Проходження сигналу. Проходження сигналів через нелінійні ланцюги Проходження випадкових сигналів через лінійні ланцюги

Поняття лінійної системи та аналіз лінійних систем. Застосування диференціальних рівнянь. Застосування імпульсних показників. Застосування частотних показників. Нелінійні безінерційні перетворення випадкових процесів.

Виявлення та оцінка параметрів сигналів у присутності шумів.

6.1. Опис сигналу та перешкоди. Типи розв'язуваних завдань. Перевірка статистичних гіпотез (вибірка, вибірковий простір, функція правдоподібності, гіпотези прості та складні, рішення, правила розв'язання, ймовірності помилок). Статистика, критерій якості ухвалення рішень, матриця втрат, умовний ризик, середній ризик.

6.2. Перевірка двоальтернативних гіпотез:

критерій Байєса, мінімаксний критерій, критерій максимуму апостеріорної ймовірності, критерій максимуму правдоподібності, критерій Неймана-Пірсона, послідовний аналіз Вальда, робоча характеристика.

6.3. Обробка безперервних сигналів. Функціонал правдоподібності. Функціонал відношення правдоподібності.

6.4. Застосування функціоналу відношення правдоподібності виявлення повністю відомого сигналу (алгоритм, ймовірності помилок) і сигналу з випадковою фазою (алгоритм, ймовірності помилок).

Оцінка параметрів сигналів.

7.1. Точкова оцінка, інтервальна оцінка. Властивості точкових оцінок (можність, незміщеність, ефективність, достатність). Нерівність Рао-Крамера. Оцінка математичного очікуваннята дисперсії нормального розподілу

7.2. Застосовує функціонал правдоподібності для оцінки параметрів сигналу. Оцінка тимчасового становища сигналу. Постановка задачі, шумова та сигнальна функції та їх характеристики, відношення сигнал/шум, визначення сигнальної функції для прямокутного відеосигналу, обробка пачки сигналів (відношення сигнал/шум).

7.3. Реалізація алгоритму оцінки тимчасового становища сигналу. Кореляційний приймач, узгоджений фільтр (імпульсна та частотні характеристикисигнал на виході узгодженого фільтра, відношення сигнал/шум, оптимальність узгодженого фільтра, співвідношення між реальним і узгодженим фільтрами).

Теорія інформації

Теорема Котельникова для довільних процесів.

Квантування сигналу.

міра інформації.

3.1. Захід інформації по Фішеру, по Хартлі.

3.2. Мера інформації по Шеннону (визначення, ентропія та її властивості, ентропія твору ансамблю, ентропія безперервного ансамблю Ентропія сигналу з обмеженою областю визначення. Ентропія сигналу з необмеженою областю визначення, але з обмеженою потужністю), Кількість взаємної інформації, окремі кількості взаємної інформації. Епсілон ентропія (ε-ентропія). Коефіцієнт стиснення, коефіцієнт надмірності.

4. Кодування джерела незалежних повідомлень: кодове дерево, префіксність коду, рівномірне кодування, кодування за методом Шеннона, кодування за методом Хафмена, теорема Шеннона про кодування джерела. Характеристики джерела та кодера джерела.

5. Канал зв'язку. Класифікація. Швидкість передачі інформації та пропускна спроможність.

5.1. Канал без шумів: пропускна здатність, теорема Шеннона для каналу без шумів.

5.2. Канал з шумами: двійковий симетричний канал (пропускна здатність), теорема Шеннона про пропускної спроможностідля каналу із шумами.

Для визначення стійкості годограф будувати необов'язково. Для цього достатньо проаналізувати АЧХ та ФЧХ. Отже, третє альтернативне формулювання критерію Найквіста: якщо АЧХ більше одиниці на частотах, за яких ФЧХ дорівнює 0 абоде n € z, то система з зворотним зв'язкомне стійка, інакше стійка (Малюнок 3.10).

Мал. 3.9 АЧХ та ФЧХ розімкнутої системи із зворотним зв'язком

4 Проходження випадкових сигналів через лінійні стаціонарні ланцюги

Основними характеристиками випадкового процесу є щільність імовірності миттєвих значеньсигналу, кореляційна функція та спектральна щільність потужності. Знаходження щільності ймовірності миттєвих значень сигналу на виході лінійного ланцюга за відомою щільністю ймовірності на вході ланцюга та відомих характеристик ланцюга представляє дуже складне завдання. Однак, якщо вхідний сигнал є гаусовим, вихідний сигнал так само завжди буде гаусовим. Це означає, що розв'язання задачі спрощується і зводиться до знаходження параметрів вихідного сигналу (математичного очікування та дисперсії).

Завдання знаходження кореляційної функціїі спектральної густини потужності вихідного сигналу значно простіше.

Зворотні перетворення Фур'є від спектральної щільності потужності згідно з теорією Вінера – Хінчина:

- Кореляційна функція сигналу

Зворотні перетворення Фур'є від коефіцієнта передачі за потужністю:

- Кореляційна функція імпульсної характеристики сигналу

Оскільки добуток спектрів двох сигналів дорівнює спектру згортки цих сигналів, можна записати:

Тобто кореляційна функція сигналу на виході лінійного ланцюга дорівнює згортці кореляційної функції сигналу на вході ланцюга та функції кореляційної імпульсної характеристики ланцюга.

При аналізі різних системяк перешкода часто виступає білий шум, що має спектральну щільність потужності постійну у всьому діапазоні частот:

та кореляційна функція

Отже, кореляційна функція вихідного сигналу дорівнює автокореляційної функції імпульсної характеристики коефіцієнтом .

5 Проходження сигналів через нелінійні ланцюги

Лінійні стаціонарні кола не змінюють спектральний склад сигналу. Основні радіотехнічні перетворення, пов'язані із зміною спектрального складу сигналу, здійснюється або за допомогою нелінійних ланцюгів, або лінійних ланцюгів із змінними параметрами.

Дослідження нелінійних ланцюгів є складне завдання, яка полягає у вирішенні нелінійних диференціальних рівнянь. Аналіз нелінійних ланцюгів спрощується, якщо нелінійний елементє безінерційним, т. е. реакція зміну вхідного впливу відбувається миттєво. Строго кажучи, безінерційних елементів (БНЕ) немає, але у разі коли час зміни вхідного сигналу значно перевищує час встановлення процесу в нелінійному елементі, елемент може вважатися безінерційним. У радіотехніці як нелінійні елементи найчастіше використовують напівпровідникові прилади (діоди, транзистори). Для опису таких приладів використовують ВАХ, які пов'язують між собою напруги, прикладені до приладів та струми, що протікають через прилади.

У гол. 6 розглядалася передача різних сигналівчерез лінійні ланцюги з постійними параметрами. Зв'язок між вхідним і вихідним сигналами у таких ланцюгах визначалася за допомогою передавальної функції (спектральний метод) або за допомогою імпульсної характеристики (метод інтеграла накладання).

Аналогічні співвідношення можна скласти і для лінійних ланцюгів із змінними параметрами. Вочевидь, що у подібних ланцюгах характер залежності між вхідним і вихідним сигналами у процесі передачі змінюється. Інакше кажучи, передавальна функція ланцюга залежить тільки від і від часу; імпульсна характеристика також залежить від двох змінних: від інтервалу між моментом застосування одиничного імпульсу і моментом спостереження вихідного сигналу t (як і для ланцюга з постійними параметрами) і, крім того, положення інтервалу на осі часу. Тому для ланцюга із змінними параметрами імпульсну характеристику слід записувати у загальній формі

Якщо на вході чотириполюсника з імпульсною характеристикою діє довільний сигнал s(t) (рис. 10.2), то, ґрунтуючись на принципі суперпозиції, вихідний сигнал за аналогією з виразом (6.11) можна визначити за допомогою виразу

(10.12)

Постараємося тепер запровадити передатну функцію для ланцюга зі змінними параметрами. Для цього уявімо функцію у вигляді інтеграла Фур'є:

(10.13)

де - спектральна щільністьсигналу s(t).

Тоді вираз (10.13) переходить у наступне:

Мал. 10.2. Параметричний чотириполюсник

Позначивши внутрішній інтеграл через перепишемо останній вираз так:

(10.14)

З (10.14) випливає, що функцію, що визначається виразом

Загальної процедури визначення закону розподілу реакції лінійного ФУ на довільне випадкове вплив немає. Однак, можливий кореляційний аналіз, Т. е. розрахунок кореляційної функції реакції за заданою кореляційною функцією впливу, який зручно проводити спектральним методом за схемою, показаною на рис. 5.5.

Для обчислення енергетичного спектру G Y(f) реакції лінійного ФУ з передавальною функцією H(jω) скористаємося його визначенням (4.1)

Функцію кореляції B Y(t) визначимо перетворенням Фур'є енергетичного спектру G Y(f)

Повернемося до визначення закону розподілу реакції лінійного ФУ в окремих окремих випадках:

1. Лінійне перетворення нормального СП породжує також нормальний процес. Змінитись можуть лише параметри його розподілу.

2. Сума нормальних СП (реакція суматора) є нормальний процес.

3. При проходженні СП з довільним розподілом через вузькосмуговий фільтр (тобто при ширині смуги пропускання фільтра D Fістотно меншої ширини енергетичного спектра впливу D f X) спостерігається явище нормалізації розподілу реакції Y(t). Воно полягає в тому, що закон розподілу реакції наближається до нормального. Ступінь цього наближення тим більше, чим сильніша нерівність D F<< Df X(Рис. 5.6).

Пояснити це можна в такий спосіб. Внаслідок проходження СП через вузькосмуговий фільтр відбувається суттєве зменшення ширини його енергетичного спектру (з D f Xдо D F) і, відповідно, збільшення часу кореляції (c t Xдо t Y). В результаті між некорельованими відліками реакції фільтра Y(k t Y) розташовується приблизно D f X / D Fнекорельованих відліків впливу X(l t X), кожен з яких дає внесок у формування єдиного відліку реакції з вагою, що визначається видом імпульсної характеристики фільтра.

Таким чином, у некорельованих перерізах Y(k t Y) відбувається підсумовування великої кількості також некорельованих випадкових величин X(l t X) з обмеженими математичними очікуваннями та дисперсіями, що відповідно до центральної граничної теореми (А.М. Ляпунова) забезпечує наближення розподілу їх суми до нормального зі збільшенням числа доданків.

5.3. Вузькосмугові випадкові процеси

СП X(t) з відносно вузьким енергетичним спектром (D f X << f c) як і вузькосмугові детерміновані сигнали зручно представляти у квазігармонійній формі (див. розділ 2.5)

де огинаюча A(t), фаза Y( t) та початкова фаза j( t) є випадковими процесами, а ω з - частота, що вибирається довільно (зазвичай як середня частота його спектра).

Для визначення огинаючої A(t) та фази Y( t) доцільно скористатися аналітичним СП

Основні моментні функції аналітичного СП:

1. Математичне очікування

2. Дисперсія

3. Функція кореляції

Аналітичний СП називають стаціонарним, якщо

Розглянемо типове в техніці зв'язку задачу проходження нормального СП через смуговий фільтр (ПФ), амплітудний (АТ) та фазовий (ФД) детектори (рис. 5.7). Сигнал на виході ПФ стає вузькосмуговим, а це означає, що його огинаюча A(t) та початкова фаза j( t) будуть функціями часу, що повільно змінюються, порівняно з , де – середня частота смуги пропускання ПФ. За визначенням, сигнал на виході АТ буде пропорційний огибающей вхідного сигналу A(t), але в виході ФД – його початкової фазі j( t). Таким чином, для вирішення цього завдання достатньо обчислити розподіл огинаючої A(t) та фази Y( t) (розподіл початкової фази відрізняється від розподілу Y( t) тільки математичним очікуванням).

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Теорія електричного зв'язку. Конспект лекцій – 2 частина

Призначений для студентів, які вивчають дисципліну «Теорія електричного зв'язку». Матеріал відповідає діючій навчальній програмі з курсу ТЕС.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Спектральний аналіз випадкових процесів
Спектральний аналіз детермінованих сигналів x(t) передбачає використання прямого перетворення Фур'є

Властивості енергетичних спектрів випадкових процесів
1. , Що безпосередньо випливає з його визначення (4.1). З цього факту і співвідношення

досліджень випадкових процесів
Для закріплення отриманих щодо розділу 4 знань з урахуванням віртуальної лабораторії можна провести експериментальні дослідження випадкових процесів використовуючи: · про

перетворювачі сигналів
У випадку вирішення завдання проходження заданого СП через конкре

через безінерційні ланцюги
Безінерційний ланцюг (безінерційний функціональний вузол -БФУ) повністю описується функціональною залежністю y = f(x), що зв'язує миттєві значення повітря

Функціональне перетворення двох випадкових процесів
Постановка задачі: Задано два випадкові процеси X1(t) і X2(t) з відомою спільною щільністю ймовірності їх значень у збігу

проходження випадкових процесів через різні ФУ
Для закріплення знань, отриманих при вивченні цього розділу рекомендується виконати в рамках віртуальної лабораторії роботу № 20 «Проходження випадкових процесів через різні

Критерій ідеального спостерігача
(Критерій Котельникова) Цей критерій вимагає забезпечення мінімуму середньої ймовірності помилкового прийому. Для двійкової системи

Критерій максимальної правдоподібності
Вважаючи, що всі повідомлення, що передаються, рівноймовірні,

Критерій мінімального середнього ризику
(Байєсовський критерій) Для урахування різних наслідків помилок передачі різних повідомлень слід узагальнити критерій Котельникова, мінімізуючи суму умовних можливостей

Критерій Неймана-Пірсона
Критерій Неймана-Пірсона застосовується в двійкових системах у ситуаціях, коли неможливо визначити апріорні ймовірності окремих повідомлень, а наслідки помилок різного роду неоді

на узгоджених фільтрах
Зберігаючи постановку задачі синтезу демодулятора з попереднього розділу і спираючись на алгоритми (6.13) і (6.14), спробуємо замінити корелятор (активний фільтр), що обчислює скаляр

Властивості узгоджених фільтрів
1. Імпульсна характеристика УФ є «дзеркальним відображенням» сигналу, з яким він узгоджений, щодо моменту часу 0,5t0 (з точністю до постійного коефіцієнта

Фазо-частотна характеристика СФ
відрізняється знаком від фазового спектра сигналу, з яким він узгоджений (б

Прямокутні відеоімпульси
Сигнал у вигляді прямокутного відеоімпульсу s(t) (рис. 6.8,а) та імпульсна характеристика gСФ(t) узгодженого з ним фільтра (рис. 6.8,б) описуються вирази

Прямокутні радіоімпульси
Сигнал у вигляді прямокутного радіоімпульсу s(t) описується виразом

Складні двійкові сигнали
Розглянемо сигнали у вигляді n-послідовностей імпульсів прямокутної форми

Оптимальний когерентний прийом при небілому шумі
Розглянемо задачу синтезу узгодженого фільтра, що забезпечує максимальне відношення с/ш на своєму виході для випадку, коли на вході діє адитивна суміш відомого сигналу s(

оптимального когерентного прийому
Для закріплення знань, отриманих щодо розділів 6.1-6.3, доцільно виконати лабораторні роботи № 15 «Дослідження когерентних демодуляторів» (рис. 6.19, 6.20) та № 22 «Узгоджена ф

завадостійкості основних видів цифрової модуляції
Для порівняння завадостійкості основних видів цифрової модуляції АМ, ЧС (при використанні ортогональних сигналів) та ФМ достатньо для кожного з них визначити еквівалентну ен

некогерентного прийому у двійковій системі зв'язку
Для визначення середньої ймовірності помилки оптимального некогерентного прийому в двійковій системі при рівних ймовірностях повідомлення, що передаються P(b0) = P(b

досліджень некогерентного прийому
Для закріплення знань, отриманих щодо розділів 6.6 і 6.7, доцільно виконати лабораторні роботи № 16 «Дослідження некогерентних демодуляторів» (рис. 6.40, 6.41) та

Передача сигналів реальними каналами зв'язку завжди супроводжується змінами (перетвореннями) цих сигналів, у результаті прийняті сигнали від переданих. Відмінності ці обумовлені, перш за все, лінійними та нелінійними перетвореннями вхідних сигналів, а також наявністю адитивних шумів у каналі, що існують найчастіше незалежно від сигналів, що передаються. З точки зору передачі інформації по каналу, важливим є підрозділ перетворень сигналу на оборотні та незворотні. Як буде показано (див. § 4.2), оборотні перетворення не спричиняють втрати інформації. При незворотних перетвореннях втрати інформації є неминучими. Для оборотних перетворень сигналу часто використовують термін "спотворення", а незворотні перетворення називають перешкодами (адитивними та не адитивними).

Прикладом найпростішого детермінованого оборотного перетворення вхідного сигналу X(t), яке не змінює його форму, служить

Y(t) = kX(t-τ). (3.1)

В даному випадку вихідний сигнал каналу Y(t) відрізняється від вхідного лише відомим масштабом k, який легко компенсується відповідним посиленням або ослабленням сигналу та постійною затримкою в часі τ. Вона найчастіше невелика. Фактично, лише за зв'язку у масштабах космосу чи за дуже великому числі реактивних елементів лінії зв'язку затримка може бути відчутною * .

* (Тут йдеться про затримку в самій лінії зв'язку, а не про затримки в демодулятор і декодер, які можуть бути значними і іноді лімітують можливість підвищення перешкодостійкості.)

Якщо вхідний сигнал X (t) у (3.1) вузькосмуговий, його зручно уявити у квазігармонійній формі (2.68): X(t) = A(t)cos× X [ω 0 t+Φ(t)], де A(t ) і Φ(t) -повільно змінюються функції. Тому при досить малій затримці т можна в першому наближенні вважати A (t-τ) ≈ A(t) і Φ(t-τ)≈Φ(t), а вихідний сигнал (3.1) записати наступним чином:

Y(t) = kA(t-τ) cos[ω 0 (t-τ) + Φ(t-τ) ≈ kА (t) cos[ω 0 t+Φ(t)-θ К ], (3.2)

де θ К = 0 τ - фазовий зсув у каналі. Таким чином, при вузькосмуговому сигналі мала затримка зводиться до деякого зсуву фази.

У реальних каналах зв'язку, навіть коли можна знехтувати адитивним шумом, перетворення сигналів мають складний характер і зазвичай призводять до відмінності форми вихідного сигналу від вхідного.

Дослідження перетворень випадкових процесів при їх проходженні через динамічні системи (як з регулярними, так і з параметрами, що випадково змінюються) пов'язане з вирішенням завдань двох типів:

визначення кореляційної функції (енергетичного спектру) відгуку Y(t) на виході динамічної системи, заданої своїми характеристиками даної кореляційної функції (або енергетичного спектру) вхідного впливу X(t);

визначення багатомірного розподілу відгуку Y(t) на виході заданої динамічної системи багатомірного розподілу вхідного впливу X (t).

Друга із зазначених завдань є більш загальною. З її розв'язання, очевидно, може бути отримано рішення і першої задачі. Однак надалі в основному обмежимося коротким розглядом першого завдання і лише вкажемо можливі шляхи вирішення другого, складнішого завдання.

Проходження випадкових сигналів через детерміновані лінійні кола. Як відомо, лінійний ланцюг із постійними параметрами характеризується своєю імпульсною реакцією g(t) або її перетворенням Фур'є-передавальною функцією k(iω). Якщо, наприклад, на вхід ланцюга надходить центрований процес X(t), процес Y(t) на виході визначається інтегралом Дюамеля *

У ланцюгу, що фізично реалізується, при t

* (Тут і надалі інтегрування випадкових процесів розуміється у середньоквадратичному значенні [див. ф-лу (2.8)].)

Знайдемо функцію кореляції центрованого вихідного процесу Y(t):

де θ 1 = t 1 - 1 θ 2 = t 2 - 2 ; B X (θ 1 -θ 2) – функція кореляції вхідного сигналу.

Нехай вхідний процес стаціонарний. Тоді B X (θ 1 - θ 2) = B (θ), де θ = θ 2 -θ 1 . Введемо також позначення t 2 -t 1 = τ, t 1 - θ 1 = τ 1 . Тоді t 2 -θ 2 = + 1 -θ і

де використана "тимчасова функція кореляції" (ВФК) від невипадкової імпульсної реакції

У разі β = τ - θ.

З (3.4) видно, що при стаціонарному вхідному процесі та вихідний процес виявляється стаціонарним, так як B Y (t 1 t + τ) не залежить від t 1 . Тому можна записати

Отримана рівність є аналогом інтеграла Дюамеля для кореляційних функцій. Таким чином, ФК вихідного процесу є інтегральною згорткою ФК вхідного процесу та ВФК імпульсної реакції ланцюга.

Зауважимо, що ВФК імпульсної реакції пов'язана з перетворенням Фур'є з квадратом модуля передавальної функції |k(iω)| 2 або амплітудно-частотної характеристики (АЧХ) ланцюга. Справді,

З теорії перетворення Фур'є відомо, що перетворення Фур'є від згортки двох функцій дорівнює добутку перетворень Фур'є від цих функцій. Застосувавши це (3.5), отримаємо просте співвідношення між спектральними щільностями стаціонарних процесів на вході і на виході лінійного ланцюга з постійною передатною функцією k (iω):

G Y (J) = G X (f) | k (i2πf) | 2 (3.7)

З (3.5) і (3.7) випливає, що ФК та ​​спектр процесу на виході ланцюга повністю визначаються ФК або спектром процесу на вході та АЧХ ланцюга, тобто не залежать ні від розподілу ймовірностей вхідного процесу, ні від фазо-частотної характеристики ланцюга .

Розглянемо приклад проходження випадкових процесів через детерміновані лінійні системи - проходження білого шуму з енергетичним спектром N 0 через послідовний коливальний контур з параметрами R, L, С. Якщо вихідна напруга знімається з ємності, комплексний коефіцієнт передачі контуру

Резонансна частота

У сфері малих розладів |k(ω)| 2 = ω 2 0 /(4[β 2 + (ω-ω 0) 2 ]), β = R/(2L), і згідно (3.7) енергетичний спектр на виході

G Y (ω) = N 0 ω 2 0 /(4[β 2 + (ω - ω 0) 2 ]).

Кореляційна функція на виході

При подачі сигналу X(t) на детерміноване лінійне коло зі змінними параметрами вихідний сигнал Y(t). як відомо, можна висловити інтегралом згортки:

де g(t, τ) - функція двох змінних, що визначає реакцію системи в момент t на δ-імпульс, поданий на вхід у момент t-τ.

представляє передатну функцію лінійного ланцюга зі змінними параметрами, яка, природно, є функцією як частоти, а й часу.

Оскільки у ланцюгу, що фізично реалізується, відгук не може виникнути раніше впливу, то g(t, τ)=0 при τ

Завдання знаходження розподілу ймовірностей відгуку лінійної системи при довільному випадковому впливі виявляється у випадку дуже складною, навіть якщо обмежитися знаходженням одномірного розподілу. Зазначимо, однак, що якщо на вхід лінійної детермінованої системи подано гаусівський процес, то і процес на виході виявляється гауссівським, що випливає з відомих властивостей нормального розподілу, що залишається нормальним за будь-яких лінійних перетворень. Якщо процес на вході не гаусівський, то при проходженні лінійної системи його розподіл ймовірностей змінюється іноді дуже суттєво.

Зазначимо загальну властивість, властиву лінійним системам. Якщо смуга частот F, займана вхідним сигналом X(t), набагато ширше смуги пропускання даної лінійної системи, то розподіл вихідного процесу має тенденцію наближатися до нормального. Це можна грубо пояснити, з (3.8). Вузька смуга пропускання означає, що тривалість імпульсної реакції g(t, τ) як функції τ велика порівняно з інтервалом кореляції вхідного процесу X(t). Тому переріз вихідного процесу Y(t) у будь-який момент t визначається інтегралом (3.8), в підінтегральну функцію якого з досить великою вагою входить багато некорельованих між собою перерізів процесу X(t). Розподіл ймовірностей такого інтеграла згідно з центральною граничною теоремою має бути близьким до нормального, тим ближчим є чим відношення ширини спектра вхідного сигналу до смуги пропускання ланцюга. У граничному випадку, якщо на вхід ланцюга впливає білий шум, у якого ширина спектра нескінченна, а ланцюг має обмежену смугу пропускання, то вихідний процес буде гаусівським.

Проходження випадкових вузькосмугових сигналів через лінійні смугові ланцюги. Як зазначалося в § 2.4, щодо вузькосмугові процеси (тобто такі, у яких ширина спектра значно вже середньої частоти) зручно представляти у квазігармонійній формі (2.68). Якщо середня частота ? е. їх спектри займають область частот нижчих, ніж спектр самого сигналу. Таке уявлення у багатьох випадках, на етапах синтезу та аналізу систем передачі сигналів (повідомлень), дуже корисне. Так, для подання (2.72) на інтервалі Т поруч Котельникова знадобиться 2T(f 0 + F) відліків, для подання на тому ж інтервалі Т двох незалежних низькочастотних речових функцій AC (t) і AS (t) (або однієї комплексної функції A (t)), досить 4FT відліків, тобто приблизно f 0 /2F разів менше.

Зауважимо також, що при необхідності моделювати вузькосмугові сигнали та систему зв'язку з такими сигналами на обчислювальній машині або при необхідності реалізації різних перетворень таких сигналів на основі сучасної мікроелектронної бази, виникають труднощі, найчастіше практично непереборні, через обмежену швидкодію цих машин або відповідні мікросхеми. . Природно, що значно простіше у випадках оперувати низькочастотними еквівалентами сигналів, якими є складові огинаючої.

Вираз для низькочастотного еквівалента x (t) вузькосмугового сигналу (2.72), що визначається з (2.70,а):

А Х (t) = X (t) ехр [-i 0 t]

має згідно (2.32) спектр по Фур'є

S? X (iω) = Sx.

Рисунок 3.1 ілюструє спектральні співвідношення для речовинного вузькосмугового сигналу X * (t) (рис. 3.1,а), аналітичного сигналу X (t) (рис. 3.1,6) та його низькочастотного еквівалента А? Х (t) (рис. 3.1, в) ).

* (Корисно нагадати, що спектр SX (iω) речовинного сигналу X(t) симетричний щодо початку координат, S * X (-iω) = SX (iω) (т. е. амплітудний спектр - парна функція частоти, а фазовий - непарна, або речова частина SX (iω) - парна функція частоти, а уявна - непарна).)

Основна частина реальних безперервних каналів зв'язку відноситься до лінійних та вузькосмугових, тому сигнали на їх виході можуть розглядатися як реакція на вузькосмуговий сигнал Х(t) смугового фільтра з передатною функцією k(iωt), модуль якої має рис. 3.1,а. Переваги подання сигналів за допомогою низькочастотного еквівалента (комплексної огинаючої) виникають внаслідок того, що смугову фільтрацію вузькосмугового сигналу можна інтерпретувати як фільтрацію комплексних низькочастотних сигналів комплексними низькочастотними фільтрами.

Розглянемо проходження вузькосмугового сигналу X(t) через вузькосмуговий канал (смуговий фільтр) з постійними параметрами та передавальною функцією k(iω) (рис. 3.2,а).

Вузькосмуговий вхідний сигнал (2.72)

Враховуючи попередню виноску, неважко показати, що спектр пов'язаної комплексної огинаючої A * X (t) = AC (t) - iA S (t) дорівнює S * X (-iω), де (iω) - спектр по Фур'є від AX ( t). Оскільки множенню функції часу на е ± ?

Аналогічно вважаючи, що середня частота вхідного сигналу 0 збігається з центральною частотою пропускання фільтра, можна уявити передатну функцію смугового фільтра (перетворення Фур'є імпульсної реакції фільтра g(t) *

де Γ -спектр Фур'є комплексного (аналітичного) сигналу ? (t) = g (t) + ig? (t) =? (t)e it? 0 утвореного з g (t). Величина Γ(iω) є спектральною характеристикою комплексної огинаючої γ̇(t) імпульсної реакції фільтра g(t), тобто низькочастотним еквівалентом вузькосмугового каналу.

* (Зазначимо, що функції Γ і Γ*[-i(ω+ω 0)], будучи за модулем симетричними щодо осі ординат для смугового фільтра не перекриваються, так як перша практично повністю лежить в області позитивних частот, а друга негативних. Аналогічне твердження справедливе і для функцій S і S * [-i (ω + ω 0)] вузькосмугового сигналу.)

Тепер знайдемо спектр сигналу Фур'є на виході каналу y(t). З одного боку, оскільки цей сигнал вузькосмуговий із середньою частотою спектру ω 0 можна аналогічно (3.11) записати

де S ? y - спектр Фур'є комплексного (аналітичного) сигналу ?(t) = y(t) + ?(t) = ? ye itω 0 , при цьому S ? . З іншого боку, для лінійної системи з постійними параметрами спектральні характеристики сигналів на вході та виході пов'язані співвідношенням

Sy(iω) - Sx(iω)k(iω). (3.14)

Підставляючи в (3.14) співвідношення (3.11) і (3.12) та враховуючи виноску на стор. 78, отримуємо

З (3.13) та (3.15)

Як наслідок комплексна огинаюча сигналу на виході вузькосмугового каналу A y (t) виходить як згортка комплексної огинаючої вхідного сигналу A x (t) і комплексної огинаючої імпульсної реакції фільтра γ̇(t)

Якщо фільтр не спотворює, тобто Γ(iω) = γe -it 0 ω або ġ(t) = γδ(t-t 0), то, використовуючи фільтруючу властивість б-функції, з (3.17) отримаємо

Запишемо комплексні обгинальні через синфазні та квадратурні компоненти:

? X (t) = A X, C (t) + iA X, S (t);

γ̇(t) = γ C (t) + iγ S (t);

? y (t) = A Y, C (t) + iA Y, S (t), (3.18)

Тоді з (3.17)

У приватній галузі співвідношення (3.19) набуває вигляду:

Отже, смугова фільтрація з передавальною функцією k (iω) вузькосмугового

процесу x(t) еквівалентна низькочастотній фільтрації з передавальною функцією Γ(iω) комплексного низькочастотного процесу x (t) (див. рис. 3.2).

Процеси А Х,З і А Х,S можна отримати з x(t) у пристрої, функціональна схема якого представлена ​​на рис. 3.3,а. Дійсно, помножуючи x(t) на 2cos 0 t отримаємо

[ AX, С (t) cos ω 0 t + AX, S (t) sin ω 0 t] 2 cos ω 0 t = AX, C (t) + AX, C (t) cos 2 ω 0 t + AX, S(t) sin 2ω 0 t, (3.21)

а ФНЧ пропустить тільки перший низькочастотний решта двох членів є високочастотними і будуть фільтром затримані. Аналогічно в другій галузі виділиться квадратурна складова A X, S (t).

Тепер розглянемо, як можна реалізувати комплексну низькочастотну фільтрацію (3.19) або (3.20) три допомоги реальних низькочастотних фільтрів (у такого фільтра відгук на речовий сигнал речовий або передатна функція задовольняє умові виноски на стор. 77), оперуючи квадратурними складовими. Це здійснюється згідно з (3.19) або (3.20) двоканальною фільтрацією речовинних низькочастотних синфазних та квадратурних компонентів (рис. 3.3,6).

Проходження випадкових сигналів через нелінійні ланцюги. Обмежимося розглядом лише безінерційних нелінійних систем з регулярними параметрами, у яких вхід та вихід пов'язані деякою нелінійною залежністю, яка називається характеристикою системи:

y(t) = φ, (3.22)

Співвідношенням (3.22) досить точно може бути охарактеризована робота ряду ланок реальних каналів зв'язку, наприклад входять до складу демодуляторів, обмежувачів, модуляторів тощо. Перетворення x(t)→y(t), як правило, однозначно, що не завжди можна сказати про зворотне перетворення y(t)→x(t) (наприклад, квадратичний ланцюг з характеристикою y = kx 2). В силу незастосовності суперпозиції до нелінійних систем розгляд складного впливу (наприклад, суми детермінованого та випадкового доданків) не можна звести до розгляду проходження кожної зі складових окремо.

При нелінійних перетвореннях виникає трансформація спектра вхідного впливу. Так, якщо на вхід нелінійної системи впливає суміш регулярного сигналу і адитивного шуму X(t) = u(t) + N(t) у вузькій смузі частот F c , що групується близько середньої частоти f 0 то в загальному випадку на виході будуть присутні складові комбінаційних частот трьох видів, що групуються близько частот nf 0 (n = 0, 1,...), продукти биття складових вхідного сигналу між собою (с×с), продукти биття складових вхідного шуму (ш×ш); продукти биття сигналу та шуму (с×ш). Розділити їх у виході системи зазвичай неможливо.

Якщо відомі характеристика y = φ(х) нелінійної системи та двовимірна функція розподілу вхідного впливу w(x 1 , х 2 , t 1 , t 2), основні статистичні характеристики вихідного процесу, в принципі, завжди можна визначити. Так, математичне очікування відгуку

а його кореляційна функція

Зворотним перетворенням Фур'є можна знайти (3.24) і енергетичний спектр.

Використовуючи правила знаходження законів розподілу для функцій від випадкових величин (випадкових процесів), можна, в принципі, знаходити і розподіл вихідного процесу будь-якого порядку, якщо відомий розподіл вхідного процесу. Однак визначення ймовірнісних характеристик відгуку нелінійних систем (ланцюгів) навіть на стаціонарні вхідні впливи виявляється дуже громіздким і складним, незважаючи на те, що для вирішення цього завдання розроблено низку спеціальних прийомів. У багатьох випадках, особливо для вузькосмугових сигналів, ці розрахунки значно спрощуються при використанні квазігармонічного подання процесу.

Як приклад розглянемо проходження через квадратичний детектор суми гармонійного сигналу s(t) = U 0 cos ω 0 t і стаціонарного квазібілого вузькосмугового шуму n(t) = X cn (t) × X cos ω 0 t + X sn sin ω 0 t , де X cn (t), X sn (t) - не корельовані квадратурні гауссівські компоненти шуму, у яких m Х сп = m X sn = 0, X cn (τ) = X sn (τ) = В (τ ), а енергетичний спектр рівномірний та обмежений смугою частот F n