Фундаментальні дослідження. Тимчасові ряди у STATISTICA

а) звернутися до Майстру функцій і вибрати потрібну категорію функцій, потім вказати ім'я функції та задати відповідні діапазони осередків,

б) ввести з клавіатури ім'я функції встановити відповідні діапазони осередків.

Транспонування матриці здійснюється за допомогою функції ТРАНСП (категорія функцій – Посилання та масиви

ТРАНСП ( діапазон осередків),

де параметр діапазон осередківзадає всі елементи матриці, що транспонується (або вектора).

Розмноження матриць здійснюється за допомогою функції МУМНОЖ (категорія функцій – Математичні).Звернення до функції має вигляд:

МУМНІЖ( діапазон_1;діапазон_2),

де параметр діапазон_1задає елементи першої з матриць, що перемножуються, а параметр діапазон_2 -елементи другої матриці. При цьому матриці, що перемножуються, повинні мати відповідні розміри (якщо перша матриця , друга - , то результатом буде матриця ).

Звернення матриці (обчислення зворотної матриці) здійснюється за допомогою функції МОБР (категорія функцій – Математичні). Звертання до функції має вигляд:

МОБР ( діапазон осередків),

де параметр діапазон осередківзадає всі елементи матриці, яка повинна бути квадратною і невиродженою.

При використанні цих функцій необхідно дотримуватися наступного порядку дій:

· виділити фрагмент осередків, До яких буде занесений результат виконання матричних функцій (при цьому треба враховувати розміри вихідних матриць);

· ввести арифметичний вираз, Що містить звернення до матричних функцій Excel;

· одночасно натиснути клавіші, , . Якщо цього не зробити, то обчислиться лише один елементрезультуючої матриці або вектор.

Режим Регресія модуля Аналіз даних. Табличний процесор Excel містить модуль Аналіз даних. Цей модуль дозволяє виконати статистичний аналіз вибіркових даних (побудова гістограм, обчислення числових характеристик тощо). Режим роботи Регресіяцього модуля здійснює обчислення коефіцієнтів лінійної множинної регресії зі змінними, побудова довірчих інтервалів та перевірку значущості рівняння регресії.

Для виклику режиму Регресіямодуля Аналіз даних необхідно:

· звернутися до пункту меню Сервіс;

· у меню виконати команду Аналіз даних;

· у списку режимів роботи модуля Аналіз даних вибрати режим Регресіята клацнути на кнопці Ok .

Після виклику режиму Регресіяна екрані з'являється діалогове вікно, в якому задаються такі параметри:

1. Вхідний інтервал Y –вводиться діапазон адрес осередків, що містять значення (комірки повинні становити один стовпець).

Рис. 3.2. Діалогове вікно режиму Регресія

2. Вхідний інтервал X –вводиться діапазон адрес осередків, що містять значення незалежних змінних. Значення кожної змінної є одним стовпцем. Кількість змінних трохи більше 16 (тобто.).

3. Мітки –включається, якщо перший рядок у вхідному діапазоні містить заголовок. У цьому випадку автоматично буде створено стандартні назви.

4. Рівень надійності –при включенні цього параметра визначається надійність при побудові довірчих інтервалів.

5. Константа-нуль– при увімкненні цього параметра коефіцієнт .

6. Вихідний інтервал –при включенні активізується поле, в яке необхідно ввести адресу лівого верхнього осередку вихідного діапазону, який містить осередки з результатами обчислень режиму Регресія.

7. Новий робочий лист –при включенні цього параметра відкривається новий лист, в який, починаючи з осередку А1, вставляються результати роботи режиму. Регресія.

8. Нова робоча книга- при включенні цього параметра відкривається нова книга на першому аркуші якої, починаючи з осередку А1, вставляються результати роботи режиму. Регресія.

9. Залишки –при включенні обчислюється стовпець, що містить нев'язки .

10. Стандартизовані залишки –при включенні обчислюється стовпець, який містить стандартизовані залишки.

Після цього режим Регресіяі в діалоговому вікні задамо необхідні параметри. Зауважимо, через велику «ширину» таблиць, у яких виводяться результати роботи режиму Регресія,частина результатів поміщені до інших осередків.

Дамо коротку інтерпретацію показникам, значення яких обчислюються в режимі Регресія.Спочатку розглянемо показники, об'єднані назвою Регресійна статистика(Див. рис. 3.3).

Множинний - корінь квадратний коефіцієнт детермінації.

квадрат- Коефіцієнт детермінації.

Рис. 3.3. Результати роботи режиму Регресія

Нормований квадрат- Наведений коефіцієнт детермінації (див. формулу (2.1)).

Стандартна помилка- Оцінка для середньоквадратичного відхилення.

Спостереження- Число спостережень.

1. Перетворення Фур'є та спектр сигналу

Щоб перевірити, чи правильно працює програма, сформуємо масив відліків як суму двох синусоїд sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) і подсунем програмі. Програма намалювала таке:

рис.1 Графік тимчасової функції сигналу

рис.2 Графік спектра сигналу

На графіку спектра є дві палиці (гармоніки) 5 Гц з амплітудою 0.5 і 10 Гц - з амплітудою 1 В, все як у формулі вихідного сигналу. Все чудово, програміст молодець! Програма працює правильно.

Це означає, що якщо ми подамо на вхід АЦП реальний сигнал із суміші двох синусоїд, ми отримаємо аналогічний спектр, що складається з двох гармонік.

Отже, наш реальнийвиміряний сигнал, тривалістю 5 сек, оцифрований АЦП, тобто представлений дискретнимивідліками, має дискретний неперіодичнийспектр.

З математичної точки зору – скільки помилок у цій фразі?

рис.4 Спектр функції

Щось ніби не те! Гармоніка 10 Гц малюється нормально, а замість ціпка на 5 Гц з'явилося кілька якихось незрозумілих гармонік. Дивимося в інтернетах, що та як…

Во, кажуть, що в кінець вибірки треба додати нулі, і спектр малюватиметься нормальний.

рис.5 Добили нулів до 5 сік

рис.6 Отримали спектр

Все одно не те, що було на 5 секунд. Прийде розбиратися з теорією. Ідемо в Вікіпедію- джерело знань.

2. Безперервна функція та уявлення її поруч Фур'є

(1), де:

K – номер тригонометричної функції (номер гармонічної складової, номер гармоніки)
T – відрізок, де функція визначена (тривалість сигналу)
Ak - амплітуда k-ої гармонійної складової,
?k- початкова фаза k-ої гармонійної складової

Що означає «подати функцію у вигляді суми ряду»? Це означає, що, склавши у кожному точці значення гармонійних складових низки Фур'є, ми отримаємо значення нашої функції у цій точці.

(Суворіше, середньоквадратичне відхилення ряду від функції f(x) буде прагнути до нуля, але незважаючи на середньоквадратичну збіжність, ряд Фур'є функції, взагалі кажучи, не повинен сходитися до неї поточечно. Див. https://ru.wikipedia.org/ wiki/Ряд_Фур'є .)

Цей ряд може бути записаний у вигляді:

(2),
де , k-я комплекснаамплітуда.

Зв'язок між коефіцієнтами (1) та (3) виражається такими формулами:

Зазначимо, всі ці три уявлення низки Фур'є абсолютно рівнозначні. Іноді під час роботи з рядами Фур'є буває зручніше використовувати замість синусів і косінусів експоненти уявного аргументу, тобто використовувати перетворення Фур'є у комплексній формі. Але нам зручно використовувати формулу (1), де ряд Фур'є представлений у вигляді суми косінусоїд з відповідними амплітудами та фазами. У жодному разі неправильно говорити, що результатом перетворення Фур'є дійсного сигналу будуть комплексні амплітуди гармонік. Як правильно говориться в Вікі «Перетворення Фур'є (?) - операція, що співставляє однієї функції речової змінної іншу функцію, також речової змінної.»

Разом:
Математичною основою спектрального аналізу сигналів є перетворення Фур'є.

Перетворення Фур'є дозволяє уявити безперервну функцію f(x) (сигнал), визначену на відрізку (0, T) у вигляді суми нескінченного числа (нескінченного ряду) тригонометричних функцій (синусоїд та/або косінусоїд) з певними амплітудами та фазами, що також розглядаються на відрізку (0, T). Такий ряд називається поряд Фур'є.

Зазначимо ще деякі моменти, розуміння яких потрібно правильного застосування перетворення Фур'є до аналізу сигналів. Якщо розглянути ряд Фур'є (суму синусоїд) на всій осі Х, то можна побачити, що поза відрізком (0, T) функція представлена ​​поруч Фур'є періодично повторюватиме нашу функцію.

Наприклад, на графіці рис.7 вихідна функція визначена на відрізку (-T2, + T2), а ряд Фур'є представляє періодичну функцію, визначену на всій осі х.

Це тому, що синусоїди самі є періодичними функціями, відповідно і їх сума буде періодичною функцією.

рис.7 Подання неперіодичної вихідної функції поруч Фур'є

Таким чином:

Наша вихідна функція – безперервна, неперіодична, визначена на деякому відрізку довжиною T.
Спектр цієї функції – дискретний, тобто представлений у вигляді нескінченного ряду гармонійних складових – низки Фур'є.
По факту, поруч Фур'є визначається деяка періодична функція, що збігається з нашою на відрізку (0, T), але для нас ця періодичність не суттєва.

Періоди гармонійних складових кратні величині відрізка (0, T), на якому визначено вихідну функцію f(x). Інакше кажучи, періоди гармонік кратні тривалості вимірювання сигналу. Наприклад, період першої гармоніки низки Фур'є дорівнює інтервалу Т, у якому визначено функція f(x). Період другої гармоніки ряду Фур'є дорівнює інтервалу Т/2. І так далі (див. мал. 8).

рис.8 Періоди (частоти) гармонійних складових ряду Фур'є (тут Т=2?)

Відповідно, частоти гармонійних складових кратні величині 1/Т. Тобто частоти гармонійних складових Fk рівні Fk= к\Т, де пробігає значення від 0 до?, наприклад до=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к = 3 F3 = 3 \ T; ... Fk = к \ Т (при нульовій частоті - постійна складова).

Нехай наша вихідна функція є сигналом, записаним протягом Т=1 сек. Тоді період першої гармоніки дорівнюватиме тривалості нашого сигналу Т1=Т=1 сек і частота гармоніки дорівнює 1 Гц. Період другої гармоніки дорівнюватиме тривалості сигналу, поділеної на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) і частота дорівнює 2 Гц. Для третьої гармоніки Т3=Т/3 с і частота дорівнює 3 Гц. І так далі.

Крок між гармоніками в цьому випадку дорівнює 1 Гц.

Таким чином, сигнал тривалістю 1 сек можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з роздільною здатністю по частоті 1 Гц.
Щоб збільшити дозвіл у 2 рази до 0,5 Гц – треба збільшити тривалість вимірювання у 2 рази – до 2 сек. Сигнал тривалістю 10 с можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з роздільною здатністю по частоті 0,1 Гц. Інших способів збільшити роздільну здатність за частотою немає.

Існує спосіб штучного збільшення тривалості сигналу шляхом додавання нулів до масиву відліків. Але реальну роздільну здатність за частотою він не збільшує.

3. Дискретні сигнали та дискретне перетворення Фур'є

Звичайна схема вимірювання та оцифрування сигналу виглядає наступним чином.

рис.9 Схема вимірювального каналу

Сигнал із вимірювального перетворювача надходить на АЦП протягом періоду часу Т. Отримані за час Т відліки сигналу (вибірка) передаються в комп'ютер і зберігаються в пам'яті.

10 Оцифрований сигнал - N відліків отриманих за час Т

Які вимоги висуваються до параметрів оцифрування? Пристрій, що перетворює вхідний аналоговий сигнал дискретний код ( цифровий сигнал) називається аналого-цифровий перетворювач (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Однією з основних параметрів АЦП є максимальна частота дискретизації (або частота семплювання, англ. sample rate) - частота взяття відліків безперервного у часі сигналу за його дискретизації. Вимірюється у герцах. ((Wiki))

Відповідно до теореми Котельникова, якщо безперервний сигнал має спектр, обмежений частотою Fмакс, він може бути повністю і однозначно відновлено з його дискретним відлікам, взятим через інтервали часу , тобто. з частотою Fd? 2*Fмакс, де Fd – частота дискретизації; Fмакс – максимальна частота спектра сигналу. Іншими словами, частота оцифровки сигналу (частота дискретизації АЦП) повинна як мінімум у 2 рази перевищувати максимальну частоту сигналу, який ми хочемо виміряти.

А що буде, якщо ми братимемо відліки з меншою частотою, ніж потрібно за теоремою Котельникова?

У цьому випадку виникає ефект «аліасингу» (він же стробоскопічний ефект, муаровий ефект), при якому сигнал високої частоти після оцифрування перетворюється на сигнал низької частоти, якого насправді не існує. На рис. 5 червона синусоїда високої частоти – це реальний сигнал. Синя синусоїда нижчої частоти - фіктивний сигнал, що виникає внаслідок того, за час взяття відліку встигає пройти більше, ніж півперіоду високочастотного сигналу.

Рис. 11. Поява помилкового сигналу низької частоти за недостатньо високої частоти дискретизації

Щоб уникнути ефекту аліасингу перед АЦП ставлять спеціальний антиаліасинговий фільтр - ФНЧ (фільтр нижніх частот), який пропускає частоти нижче половини частоти дискретизації АЦП, а більше високі частотизарізає.

Для того, щоб обчислити спектр сигналу за його дискретними відліками, використовується дискретне перетворення Фур'є (ДПФ). Зазначимо ще раз, що спектр дискретного сигналу «за визначенням» обмежений частотою Fмакс меншою половиною частоти дискретизації Fd. Тому спектр дискретного сигналу може бути представлений сумою кінцевого числа гармонік, на відміну від нескінченної суми для Фур'є ряду безперервного сигналу, спектр якого може бути необмежений. Відповідно до теореми Котельникова максимальна частота гармоніки має бути такою, щоб на неї припадало як мінімум два відліки, тому число гармонік дорівнює половині числа відліків дискретного сигналу. Тобто якщо у вибірці є N відліків, то число гармонік у діапазоні дорівнюватиме N/2.

Розглянемо тепер дискретне перетворення Фур'є (ДПФ).

Порівнюючи з рядом Фур'є

Бачимо, що вони збігаються, за винятком того, що час у ДПФ має дискретний характер і число гармонік обмежено величиною N/2 – половиною числа відліків.

Формули ДПФ записуються в безрозмірних цілих змінних k, s де k – номери відліків сигналу, s – номери спектральних складових.
Величина s показує кількість повних коливань гармоніки на періоді Т (тривалості вимірювання сигналу). Дискретне перетворення Фур'є використовується знаходження амплітуд і фаз гармонік чисельним методом, тобто. "на комп'ютері"

Повертаючись до результатів, отриманих на початку. Як було зазначено вище, при розкладанні у ряд Фур'є неперіодичної функції (нашого сигналу), отриманий ряд Фур'є фактично відповідає періодичній функції з періодом Т. (рис.12).

рис.12 Періодична функція f(x) з періодом Т0, з періодом вимірювання Т>T0

Як видно з рис.12 функція f(x) періодична з періодом Т0. Однак через те, що тривалість вимірювальної вибірки Т не збігається з періодом функції Т0, функція, що отримується як ряд Фур'є, має розрив у точці Т. В результаті спектр цієї функції міститиме велика кількістьвисокочастотних гармонік. Якби тривалість вимірювальної вибірки Т збігалася з періодом функції Т0, то отриманому після перетворення Фур'є спектрі була б тільки перша гармоніка (синусоїда з періодом рівним тривалості вибірки), оскільки функція f(x) являє собою синусоїду.

Іншими словами, програма ДПФ «не знає», що наш сигнал є «шматком синусоїди», а намагається представити у вигляді ряду періодичну функцію, яка має розрив через нестиковку окремих шматків синусоїди.

У результаті спектрі з'являються гармоніки, які мають у сумі зобразити форму функції, включаючи цей розрив.

Таким чином, щоб отримати «правильний» спектр сигналу, що є сумою декількох синусоїд з різними періодами, необхідно, щоб на періоді вимірювання сигналу вкладалося ціле число періодів кожної синусоїди. На практиці цю умову можна виконати за досить великої тривалості вимірювання сигналу.

Рис.13 Приклад функції та спектра сигналу кінематичної похибки редуктора

За меншої тривалості картина виглядатиме «гірше»:

Рис.14 Приклад функції та спектру сигналу вібрації ротора

Насправді буває складно зрозуміти, де «реальні складові», де «артефакти», викликані некратностью періодів складових і тривалості вибірки сигналу чи «стрибками і розривами» форми сигналу. Звичайно слова «реальні складові» та «артефакти» не дарма взяті у лапки. Наявність на графіку спектра безлічі гармонік означає, що наш сигнал насправді їх «складається». Це все одно що вважати, що число 7 «складається» з чисел 3 і 4. Число 7 можна представити у вигляді суми чисел 3 і 4 - це правильно.

Так і наш сигнал… а точніше навіть не «наш сигнал», а періодичну функцію, складену шляхом повторення нашого сигналу (вибірки) можна у вигляді суми гармонік (синусоїд) з певними амплітудами та фазами. Але в багатьох важливих для практики випадках (див. малюнки вище) дійсно можна пов'язати отримані в спектрі гармоніки і з реальними процесами, що мають циклічний характер і значний внесок у форму сигналу.

Деякі підсумки

2. Сигнал представлений набором дійсних значень та його спектр представлений набором дійсних значень. Частоти гармонік позитивні. Те, що математикам буває зручніше уявити спектр у комплексній формі з використанням негативних частот, не означає, що «так правильно» і «так завжди треба робити».

3. Сигнал, виміряний на відрізку часу Т визначено тільки на відрізку часу Т. Що було до того, як ми почали вимірювати сигнал, і що буде після того – науці це невідомо. І в нашому випадку – нецікаво. ДПФ обмеженого в часі сигналу дає його «справжній» спектр, у тому сенсі, що за певних умов дозволяє обчислити амплітуду та частоту його складових.

Використані матеріали та інші корисні матеріали.

Метод аналізу був заснований на про рядах Фур'є. Ряд починається з розкладання складної форми на прості. Фур'є показав, що складна форма хвилі може бути представлена ​​як сума найпростіших хвиль. Як правило, рівняння, що описують класичні системи легко вирішуються для кожної з цих простих хвиль. Далі Фур'є показав, як ці прості рішення можна підсумовувати, щоб отримати вирішення всього складного завдання загалом. (Говорячи мовою математики, ряд Фур'є – це метод представлення функції сумою гармонік – синусоїд та косінусоїд, тому аналіз Фур'є був відомий також під назвою «гармонічний аналіз».)

Згідно з гіпотезою Фур'є немає функції, яку не можна було б розкласти в тригонометричний ряд. Розглянемо, як можна провести дане розкладання. Розглянемо таку систему ортонормованих функцій на відрізка [–π, π]: (1, cos(t),
sin(t),
cos(2t),
sin(2t),
cos(3t),
sin(3t), …,
cos(nt),
sin(nt),…).

Керуючись тим, що дана системафункцій є ортонормованою, функцію f(t) на відрізку [π, –π] можна апроксимувати наступним чином:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
sin(3t)+… (6)

Коефіцієнти α n , β n обчислюються через скалярний добуток функції та базисної функції за формулами, розглянутими раніше, і виражаються таким чином:

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

β n = , sin(nt) > =
.

Вираз (6) можна записати у стислому вигляді наступним чином:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

а n =
α n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

Так як за n = 0 cos(0) = 1, константа a 0 /2 виражає загальний вигляд коефіцієнта a n при n = 0.

Коефіцієнти a n і b n називають коефіцієнтами Фур'є, а уявлення функції f(t) за формулою (7) - розкладанням до ряду Фур'є. Іноді розкладання ряд Фур'є, представлене у такому вигляді, називають дійсним розкладанням ряд Фур'є, а коефіцієнти – дійсними коефіцієнтами Фур'є. Термін «дійсний» вводиться для того, щоб відрізнити дане розкладання від комплексного розкладання.

Проаналізуємо вирази (8) та (9). Коефіцієнтa 0 являє собою середнє значення функції f(t) на відрізку [-π,π] або постійну складову сигналу f(t). Коефіцієнти a n і b n (приn> 0) – це амплітуди косинусних та синусних складових функції (сигналу) f(t) з кутовою частотою рівною n. Іншими словами, дані коефіцієнти задають величину частотних складових сигналів. Наприклад, коли ми говоримо про звуковий сигнал з низькими частотами (наприклад, звуки бас-гітари), це означає, що коефіцієнти a n і b n більше при менших значеннях і навпаки – у високочастотних звукових коливаннях (наприклад, звук скрипки) більше при великих значеннях n.

Коливання найбільшого періоду (або найнижчої частоти), представлене сумою a 1 cos(t) та b 1 sin(t) називають коливанням основної частоти або першою гармонікою. Коливання з періодом, що дорівнює половині періоду основної частоти – другий гармонікою, коливання з періодом рівним 1/n основної частоти – n-гаромонікою. Таким чином, за допомогою розкладання функції f(t) в ряд Фур'є, ми можемо здійснити перехід з тимчасової області в частотну. Такий перехід зазвичай необхідний виявлення особливостей сигналу, які «непомітні» у часовій області.

Звернемо увагу, що формули (8) і (9) застосовні для періодичного сигналу з рівним періодом 2π. У випадку Фур'є можна розкласти періодичний сигнал з періодом T, тоді при розкладанні використовується відрізок [–T/2, T/2]. Період першої гармоніки дорівнює T і складові набудуть вигляду cos(2πt/T) і sin(2πt/T), складові n-гармоніки – cos(2πtn/T) і sin(2πtn/T).

Функцію f(t) на відрізку [–T/2,T/2] можна апроксимувати таким чином:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

b n=
.

Якщо позначити кутову частоту першої гармоніки ω 0 = 2π/T, тоді складові n-гармоніки набувають вигляду cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) і

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

де коефіцієнти Фур'є обчислюються за формулами:

a n =
,

b n =
.

Перетворення Фур'є– це сімейство математичних способів, заснованих на розкладанні вихідної безперервної функції іноді на сукупність базисних гармонійних функцій (як яких виступають синусоїдальні функції) різної частоти, амплітуди і фази. З визначення видно, що основна ідея перетворення полягає в тому, що будь-яку функцію можна представити у вигляді нескінченної суми синусоїд, кожна з яких характеризуватиметься своєю амплітудою, частотою та початковою фазою.

Перетворення Фур'є є основоположником спектрального аналізу. Спектральний аналіз – це спосіб обробки сигналів, який дозволяє охарактеризувати частотний склад сигналу, що вимірюється. Залежно від цього, як представлений сигнал, використовують різні перетворення Фур'є. Розрізняють кілька видів перетворення Фур'є:

– Безперервне перетворення Фур'є (в англомовній літературі Continue Time Fourier Transform – CTFTабо, скорочено, FT);

– Дискретне перетворення Фур'є (в англомовній літературі Discrete Fourier Transform – DFT);

- Швидке перетворення Фур'є (в англомовній літературі Fast Fourier transform - FFT).

Безперервне перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є є математичним інструментом, що застосовується у різних наукових галузях. У деяких випадках його можна використовувати як рішення складних рівнянь, що описують динамічні процеси, що виникають під впливом електричної, теплової або світлової енергії. В інших випадках воно дозволяє виділяти регулярні складові у складному коливальному сигналі, завдяки чому можна правильно інтерпретувати експериментальні спостереження в астрономії, медицині та хімії. Безперервне перетворення фактично є узагальненням рядів Фур'є за умови, що період функції, що розкладається, спрямувати до нескінченності. Таким чином, класичне перетворення Фур'є має справу зі спектром сигналу, взятим у всьому діапазоні існування змінної.

Існує кілька видів запису безперервного перетворення Фур'є, що відрізняються один від одного значенням коефіцієнта перед інтегралом (дві форми запису):

або

де і - Фур'є-образ функції або частотний спектрфункції;

- Кругова частота.

Слід зазначити, що різні види запису зустрічаються у різних галузях науки та техніки. Нормуючий коефіцієнт необхідний для коректного масштабування сигналу з частотної області у часову. Нормуючий коефіцієнт зменшує амплітуду сигналу на виході зворотного перетворення для того, щоб вона збігалася з амплітудою вихідного сигналу. У математичній літературі пряме і зворотне перетворення Фур'є множаться на множник, тоді як у фізиці найчастіше при прямому перетворенні множник не ставлять, а при зворотному ставлять множник. Якщо послідовно розрахувати пряме перетворення Фур'є деякого сигналу, а потім взяти зворотне перетворення Фур'є, результат зворотного перетворення повинен повністю збігатися з вихідним сигналом.

Якщо функція непарна на інтервалі (−∞, +∞), то перетворення Фур'є може бути представлене через синус-функцію:

Якщо функція парна на інтервалі (−∞, +∞), то перетворення Фур'є може бути представлене через косинус-функцію:

Таким чином, безперервне перетворення Фур'є дозволяє уявити неперіодичну функцію у вигляді інтеграла функції, що представляє в кожній своїй точці коефіцієнт ряду Фур'є для неперіодичної функції.

Перетворення Фур'є є оборотним, тобто якщо за функцією був розрахований її Фур'є-образ, то за Фур'є-образом можна однозначно відновити вихідну функцію. Під зворотним перетворенням Фур'є розуміють інтеграл виду (дві форми запису):

або

де - Фур'є-образ функції або частотний спектр функції;

- Кругова частота.

Якщо функція непарна на інтервалі (−∞, +∞), то зворотне перетворення Фур'є може бути представлене через синус-функцію:

Якщо функція парна на інтервалі (−∞, +∞), то зворотне перетворення Фур'є може бути представлене через косинус-функцію:

Як приклад, розглянемо таку функцію . Графік досліджуваної експонентної функції представлений нижче.

Оскільки функція є парною функцією, то безперервне перетворення Фур'є визначатиметься так:

В результаті одержали залежність зміни досліджуваної експоненційної функції на частотному інтервалі (див. нижче).

Безперервне перетворення Фур'є використовують, як правило, в теорії при розгляді сигналів, які змінюються відповідно до заданих функцій, але на практиці зазвичай мають справу з результатами вимірювань, які є дискретними даними. Результати вимірювань фіксуються через рівні проміжки часу з певною частотою дискретизації, наприклад 16000 Гц або 22000 Гц. Однак у випадку дискретні відліки можуть бути нерівномірно, але це ускладнює математичний апарат аналізу, тому практично зазвичай не застосовується.

Існує важлива теорема Котельникова (в іноземній літературі зустрічається назва «теорема Найквіста-Шеннона», «теорема відліків»), яка свідчить, що аналоговий періодичний сигнал, що має кінцевий (обмежений шириною) спектр (0…fmax), може бути однозначно відновлений без спотворень і втрат за своїми дискретними відліками, взятими з частотою, більшою або рівною подвоєної верхньої частоти спектра - частота дискретизації (f дискр = 2 * fmax). Іншими словами, при частоті дискретизації 1000 Гц із аналогового періодичного сигналу можна відновити сигнал із частотою до 500 Гц. Слід зазначити, що дискретизація функції за часом призводить до періодизації спектра, а дискретизація спектра за частотою призводить до періодизації функції.

Це одне з перетворень Фур'є, які широко застосовуються в алгоритмах. цифрової обробкисигналів.

Пряме дискретне перетворення Фур'є ставить у відповідність часової функції, яка визначена N-точками вимірювань на заданому часовому інтервалі, іншу функцію, яка визначена на частотному інтервалі. Слід зазначити, що функція на часовому інтервалі визначається за допомогою N-відліків, а функція на частотному інтервалі визначається за допомогою K-кратного спектра.

k ˗ індекс частоти.

Частота k-го сигналу визначається за виразом

де T - період часу, протягом якого брали вхідні дані.

Пряме дискретне перетворення може бути переписано через речовинну та уявну складові. Речова складова являє собою масив, що містить значення косинусоїдальних складових, а уявна складова являє собою масив, що містить значення синусоїдальних складових.

З останніх виразів видно, що перетворення розкладає сигнал на синусоїдальні складові (які називаються гармоніками) із частотами від одного коливання за період до N коливань за період.

Дискретне перетворення Фур'є має особливість, оскільки дискретна послідовність то, можливо отримана сумою функцій з різним складом гармонійного сигналу. Інакше кажучи, дискретна послідовність розкладається на гармонійні змінні – неоднозначно. Тому при розкладанні дискретної функціїза допомогою дискретного перетворення Фур'є у другій половині спектру виникають високочастотні складові, яких не було в оригінальному сигналі. Даний високочастотний спектр є дзеркальним відображенням першої частини спектра (частини, фази і амплітуди). Зазвичай друга половина спектра не розглядається, а амплітуди сигналу першої частини спектра – подвоюються.

Слід зазначити, що розкладання безперервної функції не призводить до появи дзеркального ефекту, оскільки безперервна функція однозначно розкладається гармонійні змінні.

Амплітуда постійної складової є середнім значенням функції за вибраний проміжок часу та визначається наступним чином:

Амплітуди та фази частотних складових сигналу визначаються за такими співвідношеннями:

Отримані значення амплітуди та фази називають полярним уявленням (polar notation). Результуючий вектор сигналу визначатиметься таким чином:

Розглянемо алгоритм перетворення дискретно заданої функції на заданому інтервалі (на заданому періоді) з кількістю вихідних точок

Дискретне перетворення Фур'є

В результаті перетворення отримуємо речове та уявне значення функції , яка визначена на частотному діапазоні.

Зворотне дискретне перетворення Фур'є ставить у відповідність частотної функції , яка визначена K-кратним спектром частотному інтервалі, іншу функцію , яка визначена на часовому інтервалі.

N - кількість значень сигналу, виміряних за період, а також кратність частотного спектра;

k ˗ індекс частоти.

Як було зазначено, дискретне перетворення Фур'є N-точкам дискретного сигналу ставить у відповідність N-комплексних спектральних відліків сигналу . Для обчислення одного спектрального відліку потрібно N операцій комплексного множення та додавання. Таким чином, обчислювальна складність алгоритму дискретного перетворення Фур'є є квадратичною, тобто потрібно операцій комплексного множення та додавання.

У розділі Вступний огляд обговорюються два дуже прості приклади (взяті у Shumway, 1988) для ілюстрації природи спектрального аналізу та інтерпретації результатів. Якщо ви не знайомі з цим методом, рекомендується подивитися спочатку даний розділцього розділу.

Огляд та файл даних. Файл Sunspot.sta містить частину відомих чисел сонячних плям (Wolfer) з 1749 по 1924 (Anderson, 1971). Нижче наведено список перших декількох даних із файлу з прикладами.

Передбачається, що кількість сонячних плям впливає погоду землі, і навіть сільське господарство, на телекомунікації тощо. Застосовуючи цей аналіз, можна спробувати з'ясувати, чи дійсно активність сонячних плям має циклічну природу (насправді, ці дані широко обговорюються в літературі; див., наприклад, Bloomfield, 1976, або Shumway, 1988).

Визначення аналізу. Після запуску аналізу відкрийте файл даних Sunspot.sta. Натисніть кнопку Змінні та виберіть змінну Spots (зауважимо, що якщо файл даних Sunspot.sta - поточний відкритий файлданих і змінна Spots - єдина змінна в цьому файлі, то коли відкриється діалогове вікно Аналіз часових рядів, Spots буде обрана автоматично). Тепер натисніть кнопку Фур'є (спектральний) аналіз, щоб відкрилося діалогове вікно Фур'є (спектральний) аналіз.

Перед застосуванням спектрального аналізу спочатку побудуйте графік кількості сонячних плям. Зверніть увагу, що файл Sunspot.sta містить відповідні роки як імена спостережень. Щоб використати ці імена у лінійних графіках, клацніть на вкладці Перегляд ряду та виберіть Імена спостережень у розділі Позначити точки. Також виберіть Задати масштаб осі Х вручну та Мін. = 1, а Крок = 10. Потім натисніть кнопку Графік, що йде за кнопкою Перегляд виділ. змінної.

Здається, що кількість сонячних плям підпорядкована циклічній моделі. Тренд не простежується, тому поверніться у вікно Спектральний аналіз та скасуйте виділення опції Видалити лінійний тренд у групі Перетворення вихідного ряду.

Очевидно, що середнє ряду більше ніж 0 (нуль). Тому залиште опцію Відняти середню обрану [інакше періодограма "заб'ється" дуже великим піком на частоті 0 (нуль)].

Тепер ви готові розпочати аналіз. Тепер клацніть OK (Одномірний аналіз Фур'є) для виклику діалогового вікна Результати спектрального аналізу Фур'є.

Перегляд результатів. Розділ інформації у верхній частині діалогового вікна показує деякі підсумкові статистики низки. Він також показує п'ять найбільших піків періодограми (за частотою). Найбільші три піки на частотах 0.0852, 0.0909 та 0.0114. Ця інформація часто корисна при аналізі дуже великих рядів (наприклад, з більш ніж 100 000 спостереженнями), які непросто зробити на одному графіку. В цьому випадку, однак, легко побачити значення періодограми; клацнувши кнопку Періодограма в розділі Періодограма та графіки спектральної щільності.

На графіку періодограми видно два чіткі піки. Максимальний – на частоті приблизно 0.9. Поверніться у вікно Результати спектрального аналізу та натисніть кнопку Підсумок, щоб побачити всі значення періодограми (та інші результати) у таблиці результатів. Нижче показана частина таблиці результатів із найбільшим піком, встановленим за періодограмою.

Як обговорювалося у розділі Вступний огляд, Частота - це число циклів за одиницю часу (де кожне спостереження становить одну одиницю часу). Таким чином, Частота 0.0909 відповідає значенню 11 Періоду (кількість одиниць часу, потрібних на повний цикл). Оскільки дані сонячних плям у Sunspot.sta є річні спостереження, можна зробити висновок, що існує яскраво виражений 11-річний (можливо трохи довший ніж 11-річний) цикл в активності сонячних плям.

Спектральна густина. Зазвичай для обчислення оцінок спектральної щільності періодограму згладжують, щоб усунути випадкові коливання. Тип виваженого ковзного середнього та ширину вікна можна вибрати у розділі Спектральні вікна. У розділі Вступний огляд ці опції детально обговорюються. Для нашого прикладу залишимо обране за замовчуванням вікно (Хеммінга ширини 5) та виберемо графік спектральної щільності.

Два піки стали тепер навіть виразнішими. Подивимося на значення періодограми за періодом. Перейдіть до розділу Період у розділі Графік. Тепер оберіть графік Спектральної щільності.

Знову видно, що існує яскраво виражений 11-річний цикл активності сонячних плям; більше, є ознаки існування більш тривалого приблизно 80-ти - 90-річного циклу.

Читайте також

Проста портативна колонка Bluetooth з фанери своїми руками Саморобна портативна колонка Якщо планшет не включається як відремонтувати самостійно Що таке латр та як він працює?