Кореляційний аналіз порівняння двох сигналів. Кореляційна функція сигналу

Функції кореляції сигналів застосовуються для інтегральних кількісних оцінок форми сигналів і ступеня їх схожості між собою.

Автокореляційні функції (АКФ) сигналів (Correlation function, CF). Стосовно до детермінованим сигналам з кінцевої енергією АКФ є кількісної інтегральної характеристикою форми сигналу, і являє собою інтеграл від добутку двох копій сигналу s (t), зсунутих відносно один одного на час t:

B s (t) = s (t) s (t + t) dt. (2.25)

Як випливає з цього виразу, АКФ є скалярним твором сигналу і його копії у функціональній залежності від змінної величинизначення зсуву t. Відповідно, АКФ має фізичну розмірність енергії, а при t = 0 значення АКФ безпосередньо одно енергії сигналу:

B s (0) = s (t) 2 dt = E s.

Функція АКФ є безперервною і парному. В останньому неважко переконатися заміною змінної t = t-t в натуральному вираженні (2.25):

B s (t) = s (t-t) s (t) dt = s (t) s (t-t) dt = B s (-t). (2.25 ")

З урахуванням парності, графічне представлення АКФ проводиться тільки для позитивних значень t. На практиці сигнали зазвичай задаються на інтервалі позитивних значень аргументів від 0-Т. Знак + t в натуральному вираженні (2.25) означає, що при збільшенні значень t копія сигналу s (t + t) зсувається вліво по осі t і йде за 0, що вимагає відповідного продовження сигналу в область негативних значень аргументу. А так як при обчисленнях інтервал завдання t, як правило, багато менше інтервалу завдання сигналу, то більш практичним є зрушення копії сигналу вліво по осі аргументів, тобто застосування в вираженні (2.25) функції s (t-t) замість s (t + t).

У міру збільшення значення величини зсуву t для фінітних сигналів тимчасове перекриття сигналу з його копією зменшується і скалярний твір прагнуть до нуля.

Приклад.На інтервалі (0, Т) заданий прямокутний імпульс з амплітудним значенням, рівним А. Обчислити автокорреляционную функцію імпульсу.

При зсуві копії імпульсу по осі t вправо, при 0≤t≤T сигнали перекриваються на інтервалі від t до Т. Скалярний твір:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

При зсуві копії імпульсу вліво, при -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T + t).

При | t | > T сигнал і його копія не мають точок перетину і скалярний добуток сигналів дорівнює нулю (сигнал і його зрушена копія стають ортогональними).

Узагальнюючи обчислення, можемо записати:

У разі періодичних сигналів АКФ обчислюється по одному періоду Т, з усередненням скалярного твори і його зрушеною копії в межах періоду:

B s (t) = (1 / Т) s (t) s (t-t) dt.

При t = 0 значення АКФ в цьому випадку одно не енергії, а середній потужності сигналів в межах інтервалу Т. АКФ періодичних сигналів також є періодичною функцією з тим же періодом Т. Для однотональний гармонійного сигналу це очевидно. Перше максимальне значення АКФ буде відповідати t = 0. При зсуві копії сигналу на чверть періоду щодо оригіналу підінтегральної функції стають ортогональними один одному (cos w o (t-t) = cos (w o t-p / 2) º sin w o t) і дають нульове значення АКФ. При зсуві на t = T / 2 копія сигналу у напрямку стає протилежною самому сигналу і скалярний твір досягає мінімального значення. При подальшому збільшенні зсуву починається зворотний процес збільшення значень скалярного твори з перетином нуля при t = 3T / 2 і повторенням максимального значення при t = T = 2p / w o (cos w o t-2p копії º cos w o t сигналу). Аналогічний процес має місце і для періодичних сигналів довільної форми (рис. 2.11).

Відзначимо, що отриманий результат не залежить від початкової фази гармонійного сигналу, що характерно для будь-яких періодичних сигналів і є одним з властивостей АКФ.

Для сигналів, заданих на певному інтервалі, обчислення АКФ проводиться з нормування на довжину інтервалу:

B s (t) = s (t) s (t + t) dt. (2.26)

Автокорреляция сигналу може оцінюватися і функцією автокореляційних коефіцієнтів, обчислення яких здійснюється за формулою (по центровані сигналам):

r s (t) = cos j (t) = ás (t), s (t + t) ñ / || s (t) || 2.

Взаємна кореляційна функція (ВКФ) сигналів (cross-correlation function, CCF) показує як ступінь подібності форми двох сигналів, так і їх взаємне розташування відносно один одного по координаті (незалежної змінної), для чого використовується та ж формула (2.25), що і для АКФ, але під інтегралом стоїть твір двох різних сигналів, один з яких зрушать на час t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t + t) dt. (2.27)

При заміні змінної t = t-t у формулі (2.4.3), отримуємо:

B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Мал. 2.12. Сигнали і ВКФ

Звідси випливає, що для ВКФ не виконується умова парності, а значення ВКФ не зобов'язані мати максимум при t = 0. Це можна наочно бачити на рис. 2.12, де задані два однакових сигналу з центрами на точках 0.5 і 1.5. Обчислення за формулою (2.27) з поступовим збільшенням значень t означає послідовні зрушення сигналу s2 (t) вліво по осі часу (для кожного значення s1 (t) для подинтегрального множення беруться значення s2 (t + t)).

При t = 0 сигнали ортогональні і значення B 12 (t) = 0. Максимум В 12 (t) буде спостерігатися при зсуві сигналу s2 (t) вліво на значення t = 1, при якому відбувається повне поєднання сигналів s1 (t) і s2 (t + t). При обчисленні значень B 21 (-t) аналогічний процес виконується послідовним зсувом сигналу s1 (t) вправо по тимчасової осі з поступовим збільшенням негативних значень t, а відповідно значення B 21 (-t) є дзеркальним (щодо осі t = 0) відображенням значень B 12 (t), і навпаки. На рис. 2.13 це можна бачити наочно.

Мал. 2.13. Сигнали і ВКФ

Таким чином, для обчислення повної форми ВКФ числова вісь t повинна включати негативні значення, а зміна знака t у формулі (2.27) рівносильно перестановці сигналів.

Для періодичних сигналів поняття ВКФ зазвичай не застосовується, за винятком сигналів з однаковим періодом, наприклад, сигналів входу і виходу систем при вивченні характеристик систем.

Функція коефіцієнтів взаємної кореляції двох сигналів обчислюється за формулою (по центровані сигналам):

r sv (t) = cos j (t) = ás (t), v (t + t) ñ / || s (t) || || v (t) ||. (2.28)

Значення коефіцієнтів взаємної кореляції може змінюватися від -1 до 1.

кореляційний аналізможе бути застосований для перевірки наявності корисного сигналу на тлі присутніх шумів і перешкод, а також для перевірки ефективності роботи цифрових фільтрів. У першому випадку розраховується нормована кореляційна функція між фрагментом корисного сигналу і числовим рядом дискретизованого вхідного перешкоди сигналу. За графіком кореляційної функції візуально виявляють присутність шуканого сигналу в зашумлення вхідному сигналі.

У другому випадку, з метою перевірки ефективності фільтрації, спочатку розраховується кореляційна функція корисного еталонного сигналу, представленого числовим рядом, і відфільтрованого сигналу. Після чого шляхом застосування прямого дискретного перетворення Фур'є до кореляційної функції отримують коррелограмм. На отриманому графіку будують лінію критичного рівня з урахуванням помилки фільтрації з використанням критерію Стьюдента. Ефективність фільтрації визначають візуально: вище критичного рівня повинні знаходитися тільки складові спектральної щільностікорисного сигналу.

Для більшої наочності та об'єктивності розраховується вибірковий коефіцієнт кореляції між числовими рядами еталонного (вихідного корисного) і відфільтрованого сигналів. Коефіцієнт кореляції може приймати значення в інтервалі -1 ... 1. Негативні значення свідчать про те, що еталонний і відфільтрований сигнали корелюють в протифазі, тобто при інверсії відфільтрованого сигналу. У разі якщо цифровий фільтр має гарну ефективністю фільтрації від перешкод і шумів, коефіцієнт кореляції приймає значення, близькі до 1 або -1. Якість різних цифрових фільтрів стосовно конкретного сигналу може бути визначено шляхом порівняння розрахованих коефіцієнтів кореляції.

Розрахунок кореляційної функції дискретних сигналів проводиться таким чином. Для дискретних сигналів Х (i) і Y (i), i = 1 ... N вибирається фрагмент масиву Y (i), i = 1 ... N / 2 і розраховується кореляційна функція

де - величина зсуву в дискретний.

Коррелограмм або спектр кореляційної функції отримують шляхом застосування прямого дискретного перетворення Фур'є до кореляційної функції:

- дійсна частина спектра

;

- уявна частина спектра

;

- модуль спектральної щільності кореляційної функції

Частоти, що відповідають значенням спектра,

де - період дискретизації вхідного сигналу.

Розрахунок коефіцієнта кореляції між дискретними сигналами (числовими рядами) Х (i) і Y (i), i = 1 ... N проводиться таким чином.

Середні значення (математичні очікування) для числових рядів Х (i) і Y (i):

дисперсії

; .

Другий змішаний центральний момент

.

Вибірковий коефіцієнт кореляції

транскрипт

1 + 1 СИГНАЛ і ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ Signals and linear systems. Correlation of signals Тема 6. КОРЕЛЯЦІЯ СИГНАЛОВ Граничний страх і граничний запал хоробрості однаково турбують шлунок і викликають пронос. Мішель Монтень. Французький юрист-мислитель, XVI в. Ось це номер! Дві функції мають стовідсоткову кореляцію з третьої і ортогональні один одному. Ну і жарти були у Всевишнього при створенні Миру. Анатолій Пишмінцев. Новосибірський геофізик Уральської школи, ХХ ст. Зміст 1. Автокореляційні функції сигналів. Поняття автокореляційних функцій (АКФ). АКФ сигналів, обмежених у часі. АКФ періодичних сигналів. Функції автоковаріаціі (ФАК). АКФ дискретних сигналів. АКФ зашумленних сигналів. АКФ кодових сигналів. 2. Взаімнокорреляціонние функції сигналів (ВКФ). Взаємна кореляційна функція (ВКФ). Взаємна кореляція зашумленних сигналів. ВКФ дискретних сигналів. Оцінка періодичних сигналів в шумі. Функція взаємних кореляційних коефіцієнтів. 3. Спектральні щільності кореляційних функцій. Спектральна щільність АКФ. Інтервал кореляції сигналу. Спектральна щільність ВКФ. Обчислення кореляційних функцій за допомогою ШПФ. ВСТУП Кореляція (correlation), і її окремий випадок для зосереджених сигналів ковариация, є методом аналізу сигналів. Наведемо один з варіантів використання методу. Припустимо, що є сигнал s (t), в якому може бути (а може і не бути) деяка послідовність x (t) кінцевої довжини Т, тимчасове положення якої нас цікавить. Щоб знайти цю послідовності в ковзному по сигналу s (t) тимчасове вікні довжиною Т обчислюються скалярні твори сигналів s (t) і x (t). Тим самим ми "прикладаємо" шуканий сигнал x (t) до сигналу s (t), ковзаючи по його аргументу, і за величиною скалярного твори оцінюємо ступінь подібності сигналів в точках порівняння. Кореляційний аналіз дає можливість встановити в сигналах (або в рядах цифрових даних сигналів) наявність певної зв'язку зміни значень сигналів по незалежній змінній, тобто, коли великі значення одного сигналу (щодо середніх значень сигналу) пов'язані з великими значеннями іншого сигналу (позитивна кореляція), або, навпаки, малі значення одного сигналу пов'язані з великими значеннями іншого (негативна кореляція), або дані двох сигналів ніяк не пов'язані (нульова кореляція). У функціональному просторі сигналів ця ступінь зв'язку може виражатися в нормованих одиницях коефіцієнта кореляції, тобто в косинус кута між векторами сигналів, і, відповідно, буде приймати значення від 1 (повний збіг сигналів) до -1 (повна протилежність) і не залежить від значення (масштабу) одиниць вимірювань. У варіанті автокорреляции (autocorrelation) за аналогічною методикою проводиться визначення скалярного твори сигналу s (t) з власної копією, ковзної по аргументу. Автокорреляция дозволяє оцінити середньостатистичну залежність поточних відліків сигналу від своїх попередніх і наступних значень (так званий радіус кореляції значень сигналу), а також виявити в сигналі наявність періодично повторюваних елементів. Особливе значення методи кореляції мають при аналізі випадкових процесів для виявлення невипадкових складових і оцінки невипадкових параметрів цих процесів. Зауважимо, що в термінах "кореляція" і "ковариация" існує деяка плутанина. У математичній літературі термін "ковариация" застосовується до центровані функцій, а "кореляція" до довільним. У технічній літературі, і особливо в літературі за сигналами і методам їх обробки, часто застосовується прямо протилежна термінологія. Принципового значення це не має, але при знайомстві з літературними джерелами варто звертати увагу на прийняте призначення даних термінів автокореляційної функції сигналів. Поняття автокореляційних функцій сигналів. Автокореляційна функція (АКФ, CF - correlation function) сигналу s (t), кінцевого по енергії, є кількісної інтегральної характеристикою форми сигналу, виявлення в сигналі характеру і параметрів взаємної тимчасової зв'язку відліків, що завжди має місце для періодичних сигналів, а також інтервалу і сте-

2 + 2 пені залежності значень відліків в поточні моменти часу від передісторії поточного моменту. АКФ визначається інтегралом від добутку двох копій сигналу s (t), зсунутих відносно один одного на час: B s () = s (t) s (t +) dt = s (t), s (t +) = s (t) s (t +) cos (). (6.1.1) Як випливає з цього виразу, АКФ є скалярним твором сигналу і його копії у функціональній залежності від змінної величини значення зсуву. Відповідно, АКФ має фізичну розмірність енергії, а при = 0 значення АКФ безпосередньо одно енергії сигналу і є максимально можливим (косинус кута взаємодії сигналу з самим собою дорівнює 1): B s (0) = s (t) 2 dt = E s. АКФ відноситься до парних функцій, в чому неважко переконатися заміною змінної t = t- в вираженні (6.1.1): B s () = s (t-) s (t) dt = B s (-). Максимум АКФ, рівний енергії сигналу при = 0, завжди позитивний, а модуль АКФ при будь-якому значенні тимчасового зсуву не перевищує енергії сигналу. Останнє прямо випливає з властивостей скалярного твори (як і нерівність Коші-Буняковського): s (t), s (t +) = s (t) s (t + cos (), cos () = 1 при = 0, s (t) , s (t +) = s (t) s (t) = E s, cos ()< 1 при 0, s(t), s(t+) = s(t) s(t+) cos () < E s. Рис В качестве примера на рис приведены два сигнала прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной T амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения). С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак + в выражении (6.1.1) означает, что при увеличении значений копия сигнала s(t+) сдвигается влево по оси t и уходит за 0. Для цифровых сигналов это требует соответствующего продления данных в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания обычно много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (6.1.1) функции s(t-) вместо s(t+).

3 3 B s () = s (t) s (t-) dt. (6.1.1 ") Для фінітних сигналів у міру збільшення значення величини зсуву тимчасове перекриття сигналу з його копією зменшується, а, відповідно, косинус кута взаємодії і скалярний добуток в цілому прагнуть до нуля: lim Bs (τ) = 0. τ АКФ, обчислена за центрованої значенням сигналу s (t), являє собою автоковаріаціонную функцію сигналу: C s () = dt, (6.1.2) де s середнє значення сигналу. ковариационную функції пов'язані з кореляційним функціями досить простим співвідношенням: C s () = B s () - 2 s. АКФ сигналів, обмежених у часі. на практиці зазвичай досліджуються і аналізуються сигнали, задані на певному інтервалі. Для порівняння АКФ сигналів, заданих на різних часових інтервалах, практичне застосування знаходить модифікація АКФ з нормування на довжину інтервалу. Так , наприклад, при завданні сигналу на інтервалі: B s () = b 1 s (t) s (t +) dt. (6.1.3) aa АКФ може бути обчислена і для слабозатухающіх сигналів з нескінченною енергією, як середнє значен ие скалярного твори сигналу і його копії при устремлінні інтервалу завдання сигналу до нескінченності: b TB s () lim s (t) s (t τ) dt TT 1 0. (6.1.4) АКФ за даними виразами має фізичну розмірність потужності, і дорівнює середній взаємної потужності сигналу і його копії у функціональній залежності від зсуву копії. АКФ періодичних сигналів. Енергія періодичних сигналів нескінченна, тому АКФ періодичних сигналів обчислюється по одному періоду Т, з усередненням скалярного твори сигналу і його зрушеною копії в межах періоду: Математично більш суворе вираз: B s () lim T s (t) s (t - τ) dt TT 1 0 B s () = (1 / Т) T s (t) s (t-) dt. (6.1.5) 0 При = 0 значення нормованої на період АКФ дорівнює середній потужності сигналів в межах періоду. При цьому АКФ періодичних сигналів є періодичною функцією з тим же періодом Т. Так, для сигналу s (t) = A cos (0 t + 0) при T = 2/0 маємо: ω π / ω0 0 B s () = A cos (0 t + 0) A cos (0 (t -) + 0) = (A 2/2) cos (0). (6.1.6) 2π π / ω 0 Отриманий результат не залежить від початкової фази гармонійного сигналу, що характерно для будь-яких періодичних сигналів і є одним з властивостей АКФ. За допомогою функцій автокореляції можна перевіряти наявність періодичних властивостей в будь-яких довільних сигналах. Приклад автокореляційної функції періодичного Рис сигналу наведено на рис Функції автоковаріаціі (ФАК) обчислюються аналогічно, по центровані значенням сигналу. Чудовою особливістю цих функцій є їх прості співвідношення з дисперсією 2 s сигналів (квадратом стандарту - середнього квадратичного відхилення значень сигналу від середнього значення). Як відомо, зна.

4 4 чення дисперсії дорівнює середній потужності сигналів, звідки слід: C s () s 2, C s (0) = s 2 s (t) 2. (6.1.7) Значення ФАК, нормовані на значення дисперсії, є функцію автокореляційних коефіцієнтів: s () = C s () / C s (0) = C s () / s 2 cos). (6.1.8) Іноді цю функцію називають "справжньою" автокорреляционной функцією. В силу нормування її значення не залежать від одиниць (масштабу) представлення значень сигналу s (t) і характеризують ступінь лінійного зв'язку між значеннями сигналу в залежності від величини зсуву між відліками сигналу. Значення s () cos () можуть змінюватися від 1 (повна пряма кореляція відліків) до -1 (зворотна кореляція). Рис На рис наведено приклад сигналів s () і s1 () = s () + шум з відповідними цим сигналам коефіцієнтами ФАК - s і s1. Як видно на графіках, ФАК впевнено виявила наявність періодичних коливань в сигналах. Шум в сигналі s1 () знизив амплітуду періодичних коливань без зміни періоду. Це підтверджує графік кривої C s / s1, тобто ФАК сигналу s () з нормування (для зіставлення) на значення дисперсії сигналу s1 (), де наочно можна бачити, що шумові імпульси при повній статистичної незалежності своїх відліків викликали збільшення значення С s1 (0) по відношенню до значення C s (0) і кілька "розмили" функцію коефіцієнтів автоковаріаціі. Це викликано тим, що значення s () шумових сигналів прагне до 1 при 0 і флюктуирует щодо нуля при 0, при цьому амплітуди флуктуацій статистично незалежні і залежать від кількості вибірок сигналу (прагнуть до нуля при збільшенні кількості відліків). АКФ дискретних сигналів. При інтервалі дискретизації даних t = const обчислення АКФ виконується по інтервалах = t і зазвичай записується, як дискретна функціяномерів n зсуву відліків n: B s (nt) = t s s -n. (6.1.9) Дискретні сигнали зазвичай задаються у вигляді числових масивів певної довжиниз нумерацією відліків к = 0,1, К при t = 1, а обчислення дискретної АКФ в одиницях енергії виконується в односторонньому варіанті з урахуванням довжини масивів. Якщо використовується весь масив сигналу і число відліків АКФ дорівнює числу відліків масиву, то обчислення виконується за формулою: B s (n) = K-n K K n s s -n. (6.1.10) Множник K / (K-n) в даній функції є поправочних коефіцієнтів на поступове зменшення числа перемножуєте і сумміруемих значень в міру збільшення зсуву n. Без цієї поправки для нецентрованого сигналів в значеннях АКФ з'являється тренд підсумовування середніх значень. При вимірах в одиницях потужності сигналу множник К / (K-n) замінюється на множник 1 / (K-n). Формула (6.1.10) застосовується досить рідко, в основному для детермінованих сигналів з невеликим числом відліків. Для випадкових і зашумлених сигналів зменшення знаменника (K-n) і числа перемножуєте відліків в міру збільшення зсуву призводить до наростання статистичних флуктуацій обчислення АКФ. Велику достовірність в цих умовах забезпечує обчислення АКФ в одиницях потужності сигналу за формулою: 0

5 K 5 B s (n) = K 1 s s -n, s -n = 0 при -n< 0, (6.1.11) 0 т.е. с нормированием на постоянный множитель 1/K и с продлением сигнала нулевыми значениями (в левую сторону при сдвигах -n или в правую сторону при использовании сдвигов +n). Эта оценка является смещенной и имеет несколько меньшую дисперсию, чем по формуле (6.1.10). Разницу между нормировками по формулам (6.1.10) и (6.1.11) можно наглядно видеть на рис Рис Формулу (6.1.11) можно рассматривать, как усреднение суммы произведений, т.е. как оценку математичного очікування: B s (n) = M (s s -n) s s. (6.1.12) n Практично, дискретна АКФ має такі ж властивості, як і безперервна АКФ. Вона також є парною, а її значення при n = 0 дорівнює енергії або потужності дискретного сигналу в залежності від нормування. АКФ зашумленних сигналів. Зашумленний сигнал записується у вигляді суми v () = s () + q (). У загальному випадку, шум не обов'язково повинен мати нульове середнє значення, і нормована по потужності автокореляційна функція цифрового сигналу, що містить N відліків, записується в наступному вигляді: B v (n) = (1 / N) s () + q (), s (-n) + q (-n) = = (1 / N) = = B s (n) + M (sq -n) + M (qs -n) + M (qq -n). B v (n) = B s (n) + s q n + q s n + q q n. (6.1.13) При статистичної незалежності корисного сигналу s () і шуму q () з урахуванням розкладання математичного очікування M (sq -n) = M (s) M (q -n) = sq може використовуватися наступна формула: Рис B v (n) = B s (n) + 2 sq + q. (6.1.13 ") Приклад перешкоди сигналу і його АКФ в зіставленні з незашумленим сигналом наведено на рис З формул (6.1.13) випливає, що АКФ перешкоди сигналу складається з АКФ сигнальної компоненти корисного сигналу з накладеною загасаючої до значення 2s q + q 2 шумовий функцією. При великих значеннях K, коли q 0, має місце B v (n) B s (n). Це дає можливість не тільки виділяти по АКФ періодичні сигнали, практично повністю приховані в шумі (потужність шумів багато більше потужності сигналу), але і з високою точністю визначати їх період і форму в межах періоду, а для одночастотних гармонійних сигналів і їх амплітуду з використанням виразу (6.1.6).

6 Таблиця 6.1. M Сигнал Баркера АКФ сигналу 2 1, -1 2, 1, -1 3, 0, 1, 1, -1 4, 1, 0, -1 1, 1, -1, 1 4, -1, 0, 1 5 1, 1, 1, -1, 1 5, 0, 1, 0, 1 7 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1 7, 0, -1, 0, -1, 0 , 1,1, -1, -1, -1,1, -1, -1,1, -1 11,0, 1,0, 1,0, 1,0, 1,0, 1,1,1,1, -1, -1,1,1-1,1, -1,1 13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0, 1 6 Кодові сигнали є різновидом дискретних сигналів. На певному інтервалі кодового слова Мt вони можуть мати тільки два амплітудних значення: 0 і 1 або 1 і 1. При виділенні кодів на істотному рівні шумів форма АКФ кодового слова має особливе значення. З цієї позиції найкращими вважаються такі коди, значення бічних пелюсток АКФ яких мінімальні по всій довжині інтервалу кодового слова при максимальному значенні центрального піку. До числа таких кодів відноситься код Баркера, наведений в таблиці 6.1. Як видно з таблиці, амплітуда центрального піку коду чисельно дорівнює значенню М, при цьому амплітуда бічних осциляцій при n 0 не перевищує ВЗАЄМНІ КОРЕЛЯЦІЙНІ ФУНКЦІЇ СИГНАЛІВ. Взаємна кореляційна функція (ВКФ) різних сигналів (cross-correlation function, CCF) описує як ступінь подібності форми двох сигналів, так і їх взаємне розташування відносно один одного по координаті (незалежної змінної). Узагальнюючи формулу (6.1.1) автокореляційної функції на два різних сигналу s (t) і u (t), отримуємо наступне скалярний твір сигналів: B su () = s (t) u (t +) dt. (6.2.1) Взаємна кореляція сигналів характеризує певну кореляцію явищ і фізичних процесів, що відображаються даними сигналами, і може служити мірою стійкості даної взаємозв'язку при роздільній обробці сигналів в різних пристроях. Для кінцевих по енергії сигналів ВКФ також конечна, при цьому: B su () s (t) u (t), що випливає з нерівності Коші-Буняковського і незалежності норм сигналів від зсуву за координатами. При заміні змінної t = t- у формулі (6.2.1), отримуємо: B su () = s (t-) u (t) dt = u (t) s (t-) dt = B us (-). Рис Сигнали і ВКФ. Звідси випливає, що для ВКФ не виконується умова парності, B su () B su (-), і значення ВКФ не зобов'язані мати максимум при = 0. Це можна наочно бачити на рис, де задані два однакових сигналу з центрами на точках 0.5 і 1.5. Обчислення за формулою (6.2.1) з поступовим збільшенням значень означає послідовні зрушення сигналу s2 (t) вліво по осі часу (для кожного значення s1 (t) для подинтегрального множення беруться значення s2 (t +)). При = 0 сигнали ортогональні і значення B 12 () = 0. Максимум В 12 () буде спостерігатися при зсуві сигналу s2 (t) вліво на значення = 1, при якому відбувається повне поєднання сигналів s1 (t) і s2 (t +). Одні і ті ж значення ВКФ за формулами (6.2.1) і (6.2.1 ") спостерігаються при одному і тому ж взаємне положення сигналів: при зсуві на інтервал сигналу u (t) відносно s (t) вправо по осі ординат і сигналу s (t) щодо сигналу u (t) вліво, тобто B su () = B us (-

7 7 Перейти рис наведені приклади ВКФ для прямокутного сигналу s (t) і двох однакових трикутних сигналів u (t) і v (t). Всі сигнали мають однакову тривалість Т, при цьому сигнал v (t) зрушать вперед на інтервал Т / 2. Сигнали s (t) і u (t) однакові по тимчасовому розташуванню і площа "перекриття" сигналів максимальна при = 0, що Рис Взаімноковаріаціонние функції сигналів. і фіксується функцією B su. Разом з тим функція B su різко асиметрична, так як при асиметричній формі сигналу u (t) для симетричної форми s (t) (щодо центру сигналів) площа "перекриття" сигналів змінюється по різному в залежності від напрямку зсуву (знака при збільшення значення від нуля). При зсуві вихідного положення сигналу u (t) вліво по осі ординат (на випередження сигналу s (t) - сигнал v (t)) форма ВКФ залишається без зміни і зсувається вправо на таке ж значення величини зсуву функція B sv на рис Якщо поміняти місцями вираження функцій в (6.2.1), то нова функція B vs буде дзеркально поверненою щодо = 0 функцією B sv. З урахуванням цих особливостей повне ВКФ обчислюється, як правило, окремо для позитивних і негативних запізнень: B su () = s (t) u (t +) dt. B us () = u (t) s (t +) dt. (6.2.1 ") Взаємна кореляція зашумленних сигналів. Для двох зашумлених сигналів u (t) = s1 (t) + q1 (t) і v (t) = s2 (t) + q2 (t), застосовуючи методику виведення формул ( 6.1.13) із заміною копії сигналу s (t) на сигнал s2 (t), неважко вивести формулу взаємної кореляції в наступному вигляді: B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2) Останні три члена в правій частині (6.2.2) загасають до нуля при збільшенні. при великих інтервалах завдання сигналів вираз може бути записано в наступній формі: B uv () = B s1s2 () + s1 ( ) q2 () + q1 () s2 () + q1 () q2 (). (6.2.3) При нульових середніх значеннях шумів і статистичної незалежності від сигналів має місце: B uv () B s1s2 (). ВКФ дискретних сигналів. всі властивості ВКФ аналогових сигналівдійсні і для ВКФ дискретних сигналів, при цьому для них дійсні і особливості дискретних сигналів, викладені вище для дискретних АКФ (формули). Зокрема, при t = const = 1 для сигналів x () і y () з числом відліків До: B xy (n) = При нормуванні в одиницях потужності: K K n K K-n 0 x y -n. (6.2.4) B xy (n) = K 1 x y -n x y n. (6.2.5) 0 Оцінка періодичних сигналів в шумі. Зашумленний сигнал можна оцінити за взаємною кореляції з "еталонним" сигналом методом проб і помилок з налаштуванням функції взаємної кореляції до максимального значення. Для сигналу u () = s () + q () при статистичній незалежності шуму і q 0 функція взаємної кореляції (6.2.2) з шаблоном сигналу p () при q2 () = 0 набуває вигляду: B up () = B sp () + B qp () = B sp () + q p. А оскільки q 0 при збільшенні N, то B up () B sp (). Очевидно, що функція B up () буде мати максимум, коли p () = s (). Змінюючи форму шаблону p () і домагаючись максимізації функції B up (), можна отримати оцінку s () у вигляді оптимальної форми p (). Функція взаємних кореляційних коефіцієнтів (ВКФ) є кількісним показником ступеня подібності сигналів s (t) і u (t). Аналогічно функції автокореляційних коеф-

8 8 фициент, вона обчислюється через центровані значення функцій (для обчислення взаємної коваріації досить центрировать тільки одну з функцій), і нормується на добуток значень стандартів функцій s (t) і v (t): su () = C su () / s v. (6.2.6) Інтервал зміни значень кореляційних коефіцієнтів при зрушеннях може змінюватися від 1 (повна зворотна кореляція) до 1 (повна схожість або стовідсоткова кореляція). При зрушеннях, на яких спостерігаються нульові значення su (), сигнали незалежні один від одного (некоррелірованні). Коефіцієнт взаємної кореляції дозволяє встановлювати наявність зв'язку між сигналами незалежно від фізичних властивостей сигналів і їх величини. При обчисленні ВКФ зашумленних дискретних сигналів обмеженої довжини з використанням формули (6.2.4) є ймовірність появи значень su (n)> 1. Для періодичних сигналів поняття ВКФ зазвичай не застосовується, за винятком сигналів з однаковим періодом, наприклад, сигналів входу і виходу при вивченні характеристик систем СПЕКТРАЛЬНІ ЩІЛЬНОСТІ кореляційної функції. Спектральна щільність АКФ може бути визначена з наступних простих міркувань. Відповідно до виразом (6.1.1) АКФ є функцію скалярного твори сигналу і його копії, зрушеною на інтервал при -< < : B s () = s(t), s(t-). Скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощности: s(t), s(t-) = (1/2) S() S *() d Смещение сигнала по оси абсцисс на интервал отображается в спектральном представлении умножением спектра сигнала на exp(-j), а для сопряженного спектра на множитель exp(j): S *() = S*() exp(j). С учетом этого получаем: s ()= (1/2) S() S*() exp(j) d = (1/2) S() 2 exp(j) d (6.3.1) Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье: B s () S() 2 = W s (). (6.3.2) Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ: S() 2 = B s () exp(-j) d. (6.3.3) Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности. Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т.к. преобразование Фурье прямоугольного импульса знакопеременный интегральный синус. На АКФ не должно быть и разрывов Рис Спектр несуществующей АКФ первого рода (скачков), т.к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате по-

9 9 народжує поділ АКФ на суму певної безперервної функції і прямокутного імпульсу тривалістю 2 с відповідним появою негативних значень в енергетичному спектрі. Приклад останнього наведено на рис (графіки функцій наведені, як прийнято для парних функцій, тільки своєю правою частиною). АКФ досить протяжних сигналів зазвичай обмежуються за розмірами (досліджуються обмежені інтервали кореляції даних від Т / 2 до Т / 2). Однак усічення АКФ, це множення АКФ на прямокутний селектірующій імпульс тривалістю Т, що в частотної області відображається сверткой фактичного спектра потужності зі знакозмінної функцією інтегрального синуса sinc (t / 2). З одного боку, це викликає певне згладжування спектра потужності, що часто буває корисним, наприклад, при дослідженні сигналів на значному рівні шумів. Але, з іншого боку, може відбуватися і суттєве заниження величини енергетичних піків, якщо в сигналі є які-небудь гармонійні складові, а також поява негативних значень потужності на крайових частинах піків і стрибків. Приклад прояву даних факторів наведено на рис Рис Обчислення енергетичного спектра сигналу по АКФ різної довжини. Як відомо, спектри потужності сигналів не мають фазової характеристики і по ним неможливо відновлення сигналів. Отже, АКФ сигналів, як тимчасове уявлення спектрів потужності, також не має інформації про фазових характеристиках сигналів і відновлення сигналів по АКФ неможливо. Сигнали однієї форми, зсунуті в часі, мають однакові АКФ. Більше того, сигнали різної форми можуть мати подібні АКФ, якщо мають близькі спектри потужності. Перепишемо рівняння (6.3.1) в наступній формі s (t) s (t-) dt = (1/2) S () S * () exp (j) d, і підставимо в цей вислів значення = 0. Отримане рівність добре відомо і називається рівністю Парсеваля s 2 (t) dt = (1/2) S () 2 d. Воно дозволяє обчислювати енергію сигналу, як з тимчасової, так і по частотній області опису сигналів. Інтервал кореляції сигналу є числовим параметром оцінки ширини АКФ і ступеня значимої кореляції значень сигналу по аргументу. Якщо допустити, що сигнал s (t) має приблизно рівномірний енергетичний спектр зі значенням W 0 і з верхньої граничної частотою до в (форма центрированного прямокутного імпульсу, як, наприклад, сигнал 1 на рис з f в = 50 Гц в односторонньому поданні), то АКФ сигналу визначиться виразом: Рис ω B s () = (W o /) в 0 cos () d = (Wo в /) sin (в) / (у). Інтервалом кореляції сигналу до вважається величина ширини центрального піку АКФ від

10 10 максимуму до першого перетину нульової лінії. В даному випадку для прямокутного спектра з верхньою граничною частотою в перший перетин нуля відповідає sinc (в) = 0 при в =, звідки: к = / в = 1 / 2f в. (6.3.4) Інтервал кореляції тим менше, чим вище верхня гранична частота спектру сигналу. Для сигналів з плавним зрізом по верхній граничній частоті роль параметра в грає середня ширина спектра (сигнал 2 на рис). Спектральна щільність потужності статистичних шумів при одиничному вимірі є випадковою функцію W q () із середнім значенням W q () q 2, де q 2 дисперсія шумів. У межі, при рівномірному спектральному розподілі шумів від 0 до, АКФ шумів прагне до значення B q () q 2 при 0, B q () 0 при 0, тобто статистичні шуми не коррелірованни (до 0). Практичні обчислення АКФ фінітних сигналів зазвичай обмежуються інтервалом зрушень = (0, (3-5)), в якому, як правило, зосереджена основна інформація по автокорреляции сигналів. Спектральна щільність ВКФ може бути отримана на підставі тих же міркувань, що і для АФК, або безпосередньо з формули (6.3.1) заміною спектральної щільності сигналу S () на спектральну щільність другого сигналу U (): su () = (1/2 ) S * () U () exp (j) d (6.3.5) Або, при зміні порядку сигналів: us () = (1/2) U * () S () exp (j) d (6.3.5 ") Твір S * () U () являє собою взаємний енергетичний спектр W su () сигналів s (t) і u (t). Відповідно, U * () S () = W us (). Отже, як і АКФ , взаімнокорреляціонная функція і спектральна щільність взаємної потужності сигналів пов'язані між собою перетвореннями Фур'є: B su () W su () W * us (). (6.3.6) B us () W us () W * su (). (6.3 .6 ") В загальному випадку, за винятком спектрів парних функцій, з умови недотримання парності для функцій ВКФ слід, що взаємні енергетичні спектри є комплексними функціями: U () = A u () + j B u (), V () = A v () + j B v (). W uv = A u A v + B u B v + j (bu A v - A u B v) = Re W uv (w) + j Im W uv (), і містять певну фазову характеристику гармонійних складових ВКФ, якій і формується зрушення максимуму ВКФ. На рис можна наочно бачити особливості формування ВКФ на прикладі двох однакових за формою сигналів, зсунутих відносно один одного. Рис Формування ВКФ. Форма сигналів і їх взаємне розташування наведені на вигляді А. Модуль і аргумент спектру сигналу s (t) наведені на вигляді В. Модуль спектра u (t) тотожний модулю S (). На цьому ж виді наведено модуль спектра взаємної потужності сигналів S () U * (). Як відомо, при перемножуванні комплексних спектрів модулі спектрів перемножуються, а фазові кути складаються, при цьому для сполученого спектра U * () фазовий кут змінює знак. Якщо першим в форму-

11 11 ле обчислення ВКФ (6.2.1) варто сигнал s (t), а сигнал u (t-) на осі ординат коштувати попереду s (t), то фазові кути S () зі збільшенням частоти наростають в сторону негативних значень кутів (без урахування періодичного скидання значень на 2), а фазові кути U * () за абсолютними значеннями менше фазових кутів s (t) і наростають (за рахунок сполучення) в сторону позитивних значень. Результатом множення спектрів (як це видно на рис, вид С) є віднімання з фазових кутів S () значень кутів U * (), при цьому фазові кути спектра S () U * () залишаються в області від'ємних значень, що забезпечує зрушення всієї функції ВКФ (і її пікових значень) вправо від нуля по осі на певну величину (для однакових сигналів на величину різниці між сигналами по осі ординат). При зміщенні початкового положення сигналу u (t) в сторону сигналу s (t) фазові кути S () U * () зменшуються, в межі до нульових значень при повному поєднанні сигналів, при цьому функція B su (t) зміщується до нульових значень, в межі до звернення в АКФ (для однакових сигналах s (t) і u (t)). Як відомо для детермінованих сигналів, якщо спектри двох сигналів не перекриваються і, відповідно, взаємна енергія сигналів дорівнює нулю, такі сигнали ортогональні один одному. Зв'язок енергетичних спектрів та кореляційних функцій сигналів показує ще одну сторону взаємодії сигналів. Якщо спектри сигналів не перекриваються і їх взаємний енергетичний спектр дорівнює нулю на всіх частотах, то при будь-яких тимчасових зрушеннях один щодо одного їх ВКФ також дорівнює нулю. А це означає, що такі сигнали є некоррелірованнимі. Це дійсно як для детермінованих, так і для випадкових сигналів і процесів. Обчислення кореляційних функцій за допомогою ШПФ є, особливо для довгих числових рядів, в десятки і сотні разів швидшим методом, ніж послідовними зрушеннями в тимчасовій області при великих інтервалах кореляції. Суть методу випливає з формул (6.3.2) для АКФ і (6.3.6) для ВКФ. З огляду на, що АКФ можна розглядати як окремий випадок ВКФ при одному і тому ж сигналі, процес обчислення розглянемо на прикладі ВКФ для сигналів x () і y () з числом відліків К. Він включає: 1. Обчислення ШПФ спектрів сигналів x () X () і y () Y (). При різній кількості відліків більш короткий ряд доповнюється нулями до розміру більшого ряду. 2. Обчислення спектрів щільності потужності W xy () = X * () Y (). 3. Зворотне БПФ W xy () B xy (). Відзначимо деякі особливості методу. При зворотному БПФ, як відомо, обчислюється циклічна згортка функцій x () 3 y (). Якщо число відліків функцій одно К, число комплексних відліків спектрів функцій також одно К, так само як і число відліків їх твори W xy (). Відповідно, число відліків B xy () при зворотному БПФ також одно До і циклічно повторюється з періодом, рівним К. Між тим, при лінійної згортку повних масивів сигналів за формулою (6.2.5) розмір тільки однієї половини ВКФ становить До точок, а повний двосторонній розмір становить 2К точок. Отже, при зворотному БПФ з урахуванням циклічності згортки відбудеться накладення на головний період ВКФ її бічних періодів, як і при звичайній циклічної згортку двох функцій. На рис наведено приклад двох сигналів і значення Рис В1 лінійна згортка, В2 БПФ без продовження сигналів нулями, В3 БПФ з продовженням сигналів нулями. ВКФ, обчислені лінійної сверткой (В1ху) і циклічної сверткой через БПФ (В2ху). Для виключення ефекту накладення бічних періодів необхідно доповнити сигнали нулями, в межі, до подвоєння кількості відліків, при цьому результат БПФ (графік В3ху на малюнку 6.3.5) повністю повторює результат лінійної згортки (з урахуванням нормування на збільшення кількості відліків). На практиці число нулів продовження сигналів залежить від характеру кореляційної функції. Мінімальна кількість нулів зазвичай приймається рівним значущою інформаційної частини функцій, тобто порядку (3-5) інтервалів кореляції.

12 12 с. ЛІТЕРАТУРА 1. Баскаков С.І. Радіотехнічні ланцюги і сигнали Підручник для вузів. - М. Вища школа, відніс Р., Еноксон Л. Прикладний аналіз часових рядів. М .: Мир, с. 25. Сергієнко А.Б. цифрова обробкасигналів. / Підручник для вузів. СПб .: Пітер, с. 33. Айфічер Е., Джервіс Б. Цифрова обробка сигналів. Практичний підхід. / М., "Вільямс", 2004, 992 Сайт автора ~ Лекції ~ Практикум Про помічені помічені, помилках і пропозиціях щодо доповнення: Copyright 2008 Davydov А.V.

Частина 5 МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩІЛЬНОСТІ Функції спектральної щільності можна визначати трьома різними еквівалентними способами які будуть розглянуті в наступних розділах: за допомогою

Лекція 6 ЦЕПИ періодичного несинусоїдальний СТРУМУ План Тригонометрична форма ряду Фур'є Ряд Фур'є в комплексній формі Комплексний частотний спектр 3 Потужності в ланцюгах несинусоидального струму Коефіцієнти,

3 ВСТУП Фізичні процеси, що розглядаються в інженерних задачах, Описуються, в більшості випадків, функціями часу, званими реалізаціями процесу. Існують фізичні явища, майбутню поведінку

43 Лекція 4 ЦЕПИ періодичного несинусоїдальний СТРУМУ Тригонометрична форма ряду Фур'є Комплексна форма ряду Фур'є 3 Коефіцієнти, що характеризують періодичні Несинусоїдальні функції 4 Висновок

Санкт-Петербурзький державний електротехнічний університет «ЛЕТІ» Кафедра теоретичних основрадіотехніки ЦИФРОВИЙ ОБРОБКА СИГНАЛІВ Тема 1 Дискретні сигнали А. Б. Сергиенко, 216 Дискретний

7. Деякі базисні системи з l У системах з дискретним часом важливе місце займають дискретні сигнали, певні на кінцевих інтервалах. Такі сигнали є -мірним векторами в просторі

43 Лекція 6 ЦЕПИ періодичного несинусоїдальний СТРУМУ Тригонометрична форма ряду Фур'є Комплексна форма ряду Фур'є 3 Коефіцієнти, що характеризують періодичні Несинусоїдальні функції 4 Висновок

ЗМІСТ ЛАВИ ФУР'Е 4 Поняття про періодичну функції 4 Тригонометричний поліном 6 3 Ортогональні системи функцій 4 Тригонометричний ряд Фур'є 3 5 Ряд Фур'є для парних і непарних функцій 6 6 Розкладання

3 Лекція 4 ЦЕПИ періодичного несинусоїдальний СТРУМУ План Тригонометрична форма ряду Фур'є Комплексна форма ряду Фур'є 3 Коефіцієнти, що характеризують періодичні Несинусоїдальні функції 4 Висновки

Лекція 4.9. Системи випадкових величин. Функція розподілу системи двох випадкових величин (СДСВ). Властивості функції 6.4. Системи випадкових величин У практиці часто зустрічаються задачі які описуються

Осінній семестр навчального - року Тема 3 гармонійного аналізу неперіодичних сигналів Пряме і зворотне перетворення Фур'є Спектральна характеристика сигналу Амплітудно-частотний і фазо-частотний спектри

Лабораторна робота 4 ДОСЛІДЖЕННЯ СПЕКТРАЛЬНОГО СКЛАДУ періодичних несинусоїдальний КОЛИВАНЬ 4 Тригонометрична форма ряду Фур'є Якщо періодична несинусоїдальний функція відповідає умовам Діріхле,

Лекція Числові ряди Ознаки збіжності Числові ряди Ознаки збіжності Нескінченне вираз числової послідовності + + + +, складене з членів нескінченної, називається числовим рядом Числа,

Лекція Тема ігнали. Визначення і класифікація сигналів У радіотехнічних пристроях протікають електричні процеси, що мають специфічний характер. Для розуміння цієї специфіки слід попередньо

Www.vntr.ru 6 (34), м www.ntgcom.com УДК 57.443 + 57.8 ВПЛИВ СПЕКТРАЛЬНОГО просочування на поведінку автокореляційних функцій усіченого гармонійного сигналу Г.С. Ганя Центральний інститут авіаційного

Тема 3 гармонійного аналізу неперіодичних сигналів Пряме і зворотне перетворення Фур'є Спектральна характеристика сигналу Амплітудно-частотний і фазо-частотний спектри Спектральні характеристики

54 Лекція 5 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Е І СПЕКТРАЛЬНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ електрично ських КІЛ План Спектри апериодических функцій і перетворення Фур'є Деякі властивості перетворення Фур'є 3 Спектральний метод

4.4. спектральний аналізнайпростіших коливань. Прямокутний імпульс / / d, / s, / sin sin Спектральна щільність одиночного імпульсу збігається з обвідної спектральних ліній періодичної послідовності

1. Основні характеристики детермінованих сигналів У техніці під терміном «сигнал» мають на увазі величину, будь-яким чином відображає стан фізичної системи. У радіотехніці сигналом називають

Лекція 8 33 одномірні СТАЦІОНАРНІ СИСТЕМИ ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Е 33 Опис сигналів і систем Опис сигналів Для опису детермінованих сигналів використовується перетворення Фур'є: it

Спектральний аналіз випадкових послідовностей методом ДПФ При спектральних вимірюваннях випадкових сигналів основною метою є визначення спектральної щільності потужності (СПМ) (додаток, п.4).

Методичні матеріали приклади квитків КР і варіантів РГР по курсу «Математичні методи обробки цифрових сигналів» Рубіжне контроль 1 1. Розкладіть вектор (, 1, 1 по векторах 1) (1,2,1), (, 2,3) 1,

МОСКОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ цивільної авіації А.Н.ДЕНІСЕНКО, В.Н.ІСАКОВ Методичні вказівки щодо виконання лабораторних робіт на ПК з дисципліни «Теорія ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ»

54 Лекція 5 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Е І СПЕКТРАЛЬНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ План Спектри апериодических функцій і перетворення Фур'є 2 Деякі властивості перетворення Фур'є 3 Спектральний метод

Лекція характеристичних функцій МЕТА ЛЕКЦІЇ: побудувати метод лінеаризації функцій випадкових величин; ввести поняття комплексної випадкової величини і отримати її числові характеристики; визначити характеристическую

Перетворення Фур'є в оптиці В математиці доводиться, що періодичну функцію () з періодом Т, що задовольняє певним вимогам, можна уявити поруч Фур'є: a a cos n b sn n, де / n, a

4. Аналіз ланцюгів при негармонійних впливах. Практично будь-яке реальне коливання може бути розкладено в сукупність гармонійних коливань. За принципом суперпозиції дію кожної гармонійної

ФГБОУ ВПО «Омський державний технічний університет» РОЗДІЛ II БЕЗПЕРЕРВНІ ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ Лекція 4. ДІНАМІЧЕКІЕ ЛАНКИ. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ, Тимчасові характеристики І ЧАСТОТНА

Скалярні гіпервипадкових величини 4 ЧАСТИНА І ОСНОВИ ТЕОРІЇ ГЛАВА гіпервипадкових ПОДІЇ І ВЕЛИЧИНИ Введено поняття гіпервипадкових події і гіпервипадкових величини. Запропоновано ряд характеристик і параметрів

Завдання 1. Визначимо вихідні дані: Інтервал розкладання дорівнює [-τ / 2; τ / 2]. Число спектральних коефіцієнтів n = 5. Амплітуда сигналу: Вхідний сигнал: Рис. 1. Часовий графік сигналу. 1 1. Запишемо формули

43 Лекція 5 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Е І СПЕКТРАЛЬНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ План Спектри апериодических функцій і перетворення Фур'є Деякі властивості перетворення Фур'є 3 Спектральний метод

3.4. СТАТИСТИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ вибіркове значення ПРОГНОЗНИХ МОДЕЛЕЙ До сих пір ми розглядали способи побудови прогнозних моделей стаціонарних процесів, не враховуючи одну важливу особливості.

Лекція Повідомлення, сигнали, перешкоди як випадкові явища Випадкові величини, вектора і процеси 4 СИГНАЛ І ПЕРЕШКОДЖАННЯ РТС ЯК ВИПАДКОВІ ЯВИЩА Як вже зазначалося вище основна проблематика теорії РТС це

Перетворення Фур'є в оптиці В математиці доводиться що будь-яку періодичну функцію () з періодом Т можна уявити поруч Фур'є: a a cos b s де / a cos d b s d / / a і b - коефіцієнти ряду Фур'є

Спектральне подання сигналів к.ф.-м.н., доцент Московський державний університет факультет ВМК кафедра Математичних методів прогнозування спектральне подання сигналів Лекція 4 Москва,

Статистична радіофізика і теорія інформації Лекція 1. 14. Синтез узгодженого фільтра. Розглянемо лінійну системуна вхід якої подається аддитивная суміш корисного сигналу s t і шуму n t: t =

Лекція 5. 8.3. АНАЛІЗ автоколиваннями метод гармонічної лінеаризації 8.3 .. Постановка завдання Розглядається замкнута система з одним нелінійним елементом. F W s x Рис. Вивчається вільний рух

Глава 4. Дискретне перетворення Фур'є 4 .. Дискретний в часі ряд Фур'є (ДВРФ) Для періодичного з періодом сигналу xt () ряд Фур'є в загальному випадку буде містити нескінченне число членів: де коефіцієнти

Лекція ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМИ ДВОХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН -мірним ВИПАДКОВІ ВЕКТОР МЕТА ЛЕКЦІЇ: визначити числові характеристики системи двох випадкових величин: початкові і центральні моменти ковариацию

Цифрова обробка сигналів; лекція 7 березня 07 г МФТІ Z-перетворення є одним з математичних методів, розроблених спеціально для аналізу і проектування дискретних і цифрових систем 45 Лінійні

Лабораторна робота 7 Цифровий спектральний аналіз: періодограмний і коррелограммний методи Мета роботи: вивчити способи програмної реалізації в системі MATLAB класичних варіантів цифрового спектрального

5 УДК 656.5, 6.39.8 А. В. ВОЛИНСЬКА ОСОБЛИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ДИСКРЕТНИХ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВИХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧІ ІНФОРМАЦІЇ Показано, що при довільному виборі дискретних значень сигналів (наприклад, з

Конструювання віконних функцій (продовження п. 4) Вибір віконної функції важливий для отримання оцінок параметрів досліджуваного сигналу при наявності флуктуаційних перешкод. При виявленні сигналів з великим

Частина 4 СПЕКТРАЛЬНІ РОЗКЛАДАННЯ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ 41 інтеграли ФУР'Е Стилт'єсу Для спектральних розкладів випадкових функцій користується інтеграл Стілтьєса Тому наведемо визначення та деякі властивості

Лекція 11 Прийом безперервних повідомлень. Критерії завадостійкості Повідомлення в загальному випадку являє собою деякий безперервний процес bt, який можна розглядати як реалізацію загального випадкового

СТАТИСТИЧНІ МОДЕЛІ ВИПАДКОВИХ ЯВИЩ Випадкові величини Функції розподілу ймовірностей випадкових величин Найпростіша модель фізичного експерименту послідовність незалежних дослідів (випробувань

Лекція. Оцінка комплексної амплітуди сигналу. Оцінка часу запізнювання сигналу. Оцінка частоти сигналу з випадковою фазою. Спільна оцінка часу запізнювання і частоти сигналу з випадковою фазою.

3 Випадкові процеси в автоматичних системахуправління 3 Введення Системи, сигнали в яких характеризуються випадковими функціями і процесами називаються системами з випадковими сигналамиабо стохастичними

Глава 8 Функції і графіки Змінні і залежності між ними. Дві величини і називаються прямо пропорційними, якщо їх відношення постійно, т. Е. Якщо =, де постійне число, що не змінюється зі зміною

Федеральне державне освітній бюджетна установавищої професійної освіти Поволзький державний університет телекомунікацій та інформатики кафедра ТОРС Завдання та методичні

Лекція 10. Алгоритм Шредінгера визначення термів і орбіталей стаціонарних станів 1 Стаціонарні стану Якщо стан системи не змінюється з часом і здійснюється при постійному значенні повної

Методичні вказівки З ВИВЧЕННЯ ДИСЦИПЛІНИ «ВИПАДКОВІ процеси в радіотехніці» ДЛЯ СТУДЕНТІВ ГРУПИ ВДБВ-6-14 Список літератури 1. Статистичний аналіз і синтез радіотехнічних пристроїв і систем:

Тема 8 ЛІНІЙНІ дискретної системи Поняття дискретної системи Методи опису лінійних дискретних систем: різницеве ​​рівняння, передавальна функція, імпульсна характеристика, Частотна передаточна функція

Лекція 6 (стор 358-36) Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) Пряме Z перетворення Визначення прямого і зворотного дискретного перетворення Фур'є Розглянемо алгоритм обчислення перетворення Фур'є

Варіант 8 Знайти область визначення функції: y sin Область визначення цієї функції визначається двома нерівностями: і sin З другого нерівності випливає, що повинно виконуватися нерівність k π k +

Спектральний аналіз та синтез Цифровий звук і відео Лекція 2 + 2 Аналіз і синтез Фур'є процес розкладання складного періодичного сигналу на прості гармонійні складові називається аналізом Фур'є або

Кореляція - математична операція, схожа зі сверткой, дозволяє отримати з двох сигналів третій. Буває: автокорреляция (автокореляційна функція), взаємна кореляція (взаімнокорреляціонная функція, кросскорреляціонной функція). приклад:

[Взаємна кореляційна функція]

[Автокорреляционная функція]

Кореляція - це техніка виявлення заздалегідь відомих сигналів на тлі шумів, ще називають оптимальною фільтрацією. Хоча кореляція дуже схожа на згортку, але обчислюються вони по-різному. Області застосування їх також різні (c (t) = a (t) * b (t) - згортка двох функцій, d (t) = a (t) * b (-t) - взаємна кореляція).

Кореляція - це та ж згортка, тільки один із сигналів інвертується зліва направо. Автокорреляция (автокореляційна функція) характеризує ступінь зв'язку між сигналом і його зрушеною на τ копією. Взаімнокорреляціонная функція характеризує ступінь зв'язку між 2-ма різними сигналами.

Властивості автокореляційної функції:

• 1) R (τ) = R (-τ). Функція R (τ) - є парною.
• 2) Якщо х (t) - синусоїдальна функція часу, то її автокореляційна функція - косинусоидальной тієї ж частоти. Інформація про початковій фазі втрачається. Якщо x (t) = A * sin (ωt + φ), то R (τ) = A 2/2 * cos (ωτ).
• 3) Функція автокореляції і спектра потужності пов'язані перетворенням Фур'є.
• 4) Якщо х (t) - будь-яка періодична функція, то R (τ) для неї може бути представлена ​​у вигляді суми автокореляційних функцій від постійної складової і від синусоидально змінюється складової.
• 5) Функція R (τ) не несе ніякої інформації про початкових фазах гармонійних складових сигналу.
• 6) Для випадкової функції часу R (τ) швидко зменшується зі збільшенням τ. Інтервал часу, після якого R (τ) стає рівним 0 називається інтервалом автокорреляции.
• 7) Про задану x (t) відповідає цілком певний R (τ), але для однієї і тієї ж R (τ) можуть відповідати різні функції x (t)

Вихідний сигнал з шумами:

Автокореляційна функція вихідного сигналу:

Властивості взаємної кореляційної функції (ВКФ):

• 1) ВКФ не є ні парною ні непарною функ¬ціей, тобто R ху (τ) не дорівнює R ху (-τ).
• 2) ВКФ залишається незмінною при зміні чергування функцій і змін знака аргументу, тобто R ху (τ) = R ху (-τ).
• 3) Якщо випадкові функції x (t) і y (t) не містять постійних складових і створюються незалежними джерелами, то для них R ху (τ) прагне до 0. Такі функції називаються некоррелірованнимі.

Вихідний сигнал з шумами:

Меандр тієї ж частоти:

Кореляція вихідного сигналу і меандру:

Увага! Кожен електронний конспект лекцій є інтелектуальною власністю свого автора і опублікований на сайті виключно в ознайомлювальних цілях.

Взаємна кореляційна функція (ВКФ) різних сигналів (cross-correlation function, CCF) описує як ступінь подібності форми двох сигналів, так і їх взаємне розташування відносно один одного по координаті (незалежної змінної). Узагальнюючи формулу (6.1.1) автокореляційної функції на два різних сигналу s (t) і u (t), отримуємо наступне скалярний твір сигналів:

B su () = s (t) u (t + ) dt. (6.2.1)

Взаємна кореляція сигналів характеризує певну кореляцію явищ і фізичних процесів, що відображаються даними сигналами, і може служити мірою "стійкості" даної взаємозв'язку при роздільній обробці сигналів в різних пристроях. Для кінцевих по енергії сигналів ВКФ також конечна, при цьому:

| B su () |  || s (t) ||  || u (t) ||,

що випливає з нерівності Коші-Буняковського і незалежності норм сигналів від зсуву за координатами.

При заміні змінної t = t- у формулі (6.2.1), отримуємо:

B su () = s (t-) u (t) dt = u (t) s (t-) dt = B us (-).

Звідси випливає, що для ВКФ не виконується умова парності, B su ()  B su (-), і значення ВКФ не зобов'язані мати максимум при  = 0.

Мал. 6.2.1. Сигнали і ВКФ.

Це можна наочно бачити на рис. 6.2.1, де задані два однакових сигналу з центрами на точках 0.5 і 1.5. Обчислення за формулою (6.2.1) з поступовим збільшенням значень  означає послідовні зрушення сигналу s2 (t) вліво по осі часу (для кожного значення s1 (t) для подинтегрального множення беруться значення s2 (t + )). При  = 0 сигнали ортогональні і значення B 12 () = 0. Максимум В 12 () буде спостерігатися при зсуві сигналу s2 (t) вліво на значення  = 1, при якому відбувається повне поєднання сигналів s1 (t) і s2 (t + ).

Одні і ті ж значення ВКФ за формулами (6.2.1) і (6.2.1 ") спостерігаються при одному і тому ж взаємне положення сигналів: при зсуві на інтервал  сигналу u (t) відносно s (t) вправо по осі ординат і сигналу s (t) щодо сигналу u (t) вліво, тобто B su () = B us (-

Мал. 6.2.2. Взаімноковаріаціонние функції сигналів.

На рис. 6.2.2 наведені приклади ВКФ для прямокутного сигналу s (t) і двох однакових трикутних сигналів u (t) і v (t). Всі сигнали мають однакову тривалість Т, при цьому сигнал v (t) зрушать вперед на інтервал Т / 2.

Сигнали s (t) і u (t) однакові по тимчасовому розташуванню і площа "перекриття" сигналів максимальна при  = 0, що і фіксується функцією B su. Разом з тим функція B su різко асиметрична, так як при асиметричній формі сигналу u (t) для симетричної форми s (t) (щодо центру сигналів) площа "перекриття" сигналів змінюється по різному в залежності від напрямку зсуву (знака  при збільшення значення  від нуля). При зсуві вихідного положення сигналу u (t) вліво по осі ординат (на випередження сигналу s (t) - сигнал v (t)) форма ВКФ залишається без зміни і зсувається вправо на таке ж значення величини зсуву - функція B sv на рис. 6.2.2. Якщо поміняти місцями вираження функцій в (6.2.1), то нова функція B vs буде дзеркально поверненою щодо  = 0 функцією B sv.

З урахуванням цих особливостей повне ВКФ обчислюється, як правило, окремо для позитивних і негативних запізнень:

B su () = s (t) u (t + ) dt. B us () = u (t) s (t + ) dt. (6.2.1 ")

Взаємна кореляція зашумленних сигналів . Для двох зашумлених сигналів u (t) = s1 (t) + q1 (t) і v (t) = s2 (t) + q2 (t), застосовуючи методику виведення формул (6.1.13) з заміною копії сигналу s (t ) на сигнал s2 (t), неважко вивести формулу взаємної кореляції в наступному вигляді:

B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)

Останні три члена в правій частині (6.2.2) загасають до нуля при збільшенні . При великих інтервалах завдання сигналів вираз може бути записано в наступній формі:

B uv () = B s 1 s 2 () +
+
+
. (6.2.3)

При нульових середніх значеннях шумів і статистичної незалежності від сигналів має місце:

B uv () → B s 1 s 2 ().

ВКФ дискретних сигналів. Всі властивості ВКФ аналогових сигналів дійсні і для ВКФ дискретних сигналів, при цьому для них дійсні і особливості дискретних сигналів, викладені вище для дискретних АКФ (формули 6.1.9-6.1.12). Зокрема, при t = const = 1 для сигналів x (k) і y (k) з числом відліків До:

B xy (n) =
x k y k-n. (6.2.4)

При нормуванні в одиницях потужності:

B xy (n) = x k y k-n 
. (6.2.5)

Оцінка періодичних сигналів в шумі . Зашумленний сигнал можна оцінити за взаємною кореляції з "еталонним" сигналом методом проб і помилок з налаштуванням функції взаємної кореляції до максимального значення.

Для сигналу u (k) = s (k) + q (k) при статистичній незалежності шуму і → 0 функція взаємної кореляції (6.2.2) з шаблоном сигналу p (k) при q2 (k) = 0 набуває вигляду:

B up (k) = B sp (k) + B qp (k) = B sp (k) + .

А оскільки → 0 при збільшенні N, тоB up (k) → B sp (k). Очевидно, що функція B up (k) буде мати максимум, коли p (k) = s (k). Змінюючи форму шаблону p (k) і домагаючись максимізації функції B up (k), можна отримати оцінку s (k) у вигляді оптимальної форми p (k).

Функція взаємних кореляційних коефіцієнтів (ВКФ) є кількісним показником ступеня подібності сигналів s (t) і u (t). Аналогічно функції автокореляційних коефіцієнтів, вона обчислюється через центровані значення функцій (для обчислення взаємної коваріації досить центрировать тільки одну з функцій), і нормується на добуток значень стандартів функцій s (t) і v (t):

 su () = C su () /  s  v. (6.2.6)

Інтервал зміни значень кореляційних коефіцієнтів при зрушеннях  може змінюватися від -1 (повна зворотна кореляція) до 1 (повна схожість або стовідсоткова кореляція). При зрушеннях , на яких спостерігаються нульові значення  su (), сигнали незалежні один від одного (некоррелірованні). Коефіцієнт взаємної кореляції дозволяє встановлювати наявність зв'язку між сигналами незалежно від фізичних властивостей сигналів і їх величини.

При обчисленні ВКФ зашумленних дискретних сигналів обмеженої довжини з використанням формули (6.2.4) є ймовірність появи значень  su (n) | > 1.

Для періодичних сигналів поняття ВКФ зазвичай не застосовується, за винятком сигналів з однаковим періодом, наприклад, сигналів входу і виходу при вивченні характеристик систем.