завдання роботи Fавтомат, але найбільш часто використовуються табличний, графічний і матричний.

У табличному способі задаються таблиці переходів і виходів, рядки яких відповідають вхідним сигналам автомата, а стовпці - його станів. Перший зліва стовпець відповідає початковому стану z 0. На перетині iго рядка і k-го стовпця таблиці переходів поміщається відповідне значення j ( z k, x i) Функції переходів, а в таблиці виходів - відповідне значення y ( z k, x i) Функції виходів. для Fавтомат Мура обидві таблиці можна поєднати.

Опис роботи Fавтомат Мілі таблицями переходів j і виходів y ілюструється табл. 2.1, а опис Fавтомат Мура - таблицею переходів (табл. 2.2).

Таблиця 2.1

X i	z k
z 0	z 1	…	z k
переходи
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k,x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k,x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k,x i)
виходи
x 1	y ( z 0 , x 1)	y ( z 1 , x 1)	…	y ( z k, x 1)
x 2	y ( z 0 , x 2)	y ( z 1 , x 2)	…	y ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	y ( z 0 , x i)	y ( z 1 , x i)	…	y ( z k, x i)

Таблиця 2.2

x i	y ( z k)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( z k)
z 0	z 1	…	z k
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k, x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k, x i)

Приклади табличного способу завдання Fавтомат Мілі F 1 наведені в табл. 2.3, а для Fавтомат Мура F 2 - в табл. 2.4.

Таблиця 2.3

x i	z k
z 0	z 1	z 2
переходи
x 1	z 2	z 0	z 0
x 2	z 0	z 2	z 1
виходи
x 1	y 1	y 1	y 2
x 2	y 1	y 2	y 1

Таблиця 2.4

	Y
x i	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
x 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
x 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

При графічному способі задання кінцевого автомата використовується поняття спрямованого графа. Граф автомата являє собою набір вершин, що відповідають різним станам автомата і з'єднують вершини дуг графа, що відповідають тим чи іншим переходам автомата. Якщо вхідний сигнал x kвикликає перехід зі стану z iв стан z j, То на графі автомата дуга, що з'єднує вершину z i c вершиною z j, позначається x k. Для того щоб задати функцію виходів, дуги графа необхідно відзначити відповідними вихідними сигналами. Для автоматів Мілі ця розмітка проводиться так: якщо вхідний сигнал x kдіє на стан z i, То виходить дуга, яка виходить із z iі позначена x k; цю дугу додатково зазначають вихідним сигналом y= Y ( z i, x k). Для автомата Мура аналогічна розмітка графа така: якщо вхідний сигнал x k, Діючи на деякий стан автомата, викликає перехід в стан z j, То дугу, спрямовану в z iі позначену x k, Додатково зазначають вихідним
сигналом y= Y ( z j, x k).

На рис. 2.4. а, бнаведені задані раніше таблицями F-автомати Милі F 1 і Мура F 2 відповідно.

Мал. 2.4. Графи автоматів а - Милі і б - Мура

При матричному завданні кінцевого автомата матриця з'єднань автомата квадратна З=||з ij||, рядки відповідають вихідним станам, А стовпці - стану переходу. елемент з ij = x k/y s, Що стоїть на перетині
iго рядка і j-го стовпця, в разі автомата Мілі відповідає вхідному сигналу x k, Що викликає перехід зі стану z iв стан z j, І вихідному сигналу y s, Що видається при цьому переході. Для автомата Мілі F 1, розглянутого вище, матриця з'єднань має вигляд:

x 2 /y 1 – x 1 /y 1

C 1 = x 1 /y 1 – x 2 /y 2 .

x 1 /y 2 x 2 /y 1 –

Якщо перехід зі стану z iв стан z jвідбувається під дією декількох сигналів, елемент матриці c ijявляє собою безліч пар «вхід-вихід» для цього переходу, з'єднаних знаком диз'юнкції.

для Fавтомат Мура елемент з ijдорівнює безлічі вхідних сигналів на переході ( z i, z j), А вихід описується вектором виходів

= y ( z k) ,

i-я компонента якого - вихідний сигнал, що відзначає стан z i.

Для розглянутого вище Fавтомат Мура F2матриці з'єднань і вектор виходів мають вигляд:

–x 1 –x 2 –у 1

–x 2 – –x 1 у 1

C 2 = –x 2 – –x 1 ; = у 3

x 2 –x 1 – –у 2

x 2 –x 1 – –у 3

Для детермінованих автоматів виконується умова однозначності переходів: автомат, що знаходиться в деякому стані, під дією будь-якого вхідного сигналу не може перейти більш ніж в один стан. Стосовно до графічного способу завдання Fавтомат це означає, що в графі автомата з будь-якої вершини не можуть виходити два і більше ребра, відмічені одним і тим же вхідним сигналом. А в матриці з'єднань автомата Зв кожному рядку будь вхідний сигнал не повинен зустрічатися більше одного разу.

для Fавтомат стан z kназивається стійким,якщо для будь-якого входу x i ÎX, Для якого j ( z k, x i) = Z k,має місце j ( z k,x i) = У k. Fавтомат називається асинхронним,якщо кожне його стан z k ÎZстійко.

Таким чином, поняття в дискретно-детерминированном підході до дослідження на моделях властивостей об'єктів є математичною абстракцією, зручною для опису широкого класу процесів функціонування реальних об'єктів в автоматизованих системахуправління. За допомогою F-автомата можна описати об'єкти, для яких характерна наявність дискретних станів, і дискретний характер роботи в часі - це елементи і вузли ЕОМ, пристрої контролю, регулювання та управління, системи часової і просторової комутації в техніці обміну інформацією і т.д.

2.4. Дискретно-стохастичні моделі ( Р-схеми)

Основні співвідношення. Розглянемо особливості побудови математичних схем при дискретно-стохастичною підході на імовірнісних (стохастичних) автоматах. У загальному вигляді імовірнісний автомат
Р-схеми(Англ. Probabijistic automat) можна визначити як дискретний потактний перетворювач інформації з пам'яттю, функціонування якого в кожному такті залежить тільки від стану пам'яті в ньому, і може бути описано статистично.

Введемо математичне поняття Равтомат, використовуючи поняття, введені для Fавтомат. Розглянемо безліч G, Елементами якого є всілякі пари ( x i, z s), Де x iі z s- елементи вхідного підмножини Хі підмножини станів Z відповідно. Якщо існують дві такі функції j і y, що з їх допомогою здійснюються відображення G®Z і G®Y,то кажуть, що F = X, Y, j, y> визначає автомат детермінованого типу.

Розглянемо більш загальну математичну схему. нехай
Ф - безліч всіляких пар виду ( z k, y i), Де у i- елемент вихідного підмножини Y. Вимагатимемо, щоб будь-який елемент безлічі Gіндукував на безлічі Ф деякий закон розподілу такого вигляду:

При цьому b kj= 1, де b kj- ймовірності переходу автомата в стан z kі появи на виході сигналу y j, Якщо він був в стані z sі на його вхід в цей момент часу надійшов сигнал x i. Число таких розподілів, представлених у вигляді таблиць, дорівнює числу елементів безлічі G. Позначимо безліч цих таблиць через В. Тоді четвірка елементів P = називається імовірнісним автоматом
(Равтомат).

можливі додатки P-схеми.Нехай елементи безлічі Gіндукують деяких законів розподілу на подмножествах Yі Z, Що можна уявити відповідно у вигляді:

При цьому z k = 1 і q j = 1, де z kі q j -ймовірності переходу
Равтомат в стан z kі появи вихідного сигналу y kза умови, що
Р z sі на його вхід надійшов вхідний сигнал x i.

Якщо для всіх kі jмає місце співвідношення q j z k = b kj,то такий
Равтомат називається імовірнісним автоматом Мілі. Ця вимога означає виконання умови незалежності розподілів для нового стану Равтомат і його вихідного сигналу.

Нехай тепер визначення вихідного сигналу Р-автомата залежить лише від того стану, в якому знаходиться автомат в даному такті роботи. Іншими словами, нехай кожен елемент вихідного підмножини Yіндукує розподіл ймовірностей виходів, що мають такий вигляд:

тут s i = 1, де s i- ймовірність появи виходногосігнала y iпри уСлова, що Равтомат знаходився в стані z k.

Якщо для всіх kі iмає місце співвідношення z k s i =b ki, То такий
Равтомат називається імовірнісним автоматом Мура.поняття
Равтомат Мілі і Мура введено за аналогією з детермінованим
Fавтомат. окремим випадком Р-автомата, що задається як P=X, Y, B>, Є автомати, у яких або перехід в новий стан, або вихідний сигнал визначаються детермінованою. Якщо вихідний сигнал
Равтомат визначається детерминированно, то такий автомат називається
Y-. аналогічно,
Z-детермінованим імовірнісним автоматомназивається Равтомат, у якого вибір нового стану є детермінованим.

Приклад 2.1.нехай заданий Y-детермінірованний Pавтомат

На рис. 2.5 показаний орієнтований граф переходів цього автомата. Вершини графа зіставляються станів автомата, а дуги - можливими переходами з одного стану в інший. Дуги мають ваги, відповідні можливостям переходу p ij, А близько вершин графа пишуться значення вихідних сигналів, індукованих цими станами. Потрібно оцінити сумарні фінальні ймовірності перебування цього Pавтомат в станах z 2 і z 3 .

Мал. 2.5. Граф імовірнісного автомата

При використанні аналітичного підходу можна записати відомі співвідношення з теорії марковських ланцюгів і отримати систему рівнянь для визначення фінальних ймовірностей. При цьому початковий стан z 0 можна не враховувати, так як початкове розподіл не впливає на значення фінальних ймовірностей. тоді маємо

де з k- фінальна ймовірність перебування Равтомат в стані z k.

Отримуємо систему рівнянь

Додамо до цих рівнянь умова нормування з 1 + з 2 + з 3 + з 4 = 1. Тоді, вирішуючи систему рівнянь, отримаємо з 1 = 5/23, з 2 = 8/23, з 3 = 5/23,
з 4 = 5/23. Таким чином, з 2 + з 3 = 13/23 = 0,5652. Іншими словами, при нескінченній роботі заданого в цьому прикладі Y-детермінірованного
Равтомат на його виході формується двійкова послідовність з ймовірністю появи одиниці, рівної 0,5652.

подібні Р-автомати можуть використовуватися як генератори марковских послідовностей, які необхідні при побудові і реалізації процесів функціонування систем Sабо впливів зовнішнього середовища Е.

2.5. Безперервно-стохастичні моделі ( Q-схеми)

Основні співвідношення. Особливості безперервно-стохастичного підходу розглянемо на прикладі типових математичних Q-схем - систем масового обслуговування(Англ. Queueing system).

Як процесу обслуговування можуть бути представлені різні по своїй фізичній природі процеси функціонування економічних, виробничих, технічних та інших систем, наприклад: потоки поставок продукції деякого підприємству, потоки деталей і комплектуючих виробів на складальному конвеєрі цеху, заявки на обробку інформації ЕОМ від віддалених терміналів і т.д. При цьому характерним для роботи таких об'єктів є випадкове поява заявок (вимог) на обслуговування і завершення обслуговування в випадкові моменти часу, тобто стохастичний характер процесу їх функціонування.

потоком подійназивається послідовність подій, що відбуваються одне за іншим в якісь випадкові моменти часу. Розрізняють потоки однорідних і неоднорідних подій. потік подійназивається однорідним,якщо він характеризується тільки моментами надходження цих подій (що викликають моментами) і задається послідовністю ( t n} = {0 £ t 1 £ t 2 ... £ t n£ … }, де t n -момент настання п-го події - невід'ємне дійсне число. Однорідний потік подій також може бути заданий у вигляді послідовності проміжків часу між п-м і (n - 1) -м подіями (t n), Яка однозначно пов'язана з послідовністю викликають моментів ( t n} , де t n = t n– t n -1 ,п³ 1, t 0 = 0, тобто t 1 = t 1 . Потоком неоднорідних подійназивається послідовність ( t n, f n} , де t n -викликають моменти; f n -набір ознак події. Наприклад, стосовно до процесу обслуговування для неоднорідного потоку заявок може бути задана приналежність до того чи іншого джерела заявок, наявність пріоритету, можливість обслуговування тим або іншим типом каналу.

У будь-якому елементарному акті обслуговування можна виділити дві основні складові: очікування обслуговування заявкою і власне обслуговування заявки. Це можна зобразити у вигляді деякого i-го приладу обслуговування П i(Рис. 2.6), що складається з накопичувача заявок H i,в якому може одночасно перебувати j i= заявок, де L i H– ємність
i-гo накопичувача, і каналу обслуговування заявок (або просто каналу) K i.На кожен елемент приладу обслуговування П iнадходять потоки подій: в накопичувач H iпотік заявок w i,на канал K i -потік обслуговувань і i.

Мал. 2.6. Прилад обслуговування заявок

Заявки, обслужених каналом K i,і заявки, які покинули прилад П iз різних причин необслуженной (наприклад, через переповнення накопичувача H i), Утворюють вихідний потік y i Î Y,тобто інтервали часу між моментами виходу заявок утворюють підмножину вихідних змінних.

Зазвичай, потік заявок w i ÎW,тобто інтервали часу між моментами появи заявок на вході K i, утворює підмножина некерованих змінних, а потік обслуговування u i ÎU,тобто інтервали часу між початком і закінченням обслуговування заявки, утворює підмножина керованих змінних.

Процес функціонування приладу обслуговування П iможна уявити як процес зміни станів його елементоввовремені z i(t). Перехід в новий стан для П iозначає зміну кількості заявок, які в ньому знаходяться (в каналі K iі в накопичувачі H i). Таким чином, вектор станів для П iмає вигляд: , де z i H- стан накопичувача H i (z i H= 0 - накопичувач порожній, z i H= 1 - в накопичувачі є одна заявка, ..., z i H = L i H – накопичувач повністю заповнений); L i H -ємність накопичувача Н i,яка вимірюється числом заявок, які в ньому можуть поміститися; z i k -стан каналу K i(z i k = 0 – канал вільний, z i k= 1 - канал зайнятий).

можливі додатки Q-схем.У практиці моделювання систем, що мають більш складні структурні зв'язки і алгоритми поведінки, для формалізації використовуються не окремі прилади обслуговування, а
Q-схеми , утворені композицією багатьох елементарних приладів обслуговування П i.якщо канали До iрізних приладів обслуговування з'єднані паралельно, то має місце багатоканальне обслуговування ( багатоканальна Q-схема) , а якщо прилади П iі їх паралельні композиції з'єднані послідовно, то має місце багатофазна обслуговування ( багатофазна Q-схема) . Таким чином, для завдання Q-схеми необхідно використовувати оператор сполучення R, Що відображає взаємозв'язок елементів структури (каналів і накопичувачів) між собою.

Вихідною інформацією при побудові математичних моделей процесів функціонування систем є дані про призначення і умов роботи досліджуваної (проектованої) системи, які визначають основну мету моделювання та дозволяють сформулювати вимоги до розроблюваної математичної моделі . математичну схемуможна визначити як ланка при переході від змістовного до формального опису процесу функціонування системи з урахуванням впливу зовнішнього середовища, тобто має місце ланцюжок «описова модель - математична схема - математична [аналітична або (і) імітаційна] модель».

Модель об'єкта моделювання, т. Е. Системи S,можна представити у вигляді безлічі величин, що описують процес функціонування реальної системи і утворюють в загальному випадку наступні підмножини:

· сукупність вхідних впливівна систему - x i;

· сукупність впливів зовнішнього середовища– n l;

· сукупність внутрішніх (власних) параметрівсистеми - h k;

· сукупність вихідних характеристиксистеми - y j.

При цьому в перерахованих подмножествах можна виділити керовані і некеровані змінні. У загальному випадку x i, n l, h k, y jє елементами непересічних підмножин X, V, H, Yі містять як детерміновані, так і стохастичні складові.

При моделюванні системи Sвхідні впливу, впливу зовнішнього середовища Еі внутрішні параметри системи є незалежними (екзогенними) змінними,які у векторній формі мають відповідно вид

а вихідні характеристики системи є залежними (ендогенними) зміннимиі в векторній формі мають вигляд

Процес функціонування системи Sописується в часі оператором Fs , Який в загальному випадку перетворює екзогенні змінні в ендогенні відповідно до співвідношеннями виду:

. (2.1)

Сукупність залежностей вихідних характеристик системи від часу y j(t) Для всіх видів, називається вихідний траєкторією.Залежність (2.1) називається законом функціонування системи Sі позначається F s.У загальному випадку закон функціонування системи F sможе побут заданий у вигляді функції, функціонала, логічних умов, в алгоритмічної і табличній формах або у вигляді словесного правила відповідності.

Дуже важливим для опису і дослідження системи Sє поняття алгоритму функціонування А s, Під яким розуміється метод отримання вихідних характеристик з урахуванням вхідних впливів , впливів зовнішнього середовища і власних параметрів системи . Очевидно, що один і той же закон функціонірованіясістемиможет бути реалізований різними способами, тобто за допомогою безлічі різних алгоритмів А s.

Співвідношення (2.1) є математичним описом поведінки об'єкта (системи) моделювання в часі , тобто відображають його динамічні властивості. Тому математичні моделі такого виду прийнято називати динамічними моделями(Системами).

Для статичних моделей математичний опис (2.1) являє собою відображення між двома підмножинами властивостей модельованого об'єкта Yі [ X, V, H], що в векторній формі може бути записано як

. (2.2)

Співвідношення (2.1) і (2.2) можуть бути задані різними способами: аналітично (за допомогою формул), графічно, таблично і т. Д. Такі співвідношення в ряді випадків можуть бути отримані через властивості системи Sв конкретні моменти часу, звані станами.стан системи Sхарактеризується векторами

і ,

де z ’ 1 = z 1 (t ’),z ’ 2 = z 2 (t ’), …, z'K = z k ( t'), у момент t ’’ Î( t 0 , T); z ’’ 1 =z 1 (t ’’), z ’’ 2 =z 2 (t ’’), …, z'' K = z k ( t'') у момент t ’’ Î( t 0 , T) і т.д., .

Якщо розглядати процес функціонування системи Sяк послідовну зміну станів z 1 (t), z 2 (t), ..., z k ( t), То вони можуть бути інтерпретовані як координати точки в kвимірному фазовому просторі, причому кожної реалізації процесу відповідатиме деяка фазова траєкторія. Сукупність усіх можливих значень станів називається простором станівоб'єкта моделювання Z, причому z k Î Z.

стану системи Sв момент часу t 0<t *£ Тповністю визначаються початковими умовами [де z 0 1 = z 1 (t 0), z 0 2 =z 2 (t 0), ..., z 0 k = z k ( t 0)], вхідними впливами, внутрішніми параметрами і впливами зовнішнього середовища, які мали місце за проміжок часу t *– t 0,за допомогою двох векторних рівнянь:

; (2.3)

. (2.4)

Перше рівняння по початкового стану і екзогенних змінних визначає вектор-функцію , а друге за отриманим значенням станів - ендогенні змінні на виході системи . Таким чином, ланцюжок рівнянь об'єкта «вхід - стану - вихід» дозволяє визначити характеристики системи:

У загальному випадку час в моделі системи Sможе розглядатися на інтервалі моделювання (0, Т) Як безперервне, так і дискретне, тобто квантування на відрізки довжиною тимчасових одиниць кожен, коли, де число інтервалів дискретизації.

Таким чином, під математичною моделлю об'єкта(Реальної системи) розуміють кінцеве підмножина змінних разом з математичними зв'язками між ними і характеристиками.

Якщо математичний опис об'єкта моделювання не містить елементів випадковості або вони не враховуються, тобто якщо можна вважати, що в цьому випадку стохастичні впливу зовнішнього середовища і стохастичні внутрішні установки ще не визначено, то модель називається детермінованоюв тому сенсі, що характеристики однозначно визначаються детермінованими вхідними впливами

. (2.6)

Очевидно, що детермінована модель є окремим випадком стохастичної моделі.

Наведені математичні співвідношення являють собою математичні схеми загального вигляду і дають можливість окреслити широкий клас систем. Однак на практиці моделювання об'єктів в області системотехніки та системного аналізу на початкових етапах дослідження системи раціональніше використовувати типові математичні схеми:диференціальні рівняння, кінцеві і імовірнісні автомати, системи масового обслуговування, мережі Петрі і т.д.

Не володіючи таким ступенем спільності, як розглянуті моделі, типові математичні схеми мають переваги простоти і наочності, але при істотному звуження можливостей застосування. Як детермінованих моделей, коли при дослідженні випадкові чинники не враховуються, для представлення систем, що функціонують в безперервному часу, використовуються диференціальні, інтегральні, інтегро-диференціальні і інші рівняння, а для подання систем, що функціонують в дискретному часі, - кінцеві автомати і кінцево різницеві схеми. Як стохастичних моделей (при обліку випадкових факторів) для представлення систем з дискретним часом використовуються імовірнісні автомати, а для представлення системи з безперервним часом - системи масового обслуговування і т.д.

Перераховані типові математичні схеми, природно, не можуть претендувати на можливість опису на їх базі всіх процесів, що відбуваються у великих інформаційно-керуючих системах. Для таких систем в ряді випадків більш перспективним є застосування агрегативно моделей. Агрегативного моделі (системи) дають можливість окреслити широке коло об'єктів дослідження з відображенням системного характеру цих об'єктів. Саме при агрегативного описі складний об'єкт (система) розчленовується на кінцеве число частин (підсистем), зберігаючи при цьому зв'язку, що забезпечують взаємодію частин.

Таким чином, при побудові математичних моделей процесів функціонування систем можна виділити наступні основні підходи: безперервно-детермінований (наприклад, диференціальні рівняння); дискретно-детермінований (кінцеві автомати); дискретно-стохастичний (ймовірні автомати); безперервно-стохастичний (системи масового обслуговування); узагальнений, або універсальний (агрегативного системи).

Лекція 5.

Безперервно-детерміновані моделі (D-схеми)

Розглянемо особливості безперервно-детермінованого підходу на прикладі використання в якості математичних моделей диференціальних рівнянь. диференціальнимирівнянняминазиваються такі рівняння, в яких невідомими будуть функції однієї або кількох змінних, причому в рівняння входять не тільки функції, але і їх похідні різних порядків. Якщо невідомі - функції багатьох змінних, то рівняння називаються рівняннями в приватних похідних,в іншому випадку при розгляді функції тільки однієї незалежної змінної рівняння називаються звичайними диференціальними рівняннями(ОДУ) .

Зазвичай в таких математичних моделях в якості незалежної змінної, від якої залежать невідомі шукані функції, служить час t.Тоді математичне співвідношення для детермінованих систем (2.6) в загальному вигляді буде

де і - n-мірні вектори; - вектор-функція, яка визначена на деякому ( п + 1) -мірному дуже багато і є безперервною. Так як математичні схеми такого виду відображають динаміку досліджуваної системи, тобто її поведінку в часі, то вони називаються D-схемами(Від англ. Dynamic).

У найпростішому випадку ОДУ має вигляд:

,

де h 0 , h 1 , h 2 - параметри системи; z(t) – стан системи в момент часу t.

Якщо досліджувана система взаємодіє із зовнішнім середовищем Е , то з'являється вхідний вплив х(t) І безперервно-детермінована модель такої системи буде мати вигляд:

.

З точки зору загальної схеми математичної моделі х(t) Є вхідним (керуючим) впливом, а стан системи Sв даному випадку можна розглядати як вихідну характеристику, тобто думати, що вихідна змінна збігається зі станом системи в даний момент часу y = z.

При вирішенні завдань системотехніки важливе значення мають проблеми управління великими системами. Слід звернути увагу на системи автоматичного управління - окремий випадок динамічних систем, що описуються D-схемами і виділених в окремий клас моделей в силу їх практичної специфіки. Описуючи процеси автоматичного управління, дотримуються зазвичай уявлення реального об'єкта у вигляді двох систем: керуючої і керованої (об'єкта управління).

. Лекція 6.

Дискретно-детерміновані моделі (F-схеми)

Особливості дискретно-детермінованого підходу на етапі формалізації процесу функціонування систем розглянемо на прикладі використання в якості математичного апарату теорії автоматів. Теорія автоматів - це розділ теоретичної кібернетики, в якому вивчаються математичні моделі - автомати. На основі цієї теорії система представляється у вигляді автомата, переробного дискретну інформацію і змінює свої внутрішні стану лише в допустимі моменти часу. Поняття «автомат» варіюється в залежності від характеру конкретно досліджуваних систем, від прийнятого рівня абстракції і доцільною мірою спільності. Автомат можна уявити як якийсь пристрій (чорний ящик), на яке подаються вхідні сигнали і знімаються вихідні і яке може мати деякі внутрішні стану. Кінцевим автоматом називається автомат, у якого безліч внутрішніх станів а, отже, і безліч вихідних сигналів є кінцевими множинами. Абстрактно кінцевий автомат (від англ. Finite automat) можна уявити як математичну схему, що характеризується шістьма елементами: кінцевим безліччю Хвхідних сигналів (вхідним алфавітом); кінцевим безліччю Yвихідних сигналів (вихідним алфавітом); кінцевим безліччю Zвнутрішніх станів (внутрішнім алфавітом або алфавітом станів); початковим станом z 0 Î Z; функцією переходів j(z, x); функцією виходів y(z, x).

Автомат, що задається F-схема: - функціонує в дискретному автоматному часу, моментами якого є такти, тобто примикають один до одного рівні інтервали часу, кожному з яких відповідають постійні значення вхідного і вихідного сигналів і внутрішні стану. Якщо позначити стан, а також вхідний і вихідний сигнали, відповідні t-му такту при t= 0, 1, 2, ..., через z(t),x(t),y(t).При цьому z(0)=z 0 , z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Y.Абстрактний кінцевий автомат має один вхідний і один вихідний канали. У кожен момент дискретного часу Fавтомат знаходиться в певному стані z(t) З безлічі Zстанів автомата, причому в початковий момент часу t= 0 він завжди знаходиться в початковому стані z(0)=z 0. У момент t,будучи в стані z(t), автомат здатний сприйняти на вхідному каналі сигнал x(t)Î Xі видати на вихідному каналі сигнал у(t)=y[z(t), х(t)], Переходячи в стан z(t+1)= j[z (t), x (t)], x(t)Î X, y(t)Î Y.Абстрактний кінцевий автомат реалізує деяке відображення безлічі слів вхідного алфавіту Хна безліч слів вихідного алфавіту Y. Іншими словами, якщо на вхід кінцевого автомата, встановленого в початковий стан z 0, подавати в деякій послідовності букви вхідного алфавіту х(0),х(1),х(2), ..., т.e. вхідний слово, то на виході автомата будуть з'являтися літери вихідного алфавіту у(0), y(1), у(2), ..., утворюючи вихідний слово. Таким чином, робота кінцевого автомата відбувається за такою схемою: в кожному t-м такті на вхід автомата, що знаходиться в стані z(t), Подається деякий сигнал x(t), на який він реагує переходом в ( t+1) -м такті в новий стан z(t+1) і видачею деякого вихідного сигналу.

За кількістю станів розрізняють кінцеві автомати з пам'яттю і без пам'яті. Автомати з пам'яттю мають більше одного стану, а автомати без пам'яті (комбінаційні або логічні схеми) мають лише одним станом. За характером відліку дискретного часу кінцеві автомати діляться на синхронні і асинхронні. У синхронних Fавтомат моменти часу, в які автомат «зчитує» вхідні сигнали, визначаються примусово синхронізуючими сигналами. асинхронний F-автомат зчитує вхідний сигнал безперервно, і тому, реагуючи на досить довгий вхідний сигнал постійної величини х,він може кілька разів змінювати стан, видаючи відповідне число вихідних сигналів, поки не перейде в стійке, яке вже не може бути змінено даними вхідним сигналом.

Дискретно-стохастичні моделі (P-схеми)

Розглянемо особливості побудови математичних схем при дискретно-стохастичною підході до формалізації процесу функціонування досліджуваної системи. Так як сутність дискретизації часу при цьому підході залишається аналогічною розглянутим в кінцевим автоматам, то вплив фактора стохастичності простежимо також на різновиди таких автоматів, а саме на імовірнісних (стохастичних) автоматах.

У загальному вигляді імовірнісний автомат (англ. Probabilistic automat) можна визначити як дискретний потактний перетворювач інформації з пам'яттю, функціонування якого в кожному такті залежить тільки від стану пам'яті в ньому і може бути описано статистично. Застосування схем імовірнісних автоматів має важливе значення для розробки методів проектування дискретних систем, що виявляють статистично закономірне випадкове поводження, для з'ясування алгоритмічних можливостей таких систем і обґрунтування меж доцільності їх використання, а також для вирішення завдань синтезу за обраним критерієм дискретних стохастичних систем, що задовольняють заданим обмеженням.

Введемо математичне поняття Р-автомата , використовуючи поняття, введені для Fавтомат . Розглянемо безліч G, Елементами якого є всілякі пари ( x i, z s), Де х i,і z s- елементи вхідного підмножини Хі підмножини станів Zвідповідно. Якщо існують дві такі функції jі y,то з їх допомогою здійснюються відображення G® Zі G® Y,то кажуть, що визначає автомат детермінованого типу. Введемо в розгляд більш загальну математичну схему. нехай Ф- безліч всіляких пар виду ( z k, y i) де у j- елемент вихідного підмножини Y. Вимагатимемо, щоб будь-який елемент безлічі Gіндукував на безлічі Фдеякий закон розподілу такого вигляду:

Елементи з Ф … (z 1 , y 1) … (z 1 , y 2) … … (z K, y J -1) (z K, y J)

(x i z k) … b 11 b 12 … b K (J -1 ) B KJ

При цьому ,

де b kj- ймовірності переходу автомата в стан z kі появи на виході сигналу у j,якщо він був в стані z sі на його вхід в цей момент часу надійшов сигнал х i. Число таких розподілів, представлених у вигляді таблиць, дорівнює числу елементів безлічі G.Позначимо безліч цих таблиць через В, Тоді четвірка елементів називається імовірнісним автоматом ( Равтомат) .

Лекція 7.

Безперервно-стохастичні моделі (Q-схеми)

Особливості безперервно-стохастичного підходу розглянемо на прикладі використання в якості типових математичних схем систем масового обслуговування (англ. Queueing system), які будемо називати Q-схема . Системи масового обслуговування є клас математичних схем, розроблених в теорії масового обслуговування і різних додатках для формалізації процесів функціонування систем, які за своєю суттю є процесами обслуговування.

Як процесу обслуговування можуть бути представлені різні по своїй фізичній природі процеси функціонування економічних, виробничих, технічних та інших систем, наприклад заявки на обробку інформації ЕОМ від віддалених терміналів і т.д. При цьому характерним для роботи таких об'єктів є випадкове поява заявок (вимог) на обслуговування і завершення обслуговування в випадкові моменти часу, тобто стохастичний характер процесу їх функціонування. У будь-якому елементарному акті обслуговування можна виділити дві основні складові: очікування обслуговування заявкою і власне обслуговування заявки. Це можна зобразити у вигляді деякого i-го приладу обслуговування П i, Що складається з накопичувача заявок H i, В якому може одночасно перебувати заявок, де L i H -ємність i-го накопичувача, і каналу обслуговування заявок (або просто каналу) До i.На кожен елемент приладу обслуговування П iнадходять потоки подій: в накопичувач H i -потік заявок w iна канал До i -потік обслуговуванні u i.

У практиці моделювання систем, що мають більш складні структурні зв'язки і алгоритми поведінки, для формалізації використовуються не окремі прилади обслуговування, а Q-схеми, утворені композицією багатьох елементарних приладів обслуговування П i(Мережі масового обслуговування). якщо канали K iрізних приладів обслуговування з'єднані паралельно, то має місце багатоканальне обслуговування (багатоканальна Q-схема) , а якщо прилади П iі їх паралельні композиції з'єднані послідовно, то має місце багатофазна обслуговування (багатофазна Q-схема). Таким чином, для завдання Q-схеми необхідно використовувати оператор сполучення R,що відображає взаємозв'язок елементів структури (каналів і накопичувачів) між собою. Розрізняють розімкнуті і замкнуті Q-схеми . У розімкнутої Q-схема вихідний потік обслужених заявок не може знову вступити на який-небудь елемент, т. е. зворотний зв'язок відсутній, а в замкнутих Q-схемах є зворотний зв'язок, за якими заявки рухаються в напрямку, протилежному руху вхід-вихід.

Можливості оцінки характеристик з використанням аналітичних моделей теорії масового обслуговування є досить обмеженими у порівнянні з вимогами практики дослідження і проектування систем, формалізуються у вигляді Q-схем. Незрівнянно більшими можливостями мають імітаційні моделі, що дозволяють досліджувати Q-схему, що задається без обмежень.

Мережеві моделі (N-схеми)

У практиці моделювання об'єктів часто доводиться вирішувати завдання, пов'язані з формалізованим описом і аналізом причинно-наслідкових зв'язків в складних системах, де одночасно паралельно протікає кілька процесів. Найпоширенішим в даний час формалізмом, що описує структуру і взаємодію паралельних систем і процесів, є мережі Петрі (від англ. Petri Nets).

Формально мережу Петрі ( N-схема) задається четвіркою виду:

,

де В- кінцеве безліч символів, званих позиціями; D- кінцеве безліч символів, званих переходами; I- вхідна функція (пряма функція інцидентності); O -вихідна функція (зворотна функція інцидентності). Таким чином, вхідні функція Iвідображає перехід d jв безліч вихідних позицій b iÎ I(d j), А вихідна функція Провідображає перехід d jв безліч вихідних позицій b iÎ D(d j).

графічно N-схемазображується у вигляді двудольного орієнтованого мультиграфом, що представляє собою сукупність позицій і переходів. Граф N-схемимає два типи вузлів: позиції і переходи, зображувані 0 і 1 відповідно. Орієнтовні дуги з'єднують позиції і переходи, причому кожна дуга спрямована від елемента одного безлічі (позиції або переходу) до елементу іншого безлічі (переходу або позиції). Граф N-схемиє мультиграфом, так як він допускає існування кратних дуг від однієї вершини до іншої.

наведене уявлення N-схемиможе використовуватися тільки для відбиття статики модельованої системи (взаємозв'язку подій і умов), але не дозволяє відобразити в моделі динаміку функціонування модельованої системи. Для подання динамічних властивостей об'єкта вводиться функція маркування (розмітки) М: B® (0, 1, 2, ...). маркування Мє присвоєння якихось абстрактних об'єктів, званих мітками (фішками), позиціями N-схеми,причому кількість міток, відповідне кожної позиції, може змінюватися. При графічному завданні N-схемирозмітка відображається приміщенням всередині вершин-позицій відповідного числа точок (коли кількість точок велике, ставлять цифри). Маркована (розмічена) N-схемаможе бути описана у вигляді п'ятірки і є сукупністю мережі Петрі і маркування М.

функціонування N-схемивідбивається шляхом переходу від розмітки до розмітки. Початкова розмітка позначається як М 0:В® (0, 1, 2, ...). Зміна розміток відбувається в результаті спрацьовування одного з переходів d jÎ Dмережі. Необхідною умовою спрацьовування переходу d jє b iÎ I (d j){M (b i) ³ 1), де М (b i)- розмітка позиції b i.перехід d j, Для якого виконується зазначена умова, визначається як знаходиться в стані готовності до спрацьовування або як збуджений перехід.

Комбіновані моделі (A-схеми)

Найбільш відомим загальним підходом до формального опису процесів функціонування систем є підхід, запропонований Я.П. Бусленко. Цей підхід дозволяє описувати поведінку безперервних і дискретних, детермінованих і стохастичних систем, т. Е. В порівнянні з розглянутими є узагальненим (універсальним) і базується на понятті агрегативной системи(Від англ. Aggregate system), що представляє собою формальну схему загального вигляду, яку будемо називати А-схемою.

Аналіз існуючих засобів моделювання систем і завдань, що вирішуються за допомогою методу моделювання на ЕОМ, неминуче призводить до висновку, що комплексне рішення проблем, що виникають в процесі створення та машинної реалізації моделі, можливо лише в разі, якщо моделюють системи мають в своїй основі єдину формальну математичну схему, тобто А-схему.Така схема повинна одночасно виконувати кілька функцій: бути адекватним математичним описом об'єкта моделювання, т. Е. Системи S,служити основою для побудови алгоритмів і програм при машинної реалізації моделі М,дозволяти в спрощеному варіанті (для окремих випадків) проводити аналітичні дослідження.

Наведені вимоги певною мірою суперечливі. Проте, в рамках узагальненого підходу на основі А-схемвдається знайти між ними певний компроміс.

За традицією, яка встановилася в математиці взагалі і в прикладній математиці зокрема, при агрегативного підході спочатку дається формальне визначення об'єкта моделювання - агрегативной системи, яка є математичною схемою, що відображає системний характер досліджуваних об'єктів. При агрегативного описі складний об'єкт (система) розбивається на кінцеве число частин (підсистем), зберігаючи при цьому зв'язку, що забезпечують їх взаємодію. Якщо деякі з отриманих підсистем виявляються в свою чергу ще досить складними, то процес їх розбиття триває до тих пір, поки не утворюються підсистеми, які в умовах даної задачі моделювання можуть вважатися зручними для математичного опису. В результаті такої декомпозиції складна система представляється у вигляді багаторівневої конструкції з взаємопов'язаних елементів, об'єднаних в підсистеми різних рівнів.

В якості елемента А-схемивиступає агрегат, а зв'язок між агрегатами (всередині системи Sі з зовнішнім середовищем Е) Здійснюється за допомогою оператора сполучення R. Очевидно, що агрегат сам може розглядатися як А-схема, Т. Е. Може розбиватися на елементи (агрегати) наступного рівня. Будь-агрегат характеризується наступними множинами: моментів часу Т, вхідних Хі вихідних Yсигналів, станів Zв кожен момент часу t. Стан агрегату в момент часу tÎ Tпозначається як z(t)Î Z, А вхідні і вихідні сигнали - як х(t)Î Хі у(t)Î Yвідповідно.

Існує клас великих систем, які через їхню складність не можуть бути формалізовані у вигляді математичних схем одиночних агрегатів, тому їх формалізують деякої конструкцією з окремих агрегатів A n,, Яку назвемо агрегативной системою або А-схемою. Для опису деякої реальної системи Sу вигляді А-схеминеобхідно мати опис як окремих агрегатів A n, Так і зв'язків між ними.

функціонування А-схемипов'язане з переробкою інформації. Вся інформація, що циркулює в А-схемі, Ділиться на зовнішню і внутрішню. Зовнішня інформація надходить від зовнішніх об'єктів, які не є елементами даної схеми, а внутрішня інформація виробляється агрегатами самої А-схеми. Обмін інформацією між А-схемоюі зовнішнім середовищем Евідбувається через агрегати, які називаються полюсами А-схеми. При цьому розрізняють вхідні полюси А-схеми, Що представляють собою агрегати, на які надходять х-повідомлення, і вихідні полюси А-схеми, Вихідна інформація яких є у-повідомленнями. Агрегати, які не є полюсами, називаються внутрішніми.

Класифікація в будь-якій області знань необхідна. Вона дозволяє узагальнити накопичений досвід, упорядкувати поняття предметної області. Стрімкий розвиток методів математичного моделювання і різноманіття областей їх застосування привели появі великої кількості моделей різних видів і до необхідності класифікації моделей по тим категоріям, які є універсальними для всіх моделей або необхідні в області побудованої моделі, наприклад. Наведемо приклад деяких категорій: область використання; облік в моделі тимчасового чинника (динаміки); галузь знань; спосіб представлення моделей; наявність або відсутність випадкових (або невизначених) факторів; вид критерію ефективності та накладених обмежень і т.д.

Аналізуючи математичну літературу, ми виділили найбільш часто зустрічаються ознаки класифікацій:

1. За методом реалізації (в тому числі формального мови) все математичні моделі можна розбити на аналітичні та алгоритмічні.

Аналітичні - моделі, в яких використовується стандартний математичний мову. Імітаційні - моделі, в яких використаний спеціальний мова моделювання або універсальна мова програмування.

Аналітичні моделі можуть бути записані у вигляді аналітичних виразів, тобто у вигляді виразів, що містять рахункове число арифметичних дій і переходів до межі, наприклад:. Алгебраїчний вираз є окремим випадком аналітичного виразу, воно забезпечує в результаті точне значення. Існують також конструкції, що дозволяють знаходити результуюче значення із заданою точністю (наприклад, розкладання елементарної функції в статечної ряд). Моделі, що використовують подібний прийом, називають наближеними.

У свою чергу, аналітичні моделі розбиваються на теоретичні та емпіричнімоделі. Теоретичні моделі відображають реальні структури і процеси в досліджуваних об'єктах, тобто, спираються на теорію їх роботи. Емпіричні моделі будуються на основі вивчення реакцій об'єкта на зміну умов навколишнього середовища. При цьому теорія роботи об'єкта не розглядається, сам об'єкт являє собою так званий «чорний ящик», а модель - деяку інтерполяційну залежність. Емпіричні моделі можуть бути побудовані на основі експериментальних даних. Ці дані отримують безпосередньо на досліджуваних об'єктах або за допомогою їх фізичних моделей.

Якщо який-небудь процес не може бути описаний у вигляді аналітичної моделі, його описують за допомогою спеціального алгоритму або програми. Така модель є алгоритмічної. При побудові алгоритмічних моделей використовують чисельний або імітаційний підходи. При чисельному підході сукупність математичних співвідношень замінюється конечномірні аналогом (наприклад, перехід від функції неперервного аргументу до функції дискретного аргументу). Потім виконується побудова обчислювального алгоритму, тобто послідовності арифметичних і логічних дій. Знайдене рішення дискретного аналога приймається за наближене рішення вихідної задачі. При імітаційному підході дискретизируется сам об'єкт моделювання, будуються моделі окремих елементів системи.

2. За формою подання математичних моделей розрізняють:

1) Інваріантна модель - математична модель представляється системою рівнянь (диференціальних, алгебраїчних) без урахування методів вирішення цих рівнянь.

2) Алгебраїчна модель - співвідношення моделей пов'язані з обраним чисельним методом рішення і записані у вигляді алгоритму (послідовності обчислень).

3) Аналітична модель - являє собою явні залежності шуканих змінних від заданих величин. Такі моделі отримують на основі фізичних законів, або в результаті прямого інтегрування вихідних диференціальних рівнянь, використовуючи табличні інтеграли. До них відносяться також регресивні моделі, одержувані на основі результатів експерименту.

4) Графічна модель представляється у вигляді графіків, еквівалентних схем, діаграм тощо. Для використання графічних моделей має існувати правило однозначного відповідності умовних зображень елементів графічної і компонентів інваріантної математичної моделі.

3. В залежності від виду критерію ефективності та накладених обмежень моделі поділяються на лінійні і нелінійні.У лінійних моделях критерій ефективності і накладені обмеження є лінійними функціями змінних моделі (інакше нелінійні моделі). Допущення про лінійну залежність критерію ефективності і сукупності накладених обмежень від змінних моделі на практиці цілком прийнятно. Це дозволяє для вироблення рішень використовувати добре розроблений апарат лінійного програмування.

4. З огляду на чинник часу і області використання, виділяють статичні і динамічні моделі. Якщо всі вхідні в модель величини не залежать від часу, то маємо статичну модель об'єкта або процесу (одномоментний зріз інформації по об'єкту). Тобто статична модель - це модель, в якій час не є змінною величиною. Динамічна модель дозволяє побачити зміни об'єкта в часі.

5. В залежності від числа сторін, що приймають рішення, виділяють два типи математичних моделей: описові та нормативні. В описовій моделі немає сторін, які приймають рішення. Формально число таких сторін в описовій моделі дорівнює нулю. Типовим прикладом подібних моделей є моделі систем масового обслуговування. Для побудови описових моделей може також використовуватися теорія надійності, теорія графів, теорія ймовірностей, метод статистичних випробувань (метод Монте-Карло).

Для нормативної моделі характерно безліч сторін. Принципово можна виділити два види нормативних моделей: моделі оптимізації та теоретико-ігрові. У моделях оптимізації основне завдання вироблення рішень технічно зводиться до суворої максимізації або мінімізації критерію ефективності, тобто визначаються такі значення керованих змінних, при яких критерій ефективності досягає екстремального значення (максимуму або мінімуму).

Для вироблення рішень, які відображаються моделями оптимізації, поряд з класичними та новими варіаційними методами (пошук екстремуму) найбільш широко використовуються методи математичного програмування (лінійне, нелінійне, динамічне). Для теоретико-ігрової моделі характерна множинність числа сторін (не менше двох). Якщо є дві сторони з протилежними інтересами, то використовується теорія ігор, якщо число сторін більше двох і між ними неможливі коаліції і компроміси, то застосовується теорія безкоаліційних ігор nосіб.

6. В залежності від наявності або відсутності випадкових (або невизначених) чинників виділяють детерміновані і стохастичніматематичні моделі. У детермінованих моделях всі взаємозв'язки, змінні і константи задані точно, що призводить до однозначного визначення результуючої функції. Детермінована модель будується в тих випадках, коли фактори, що впливають на результат операції, піддаються досить точному виміру або оцінці, а випадкові чинники або відсутні, або ними можна знехтувати.

Якщо частина або всі параметри, що входять в модель за своєю природою є випадковими величинами або випадковими функціями, то модель відносять до класу стохастичних моделей. В стохастичних моделях задаються закони розподілу випадкових величин, що призводить до ймовірнісної оцінкою результуючої функції і реальність відображається як деякий випадковий процес, хід і результат якого описується тими чи іншими характеристиками випадкових величин: математичними очікуваннями, дисперсіями, функціями розподілу і т.д. Побудова такої моделі можливо, якщо є достатній фактичний матеріал для оцінки необхідних імовірнісних розподілів або якщо теорія даного явища дозволяє визначити ці розподілу теоретично (на основі формул теорії ймовірностей, граничних теорем і т.д.).

7. В залежності від цілей моделювання розрізняють дескриптивні, оптимізаційні та управлінськімоделі. У дескриптивних (від лат. Descriptio - опис) моделях досліджуються закони зміни параметрів моделі. Наприклад, модель руху матеріальної точки під впливом прикладених сил на підставі другого закону Ньютона:. Ставлячи положення і прискорення точки в даний момент часу (вхідні параметри), масу (власний параметр) і закон зміни яких докладають сил (зовнішні впливи), можна визначити координати точки і швидкість в будь-який момент часу (вихідні дані).

Оптимізаційні моделі застосовуються для визначення найкращих (оптимальних), на основі деякого критерію, параметрів модельованого об'єкта або способів управління цим об'єктом. Оптимізаційні моделі будуються за допомогою однієї і чи кількох дескриптивних моделей і мають кілька критеріїв визначення оптимальності. На область значень вхідних параметрів можуть бути накладені обмеження у вигляді рівності або нерівностей, пов'язаних з особливостями розглянутого об'єкта або процесу. Прикладом оптимізаційної моделі служить складання раціону харчування в певній дієті (в якості вхідних даних виступають калорійність продукту, цінові значення вартості і т.д.).

Керуючі моделі застосовуються для прийняття рішень в різних областях цілеспрямованої діяльності людини, коли з усього безлічі альтернатив вибирають кілька і загальний процес прийняття рішення являє собою послідовність таких альтернатив. Наприклад, вибір доповіді для заохочення з декількох підготовлених студентами. Складність завдання полягає як в невизначеності про вхідних даних (самостійно підготовлена ​​доповідь або використаний чийсь працю), так і цілей (науковість роботи і її структура, рівень викладу і рівень підготовки студента, результати експерименту і отримані висновки). Так як оптимальність прийнятого рішення в одній і тій же ситуації може трактуватися по-різному, то вид критерію оптимальності в управлінських моделях заздалегідь не фіксується. Методи формування критеріїв оптимальності в залежності від виду невизначеності розглядаються в теорії вибору і прийняття рішень, що базується на теорії ігор і дослідженні операцій.

8. За методом дослідження розрізняють аналітичні, чисельні та імітаційнімоделі. Аналітичною моделлю називають таке формалізоване опис системи, яке дозволяє отримати рішення рівняння в явному вигляді, використовуючи відомий математичний апарат. Чисельна модель характеризується залежністю, яка допускає тільки приватні чисельні рішення для конкретних початкових умов і кількісних параметрів моделі. Імітаційна модель - це сукупність опису системи і зовнішніх впливів, алгоритмів функціонування системи або правил зміни стану системи під впливом зовнішніх і внутрішніх збурень. Ці алгоритми і правила не дають можливості використання наявних математичних методів аналітичного і чисельного рішення, але дозволяють імітувати процес функціонування системи і фіксувати цікавлять характеристики. Далі будуть більш детально розглянуті деякі аналітичні і імітаційні моделі, вивчення саме цих видів моделей пов'язано зі специфікою професійної діяльності студентів зазначеного напряму підготовки.

1.4. Графічне представлення математичних моделей

В математиці форми зв'язку між величинами можуть бути представлені рівняннями виду незалежна змінна (аргумент), y- залежна змінна (функція). В теорії математичного моделювання незалежну змінну називають фактором, залежну - відгуком. Причому в залежності від області побудови математичної моделі термінологія трохи видозмінюється. Деякі приклади визначень фактора і відгуку, в залежності від області дослідження, наведені в таблиці 1.

Таблиця 1. Деякі визначення понять «фактор» і «відгук»

Представляючи графічно математичну модель, ми будемо вважати фактори і відгуки змінними величинами, значення яких належать множині дійсних чисел.

Графічним представленням математичної моделіявляетсянекоторая поверхню відгуку, відповідна розташуванню точок в k-вимірному факторном просторі Х. Наочно можна уявити собі тільки одновимірну і двомірну поверхні відгуку. У першому випадку це безліч точок на дійсній площині, а в другому - безліч точок, що утворюють поверхню в просторі (для зображення таких точок зручно застосовувати лінії рівня - спосіб зображення рельєфу поверхні простору, побудованого в двовимірному факторном просторі Х(Рис. 8).

Область, в якій визначена поверхню відгуку, називається областю визначення Х *.Ця область становить, як правило, лише частина повного факторного простору Х(Х *Ì Х) І виділяється за допомогою обмежень, накладених на керуючі змінні x i, Записаних у вигляді рівності:

x i = C i , i = 1,…, m;

f j(x) = C j, j = 1,…, l

або нерівностей:

x i min £ x i£ x i max, i= 1,…, k;

f j(x) £ C j, j = 1,…, n,

При цьому функції f j(x) Можуть залежати як одночасно від всіх змінних, так і від деякої їх частини.

Обмеження типу нерівностей характеризують або фізичні обмеження на процеси в досліджуваному об'єкті (наприклад, обмеження температури), або технічні обмеження, пов'язані з умовами роботи об'єкта (наприклад, гранична швидкість різання, обмеження щодо запасів сировини).

Можливості дослідження моделей істотно залежать від властивостей (рельєфу) поверхні відгуку, зокрема, від кількості наявних на ній «вершин» і її контрастності. Кількість вершин (западин) визначає модальністьповерхні відгуку. Якщо в області визначення на поверхні відгуку є одна вершина (западина), модель називається унімодальної.

Характер зміни функції при цьому може бути різним (Рис. 9).

Модель може мати точки розриву першого роду (Рис. 9 (а)), точки розриву другого роду (Рис. 9 (б)). На малюнку 9 (в) показана безперервно-дифференцируемая унімодальне модель.

Для всіх трьох випадків, представлених на малюнку 9, виконується загальна вимога унімодальне:

якщо W (x *) - екстремум W, то з умови х 1< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) слід W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), якщо екстремум - мінімум, тобто, в міру віддалення від екстремальної точки значення функції W (x) у безперервний спосіб зменшується (збільшується).

Поряд з унімодальне розглядають полімодальні моделі (Рис.10).

Іншою важливою властивістю поверхні відгуку є її контрастність, що показує чутливість результуючої функції до зміни факторів. Контрастність характеризується величинами похідних. Продемонструємо характеристики контрастності на прикладі двовимірної поверхні відгуку (Рис. 11).

Крапка арозташована на «схилі», що характеризує рівну контрастність по всім змінним х i (i= 1,2), точка bрозташована в «яру», в якому різна роздільну здатність різних змінним (маємо погану обумовленість функції), точка зрозташована на «плато», на якому низька контрастність по всім змінним х iговорить про близькість екстремуму.

1.5. Основні методи побудови математичних моделей

Наведемо класифікацію методів формалізованого представлення модельованих систем Волкової В.Н. і Денисова А.А .. Авторами виділені аналітичні, статистичні, теоретико-множинні, лінгвістичні, логічні, графічні методи. Основна термінологія, приклади теорій, що розвиваються на базі описаних класів методів, а також сфера та можливості їх застосування запропоновані в додатку 1.

У практиці моделювання систем найбільшого поширення набули аналітичні та статистичні методи.

1) Аналітичні методи побудови математичних моделей.

Основу термінологічного апарату аналітичних методів побудови математичних моделей складають поняття класичної математики (формула, функція, рівняння і система рівнянь, нерівність, похідна, інтеграл і т.д.). Для цих методів характерна чіткість і обґрунтованість термінології з використанням мови класичної математики.

На основі аналітичних уявлень виникли і отримали розвиток такі математичні теорії, як класичний математичний аналіз (наприклад, методи дослідження функцій), так і сучасні основи математичного програмування і теорії ігор. До того ж, математичне програмування (лінійне, нелінійне, динамічне, целочисленное і т.д.) містить як засобу постановки задачі, так і розширює можливості докази адекватності моделі, на відміну від ряду інших напрямків математики. Ідеї ​​оптимального математичного програмування для вирішення економічних (зокрема, рішення задачі оптимального розкрою листа фанери) завдань були запропоновані Л.В. Канторовичем.

Пояснимо особливості методу на прикладі.

Приклад.Припустимо, що для виробництва двох видів продукцій Аі Впотрібно використовувати сировину трьох видів. При цьому на виготовлення одиниці продукції виду Авитрачається 4ед. сировини першого виду, 2 од. 2-го і 3ед. 3-го виду. На виготовлення одиниці продукції виду Ввитрачається 2ед. сировини 1-го виду, 5 од. 2-го виду та 4 од. 3-го виду сировини. На складі фабрики є 35 од. сировини 1-го виду, 43 - 2-го, 40 - 3-го виду. Від реалізації одиниці продукції виду Афабрика має прибуток 5 тис. руб., а від реалізації одиниці продукції виду Вприбуток становить 9 тис. руб. Необхідно скласти математичну модель задачі, в якій передбачається отримання максимального прибутку.

Норми витрати сировини кожного виду на виготовлення одиниці даного виду продукції наведені в таблиці. У ній же вказані прибуток від реалізації кожного виду продукції і загальне кількості сировини даного виду, яке може бути використане підприємством.

позначимо через х 1і х 2обсяг продукції, що випускається видів Аі Ввідповідно. Витрати матеріалу першого сорту на план складуть 4х 1 + 2х 2, І вони не повинні перевищувати запасів, тобто 35 кг:

4х 1 + 2х 2 35.

Аналогічні обмеження по матеріалу другого сорту:

2х 1 + 5х 2 43,

і за матеріалом третього сорту

3х 1 + 4х 2 40.

Прибуток від реалізації х 1одиниць продукції А і х 2одиниць продукції В складе z = 5x 1+ 9x 2(цільова функція).

Отримали модель задачі:

Графічне рішення задачі наведено на малюнку 11.

Оптимальне (найкраще, тобто максимум функції z) Рішення задачі - в точці А (рішення пояснено в розділі 5).

Отримали, що х 1=4,х 2= 7, значення функції zв точці А:.

Таким чином, значення максимального прибутку одно 83 тис. Руб.

Крім графічного існує ще ряд спеціальних методів вирішення задачі (наприклад, симплекс-метод) або застосовуються пакети прикладних програм, їх реалізують. Залежно від виду цільової функції розрізняють лінійне і нелінійне програмування, в залежності від характеру змінних виділяють целочисленное програмування.

Можна виділити загальні риси математичного програмування:

1) введення поняття цільової функції і обмежень є засобами постановки завдання;

2) можливе об'єднання в одній моделі різнорідних критеріїв (різних розмірностей, в прикладі - запаси сировини і прибуток);

3) модель математичного програмування допускає вихід на кордон області допустимих значень змінних;

4) можливість реалізації покрокового алгоритму отримання результатів (покрокове наближення до оптимального рішення);

5) наочність, що досягається за допомогою геометричної інтерпретацією задачі, яка допомагає в тих випадках, коли неможливо вирішити задачу формально.

2) Статистичні методи побудови математичних моделей.

Статистичні методи побудови математичних моделей набули поширення і почали широко застосовуватися з розвитком теорії ймовірностей в 19 столітті. В їх основі лежать імовірнісні закономірності випадкових (стохастичних) подій, що відображають реальні явища. Термін «стохастичні» - уточнення поняття «випадкові», вказує на заздалегідь задані, визначені чинники, які впливають на процес, а поняття «випадкові» характеризується незалежністю від впливу або відсутності таких причин.

Статистичні закономірності представлені у вигляді дискретних випадкових величин і закономірностей появи їх значень або у вигляді безперервних залежностей розподілу подій (процесів). Теоретичні основи побудови стохастичних моделей детально описані в розділі 2.

Контрольні питання

1. Сформулюйте основне завдання математичного моделювання.

2. Дайте визначення математичної моделі.

3. Перелічіть основні недоліки експериментального підходу в дослідженні.

4. Перерахуйте основні етапи побудови моделі.

5. Перелічіть види математичних моделей.

6. Дайте коротку характеристикувидів моделей.

7. Який вид приймає математична модель, представлена ​​геометрично?

8. Як задаються математичні моделі аналітичного типу?

завдання

1. Скласти математичну модель рішення задачі і провести класифікацію моделі:

1) Визначити найбільшу місткість циліндричного відра, поверхня якого (без кришки) дорівнює S.

2) Підприємство забезпечує регулярних випуск продукції при безвідмовної постачання комплектуючих від двох суміжників. Імовірність відмови в постачанні від першого з суміжників -, від другого -. Знайти ймовірність збою в роботі підприємства.

2. Модель Мальтуса (тисячі сімсот дев'яносто вісім) описує розмноження популяції зі швидкістю, пропорційною її чисельності. В дискретному виглядіцей закон є геометричну прогресію:; або .Закон, записаний у вигляді диференціального рівняння, являє собою модель експоненціального зростання популяції і добре описує зростання клітинних популяцій у відсутності будь-якого обмеження:. Задайте початкові умови і продемонструйте роботу моделі.

У запропонованій вашій увазі статті ми пропонуємо приклади математичних моделей. Крім цього, ми звернемо увагу на етапи створення моделей і розберемо деякі завдання, пов'язані з математичним моделюванням.

Ще один наш питання - це математичні моделі в економіці, приклади, визначення яких ми розглянемо трохи пізніше. Почати нашу розмову ми пропонуємо з самого поняття «модель», коротко розглянемо їх класифікацію та перейдемо до основних наших питань.

Поняття «модель»

Ми часто чуємо слово «модель». Що ж це таке? Даний термін має безліч визначень, ось тільки три з них:

• специфічний об'єкт, який створюється для отримання і зберігання інформації, що відображає деякі властивості або характеристики і так далі оригіналу даного об'єкта(Цей специфічний об'єкт може виражатися в різній формі: уявний, опис за допомогою знаків і так далі);
• ще під моделлю розуміється відображення будь-якої конкретної ситуації, життєвої або управлінської;
• моделлю може служити зменшена копія якого-небудь об'єкта (вони створюються для більш докладного вивчення і аналізу, так як модель відображає структуру і взаємозв'язки).

Виходячи з усього, що було сказано раніше, можна зробити невеликий висновок: модель дозволяє детально вивчити складну систему або об'єкт.

Всі моделі можна класифікувати за рядом ознак:

• по області використання (навчальні, дослідні, науково-технічні, ігрові, імітаційні);
• по динаміці (статичні і динамічні);
• за галуззю знань (фізичні, хімічні, географічні, історичні, соціологічні, економічні, математичні);
• за способом подання (матеріальні і інформаційні).

Інформаційні моделі, в свою чергу, діляться на знакові і вербальні. А знакові - на комп'ютерні та некомп'ютерні. Тепер перейдемо до докладного розгляду прикладів математичної моделі.

Математична модель

Як не важко здогадатися, математична модель відображає будь-які риси об'єкта або явища за допомогою спеціальних математичних символів. Математика і потрібна для того, щоб моделювати закономірності навколишнього світу на своєму специфічному мовою.

Метод математичного моделювання зародився досить давно, тисячі років тому, разом з появою даної науки. Однак поштовх для розвитку даного способумоделювання дало поява ЕОМ (електронно-обчислювальних машин).

Тепер перейдемо до класифікації. Її так само можна провести за деякими ознаками. Вони представлені в таблиці нижче.

Ми пропонуємо зупинитися і докладніше розглянути останню класифікацію, так як вона відображає загальні закономірності моделювання і цілі створюваних моделей.

дескриптивні моделі

У цьому розділі ми пропонуємо зупинитися докладніше на дескриптивних математичних моделях. Для того щоб було все гранично зрозуміло, буде наведено приклад.

Почнемо з того, що цей вид можна назвати описовим. Це пов'язано з тим, що ми просто робимо розрахунки і прогнози, але ніяк не можемо вплинути на результат події.

Яскравим прикладом описової математичної моделі є обчислення траєкторії польоту, швидкості, відстані від Землі комети, яка вторглася в простори нашої Сонячної системи. Ця модель є описової, так як всі отримані результати можуть тільки попередити нас про будь-якої небезпеки. Вплинути на результат події, на жаль, ми не можемо. Однак, грунтуючись на отриманих розрахунках, можна вдатися до якихось заходів для збереження життя на Землі.

оптимізаційні моделі

Зараз ми трохи поговоримо про економіко-математичних моделях, прикладами яких можуть служити різні ситуації, що склалися. В даному випадку мова йде про моделі, які допомагають знайти правильну відповідь у певних умовах. Вони обов'язково мають якісь параметри. Щоб стало гранично зрозуміло, розглянемо приклад з аграрної частини.

У нас є зерносховище, але зерно дуже швидко псується. У цьому випадку нам необхідно правильно підібрати температурний режим і оптимізувати процес зберігання.

Таким чином, ми можемо дати визначення поняттю «оптимізаційна модель». У математичному сенсі це система рівнянь (як лінійних, так і немає), рішення якої допомагає знайти оптимальне рішення в конкретній економічній ситуації. Приклад математичної моделі (оптимизационной) ми розглянули, але хочеться ще додати: даний вид відноситься до класу екстремальних задач, вони допомагають описати функціонування економічної системи.

Відзначимо ще один нюанс: моделі можуть носити різний характер (див. Таблицю нижче).

багатокритеріальні моделі

Зараз пропонуємо вам поговорити трохи про математичну модель багатокритеріальної оптимізації. До цього ми навели приклад математичної моделі оптимізації процесу по якогось одного критерію, але що робити, якщо їх багато?

Яскравим прикладом багатокритеріальної задачі служить організація правильного, корисного і одночасно економного харчування великих груп людей. З такими завданнями часто зустрічаються в армії, шкільних їдалень, літніх таборах, лікарнях і так далі.

Які критерії нам дано в даній задачі?

1. Харчування має бути корисним.
2. Витрати на їжу повинні бути мінімальними.

Як бачите, ці цілі зовсім не збігаються. Значить, при вирішенні завдання необхідно шукати оптимальне рішення, баланс між двома критеріями.

Ігрові моделі

Говорячи про ігрові моделях, необхідно розуміти поняття «теорія ігор». Якщо говорити просто, то дані моделі відображають математичні моделі справжніх конфліктів. Тільки варто розуміти, що, на відміну від реального конфлікту, ігрова математична модель має свої певні правила.

Зараз буде наведено мінімум інформації з теорії ігор, яка допоможе вам зрозуміти, що таке ігрова модель. І так, в моделі обов'язково присутні сторони (дві або більше), яких прийнято називати гравцями.

Всі моделі мають деякі властивості.

Ігрова модель може бути парною або множинною. Якщо у нас є два суб'єкти, то конфлікт парний, якщо більше - множинний. Також можна виділити антагоністичну гру, її ще називають грою з нульовою сумою. Це модель, в якій виграш одного з учасників дорівнює програшу іншого.

імітаційні моделі

В даному розділіми звернемо увагу на імітаційні математичні моделі. Прикладами завдань можуть служити:

• модель динаміки чисельності мікроорганізмів;
• модель руху молекул, і так далі.

В даному випадку ми говоримо про моделі, які максимально наближені до реальних процесів. За великим рахунком, вони імітують якесь прояв в природі. У першому випадку, наприклад, ми можемо моделювати динаміку чисельності мурах в одній колонії. При цьому можна спостерігати за долею кожної окремої особини. В даному випадку математичний опис використовують рідко, частіше присутні письмові умови:

• через п'ять днів жіноча особина відкладає яйця;
• через двадцять днів мураха гине, і так далі.

Таким чином, використовуються для опису великий системи. Математичне висновок - це обробка отриманих статистичних даних.

вимоги

Дуже важливо знати, що до даному видумоделі пред'являють деякі вимоги, серед яких - наведені в таблиці нижче.

універсальність	Ця властивість дозволяє використовувати одну й ту ж модель при описі однотипних груп об'єктів. Важливо відзначити, що універсальні математичні моделі абсолютно не залежать від фізичної природи досліджуваного об'єкта
адекватність	Тут важливо розуміти, що ця властивість дозволяє максимально правильно відтворювати реальні процеси. У завданнях експлуатації дуже важливо дане властивість математичного моделювання. Прикладом моделі може служити процес оптимізації використання газової системи. В даному випадку зіставляються розрахункові та фактичні показники, в результаті перевіряється правильність складеної моделі
точність	Дана вимога має на увазі збіг значень, які ми отримуємо при розрахунку математичної моделі і вхідних параметрів нашого реального об'єкта
економічність	Вимога економічності, що пред'являється до будь-якої математичної моделі, характеризується витратами на реалізацію. Якщо робота з моделлю здійснюється ручним способом, то необхідно розрахувати, скільки часу піде на вирішення однієї задачі за допомогою даної математичної моделі. Якщо мова йде про автоматизованому проектуванні, то розраховуються показники витрат часу і пам'яті комп'ютера

етапи моделювання

Всього в математичному моделюванні прийнято виділяти чотири етапи.

1. Формулювання законів, що зв'язують частини моделі.
2. Дослідження математичних задач.
3. З'ясування збігів практичних і теоретичних результатів.
4. Аналіз і модернізація моделі.

Економіко-математична модель

У цьому розділі коротко висвітлимо питання Прикладами завдань можуть служити:

• формування виробничої програми випуску м'ясної продукції, що забезпечує максимальний прибуток виробництва;
• максимізація прибутку організації шляхом розрахунку оптимальної кількості випуску столів і стільців на меблевій фабриці, і так далі.

Економіко-математична модель відображає економічну абстракцію, яка виражена за допомогою математичних термінів і знаків.

Комп'ютерна математична модель

Прикладами комп'ютерної математичної моделі є:

• завдання гідравліки за допомогою блок-схем, діаграм, таблиць, і так далі;
• завдання на механіку твердого тіла, і так далі.

Комп'ютерна модель - це образ об'єкту або системи, представлений у вигляді:

• таблиці;
• блок-схеми;
• діаграми;
• графіка, і так далі.

При цьому дана модельвідображає структуру і взаємозв'язки системи.

Побудова економіко-математичної моделі

Ми вже раніше сказали про те, що таке економіко-математична модель. Приклад рішення задачі буде розглянуто прямо зараз. Нам необхідно провести аналіз виробничої програми для виявлення резерву підвищення прибутку при зсуві в асортименті.

Повністю розглядати задачу ми не будемо, а тільки побудуємо економіко-математичну модель. Критерій нашого завдання - максимізація прибутку. Тоді функція має вигляд: L = р1 * х1 + р2 * х2 ..., що прагне до максимуму. У даній моделі р - це прибуток за одиницю, х - це кількість вироблених одиниць. Далі, грунтуючись на побудованої моделі, необхідно провести розрахунки і підвести підсумок.

Приклад побудови простої математичної моделі

Завдання.Рибак повернувся з наступним уловом:

• 8 риб - мешканці північних морів;
• 20% улову - мешканці південних морів;
• з місцевої річки не виявилося жодної рибини.

Скільки риб він купив в магазині?

Отже, приклад побудови математичної моделі даної задачі виглядає наступним чином. Позначаємо загальна кількість риб за х. Дотримуючись умові, 0,2х - це кількість риб, що мешкають в південних широтах. Тепер об'єднуємо всю наявну інформацію і отримуємо математичну модель задачі: х = 0,2х + 8. Вирішуємо рівняння і отримуємо відповідь на головне питання: 10 риб він купив в магазині.