Лекція №3

Тема №1. Показники надійності ЕМС

Показники надійності характеризують такі найважливіші властивості систем, як безвідмовність, живучість, відмовостійкість, ремонтопридатність, збереження, довговічністьі є кількісною оцінкою їх технічного стану та середовища, в якому вони функціонують та експлуатуються. Оцінка показників надійності складних технічних системна різних етапах життєвого циклу використовується для вибору структури системи з множини альтернативних варіантів, призначення гарантійних термінів експлуатації, вибору стратегії та тактики технічного обслуговування, аналізу наслідків відмов елементів системи.

Аналітичні методи оцінки показників надійності складних технічних систем управління та ухвалення рішення базуються на положеннях теорії ймовірності. З огляду на імовірнісної природи відмов оцінка показників полягає в використанні методів математичної статистики. При цьому статистичний аналіз проводиться, як правило, в умовах апріорної невизначеності щодо законів розподілу випадкових значень напрацювання системи, а також за вибірками обмеженого обсягу, що містять дані про моменти відмови елементів системи при випробуваннях або в умовах експлуатації.

Ймовірність безвідмовної роботи(ВБР) – це ймовірність того, що за певних умов експлуатації у заданому інтервалі часу не станеться жодної відмови. Ймовірність P(t) – функція, спадна див. рис.1 причому,

ВБР за статистичними даними про відмови оцінюється виразом

(1)

де – статистична оцінка ВБР; – кількість виробів на початку випробувань, за великої кількості виробів статистична оцінка практично збігається з ймовірністю P(t) ; –кількість виробів, що відмовили за час t.

Рисунок 1. Криві ймовірності безвідмовної роботи та ймовірності відмов

Ймовірність відмови Q ( t ) – це ймовірність того, що за певних умов експлуатації у заданому інтервалі часу відбудеться хоча б одна відмова. Відмова та безвідмовна робота – події протилежні та несумісні

(2)

Частота відмов a ( t ) – є відношення виробів, що відмовили, в одиницю часу до початкового числа виробів, що випробовуються.

(3)

де – число виробів, що відмовили, в інтервалі часу D t.

Частота відмов або густина ймовірності відмов може бути визначена як похідна за часом ймовірності відмов

Знак (-) характеризує швидкість зниження надійності у часі.

Середнє напрацювання до відмови - Середнє значення тривалості роботи неремонтованого пристрою до першої відмови:

де – тривалість роботи (напрацювання) до відмови i-го пристрою; - Число спостережуваних пристроїв.

приклад.Спостереження за експлуатацією 10 електродвигунів виявили, що перший пропрацював повністю 800 год, другий – 1200 і далі відповідно; 900, 1400, 700, 950, 750, 1300, 850 і 1500 год. Визначити напрацювання двигунів до раптової відмови,

Рішення. За (5) маємо

Інтенсивність відмов l ( t ) – умовна щільність ймовірності виникнення відмови, яка визначається як відношення числа виробів, що відмовили, в одиницю часу до середньої кількості виробів, що справно працюють у даний відрізок часу.

, (6)

де - Число пристроїв, що відмовили в період часу; - Число середня кількість пристроїв, що справно працюють в період спостереження; - Період спостереження.

Можливість безвідмовної роботи Р(t)через висловиться

. (8)

приклад 1.Під час експлуатації 100 трансформаторів протягом 10 років відбулося дві відмови, причому щоразу відмовляв новий трансформатор. Визначити інтенсивність відмов трансформатора у період спостереження.

Рішення.За (6) маємо відк. / Рік.

Приклад2. Зміна числа відмов BJI через виробничої діяльностісторонніх організацій по місяцях року представлено таким чином:

Визначити середньомісячну інтенсивність відмов.

Рішення. ; відк./міс.

Очікувана розрахункова інтенсивність l = 7,0.

Середнє напрацювання на відмову –середнє значення напрацювання пристрою, що ремонтується, між відмовами, що визначається як середнє арифметичне:

, (9)

де – напрацювання до першого, другого, n-го відмови; n– кількість відмов від початку експлуатації до закінчення спостереження. Напрацювання на відмову, або середній час безвідмовної роботи, є математичне очікування:

. (10)

приклад.Трансформатор відмовив, пропрацювавши близько року. Після усунення причин відмови він пропрацював ще три роки і знову вийшов з ладу. Визначити середнє напрацювання трансформатора на відмову.

Рішення. За (1.7) обчислимо року.

Параметр потоку відмов –середня кількість відмов пристрою, що ремонтується в одиницю часу, взята для аналізованого моменту часу:

(11)

де – кількість відмов i-го пристрою станом на аналізовані моменти часу - і tвідповідно; N- Число пристроїв; - Розглянутий період роботи, причому .

Відношення середньої кількості відмов об'єкта, що відновлюється, за довільно малу його напрацювання до значення цього напрацювання

приклад. Електротехнічний пристрій складається із трьох елементів. Протягом першого року експлуатації у першому елементі відбулося дві відмови, у другому – одна, у третьому відмов не було. Визначте параметр потоку відмов.

Рішення

Звідки (1.8)

Середнє значення ресурсу розраховують за даними експлуатації або випробувань з використанням вже відомого виразу для напрацювання:

.

Середній час відновлення - Середній час вимушеного або регламентованого простою, викликаного виявленням та усуненням однієї відмови:

де – порядковий номер відмови; - Середній час виявлення та усунення відмови.

Коефіцієнт готовності – ймовірність того, що обладнання буде працездатним у довільно вибраний момент часу у проміжках між виконанням планового технічного обслуговування. При експоненційному законі розподілу часу безвідмовної роботи та часу відновлення коефіцієнт готовності

.

Коефіцієнт вимушеного простою – це відношення часу вимушеного простою до суми часу справної роботи та вимушених простоїв.

Коефіцієнт технічного використання – це відношення напрацювання обладнання в одиницях часу за деякий період експлуатації до суми цього напрацювання та часу всіх простоїв, спричинених, технічним обслуговуваннямта ремонтами за той же період експлуатації:

.

Крім того [ГОСТ 27.002-83] визначає показники довговічності, у термінах яких слід зазначати вид дій після настання граничного стану об'єкта (наприклад, середній ресурс до капітального ремонту; гамма-відсотковий ресурс до середнього ремонту тощо). Якщо граничний стан зумовлює остаточне зняття об'єкта з експлуатації, показники довговічності називаються: повний середній ресурс (термін служби), повний гамма-відсотковий ресурс (термін служби), повний призначений ресурс (термін служби).

Середній ресурс- Математичне очікування ресурсу.

Гамма-відсотковий ресурс– напрацювання, протягом якого об'єкт не досягне граничного стану із заданою ймовірністю g, вираженою у відсотках.

Призначений ресурс– сумарне напрацювання об'єкта, при досягненні якого застосування за призначенням має бути припинено.

Середній термін служби- Математичне очікування терміну служби.

Гамма-відсотковий термін служби- Календарна тривалість від початку експлуатації об'єкта, протягом якої він не досягне граничного стану із заданою ймовірністю g, вираженої у відсотках.

Призначений термін служби– календарна тривалість експлуатації об'єкта, при досягненні якої застосування за призначенням має бути припинено.

Показники ремонтопридатності та збереження визначаються наступним чином.

Ймовірність відновлення працездатного стану- Це ймовірність того, що час відновлення працездатного стану об'єкта не перевищить заданого.

Середній час відновлення працездатного стануяния – це математичне очікування часу відновлення працездатного стану.

Середній термін зберігання- Це математичне очікування терміну збереження.

Гамма-відсотковий термін зберігання- Це термін збереження, що досягається об'єктом із заданою ймовірністю, вираженою у відсотках.

1.1 Можливість безвідмовної роботи

Імовірністю безвідмовної роботи називається ймовірність того, що за певних умов експлуатації, у межах заданого напрацювання не станеться жодної відмови.
Імовірність безвідмовної роботи позначається як P(l) , Яка визначається за формулою (1.1):

де N 0 - Число елементів на початку випробування;r(l) - Число відмов елементів до моменту напрацювання.Слід зазначити, що чим більша величинаN 0 тим з більшою точністю можна розрахувати ймовірністьP(l).
На початку експлуатації справного локомотива P(0) = 1, тому що при пробігу l= 0 ймовірність того, що жоден елемент не відмовить, набуває максимального значення - 1. Зі зростанням пробігу lймовірність P(l) буде зменшуватися. У процесі наближення терміну експлуатації до нескінченно великої величини ймовірність безвідмовної роботи прагнутиме нуля P(l→∞) = 0. Таким чином у процесі напрацювання величина ймовірності безвідмовної роботи змінюється в межах від 1 до 0. Характер зміни ймовірності безвідмовної роботи функції пробігу показаний на рис. 1.1.

Рис.2.1. Графік зміни ймовірності безвідмовної роботи P(l)залежно від напрацювання

Основними перевагами використання цього показника при розрахунках є два чинники: по-перше, ймовірність безвідмовної роботи охоплює всі чинники, що впливають надійність елементів, дозволяючи досить судити про його надійності, т.к. чим більша величинаP(l), тим вища надійність; по-друге, можливість безвідмовної роботи може бути використана в розрахунках надійності складних систем, що складаються з більш ніж одного елемента.

1.2 Ймовірність відмови

Імовірністю відмови називають ймовірність того, що за певних умов експлуатації, в межах заданого напрацювання відбудеться хоча б одна відмова.
Імовірність відмови позначається як Q(l), яка визначається за формулою (1.2):

На початку експлуатації справного локомотиваQ(0) = 0, тому що при пробігуl= 0 ймовірність того, що хоча б один елемент відмовить, набуває мінімального значення - 0. Зі зростанням пробігуlймовірність відмовиQ(l) буде збільшуватися. У процесі наближення терміну експлуатації до нескінченно великої величини ймовірність відмови прагнутиме одиниціQ(l→∞ ) = 1. Таким чином у процесі напрацювання величина ймовірності відмови змінюється в межах від 0 до 1. Характер зміни ймовірності відмови у функції пробігу показаний на рис. 1.2.Імовірність безвідмовної роботи та ймовірність відмови є подіями протилежними та несумісними.

Рис.2.2. Графік зміни ймовірності відмови Q(l)залежно від напрацювання

1.3 Частота відмов

Частота відмов - це відношення числа елементів в одиницю часу або пробігу віднесеного до початкового числу елементів. Тобто частота відмов є показником, що характеризує швидкість зміни ймовірності відмов та ймовірності безвідмовної роботи зі зростанням тривалості роботи.
Частота відмов позначається як і визначається за формулою (1.3):

де - кількість елементів, що відмовили за проміжок пробігу.
Даний показник дозволяє судити за його величиною про кількість елементів, які відмовлять на якомусь проміжку часу або пробігу, також за величиною можна розрахувати кількість необхідних запасних частин.
Характер зміни частоти відмов у функції пробігу показано на рис. 1.3.

Мал. 1.3. Графік зміни частоти відмов залежно від напрацювання

1.4 Інтенсивність відмов

Інтенсивність відмов є умовну щільність виникнення відмови об'єкта, що визначається для розглянутого моменту часу або напрацювання за умови, що до цього моменту відмова не виникла. Інакше інтенсивність відмов - це відношення числа елементів, що відмовили, в одиницю часу або пробігу до справних елементів у даний відрізок часу.
Інтенсивність відмов позначається як і визначається за формулою (1.4):

де

Як правило, інтенсивність відмов є незменшною функцією часу. Інтенсивність відмов зазвичай застосовується з метою оцінки схильності до відмов у різні моменти роботи об'єктів.
На рис. 1.4. представлений теоретичний характер зміни інтенсивності відмов у функції пробігу.

Мал. 1.4. Графік зміни інтенсивності відмов залежно від напрацювання

На графіку зміни інтенсивності відмов, зображеному на рис. 1.4. можна виділити три основних етапи, що відображають процес екс-плуатації елемента або об'єкта в цілому.
Перший етап, який також називається етапом приробітку, характеризується збільшенням інтенсивності відмов у початковий період експлуатації. Причиною зростання інтенсивності відмов цьому етапі є приховані дефекти виробничого характеру.
Другий етап, чи період нормальної роботи, характеризується прагненням інтенсивності відмов до постійного значення. Протягом цього періоду можуть виникати випадкові відмови у зв'язку з появою раптової концентрації навантаження, що перевищує межу міцності елемента.
Третій етап, так званий період форсованого старіння. Характеризується виникненням зносових відмов. Подальша експлуатація елемента без його заміни стає економічно раціональною.

1.5 Середнє напрацювання до відмови

Середнє напрацювання - це середній пробіг безвідмовної роботи елемента вщент.
Середнє напрацювання повністю позначається як L 1 і визначається за формулою (1.5):

де l i- напрацювання до відмови елемента; r i- Число відмов.
Середнє напрацювання може бути використане для попереднього визначення термінів ремонту або заміни елемента.

1.6 Середнє значення параметра потоку відмов

Середнє значення параметра потоку відмов характеризує середню щільність ймовірності виникнення відмови об'єкта, що визначається для моменту часу, що розглядається.
Середнє значення параметра потоку відмов позначається як Wср і визначається за формулою (1.6):

1.7 Приклад розрахунку показників безвідмовності

Початкові дані.
Протягом пробігу від 0 до 600 тис. км., у локомотивному депо здійснено збір інформації щодо відмов ТЕД. У цьому кількість справних ТЕД початку періоду експлуатації становило N0 = 180 прим. Сумарна кількість ТЕД, що відмовилися за аналізований період, склала ∑r(600000) = 60. Інтервал пробігу прийняти рівним 100 тис. км. При цьому кількість ТЕД, що відмовили, по кожній ділянці склала: 2, 12, 16, 10, 14, 6.

Потрібно.
Необхідно розрахувати показники безвідмовності та побудувати їх залежності зміни у часі.

Спочатку необхідно заповнити таблицю вихідних даних оскільки це показано в табл. 1.1.

Таблиця 1.1.

Вихідні дані до розрахунку

, тис. км	0 - 100	100 - 200	200 - 300	300 - 400	400 - 500	500 - 600
	2	12	16	10	14	6
	2	14	30	40	54	60

Спочатку за рівнянням (1.1) визначимо кожної ділянки пробігу величину ймовірності безвідмовної роботи. Так, для ділянки від 0 до 100 та від 100 до 200 тис. км. пробігу ймовірність безвідмовної роботи складе:

Зробимо розрахунок частоти відмов за рівнянням (1.3).

Тоді інтенсивність відмов дільниці 0-100 тис.км. дорівнюватиме:

Аналогічно визначимо величину інтенсивності відмов для інтервалу 100-200 тис. км.

За рівняннями (1.5 і 1.6) визначимо середнє напрацювання до відмови та середнє значення параметра потоку відмов.

Систематизуємо отримані результати розрахунку та подаємо їх у вигляді таблиці (табл. 1.2.).

Таблиця 1.2.

Результати розрахунку показників безвідмовності

, тис. км.	0 - 100	100 - 200	200 - 300	300 - 400	400 - 500	500 - 600
	2	12	16	10	14	6
	2	14	30	40	54	60
P(l)	0,989	0,922	0,833	0,778	0,7	0,667
Q(l)	0,011	0,078	0,167	0,222	0,3	0,333
10 -7 , 1/км	1,111	6,667	8,889	5,556	7,778	3,333
10 -7 , 1/км	1,117	6,977	10,127	6,897	10,526	4,878

Наведемо характер зміни ймовірності безвідмовної роботи ТЕД залежно від пробігу (рис. 1.5). Слід зазначити, що першою точкою на графіці, тобто. при пробігу, що дорівнює 0, величина ймовірності безвідмовної роботи прийме максимальне значення - 1.

Мал. 1.5. Графік зміни ймовірності безвідмовної роботи в залежності від напрацювання

Наведемо характер зміни ймовірності відмови ПЭД залежно від пробігу (рис. 1.6). Слід зазначити, що першою точкою на графіці, тобто. при пробігу, що дорівнює 0, величина ймовірності відмови прийме мінімальне значення - 0.

Мал. 1.6. Графік зміни ймовірності відмови в залежності від напрацювання

Наведемо характер зміни частоти відмов ТЕД залежно від пробігу (рис. 1.7).

Мал. 1.7. Графік зміни частоти відмов залежно від напрацювання

На рис. 1.8. представлено залежність зміни інтенсивності відмов від напрацювання.

Мал. 1.8. Графік зміни інтенсивності відмов залежно від напрацювання

2.1 Експонентний закон розподілу випадкових величин

Експоненційний закон досить точно визначає надійність вузлів при раптових відмовах, що мають випадковий характер. Спроби застосувати його для інших типів та випадків відмов, особливо поступових, спричинених зносом та зміною фізико-хімічних властивостей елементів показали його недостатню прийнятність.

Початкові дані.
В результаті випробування десяти паливних насосів високого тиску отримані напрацювання їх до відмови: 400, 440, 500, 600, 670, 700, 800, 1200, 1600, 1800 год. Припускаючи, що напрацювання до відмови паливних насосів підпорядковується.

Потрібно.
Оцінити величину інтенсивності відмов, і навіть розрахувати можливість безвідмовної роботи протягом перших 500 год. і можливість відмови у проміжку часу між 800 і 900 год. роботи дизеля.

По-перше, визначимо величину середнього напрацювання паливних насосів повністю за рівнянням:

Потім розраховуємо величину інтенсивності відмов:

Розмір ймовірності безвідмовної роботи паливних насосів при напрацюванні 500 год складе:

Імовірність відмови у проміжку між 800 і 900 год. роботи насосів складе:

2.2 Закон розподілу Вейбулла-Гніденко

Закон розподілу Вейбулла-Гнеденко набув широкого поширення і використовується стосовно систем, що складаються з рядів елементів, з'єднаних послідовно з метою забезпечення безвідмовності системи. Наприклад, системи, що обслуговують дизель-генераторну установку: мастила, охолодження, живлення паливом, повітрям тощо.

Початкові дані.
Час простою тепловозів у непланових ремонтах з вини допоміжного обладнання підпорядковується закону розподілу Вейбулла-Гнєденка з параметрами b=2 та a=46.

Потрібно.
Необхідно визначити ймовірність виходу тепловозів із непланових ремонтів після 24 год. простою та час простою, протягом якого працездатність буде відновлена ​​з ймовірністю 0,95.

Знайдемо можливість відновлення працездатності локомотива після простою його в депо протягом доби за рівнянням:

Для визначення часу відновлення працездатності локомотива із заданою величиною довірчої ймовірності також використовуємо вираз:

2.3 Закон розподілу Релею

Закон розподілу Релея використовується в основному для аналізу роботи елементів, що мають яскраво виражений ефект старіння (елементи електроустаткування, різного роду ущільнення, шайби, прокладки, виготовлені з гумових чи синтетичних матеріалів).

Початкові дані.
Відомо, що напрацювання контакторів повністю за параметрами старіння ізоляції котушок можна описати функцією розподілу Релея з параметром S = 260 тис.км.

Потрібно.
Для величини напрацювання 120 тис. км. необхідно визначити ймовірність безвідмовної роботи, інтенсивність відмов та середнє напрацювання до першої відмови котушки електромагнітного контактора.

3.1 Основне з'єднання елементів

Система, що складається з декількох незалежних елементів, пов'язаних функціонально таким чином, що відмова будь-якого з них викликає відмову системи, відображається розрахунковою структурною схемою роботи безвідмовної з послідовно з'єднаними подіями безвідмовної роботи елементів.

Початкові дані.
Нерезервована система складається із 5 елементів. Інтенсивності їх відмов відповідно дорівнюють 0,00007; 0,00005; 0,00004; 0,00006; 0,00004 год-1

Потрібно.
Необхідно визначити показники надійності системи: інтенсивність відмов, середній час напрацювання повністю, ймовірність безвідмовної роботи, частота відмов. Показники надійності P(l) та a(l) отримати в інтервалі від 0 до 1000 годин з кроком 100 годин.

Обчислимо інтенсивність відмови та середній напрацювання до відмови за такими рівняннями:

Значення ймовірності безвідмовної роботи та частоти відмов отримаємо, використовуючи рівняння, наведені до виду:

Результати розрахунку P(l)і a(l)на інтервалі від 0 до 1000 годин роботи представимо у вигляді табл. 3.1.

Таблиця 3.1.

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи та частоти відмов системи на інтервалі часу від 0 до 1000 год.

l, годину	P(l)	a(l), година -1
0	1	0,00026
100	0,974355	0,000253
200	0,949329	0,000247
300	0,924964	0,00024
400	0,901225	0,000234
500	0,878095	0,000228
600	0,855559	0,000222
700	0,833601	0,000217
800	0,812207	0,000211
900	0,791362	0,000206
1000	0,771052	0,0002

Графічна ілюстрація P(l)і a(l)на ділянці до середнього напрацювання повністю представлена ​​на рис. 3.1, 3.2.

Мал. 3.1. Можливість безвідмовної роботи системи.

Мал. 3.2. Частота відмов системи.

3.2 Резервне з'єднання елементів

Початкові дані.
На рис. 3.3 та 3.4 показано дві структурні схеми з'єднання елементів: загального (рис. 3.3) та поелементного резервування (рис. 3.4). Імовірності безвідмовної роботи елементів відповідно дорівнюють P1(l) = P '1(l) = 0,95; P2(l) = P'2(l) = 0,9; P3(l) = P '3(l) = 0,85.

Мал. 3.3. Схема системи із загальним резервуванням.

Мал. 3.4. Схема системи із поелементним резервуванням.

Імовірність безвідмовної роботи блоку з трьох елементів без резервування розрахуємо за виразом:

Імовірність безвідмовної роботи тієї ж системи при загальному резервуванні (рис. 3.3):

Імовірності безвідмовної роботи кожного з трьох блоків при поелементному резервуванні (рис. 3.4) дорівнюватимуть:

Імовірність безвідмовної роботи системи при поелементному резервуванні становитиме:

Таким чином, поелементне резервування дає більш суттєве збільшення надійності (імовірність безвідмовної роботи зросла з 0925 до 0965, тобто на 4%).

Початкові дані.
На рис. 3.5 представлена ​​система з комбінованим з'єднанням елементів. У цьому ймовірності безвідмовної роботи елементів мають такі значення: P1=0,8; Р2 = 0,9; Р3 = 0,95; Р4 = 0,97.

Потрібно.
Потрібно визначити надійність системи. Також необхідно визначити надійність цієї системи за умови, що резервні елементи відсутні.

Рис.3.5. Схема системи при комбінованому функціонуванні елементів.

Для розрахунку у вихідній системі необхідно виділити основні блоки. У представленій системі їх три (рис. 3.6). Далі розрахуємо надійність кожного блоку окремо, а потім знайдемо надійність усієї системи.

Мал. 3.6. Зблокована схема.

Надійність системи без резервування складе:

Таким чином, система без резервування є на 28% менш надійною, ніж система із резервуванням.

Інтенсивність відмов- умовна щільність ймовірності виникнення відмови відновлюваного об'єкта, обумовлена ​​для моменту часу, що розглядається, за умови, що до цього моменту відмова не виникла.

Таким чином, статистично інтенсивність відмов дорівнює числу відмов, що відбулися за одиницю часу, віднесеному до не об'єктів, що не відмовили до цього моменту.

Типова зміна інтенсивності відмов у часі показано на рис. 5.

Досвід експлуатації складних систем показує, що зміна інтенсивності відмов λ( t) більшості кількості об'єктів описується U- Образною кривою.

Час можна умовно поділити на три характерні ділянки: 1. Період опрацювання. 2. Період нормальної експлуатації. 3. Період старіння об'єкта.

Мал. 5. Типова зміна інтенсивності відмов

Період опрацювання об'єкта має підвищену інтенсивність відмов, викликану приробітковими відмовими, зумовленими дефектами виробництва, монтажу та налагодження. Іноді із закінченням цього періоду пов'язують гарантійне обслуговуванняоб'єкта, коли усунення відмов провадиться виробником. У період нормальної експлуатації інтенсивність відмов практично залишається постійною, при цьому відмови носять випадковий характер і з'являються раптово, насамперед через випадкові зміни навантаження, недотримання умов експлуатації, несприятливих зовнішніх факторіві т.п. Саме цей період відповідає основному часу експлуатації об'єкта.

Зростання інтенсивності відмов відноситься до періоду старіння об'єкта і викликане збільшенням кількості відмов через знос, старіння та інші причини, пов'язані з тривалою експлуатацією. Тобто ймовірність відмови елемента, що дожив для моменту tу деякому наступному проміжку часу залежить від значень λ( u) тільки цьому проміжку, отже інтенсивність відмов - локальний показник надійності елемента цьому проміжку часу.

Тема 1.3. Надійність відновлюваних систем

Сучасні системи автоматики відносяться до складних систем, що відновлюються. Такі системи в процесі роботи при відмові деяких елементів ремонтуються і продовжують подальшу роботу. Властивість систем відновлюватися в процесі роботи "закладається" при їх проектуванні та забезпечується під час виготовлення, а проведення ремонтно-відновлювальних операцій передбачено у нормативно-технічній документації.

Проведення ремонтно-відновлювальних заходів є, по суті, ще одним способом, спрямованим на підвищення надійності системи.

1.3.1. Показники надійності відновлюваних систем

З кількісного боку такі системи, окрім розглянутих раніше показників надійності, характеризуються ще й комплексними показниками надійності.

Комплексним показником надійності є показник надійності, що характеризує кілька властивостей, що становлять надійність об'єкта.

Комплексними показниками надійності, які найбільше широко застосовуються при характеристиці надійності відновлюваних систем, є:

Коефіцієнт готовності;

Коефіцієнт оперативної готовності;

Коефіцієнт технічного використання.

Коефіцієнт готовності- ймовірність того, що об'єкт опиниться у працездатному стані у довільний момент часу, крім запланованих перерв, протягом яких застосування об'єкта за призначенням не передбачається.

Таким чином, коефіцієнт готовності характеризує одночасно дві різні властивості об'єкта - безвідмовність та ремонтопридатність.

Коефіцієнт готовності є важливим параметромОднак він не є універсальним.

Коефіцієнт оперативної готовності- ймовірність того, що об'єкт опиниться у працездатному стані у довільний момент часу, крім запланованих перерв, протягом яких застосування об'єкта за призначенням не передбачається, і, починаючи з цього моменту, працюватиме безвідмовно протягом заданого інтервалу часу.

Коефіцієнт характеризує надійність об'єктів, необхідність застосування яких виникає у довільний момент часу, після якого потрібна певна безвідмовна робота. До цього моменту апаратура може бути в режимі чергування, режим застосування в інших робочих функціях.

Коефіцієнт технічного використання- відношення математичного очікування інтервалів часу перебування об'єктів у працездатному стані за певний період експлуатації до суми математичних очікувань інтервалів часу перебування об'єкта у працездатному стані, простоїв, зумовлених технічним обслуговуванням, та ремонтів за той же період експлуатації.

Частотою відмов називається відношення числа зразків апаратури, що відмовили, в одиницю часу до зразків, спочатку встановлених на випробування за умови, що відмовили зразки не відновлюються і не замінюються справними.

Оскільки кількість зразків, що відмовили, в інтервалі часу може залежати від розташування цього проміжку по осі часу, то чистота відмов є функцією часу. Ця характеристика і надалі позначається.

Інтервал часу;

Число зразків апаратури, спочатку встановлених на випробування

Вираз (10) є статистичним визначенням частоти відмов. Цій кількісній характеристиці надійності легко дати ймовірнісне визначення. Обчислимо у виразі (10), тобто число зразків, що відмовили в інтервалі.

Очевидно:

де N() - кількість зразків, що справно працюють на момент часу;

Число зразків, що справно працюють на момент часу;

За досить великої кількості зразків справедливі співвідношення:

Підставляючи (11) (10) і враховуючи (12), (13), отримаємо:

Спрямовуючи до нуля і переходячи до межі, отримаємо:

або з урахуванням (4):

З цього виразу видно, що частота відмов є густина розподілу часу роботи апаратури до її відмови. Чисельно вона дорівнює взятій із зворотним знаком похідною від ймовірності безвідмовної роботи. Вираз (16) є ймовірним визначенням частоти відмов.

Таким чином, між частотою відмов, ймовірністю безвідмовної роботи та ймовірністю відмов за будь-якого закону розподілу часу виникнення відмов існують однозначні залежності. Ці залежності на підставі (16) та (4) мають вигляд:

Середньою частотою відмов називається відношення числа зразків, що відмовили, в одиницю часу до зразків, що випробовуються, за умови, що всі зразки, що вийшли з ладу, замінюються справними (новими або відновленими).

Інтенсивність відмов

Інтенсивністю відмов називається відношення числа зразків апаратури, що відмовили, в одиницю часу до середньої кількості зразків, що справно працюють у даний відрізок часу за умови, що зразки, що відмовили, не відновлюються і не замінюються справними.

де - кількість зразків, що відмовили, в інтервалі часу від до;

Інтервал часу;

Середня кількість зразків, що справно працюють, в інтервалі;

Число справних зразків на початку інтервалу;

Число справно працюючих зразків наприкінці інтервалу.

Вираз (19) є статистичним визначенням інтенсивності відмов. Для ймовірнісного представлення цієї характеристики встановимо залежність між інтенсивністю відмов, ймовірністю безвідмовної роботи та частотою відмов.

Підставимо у вираз (19) замість його значення з (11) та (12). Тоді отримаємо:

Враховуючи, знайдемо:

Прагнемо до нуля і переходячи до межі, отримаємо:

Інтегруючи, отримаємо:

Середній час безвідмовної роботи

Середнє час безвідмовної роботи називається математичне очікування часу безвідмовної роботи. Середній час безвідмовної роботи визначається залежністю:

Для визначення середнього часу безвідмовної роботи із статичних даних користуються формулою:

де час безвідмовної роботи i-го зразка;

N0 – число зразків, над якими проводиться випробування.

Підставимо у вираз (25) замість похідну від безвідмовної роботи зі зворотним знаком і виконаємо інтегрування частинами. Отримаємо:

Оскільки може мати негативне значення, заміниться на 0, т.к. і тоді:

КІЛЬКІСНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАДІЙНОСТІ

Критерії та кількісні характеристики надійності

Критерієм надійності називається ознака, яким можна кількісно оцінити надійність різних пристроїв.

До найбільш широко застосовуваних критеріїв надійності відносяться:
- можливість безвідмовної роботи протягом певного часу P(t);
- середнє напрацювання до першої відмови T ср;
- напрацювання на відмову t ср;


- Параметр потоку відмов w (t);
- функція готовності K г (t);
- Коефіцієнт готовності K р.

Характеристики надійності слід називати кількісне значення критерію надійності конкретного пристрою.

Вибір кількісних показників надійності залежить від виду об'єкта.

Критерії надійності невідновлюваних об'єктів

Розглянемо таку модель роботи пристрою.

Нехай у роботі (на випробуванні) знаходиться N 0 елементів та нехай робота вважається закінченою, якщо всі вони відмовили. Причому замість елементів, що відмовили, відремонтовані не ставляться. Тоді критеріями надійності цих виробів є:
- можливість безвідмовної роботи P(t);
- Частота відмов f(t) або a(t);
- Інтенсивність відмов l (t);
- середнє напрацювання до першої відмови T порівн.

Імовірністю безвідмовної роботиназивається ймовірність того, що за певних умов експлуатації у заданому інтервалі часу або в межах заданого напрацювання не відбудеться жодної відмови.

Відповідно до визначення
P(t) = P(T>t),(4.2.1)
де T - час роботи елемента від його включення до першої відмови; t-час, протягом якого визначається можливість безвідмовної роботи.

Можливість безвідмовної роботи за статистичними данимипро відмови оцінюється виразом
(t) = / N 0, (4.2.2)
де N 0 - Число елементів на початку роботи (випробувань); n(t) - кількість елементів, що відмовили за час t; (t) – статистична оцінка ймовірності безвідмовної роботи. При велику кількість елементів (виробів) N 0 статистична оцінка (t) практично збігається з ймовірністю безвідмовної роботи P(t). Насправді іноді зручнішою характеристикою є можливість відмови Q(t).

Ймовірністю відмовиназивається ймовірність того, що за певних умов експлуатації в заданому інтервалі часу виникає хоча б одна відмова. Відмова та безвідмовна робота є подіями несумісними та протилежними, тому
Q(t)=P(T £ t), (t) = n (t) / N 0 Q (t) = 1-P (t). (4.2.3)

Частотою відмовпо статистичними даниминазивається відношення числа елементів, що відмовили, в одиницю часу до початкового числа працюючих (випробуваних) за умови, що всі вироби, що вийшли з ладу, не відновлюються.

Відповідно до визначення

(t) = n(D t) / N 0 D t,(4.2.4)
де n(D t) - кількість елементів, що відмовили в інтервалі часу від (t‑D t)/2 до (t+D t)/2.

Частота відмовє щільність ймовірності (або закону розподілу) часу роботи виробу до першої відмови. Тому

P(t) = 1 - Q(t), P(t) = 1 - .(4.2.5)

Інтенсивністю відмовпо статистичними даниминазивається відношення числа виробів, що відмовили, в одиницю часу до середньої кількості виробів, що справно працюють у даний відрізок часу.

Відповідно до визначення

(t) = n(D t) / (N ср D t), (4.2.6)
де N ср = (N i + N i +1) / 2 - середня кількість елементів, що справно працюють, в інтервалі D t; N i - Число виробів, що справно працюють на початку інтервалу D t; N i+1 - число елементів, що справно працюють в кінці інтервалу D t.

Імовірна оцінка характеристики l (t) виходить з виразу
l(t) = f(t)/P(t).(4.2.7)

Інтенсивність відмов та ймовірність безвідмовної роботи пов'язані між собою залежністю

P(t) = еxp .(4.2.8)

Середнім напрацюванням до першої відмовиназивається математичне очікування часу роботи елемента вщент.

Як математичне очікування, T ср обчислюється через частоту відмов (щільність розподілу часу безвідмовної роботи):

M[t] = T cр = .(4.2.9)

Так як t позитивно і P(0)=1, а P(¥)=0, то
T cр = .4.2.10)

за статистичними данимипро відмови середній наробіток до першої відмови обчислюється за формулою

.(4.2.11)

де t i - Час безвідмовної роботи i-го елемента; N 0 - Число досліджуваних елементів.

Як видно з формули (4.2.11), для визначення середнього напрацювання до першої відмови необхідно знати моменти виходу з ладу всіх випробуваних елементів. Тому для обчислення середнього напрацювання на відмову користуватися зазначеною формулою незручно. Маючи дані про кількість елементів, що вийшли з ладу n i в кожному i-му інтервалічасу, середнє напрацювання до першої відмови краще визначати з рівняння

.(4.2.12)

У виразі (4.2.12) t срі та m знаходяться за такими формулами:
t срі = (t i-1 + t i) / 2, m = t k / D t,
де t i-1 – час початку i-го інтервалу; t i - Час кінця i-го інтервалу; t k - час, протягом якого вийшли з ладу всі елементи; D t = t i - 1 - t i - інтервал часу.

З висловів з метою оцінки кількісних характеристик надійності видно, що це характеристики, крім середньої напрацювання першої відмови, є функціями часу. Конкретні висловлювання для практичної оцінки кількісних характеристик надійності пристроїв розглянуті у розділі "Закони розподілу відмов".

Розглянуті критерії надійності дозволяють досить повно оцінити надійність виробів, що не відновлюються. Вони також дозволяють оцінити надійність відновлюваних виробів до першої відмови. Наявність кількох критеріїв зовсім не означає, що завжди потрібно оцінювати надійність елементів за всіма критеріями.

Найбільш повно надійність виробів характеризується частотою відмов f(t) або a(t). Це пояснюється тим, що частота відмов є щільністю розподілу, а тому несе всю інформацію про випадкове явище - часу безвідмовної роботи.

Середнє напрацювання до першої відмовиє досить наочно характеристикою надійності. Однак застосування цього критерію для оцінки надійності складної системи обмежене в тих випадках, коли:

Час роботи системи набагато менший за середній час безвідмовної роботи;
- закон розподілу часу безвідмовної роботи не однопараметричний і досить повної оцінки потрібні моменти вищих порядків;
- Система резервована;
- Інтенсивність відмов не постійна;
- Час роботи окремих частин складної системи різний.

Інтенсивність відмов- Найзручніша характеристика надійності найпростіших елементів, так як вона дозволяє більш просто обчислювати кількісні характеристики надійності складної системи.

Найбільш доцільним критерієм надійності складної системиє ймовірність безвідмовної роботи. Це наступними особливостями ймовірності безвідмовної роботи:
- вона входить як співмножник в інші, більш загальні характеристики системи, наприклад, ефективність і вартість;
- характеризує зміну надійності у часі;
- може бути отримана порівняно просто розрахунковим шляхом у процесі проектування системи та оцінена у процесі її випробування.

Розглянемо таку модель роботи.

Нехай у роботі знаходиться N елементів і нехай елементи, що відмовили, негайно замінюються справними (новими або відремонтованими). Якщо не враховувати часу, необхідного на відновлення системи, то кількісними характеристиками надійності можуть бути параметр потоку відмов w(t) та напрацювання на відмову t порівн.

Параметром потоку відмовназивається відношення числа виробів, що відмовили, в одиницю часу до тих, хто випробовується за умови, що всі вироби, що вийшли з ладу, замінюються справними (новими або відремонтованими).

Статистичним визначенням є вираз
(t) = n(D t) / N D t,(4.2.13)
де n(D t) - кількість зразків, що відмовили, в інтервалі часу від t‑D t/2 до t+D t/2; N - число елементів, що випробовуються; D t – інтервал часу.

Параметр потоку відмов та частота відмов для ординарних потоків з обмеженою післядією пов'язані інтегральним рівнянням Вольтера другого роду
w (t) = f(t)+ .(4.2.14)

За відомою f(t) можна знайти всі кількісні характеристики надійності виробів, що не відновлюються. Тому (2.14) є основним рівнянням, що пов'язує кількісні характеристики надійності елементів, що не відновлюються і відновлюються при миттєвому відновленні.

Рівняння (4.2.14) можна записати в операторній формі:
, .(4.2.15)
Співвідношення (4.2.15) дозволяють знайти одну характеристику через іншу, якщо є перетворення Лапласа функцій f(s) і w(s) і зворотні перетворення виразів (4.2.15).

Параметр потоку відмов має такі важливі властивості:
1) будь-якого моменту часу незалежно від закону розподілу часу безвідмовної роботи параметр потоку відмов більше, ніж частота відмов, тобто. w(t)>f(t);
2) незалежно від виду функцій f(t) параметр потоку відмов w(t) при t® прагне до 1/T порівн. Ця важлива властивість параметра потоку відмов означає, що при тривалій експлуатації виробу, що ремонтується, потік його відмов незалежно від закону розподілу часу безвідмовної роботи стає стаціонарним. Однак це зовсім не означає, що інтенсивність відмов є постійна величина;
3) якщо l(t) - зростаюча функція часу, то l(t)>w(t)>f(t), якщо l(t) - спадна функція, то w(t)>l(t)>f( t);
4) при l (t)¹ const параметр потоку відмови системи не дорівнює сумі параметрів потоку відмови елементів, тобто.
w з (t). (4.2.16)

Ця властивість параметра потоку відмов дозволяє стверджувати, що при обчисленні кількісних характеристик надійності складної системи не можна підсумовувати наявні в даний час значення інтенсивності відмов елементів, отриманих за статистичними даними про відмови виробів в умовах експлуатації, так як зазначені величини фактично є параметрами потоку відмов;

5) при l (t) = l = const параметр потоку відмов дорівнює інтенсивності відмов w (t) = l (t) = l.

З розгляду властивостей інтенсивності та параметра потоку відмов видно, що ці показники різні.

В даний час широко використовуються статистичні дані про відмови, одержані в умовах експлуатації обладнання. При цьому вони часто обробляються таким чином, що характеристики надійності, що наводяться, є не інтенсивністю відмов, а параметром потоку відмов w (t). Це робить помилки при розрахунках надійності. У ряді випадків можуть бути значними.

Для отримання інтенсивності відмов елементів зі статистичних даних про відмови систем, що ремонтуються, необхідно скористатися формулою (4.2.6), для чого необхідно знати передісторію кожного елемента технологічної схеми. Це може суттєво ускладнити методику збирання статистичних даних про відмови. Тому доцільно визначати l(t) за параметром потоку відмов w(t). Методика розрахунку зводиться до таких обчислювальних операцій:
- за статистичними даними про відмови елементів ремонтованих виробів і за формулою (4.2.13) обчислюється параметр потоку відмов і будується гістограма w i (t);
- гістограма замінюється кривою, яка апроксимується рівнянням;
- Перетворення Лапласа w i (s) функції w i (t);
- за відомою w i (s) на підставі (4.2.15) записується перетворення Лапласа f i (s) частоти відмов;
- за відомою fi (s) знаходиться зворотне перетворення частоти відмов fi (t);
- знаходиться аналітичний вираз для інтенсивності відмов за формулою
;(4.2.17)
- Будується графік l i (t).

Якщо є ділянка, де l i (t) = l i = const, то постійне значення інтенсивності відмов приймається для оцінки ймовірності безвідмовної роботи. При цьому вважається за справедливий експоненційний закон надійності.

Наведена методика не може бути застосована, якщо не вдається знайти f(s) зворотне перетворення частоти відмов f(t). І тут доводиться застосовувати наближені методи розв'язання інтегрального рівняння (4.2.14).

Напрацюванням на відмовуназивається середнє значення часу між сусідніми відмовами.
Ця характеристика визначається за статистичними данимипро відмови за формулою ,(4.2.18)
де t i - час справної роботи елемента між (i-1)-м та i-м відмовими; n – число відмов за деякий час t.

З формули (4.2.18) видно, що в даному випадку напрацювання на відмову визначається за даними випробування одного зразка виробу. Якщо на випробуванні знаходиться N зразків протягом часу t, то напрацювання на відмову обчислюється за формулою
,(4.2.19)
де t ij - час справної роботи j-го зразка виробу між (i-1)-м та i-ю відмовою; n j – кількість відмов за час t j-го зразка.

Напрацювання на відмову є досить наочною характеристикою надійності, тому вона набула широкого поширення на практиці.

Параметр потоку відмов і напрацювання на відмову характеризують надійність виробу, що відновлюється, і не враховують часу, необхідного на його відновлення. Тому вони не характеризують готовності пристрою до виконання своїх функцій у потрібний час. З цією метою вводяться такі критерії, як коефіцієнт готовності та коефіцієнт вимушеного простою.

Коефіцієнтом готовностіназивається відношення часу справної роботи до суми часів справної роботи та вимушених простоїв пристрою, узятих за той самий календарний термін. Ця характеристика по статистичними данимивизначається
= t р / (t р + t п), (4.2.20)
де t р – сумарний час справної роботи виробу; t п - сумарний час вимушеного простою.

Часи t р і t п обчислюються за формулами
; ,(4.2.21)
де t рi - час роботи виробу між (i-1)-м та i-м відмовою; t пi - час вимушеного простою після i-го відмови; n – кількість відмов (ремонтів) виробу.

Для переходу до імовірнісного трактування величини t р і t п замінюються математичними очікуваннями часу між сусідніми відмовами та часу відновлення відповідно. Тоді
K г = t ср / (t ср + t в), (4.2.22)
де t ср - напрацювання на відмову; t - середній час відновлення.

Коефіцієнтом вимушеного простоюназивається відношення часу вимушеного простою до суми часів справної роботи та вимушених простоїв виробу, взятих за той самий календарний термін.

Відповідно до визначення
= t р / (t р + t п) (4.2.23)
або, переходячи до середніх величин,
K п = t в / (t ср + t в). (4.2.24)
Коефіцієнт готовності та коефіцієнт вимушеного простою пов'язані між собою залежністю
K п = 1 - K р. (4.2.25)
При аналізі надійності систем, що відновлюються, зазвичай коефіцієнт готовності обчислюють за формулою.
K г = T ср / (T ср + t в). (4.2.26)
Формула (4.2.26) вірна тільки в тому випадку, якщо потік відмов найпростіший, і тоді t ср = T ср.

Часто коефіцієнт готовності, обчислений за формулою (4.2.26), ототожнюють з ймовірністю того, що в будь-який момент відновлювана система справна. Насправді зазначені характеристики нерівноцінні і можуть бути ототожнені за певних припущень.

Справді, ймовірність виникнення відмови ремонтованої системи на початку експлуатації мала. Зі зростанням часу t ця ймовірність зростає. Це означає, що можливість застати систему в справному стані на початку експлуатації буде вищою, ніж після закінчення деякого часу. Тим часом, на підставі формули (4.2.26) коефіцієнт готовності не залежить від часу роботи.

Для з'ясування фізичного значення коефіцієнта готовності K г запишемо формулу для ймовірності застати систему в справному стані. При цьому розглянемо найпростіший випадок, коли інтенсивність відмов l та інтенсивність відновлення m є величини постійні.

Припускаючи, що при t=0 система знаходиться у справному стані (P(0)=1), ймовірність застати систему у справному стані визначається з виразів
;
(4.2.27)
,
де l = 1/T ср; m = 1 / t; K г = Т ср / (Т ср +t в).

Цей вираз встановлює залежність між коефіцієнтом готовності системи та ймовірністю застати її у справному стані у будь-який момент часу t.

З (4.2.27) видно, що P г (t) K г при t ® , тобто. практично коефіцієнт готовності має сенс ймовірності застати виріб у справному стані при встановленому процесі експлуатації.

В деяких випадках критеріями надійності відновлюваних систем можуть бути критерії невідновлюваних систем, наприклад: ймовірність безвідмовної роботи, частота відмов, середнє напрацювання до першої відмови, інтенсивність відмов. Така необхідність виникає:
- коли має сенс оцінювати надійність системи, що відновлюється, до першої відмови;
- у разі, коли застосовується резервування з відновленням резервних пристроїв, що відмовили в процесі роботи системи, причому відмова всієї резервованої системи не допускається.