Спектральна густина. Властивості спектральної густини потужності Спектральна потужність сигналу

Маючи на увазі під випадковим процесом безліч (ансамбль) функцій часу, необхідно мати на увазі, що функцій, що мають різну форму, відповідають різноманітні спектральні характеристики. Усереднення комплексної спектральної щільності, введеної в § 2.6 або 2.1, за всіма функціями призводить до нульового спектру процесу (при) через випадковість і незалежність фаз спектральних складових у різних реалізаціях.

Можна, однак, ввести поняття спектральної щільності середнього квадрата випадкової функції, оскільки значення середнього квадрата не залежить від співвідношення фаз гармоній, що підсумовуються. Якщо під випадковою функцією мається на увазі електрична напруга або струм, то середній квадрат цієї функції можна розглядати як середню потужність, що виділяється в опорі 1 Ом. Ця потужність розподілена за частотами в деякій смузі, яка залежить від механізму утворення випадкового процесу. Спектральна щільність середньої потужності є середньою потужністю, що припадає на 1 Гц при заданій частоті . Розмірність функції , що є ставленням потужності до смуги астот, є

Спектральну густину випадкового процесу можна знайти, якщо відомий механізм утворення випадкового процесу. Що стосується шумів, пов'язаних з атомістичною структурою матерії та електрики, це завдання буде розглянуто в § 7.3. Тут ми обмежимося декількома визначеннями загального характеру.

Виділивши з ансамблю будь-яку реалізацію і обмеживши її тривалість кінцевим інтервалом Т, можна застосувати до неї нормальне перетворення Фур'є і визначити спектральну щільність (с). Тоді енергію розрізаного реалізації можна обчислити за допомогою формули (2.66):

Розділивши цю енергію на отримаємо середню потужність k-йреалізації на відрізку Т

При збільшенні Т енергія зростає, проте ставлення прагне до певної межі. Здійснивши граничний перехід отримаємо

є спектральну щільність середньої потужності аналізованої реалізації.

У випадку величина має бути усереднена по безлічі реалізацій. Обмежуючись у разі розглядом стаціонарного і ергодичного процесу, вважатимуться, що знайдена усередненням по реалізації функція характеризує весь процес загалом.

Опускаючи індекс k, отримуємо остаточний вираз для середньої потужності випадкового процесу

Якщо розглядається випадковий процес з ненульовим середнім значенням, то спектральну щільність слід подати у формі

Величина, що характеризує розподіл енергії за спектром сигналу і звана енергетичної спектральної щільністю, існує лише для сигналів, у яких енергія за нескінченний інтервал часу кінцева і, отже, до них застосовується перетворення Фур'є.

Для незагасаючих у часі сигналів енергія нескінченно велика та інтеграл (1.54) розходиться. Завдання спектра амплітуд неможливе. Однак середня потужність Рср, що визначається співвідношенням

виявляється кінцевою. Тому застосовується ширше поняття "спектральна щільність потужності". Визначимо її як похідну середньої потужності сигналу за частотою та позначимо Сk(щ):

Індексом k підкреслюється, що ми розглядаємо спектральну щільність потужності як характеристику детермінованої функції u(t), що описує реалізацію сигналу.

Ця характеристика сигналу менш змістовна, ніж спектральна щільність амплітуд, оскільки позбавлена ​​фазової інформації [див. (1.38)]. Тому однозначно поновити по ній вихідну реалізацію сигналу неможливо. Проте відсутність фазової інформації дозволяє застосувати це поняття до сигналів, які фаза не визначена.

Для встановлення зв'язку між спектральною щільністю Сk(щ) та спектром амплітуд скористаємося сигналом u(t), що існує на обмеженому інтервалі часу (-T<. t

де - спектральна густина потужності сигналу, обмеженого в часі.

Надалі буде показано (див. § 1.11), що, середня цю характеристику за безліччю реалізацій, можна отримати спектральну густину потужності для великого класу випадкових процесів.

Функція автокореляції детермінованого сигналу

Тепер у частотній області є дві характеристики: спектральна характеристика та спектральна щільність потужності. Спектральна характеристика, що містить повну інформацію про сигнал u(t), відповідає перетворення Фур'є у вигляді тимчасової функції. З'ясуємо, чому відповідає у часовій області спектральна густина потужності, позбавлена ​​фазової інформації.

Слід припустити, що однієї й тієї спектральної щільності потужності відповідає безліч часових функцій, що відрізняються фазами. Радянським ученим Л.Я. Хінчіним та американським вченим Н. Вінером практично одночасно було знайдено зворотне перетворення Фур'є від спектральної щільності потужності:

Узагальнену тимчасову функцію r(), що не містить фазової інформації, назвемо часовою автокореляційною функцією. Вона показує ступінь зв'язку значень функції u(t), розділених інтервалом часу, і може бути отримана статистичної теорії шляхом розвитку поняття коефіцієнта кореляції. Зазначимо, що у тимчасової функції кореляції усереднення проводиться за часом у межах реалізації досить великий тривалості.

Справедливо та друге інтегральне співвідношення для пари перетворення Фур'є:

Приклад 1.6 Визначити тимчасову функцію автокореляції гармонійного сигналу u(t) = u0 cos(t-ц). Відповідно до (1.64)

Провівши нескладні перетворення

остаточно маємо

Як і слід очікувати, ru() не залежить від ц і, отже, (1.66) справедливо для безлічі гармонік, що відрізняються фазами.

Міжнародна освітня корпорація

Факультет прикладних наук

Реферат

на тему«Спектр щільності потужності та його зв'язок із функцією кореляції»

З дисципліни«Теорія електричного зв'язку »

Виконала:студент групи

ФПН-РЕіТ(з)-4С *

Джумагельдін Д

Перевірила:Глухова Н.В

Алмати, 2015

І Вступ

ІІ Основна частина

1. Спектральна щільність потужності

1.1 Випадкові величини

1.2 Щільність ймовірності функції випадкової величини

2. Випадковий процес

3. Метод визначення спектральної щільності потужності за кореляційною функцією

ІІІ Висновок

ІV Список використаної літератури

Вступ

Теорія ймовірностей розглядає випадкові величини та його характеристики у " статиці " . Завдання опису та вивчення випадкових сигналів "в динаміці", як відображення випадкових явищ, що розвиваються в часі або за будь-якою іншою змінною, вирішує теорія випадкових процесів.

В якості універсальної координати для розподілу випадкових величин незалежної змінної будемо використовувати, як правило, змінну "t" і трактувати її, чисто для зручності, як тимчасову координату. Розподіл випадкових величин у часі, а також сигналів, що їх відображають у будь-якій математичній формі, зазвичай називають випадковими процесами. У технічній літературі терміни "випадковий сигнал" та "випадковий процес" використовуються як синоніми.

У процесі обробки та аналізу фізико-технічних даних зазвичай доводиться мати справу з трьома типами сигналів, що описуються методами статистики. По-перше, це інформаційні сигнали, що відображають фізичні процеси, імовірнісні за своєю природою, як, наприклад, акти реєстрації частинок іонізуючих випромінювання при розпаді радіонуклідів. По-друге, інформаційні сигнали, залежні від певних параметрів фізичних процесів чи об'єктів, значення яких заздалегідь невідомі, які зазвичай підлягають визначенню за даними інформаційним сигналам. І по-третє, це шуми і перешкоди, що хаотично змінюються в часі, які супроводжують інформаційні сигнали, але, як правило, статистично незалежні від них як за своїми значеннями, так і змінами в часі.

Спектральна щільність потужності

Спектральна густина потужності дозволяє судити про частотні властивості випадкового процесу. Вона характеризує його інтенсивність за різних частотах чи, інакше, середню потужність, що припадає на одиницю смуги частот.

Картину розподілу середньої потужності за частотами називають спектром потужності. Прилад, з якого вимірюється спектр потужності, називається аналізатором спектра. Знайдений у результаті вимірів спектр називається апаратним спектром.

Робота аналізатора спектра ґрунтується на наступних методах вимірювань:

· Методі фільтрації;

· Методі перетворення за теоремою Вінера-Хінчена;

· Методі Фур'є-перетворення;

· Метод з використанням знакових функцій;

· Метод апаратного застосування ортогональних функцій.

Особливість вимірювання спектра потужності полягає у значній тривалості експерименту. Нерідко вона перевищує тривалість існування реалізації, або час, протягом якого зберігається стаціонарність досліджуваного процесу. Оцінки спектра потужності, одержувані по реалізації стаціонарного ергодичного процесу, який завжди прийнятні. Часто доводиться виконувати численні виміри, оскільки необхідно усереднення реалізацій як у часі, і по ансамблю. У багатьох випадках реалізації досліджуваних випадкових процесів попередньо запам'ятовують, що дозволяє багаторазово повторювати експеримент із зміною тривалості аналізу, використанням різних алгоритмів обробки та апаратури.

У разі попереднього запису реалізацій випадкового процесу апаратурні похибки можуть бути зменшені до значень, зумовлених кінцевою тривалістю реалізації та нестаціонарністю.

Запам'ятовування реалізацій дозволяє прискорити апаратурний аналіз і автоматизувати його.

Випадкові величини

Випадкова величина описується імовірнісними законами. Імовірність того, що безперервна величина хпри вимірі потрапить в якийсь інтервал х 1<х <х 2 , Виразом:

, де p(x)- Щільність ймовірності, причому . Для дискретної випадкової величини x i P (x = x i) = Pi, де P i- ймовірність, що відповідає i-у рівню величини х.

Оцінка спектральної густини потужності представляє відому проблему для випадкових процесів. Прикладами випадкових процесів може бути шум, а також сигнали, що несуть інформацію. Зазвичай потрібно знайти статистично стійку оцінку. Аналіз сигналів докладно у курсі «Цифрова обробка сигналів» . Початкові відомості викладені у .

Для сигналів з відомими статистичними характеристиками спектральний склад може бути визначений кінцевим інтервалом цього сигналу. При невідомості статистичних характеристик сигналу відрізку сигналу можна отримати лише оцінку його спектра. Різні методи використовують різні припущення, і тому дають різні оцінки.

При виборі оцінки виходять з того, що в загальному випадку аналізований сигнал є випадковим процесом. І потрібно вибрати незміщену оцінку, що має малу дисперсію, що дозволяє усереднити спектр сигналу. Зміщенням називають різницю між середнім значенням оцінки та справжнім значенням величини. Незміщеною оцінкою називають оцінку з нульовим усуненням. Оцінка з малою дисперсією добре локалізує шукані величини, тобто. щільність ймовірності сконцентрована близько середнього значення. Бажано мати спроможну оцінку, тобто. оцінку, яка зі збільшенням розміру вибірки прагне справжнього значення (зміщення і дисперсія прагнуть нуля). Розрізняють оцінки параметричні, що використовують лише інформацію про сигнал і непараметричні, що використовують статистичну модель випадкового сигналу, і здійснюють підбір параметрів цієї моделі.

При оцінках випадкових процесів поширене використання кореляційних функций.

Для ергодичного процесу можливе визначення статистичних параметрів процесу шляхом усереднення однієї реалізації.

Для стаціонарного випадкового процесукореляційна функція R x (t) залежить від інтервалу часу, якого вона визначається. Ця величина характеризує зв'язок між значеннями x(t), розділеними проміжком t. Чим повільніше зменшується R(t), тим більше проміжок, протягом якого спостерігається статистичний зв'язок між значеннями випадкового процесу.

де - Математичне очікування x (t).

Співвідношення між кореляційною функцією R(t) та спектральною щільністю потужності W(w) для випадкового процесу визначається теоремою Вінера-Хінчина

Для дискретних процесів теорема Вінера-Хінчина встановлює зв'язок між спектром випадкового дискретного процесу W(w) і його кореляційної функції R x (n)

W(w)= R x (n) exp(-j w n T)

Для оцінки енергії сигналу у часовій та частотній областях використовується рівність Парсеваля

Одним із поширених способів отримання оцінки спектральної щільності є застосування методу періодограм.

Періодограма (Periodogram).У цьому методі проводиться дискретне перетворення Фур'є для сигналу x(n), заданого в дискретних точках вибірки довжиною N відліків та його статистичне усереднення. Фактичне обчислення спектра X(k), виконується лише у кінцевій кількості частотних точок N. Застосовується швидке перетворення Фур'є (FFT). Обчислюється спектральна густина потужності, що припадає на один відлік вибірки:

P xx (X k) = | X (k) | 2 / N, X (k) =, k = 0,1, ..., N-1.

Для отримання статистично стійкої оцінки, наявні дані розбивають на вибірки, що перекриваються, з подальшим усередненням спектрів, отриманих по кожній вибірці. Задається число відліків на вибірку N і зсув початку кожної наступної вибірки щодо початку попередньої N t . Чим менше кількість відліків у вибірці, тим більше вибірок і менша дисперсія в оцінок. Але оскільки довжина вибірки N пов'язана з частотною роздільною здатністю (2.4), то зменшення довжини вибірки веде до зменшення частотної роздільної здатності.

Таким чином, сигнал проглядається через вікно, а дані, які не потрапляють у вікно, приймаються рівними нулю. Кінцевий сигнал x(n), що складається з N відліків, зазвичай представляють як результат множення нескінченного за часом сигналу (n)на прямокутне вікно з кінцевою довжиною w R (n):

x(n) = (n)∙w R (n),

а безперервний спектр X N (f) сигналів, що спостерігаються x(n) визначиться як згортка Фур'є-образів X(f), W R (f) нескінченного за часом сигналу (n)∙і вікна w R (n)

X N (f) = X (f) * W R (f) =

Спектр безперервного прямокутного вікна (rect) має форму інтегрального синусу sinc(x)=sin(x)/x. Він містить головний «пелюстка» і кілька бічних, з яких найбільший приблизно на 13 dB нижче основного піку (див. рис.15).

Фур'є-образ (спектр) дискретної послідовності, одержуваної N-точковою дискретизацією безперервного прямокутного вікна, показано на рис.32. Він може бути обчислений підсумовуванням зміщених інтегральних синусів (2.9), в результаті виходить ядро ​​Діріхле

Мал. 32. Спектр дискретного прямокутного вікна

У той час як сигнал з нескінченною довжиною сконцентрує його потужність точно в дискретній частоті f k прямокутна вибірка сигналу має розподілений спектр потужності. Чим коротше вибірка, тим паче розподілений діапазон.

При спектральному аналізі проводиться зважування даних за допомогою віконних функцій, чим домагаються зменшення впливу бічних пелюсток на спектральні оцінки.

Щоб виявити дві гармоніки f 1 і f 2 з близькими частотами, необхідно, щоб для тимчасового вікна T ширина головного «пелюстки» Df -3 ≈ Df L =0 =1/Т, що визначається на значенні -3дБ, була менша від різниці частот, що шукаються.

Df = f 1 -f 2 > Df -3

Ширина часового вікна Т пов'язана із частотою дискретизацією f s та числом відліків вибірки формулою (2.4).

Інструментальні засоби гармонічного аналізу. Для дослідження сигналів дуже зручне застосування пакету MATLAB, зокрема, його застосування (Toolbox) Signal Processing.

Модифіковані періодограмивикористовують непрямокутні віконні функції, що зменшують ефект Гіббса. Прикладом може бути використання вікна Хеммінга (Hamming). Але при цьому одночасно відбувається приблизно вдвічі збільшення ширини головної пелюстки спектрограми. Дещо більш оптимізовано вікно Кайзера (Kaiser). Збільшення ширини основних пелюстків під час створення фільтрів нижніх частот веде до збільшення перехідної лінії (між смугами пропускання і затримання).

Оцінна функція Уелча (Welch). Метод складається з розподілу послідовних даних часу в сегменти (можливо з перекриттям), далі обробляється кожен сегмент, а потім оцінюють спектр шляхом усереднення результатів обробки сегментів. Для покращення оцінки можуть використовуватися непрямокутні віконні функції, наприклад, вікно Хеммінга. Збільшення числа сегментів зменшує дисперсію, але при цьому зменшується роздільна здатність методу за частотою. Метод дає непогані результати при малому перевищенні корисного сигналу над шумом і часто використовується практично.

На рис.33 наведено оцінки гармонійного складу для даних, що містять вузькосмугові корисні сигнали та білий шум, при різних вибірках (N=100, N=67), та використання різних методів.

Мал. 33. Оцінка гармонік сигналу для 1024 точкового FFT-перетворення

Параметричні методивикористовують авторегресійні моделі (AR). У методах будуються моделі фільтрів і з допомогою оцінюють спектри сигналів. Усі методи за наявності шуму сигналі дають зміщені оцінки. Призначені методи обробки сигналів мають гармонійні складові і натомість шуму. Порядок методу (фільтру) задається вдвічі більше, ніж число гармонік, що є у сигналі. Запропоновано кілька параметричних методів.

Метод Берга (Burg) дає високу роздільну здатність по частоті для коротких вибірок. При великому порядку фільтра спектральні піки розщеплюються. Положення спектральних піків залежить від початкових гармонічних фаз.

Коваріаційний метод дозволяє оцінити спектр сигналу, що містить суму гармонійних компонентів.

Метод Юла-Уоркера (Yule-Walker) дає добрі результати на довгих вибірках і не рекомендується для коротких вибірок.

Кореляційні методи. Методи MISIC (Multiple Signal Classification) та EV (eigenvectors) видають результати у формі псевдоспектру. У основі методів лежить аналіз векторів кореляційної матриці сигналу. Ці методи дають дещо кращий дозвіл за частотою, ніж автокореляційні методи.

Нижче наводиться короткий опис деяких сигналів та визначаються їх спектральні густини. При визначенні спектральних густин сигналів, що задовольняють умову абсолютної інтегрованості, користуємося безпосередньо формулою (4.41).

Спектральні густини ряду сигналів наведені в табл. 4.2.

1) Імпульс прямокутної форми (табл. 4.2, поз. 4). Коливання, зображене на рис. (4.28, а), можна записати у вигляді

Його спектральна щільність

Графік спектральної щільності (рис. 4.28 а) побудований на основі проведеного раніше аналізу спектра періодичної послідовності однополярних, прямокутних імпульсів (4.14). Як видно з (рис. 4.28 б), функція звертається в нуль при значеннях аргументу = n, де п - 1, 2, 3, ... - будь-яке ціле число. У цьому кутові частоти рівні = .

Мал. 4.28. Імпульс прямокутної форми (а) та його спектральна щільність (б)

Спектральна щільність імпульсу при чисельно дорівнює його площі, тобто G(0)=A. Це положення справедливе для імпульсу s(t) довільної форми. Справді, вважаючи загалом (4.41) = 0, отримаємо

тобто площа імпульсу s(t).

Таблиця 4.3.

При розтягуванні імпульсу відстань між нулями функції скорочується, тобто відбувається стиск спектру. Значення у своїй зростає. Навпаки, при стисканні імпульсу відбувається розширення його спектра, а значення зменшується. На (рис. 4.29, а, б) наведено графіки амплітудного та фазового іспектрів прямокутного імпульсу.

Мал. 4.29. Графіки амплітудного (а) Мал. 4.30. Імпульс прямокутної форми, та фазового (б) спектрів зрушений на час

При зрушенні імпульсу вправо (запізнення) тимчасово (рис. 4.30) фазовий спектр змінюється на величину, визначувану аргументом множникаexp() (табл. 4.2, поз. 9). Результуючий фазовий спектр імпульсу, що запізнюється, зображений на рис. 4.29 б пунктирною лінією.

2) Дельта-функція (табл. 4.3, поз. 9). Спектральну щільність – функції знаходимо за формулою (4.41), використовуючи фільтруючу властивість δ -функції:

Таким чином, амплітудний спектр рівномірний і визначається площею δ -функції [= 1], а фазовий спектр дорівнює нулю [= 0].

Зворотним перетворенням Фур'є від функції = 1 користуються одним із визначень δ -функції:

Користуючись властивістю тимчасового зсуву (табл. 4.2, поз. 9), визначаємо спектральну щільність функції , запізнюється на час відносно :

Амплітудний та фазовий спектри функції показані в табл. 4.3, поз. 10. Зворотне перетворення Фур'є від функції має вигляд

3) Гармонічне коливання (Табл. 4.3, поз. 12). Гармонічне коливання є абсолютно інтегрованим сигналом. Проте визначення його спектральної щільності застосовують пряме перетворення Фур'є, записуючи формулу (4.41) як:

Тоді з урахуванням (4.47) отримуємо

δ(ω) - Дельта-функції, зміщені по осі частот на частоту, відповідно вправо і вліво щодо. Як видно з (4.48), спектральна щільність гармонійного коливання з кінцевою амплітудою набуває нескінченно великого значення на дискретних частотах.

Виконуючи аналогічні перетворення, можна отримати спектральну щільність коливання (табл. 4.3, поз. 13)

4) Функція виду (табл. 4.3, поз. 11)

Спектральна щільність сигналу як постійного рівня Авизначається за формулою (4.48), поклавши = 0:

5) Одинична функція (або одиничний стрибок) (табл. 4.3, поз. 8). Функція не є абсолютно інтегрованою. Якщо уявити як межу експоненційного імпульсу , тобто.

то спектральну щільність функції можна визначити як межу спектральної щільності експоненційного імпульсу (табл. 4.3, поз. 1) при:

Приперше доданок у правій частині цього виразу дорівнює нулю на всіх частотах, крім = 0, де воно перетворюється на нескінченність, а площа під функцією дорівнює постійній величині

Тому межею першого доданку вважатимуться функцію . Межею другого доданку є функція. Остаточно отримаємо

Наявність двох доданків у виразі (4.51) узгоджується з поданням функції у вигляді 1/2+1/2sign( t). Постійній складовій 1/2 згідно (4.50) відповідає спектральна щільність , а непарної функції - Уявне значення спектральної щільності.

При аналізі впливу одиничного стрибка на ланцюга, передатна функція яких при = 0 дорівнює нулю (тобто на ланцюгу, що не пропускають постійний струм), у формулі (4.51) можна враховувати тільки другий доданок, представляючи спектральну щільність одиничного стрибка у вигляді

6) Комплексний експонентний сигнал (табл. 4.3, поз. 16). Якщо уявити функцію у вигляді

то на підставі лінійності перетворення Фур'є та з урахуванням виразів (4.48) та (4.49) спектральна щільність комплексного експоненційного сигналу

Отже, комплексний сигнал має несиметричний спектр, представлений однією дельта-функцією, зміщеною на частоту право відносно.

7) Довільна періодична функція. Наведемо довільну періодичну функцію (рис. 4.31, а) комплексним рядом Фур'є

де - Частота проходження імпульсів.

Коефіцієнти ряду Фур'є

виражаються через значення спектральної густини одиночного імпульсу s(t) на частотах ( n=0, ±1, ±2, ...). Підставляючи (4.55) (4.54) і користуючись співвідношенням (4.53), визначаємо спектральну щільність періодичної функції:

Відповідно до (4.56) спектральна щільність довільної періодичної функції має вигляд послідовності-функцій, зміщених один щодо одного, на частоту (рис. 4.31, б). Коефіцієнти при δ -функціях змінюються відповідно до спектральної щільності одиночного імпульсу s(t) (пунктирна крива на рис. 4.31,б).

8) Періодична послідовність δ-функцій (табл. 4.3, поз. 17). Спектральна щільність періодичної послідовності -функцій

визначається за формулою (4.56) як окремий випадок спектральної щільності періодичної функції при = 1:

Рис.4.31. Довільна послідовність імпульсів (а) та її спектральна щільність (б)

Мал. 4.32. Радіосигнал (а), спектральні щільності радіосигналу (в) та його огинаючої (б)

і має вигляд періодичної послідовності δ -функцій, помножених на коефіцієнт.

9) Радіосигнал з прямокутною огинаючою. Радіосигнал, поданий на (рис. 4.32,а), можна записати як

Відповідно до поз. 11 табл.4.2 спектральна щільність радіосигналу виходить шляхом зсуву спектральної щільності прямокутної огинає по осі частот вправо і вліво зі зменшенням ординат вдвічі, тобто.

Цей вираз виходить із (4.42) шляхом заміни частоти на частоти – зсув праворуч та зсув ліворуч. Перетворення спектра огинаючої показано на (рис. 4.32, б, в).

Приклади розрахунку спектрів неперіодичних сигналів наведені також у .