Лекція № 16

Апроксимації ВАХ нелінійних ЕЛЕМЕНТІВ. МЕТОДИ РОЗРАХУНКУ НЕДІНЕЙНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

навчальні питання

1. Апроксимація ВАХ нелінійних елементів. Поліноміальна апроксимація.

2. Кусково-лінійна апроксимація.

3. Класифікація методів аналізу не лінійних ланцюгів.

4. Аналітичні і чисельні методи аналізу нелінійних ланцюгів постійного струму.

7. Струм в нелінійному резисторі при впливі синусоїдальної напруги.

8. Основні перетворення, здійснювані за допомогою нелінійних електричних ланцюгівзмінного струму.

1. Апроксимація вольтамперних характеристик нелінійних елементів

Вольт-амперні характеристики реальних елементів електричних ланцюгів зазвичай мають складний вид і представляються у вигляді графіків або таблиць експериментальних даних. У ряді випадків безпосереднє застосування ВАХ, що задаються в такій формі, виявляється незручним і їх прагнуть описати за допомогою досить простих аналітичних співвідношень, якісно відображають характер розглянутих ВАХ.

Заміна складних функцій наближеними аналітичними виразами називаєтьсяаппроксимацией .

Аналітичні вирази, аппроксимирующие ВАХ нелінійних резистивних елементів, повинні якомога точніше описувати хід реальних характеристик.

Отже, завдання апроксимації ВАХ включає в себе дві самостійні завдання:

1) вибір апроксимуючої функції;

2) визначення значень що входять в цю функцію постійних коефіцієнтів найбільш часто використовуються два види апроксимації ВАХ нелінійних елементів:

поліноміальна;

Кусково-лінійна.

1.1. поліноміальна апроксимація

Апроксимація степеневим поліномом виконується на основі формули ряду Тейлора для ВАХ НЕ:

тобто ВАХ в даному випадку повинна бути безперервною, однозначною і абсолютно гладкою (повинна мати похідні будь-якого порядку).

У практичних розрахунках зазвичай ВАХ не диференціює, а вимагають, наприклад, щоб апроксимуюча кривлячи (16.5) пройшла через задані струми.

У так званому методі трьох точок необхідно, щоб деякі три точки ВАХ:

(i 1 , u 1), (i 2 , u 2), (i 3 , u 3) - відповідали номіналу (16.5) (ріс.16.9).

з рівнянь

нескладно знайти шукані коефіцієнти a 0 , a 1 , a 2, оскільки щодо їх система (16.6) лінійна.

Якщо ВАХ сильно порізана і потрібно відобразити її особливості, необхідно враховувати більше числоточок ВАХ. Система типу (16.6) стає складною, однак її рішення може бути знайдено за формулою Лагранжа, що визначає рівняння полінома, що проходить через nточок:

(16.7)

де A k ( u) = (u – u 1) ... (u – u k-1) ( u – u k + 1) ... ( u – u n).

приклад. нехай нелінійний елементмає ВАХ, задану графічно (ріс.16.10).

Потрібно апроксимувати ВАХ ІЕ степеневим поліномом.

На графіку ВАХ виділяються чотири точки з координатами:

На підставі формули Лагранжа (16.7) отримаємо

Таким чином, апроксимуюча функція має вигляд

іне = -6,7 i 3 + 30i 2 – 13,3i.

2. Кусково-лінійна апроксимація

при кусочно-лінійноїапроксимації ВАХ НЕ апроксимується сукупністю лінійних ділянок(Шматків) поблизу можливих робочих точок.

приклад. Для двох ділянок нелінійної ВАХ (ріс.16.11) отримаємо:

приклад. Нехай потрібно линеаризировать ділянку ВАХ між струмами Аі В, Який використовується в якості робочої областіблизько робочої точки Р(Ріс.16.12).

Тоді рівняння линеаризировать ділянки ВАХ поблизу робочої точки Рбуде

Очевидно, що аналітична апроксимація ВАХ вірна тільки для вибраної ділянки лінеаризації.

академія Росії

Кафедра Фізики

Реферат на тему:

«Апроксимації ХАРАКТЕРИСТИК нелінійних ЕЛЕМЕНТІВ І АНАЛІЗ КІЛ ПРИ гармонійного впливу»

навчальні питання

1. Апроксимація характеристик нелінійних елементів

2. Графо-аналітичний та аналітичний методи аналізу

3. Аналіз ланцюгів методом кута відсічення

4. Вплив двох гармонійних коливань на безінерційний

нелінійний елемент

література

вступ

Для всіх розглянутих раніше лінійних ланцюгів справедливий принцип суперпозиції, з якого випливає просте і важливе наслідок: гармонійний сигнал, проходячи через лінійну стаціонарну систему, залишається незмінним за формою, набуваючи лише інші амплітуду і початкову фазу. Саме тому лінійна стаціонарна ланцюг не здатна збагатити спектральний склад вхідного коливання.

Особливістю НЕ, в порівнянні з лінійними, є залежність параметрів НЕ від величини прикладеної напруги або сили струму, що протікає. Тому на практиці при аналізі складних нелінійних ланцюгів користуються різними наближеними методами (наприклад, замінюють нелінійну ланцюг лінійної в області малих змін вхідного сигналу і використовують лінійні методи аналізу) або обмежуються якісними висновками.

Важливою властивістю нелінійних електричних ланцюгів є можливість збагачення спектру вихідного сигналу. Ця важлива особливість використовується при побудові модуляторів, перетворювачів частоти, детекторів і т. Д.

Рішення багатьох задач, пов'язаних з аналізом і синтезом радіотехнічних пристроїв і ланцюгів, вимагає знання процесів, що відбуваються при одночасному впливі на нелінійний елемент двох гармонійних сигналів. Це пов'язано з необхідністю перемноження двох сигналів при реалізації таких пристроїв, як перетворювачі частоти, модулятори, демодулятори і т. Д. Природно, що спектральний склад вихідного струму НЕ при бігармонічні впливі буде набагато багатшими, ніж при моногармоніческом.

Нерідко виникає ситуація, коли один з двох впливають на НЕ сигналів малий по амплітуді. Аналіз в цьому випадку значно спрощується. Можна вважати, що по відношенню до малого сигналу НЕ є лінійним, але зі змінним параметром (в даному випадку крутизною ВАХ). Такий режим роботи НЕ називається параметричним.

1. Апроксимація характеристик нелінійних елементів

При аналізі нелінійних ланцюгів (НЦ) зазвичай не розглядають процеси, що відбуваються всередині елементів, що складають цю ланцюг, а обмежуються лише зовнішніми їх характеристиками. Зазвичай це залежність вихідного струму від прикладеної вхідної напруги

яку прийнято називати вольт-амперної характеристикою (ВАХ).

Найпростіше - використовувати наявну табличну форму ВАХ для чисельних розрахунків. Якщо ж аналіз ланцюга повинен проводитися аналітичними методами, то виникає задача підбору такого математичного виразу, яке відображало б все найважливіші особливості експериментально знятої характеристики.

Це не що інше, як завдання апроксимації. При цьому вибір апроксимуючих виразів визначається як характером нелінійності, так і використовуваними розрахунковими методами.

Реальні характеристики мають досить складний вид. Це ускладнює їх точний математичний опис. Крім того, таблична форма подання ВАХ робить характеристики дискретними. У проміжках між цими точками значення ВАХ невідомі. Перш ніж переходити до апроксимації, необхідно якось визначитися з невідомими значеннями ВАХ, зробити її безперервної. Тут виникає задача інтерполяції (від лат. inter- між, polio- пригладжував) - це відшукання проміжних значень функції щодо деяких відомих її значень. Наприклад, відшукання значень в точках лежачих між точками по відомих значеннях. якщо , То аналогічна процедура носить завдання екстраполяції.

Зазвичай апроксимують лише ту частину характеристики, яка є робочою областю, т. Е. В межах зміни амплітуди вхідного сигналу.

При апроксимації вольт-амперних характеристик необхідно вирішити два завдання: вибрати певну аппроксимирующую функцію і визначити відповідні коефіцієнти. Функція повинна бути простою і в той же час досить точно передавати апроксимується характеристику. Визначення коефіцієнтів апроксимуючих функцій здійснюється методами інтерполяції, середньоквадратичного або рівномірного наближення, які розглядаються в математиці.

Математично постановка задачі інтерполяції може бути сформульована таким чином.

Знайти многочлен ступеня не більш nтакий, що i = 0, 1, …, n, Якщо відомі значення вихідної функції в фіксованих точках, i = 0, 1, …, n. Доводиться, що завжди існує тільки один інтерполяційний многочлен, який може бути представлений в різних формах, Наприклад у формі Лагранжа або Ньютона. (Розглянути самостійно на самопідготовки по рекомендованій літературі).

Апроксимація статечними полиномами і кусочно-лінійна

Вона заснована на використанні добре відомих з курсу вищої математики рядів Тейлора і Маклорена і полягає в розкладанні нелінійної ВАХ в безконечномірний ряд, що сходиться в деякій околиці робочої точки. Оскільки такий ряд фізично не реалізуємо, доводиться обмежувати число членів ряду, виходячи з необхідної точності. Статечна апроксимація застосовується при відносно малій зміні амплітуди впливу відносно.

Розглянемо типову форму ВАХ будь-якого НЕ (рис. 1).

Напруга визначає положення робочої точки і, отже, статичний режим роботи НЕ.

Мал. 1. Приклад типової ВАХ НЕ

Зазвичай апроксимується не вся характеристика НЕ, а лише робоча область, розмір якої визначається амплітудою вхідного сигналу, а положення на характеристиці - величиною постійного зміщення. Аппроксимирующий поліном записується у вигляді

де коефіцієнти визначаються виразами

Апроксимація степеневим поліномом полягає в знаходженні коефіцієнтів ряду . При заданій формі ВАХ ці коефіцієнти істотно залежать від вибору робочої точки, а також від ширини використовуваного ділянки характеристики. У зв'язку з цим доцільно розглянути деякі найбільш типові і важливі для практики випадки.

1. Робоча точка розташована на середині лінійної ділянки (рис. 2).

Мал. 2. Робоча точка ВАХ - на середині лінійної ділянки

Ділянка на характеристиці, де закон зміни струму близький до лінійного, щодо неширокий, тому амплітуда вхідної напруги не повинна виходити за межі цієї ділянки. В цьому випадку можна записати:

де - струм спокою;

- диференціальна крутизна характеристики.

Цей випадок можна застосувати тільки при Слабкий сигнал, Оскільки в цьому випадку можна без великої погрішності знехтувати нелинейностью ВАХ.

2. Робоча точка розташована на початковій ділянці характеристики.

Мал. 3. Робоча точка ВАХ - на початковій ділянці характеристики

При трохи зміниться амплітуди вхідного сигналу щодо можна з малою похибкою апроксимувати ВАХ квадратичної параболою (степеневим поліномом другого порядку). Апроксимує вираз матиме вигляд

Як і в виразі (6.6), - струм спокою (постійна складова вихідного струму); - крутизна характеристики в точці. Для визначення значень і необхідно скласти систему рівнянь:

(5)

Звідси можна записати:

3. Робоча точка є точкою перегину характеристики (рис. 4).

Мал. 4. Робоча точка ВАХ - точка перегину

У точці перегину всі парні похідні функції звертаються в нуль, тому у виразі (3) будуть присутні тільки складові з непарними ступенями, k = 1, 2, 3, … .

Нагадаємо, що точка перегину - точка кривої, в якій:

1) увігнутість (опуклість) кривої змінюється на опуклість (увігнутість);

2) крива "лежить" по різні боки від дотичній в цій точці.

У загальному випадку аппроксимирующий поліном може бути будь-якого, як завгодно високого порядку. Однак в більшості практичних випадків достатню для інженерної практики точність дає поліном третього ступеня:

На малюнку 4 графік, відповідний (6), показаний пунктирною лінією. Робоча ділянка ВАХ ( динамічний діапазон) Визначається інтервалом. На кордонах цього інтервалу похідні апроксимуючої функції звертаються в нуль. Для знаходження коефіцієнтів і необхідно, як і в попередньому випадку, скласти систему рівнянь і розв'язати цю проблему щодо і:

(7)

При дуже великих амплітудах вхідного сигналу часто буває зручніше замінювати реальну характеристику ідеалізованої, складеної з відрізків прямих ліній. Таке уявлення ВАХ називається кусочно-лінійною апроксимацією. На малюнку 5 показані деякі характерні приклади.

Мал. 5. Кусково-лінійна апроксимація ВАХ

2. Графоаналитический і аналітичний методи аналізу

Графоаналітичний метод аналізу

Цей метод використовується в тих випадках, коли відсутня відсічення струму. Цей метод відомий під назвою трьох (п'яти, семи) ординат. Суть його полягає в наступному (рис. 6): нехай на НЕ впливає напруга

Мал. 6. Ілюстрація графоаналітичного методу аналізу

Струм через НЕ буде являти собою періодичне коливання складної форми. Аналітично його можна записати у вигляді ряду Фур'є

(9)

У реальних дослідженнях доводиться обмежувати число членів ряду, а для визначення амплітуд використовуються вищезгадані методи. Практично найбільш часто застосовуються методи трьох і п'яти ординат.

Суть методу полягає в наступному: ВАХ нелінійного елемента ділиться на три (п'ять) ділянки, точки 1, 3, 5 або 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 6.6), при цьому фіксуються значення вхідного і вихідного сигналів ( і ). Потім складається система з трьох (п'яти) рівнянь для струмів і вирішується щодо невідомих і т. д. З графіка на малюнку 6 видно, що в точках 1-5 будуть наступні значення амплітуд і фаз вхідного і вихідного сигналів (табл. 1).

Таблиця 1

	Миттєва фаза вхідного сигналу,	Амплітуда вхідного сигналу, u (t)	амплітуда вихідного струму
1	0
2
3
4
5

Для методу трьох ординат ряд (9) скорочується до трьох складових:

Складається система з трьох рівнянь і вирішується щодо :

(11)

(12)

Якщо потрібно визначити більше число спектральних складових, аналогічним методом складається і вирішується система з необхідного числа рівнянь. даний методзастосуємо при слабо вираженою нелінійності ВАХ і відсутності відсічення струму.

Аналітичний метод аналізу

Якщо робота НЕ (нелінійної ланцюга) відбувається в режимі малого сигналу і, як правило, без відсічення вихідного струму, для апроксимації використовується статечної поліном виду:

Нехай на вході діє напруга При підстановці його в (13) отримаємо:

Скориставшись відомими формулами

(15)

уявімо рівність (14) так:

(16)

Звідси випливають такі співвідношення для розрахунку постійної складової струму і амплітуд гармонік:

(17)

3. Аналіз ланцюгів методом кута відсічення

При роботі нелінійної ланцюга з великими амплітудами вхідного сигналу, коли статечна апроксимація не дає хороших результатів застосовується кусково-лінійна апроксимація. Робота НЕ відбувається при цьому з відсіченням вихідного струму, і велике застосування знаходить аналітичний метод аналізу, який отримав назву методу кута відсічення.

Форма струму в ланцюзі, що містить НЕ з характеристикою

(18)

видна з графіка, представленого на малюнку 7 (за умови, що на вхід подано напругу).

Мал. 7. Графік струму через НЕ при роботі з відсіченням струму

Графік струму має характерний вид періодичної послідовності косинусоидальной імпульсів, які характеризуються амплітудою і тривалістю 2, де - кут відсічення, чисельно рівний половині тієї частини періоду, протягом якого через НЕ протікає струм. Період повторення імпульсів дорівнює. Спектральний склад такого періодичного коливання легко визначити, розклавши функцію струму в ряд Фур'є:

(19)

Кут відсічення легко знайти з рівності :

(20)

Функція струму визначається наступним виразом:

Амплітуди спектральних складових струму через НЕ визначаються через коефіцієнти Берга:

(23)

де коефіцієнти є функціями одного аргументу - кута відсічення, отримали назву коефіцієнтів (функцій) Берга.

Мал. 8. Графіки функцій Берга

Аналіз графіків функцій дозволяє зробити висновок про те, за яких кутах відсічення амплітуди ( n= 0, 1, 2, ...) мають максимальні або мінімальні (нульові) значення. Це дає можливість за допомогою вибору режиму роботи НЕ (змінюючи напругу зміщення, можна змінювати) управляти співвідношенням амплітуд гармонік в спектрі струму через НЕ.

Таким чином, алгоритм обчислення амплітуд гармонік струму через НЕ може бути наступним:

1. За відомими значеннями,, визначається кут відсічення за допомогою формули (18).

2. За формулою (20) або графічно визначається величина.

3. За допомогою таблиці або за графіками (рис. 8) знаходять.

4. Обчислюються амплітуди гармонік: k = 1, 2, ….

4. Вплив двох гармонійних сигналів на безінерційний НЕ

Для виявлення основних закономірностей розглянемо реакцію НЕ на вплив двох гармонійних сигналів. Такий вплив прийнято називати бігармонічним:

Для спрощення аналізу на першому етапі скористаємося аппроксимацией ВАХ нелінійного елемента поліномом другого ступеня:

Після підстановки (22) в (23) отримаємо

Виконавши тригонометричні перетворення за формулами

і згрупувавши члени, отримаємо наступне спектральне подання струму

(26)

Аналіз виразу (24) дозволяє зробити висновок про значне збагаченні спектра струму в порівнянні зі спектром вхідного сигналу. В спектрі вихідного коливання, крім доданків, що були у вхідному сигналі - постійної складової і гармонік на частотах ω 1 і ω 2, виникли гармонійні складові сумарної та різницевої частоти ( ω 1 + ω 2) і ( ω 1 – ω 2), а також компоненти з подвоєними частотами 2 ω 1 , 2ω 2 .

При збільшенні порядку аппроксимирующего полінома проблема обчислення амплітуд спектральних складових зводиться до громіздким викладкам, приводити які в даній лекції недоцільно. У найзагальнішому випадку, коли ВАХ представлена ​​поліномом n-го ступеня, спектр струму через НЕ (в разі бігармонічного впливу) буде включати складові з частотами

(27)

де pі q- цілі числа, причому ( p + q) ≤ n .

сума ( p + q) Називається порядком комбінаційного коливання. Комбінаційне коливання в загальному випадку можна записати

де k- коефіцієнт пропорційності.

При побудові різних радіотехнічних пристроїв, які є елементами прийомних і передавальних трактів (модулятори, детектори, перетворювачі частоти, диференціальні підсилювачі), доводиться використовувати нелінійні ланцюги з бігармонічним впливом. При цьому за допомогою фільтрації виділяються потрібні комбінаційні складові (т. Е. Що створюють корисний ефект в навантаженні в залежності від реалізованої операції) і відповідно придушуються побічні продукти взаємодії двох сигналів і. Тепер розглянемо, як впливають амплітуди впливають сигналів і на співвідношення амплітуд гармонік в спектрі вихідного струму.

Параметричний режим роботи нелінійного елемента

При реалізації деяких пристроїв апаратури зв'язку, робота яких заснована на використанні нелінійних електричних ланцюгів (елементів) і бігармонічні впливі, часто виникає практична ситуація, коли амплітуда одного з напруг значно більше іншого. Наприклад, в перетворювачі частоти супергетеродинного радіоприймального пристрою амплітуда перетворюється сигналу значно менше амплітуди напруги місцевого джерела гармонійної напруги (гетеродином). У цих умовах НЕ для сигналу з малою амплітудою виступає в якості параметричного елемента. Графічна ілюстрація такого режиму представлена ​​на малюнку 9.

Мал. 9. Графічна ілюстрація параметричного режиму роботи

До нелінійного елементу з вольт-амперної характеристикою прикладені два напруги: гармонійний сигнал з великою амплітудою і мала напруга, в загальному випадку не обов'язково гармонійне.

З огляду на малу величину напруги в порівнянні c, можна вважати ділянку характеристики, на якій в даний момент часу діє напруга, практично лінійним (фрагмент ВАХ на малюнку 9). При цьому напруга діє як змінюється в часі напруга зсуву, т. Е. Джерело переміщує робочу точку на характеристиці за законом. Таким чином, можна вважати, що для малого коливання нелінійний елемент є лінійним, але з мінливих згідно із законом крутизною. Такий елемент і називається параметричним, причому в ролі змінного параметра виступає крутизна вольт-амперної характеристики.

Вище вже говорилося про те, що дуже важливо забезпечити мінімізацію побічних продуктів взаємодії напруг і, а також підкреслити, по можливості, корисну комбінаційну складову. Розглянемо умови, при яких може бути вирішена ця задача, для чого отримаємо аналітичний вираз для струму через НЕ в загальному вигляді.

Якщо на вхід НЕ з характеристикою впливають два коливання:, причому виконується нерівність

(29)

а амплітуда напруги така, що воно не виходить за межі робочої області ВАХ -< 1 В, то выражение для тока через НЭ можно представить в виде ряда Тейлора по степеням малого напряжения вблизи изменяющейся во времени (по закону ) рабочей точки.

У цьому виразі перший доданок - струм, величина якого визначається тільки джерелом, а всі інші складові - добавка до току зa рахунок дії джерела малого сигналу. Очевидно, що перша похідна струму - крутизна характеристики - функція напруги (закон її зміни в часі показаний на правій частині графіка на малюнку 9). З урахуванням введення вираз (28) можна переписати у вигляді

У загальному випадку, коли - парна періодична функція, ток і всі коефіцієнти ряду (29),,, ... будуть парними періодичними функціями, отже, їх можна уявити рядами Фур'є, що містять тільки косинусні складові:

(32)

Якщо підставити всі вирази (30) в (29) і виконувати елементарні (але дуже громіздкі) перетворення, можна переконатися, що в спектрі струму через НЕ буде присутній безліч комбінаційних складових, число яких не менше, ніж в (25). При цьому амплітуди струму нелінійно будуть залежати від і. Таким чином, неминуче виникають нелінійні спотворення у вихідному сигналі. У той же час ці спотворення істотно менше, ніж при порівнянних амплітудах впливають сигналів. Щоб в цьому переконатися, достатньо взяти до уваги, що<< l B, следовательно, все слагаемые в (29), начиная с третьего, являются малостями более высоких порядков и ими можно пренебречь без большой (с точки зрения инженерной практики) погрешности. Таким образом, учитывая справедливость неравенства

(33)

можна записати:

З останнього виразу видно, що для коливання з малою амплітудою нелінійний елемент є лінійним (т. К. Вираз (32) - лінійна функція), але зі змінним параметром - крутизною, яка змінюється в часі під впливом великої напруги:

Очевидно, що чим менше амплітуда напруги, тим менше похибка від заміни (29) на (32), менша кількість і нижче рівень побічних (небажаних) комбінаційних складових в спектрі вихідного струму.

Якщо робота нелінійної ланцюга в цьому випадку відбувається без відсічення струму НЕ, то струм через НЕ взагалі не містить комбінаційних складових, що призводять до спотворення вихідного коливання (вихідним коливанням вважається струм на частоті ω 1 + ω 2 або | ω 1 - ω 2 |). В цьому випадку пристрій на основі даної нелінійної ланцюга буде лінійної параметричної системою.

Таким чином, для отримання лінійної параметричної ланцюга на основі НЕ необхідно виконати ряд умов:

1. Забезпечити роботу з малим рівнем вхідного сигналу.

2. Використовувати фільтр на виході ланцюга, який виділяє корисне коливання і ефективно пригнічує небажані продукти взаємодії u 1 і u 2 .

3. Забезпечити відповідний режим роботи НЕ, при якому зменшується рівень непотрібних комбінаційних складових.

4. Підбирати НЕ з ВАХ, найбільш близькою за формою до квадратичної параболи.

бібліографічний список

1. Гоноровський І.С. Радіотехнічні ланцюги і сігнали.- М .: Вища. шк., 1986.- С. 222-229.

2. Бронштейн І.М., Семендяев К.А. Довідник з математики для інженерів і учнів втузов.- М .: Наука, 1986.- С. 502-504.

Для аналізу проходження сигналів через ланцюга, що містять нелінійний елемент, необхідно задати його вольт-амперну характеристику (ВАХ) в аналітичній формі. Для двополюсного нелінійного елемента ВАХ характеризує залежність його струму від прикладеної напруги i(u); багатополюсні НЕ описуються прохідний характеристикою. Найбільш широко поширені способи подання нелінійних ВАХ у вигляді поліномів або лінійно-ламаних відрізків. Поліномінальної апроксимація використовується зазвичай при досить малих змінах вхідної напруги в околиці робочої точки, а лінійно-ламана - при великих.

Розглянемо апроксимацію в вигляді статечного полінома на прикладі біполярного транзистора, включеного за схемою з загальним емітером. Його прохідна ВАХ описується залежністю. Ступінь полінома, якій можна обмежити аппроксимирующую функцію, залежить від положення робочої точки і величини вхідної напруги. На рис.23 показаний графік функції, де Е отс- напруга база-емітер, відповідне відсічення струму.

У загальному випадку аппроксимирующий поліном має вигляд

де - струм колектора в робочій точці при - постійний зсув переходу база-емітер (робоча точка), - коефіцієнти полінома, причому

Коефіцієнт являє собою крутизну (похідну) характеристики в робочій точці, - першу похідну від крутизни (з коефіцієнтом 1/2) і т.д. Ясно, що коефіцієнти залежать від положення робочої точки нелінійного елемента, тобто від його режиму по постійному струму.

Розглянемо окремі випадки.

1.Рабочая точка знаходиться на лінійній ділянці характеристики, а зміни вхідного напруги такі, що миттєве значення струму не виходить за межі лінійної ділянки.

В цьому випадку при апроксимації можна обмежитися поліномом першого ступеня:

Часто коефіцієнт називають крутизною і позначають буквою S.

Даний вид апроксимації використовується при аналізі підсилювачів слабкого сигналу, а робоча точка зазвичай вибирається на середині самого крутого лінійної ділянки (точка на рис.23).

2.Рабочая точка розташована на нижньому нелінійному ділянці ВАХ (точка на рис.23), що має вигляд квадратичної параболи. При цьому передбачається, що миттєве значення вхідної напруги не заходить за точку, де - напруга відсічення нелінійного елемента (початок характеристики). В цьому випадку аппроксимирующий поліном можна обмежити другим ступенем:

де .

Якщо - крутизна ВАХ в робочій точці, то величину можна визначити з умови: ,. В цьому випадку ,

3.Робочий точка є точкою перегину характеристики, а зміни вхідного сигналу досить великі (див. Рис.24).

У точці перегину все похідні парного порядку дорівнюють нулю. Тому

Якщо, можна обмежитися поліномом третього ступеня без квадратичного члена (пунктир на рис.24):

напруга іноді називають напругою насичення. Ставлячи це напруга і знаючи величину, однозначно визначається величина:

,

Апроксимація у вигляді кубічного полінома допустима при .

У всіх інших випадках положення робочої точки і зміни вхідного напруги поліномінальної апроксимація вимагає більш високої степені.Прі цьому аналіз ускладнюється і застосування статечного полінома для практичних розрахунків виявляється неефективним.

При дуже великі зміни сигналу більш доцільною виявляється кусочно-лінійна апроксимація. При цьому для побудови характеристики транзистора з ОЕ в режимі великого сигналу можна використовувати такі ідеалізації:

а) статичні вхідні ВАХ можна вважати незалежними від; нижній нелінійний ділянку випрямляється до перетину з віссю абсцис; ця точка визначає напругу; в цьому випадку передбачається однозначна залежність напруги від, тобто вихідні характеристики не залежать від того, при якому параметрі вони зняті (див. рис.25.);

академія Росії

Кафедра Фізики

Реферат на тему:

«Апроксимації ХАРАКТЕРИСТИК нелінійних ЕЛЕМЕНТІВ І АНАЛІЗ КІЛ ПРИ гармонійного впливу»

навчальні питання

1. Апроксимація характеристик нелінійних елементів

2. Графо-аналітичний та аналітичний методи аналізу

3. Аналіз ланцюгів методом кута відсічення

4. Вплив двох гармонійних коливань на безінерційний

нелінійний елемент

література

вступ

Для всіх розглянутих раніше лінійних ланцюгів справедливий принцип суперпозиції, з якого випливає просте і важливе наслідок: гармонійний сигнал, проходячи через лінійну стаціонарну систему, залишається незмінним за формою, набуваючи лише інші амплітуду і початкову фазу. Саме тому лінійна стаціонарна ланцюг не здатна збагатити спектральний склад вхідного коливання.

Особливістю НЕ, в порівнянні з лінійними, є залежність параметрів НЕ від величини прикладеної напруги або сили струму, що протікає. Тому на практиці при аналізі складних нелінійних ланцюгів користуються різними наближеними методами (наприклад, замінюють нелінійну ланцюг лінійної в області малих змін вхідного сигналу і використовують лінійні методи аналізу) або обмежуються якісними висновками.

Важливою властивістю нелінійних електричних ланцюгів є можливість збагачення спектру вихідного сигналу. Ця важлива особливість використовується при побудові модуляторів, перетворювачів частоти, детекторів і т. Д.

Рішення багатьох задач, пов'язаних з аналізом і синтезом радіотехнічних пристроїв і ланцюгів, вимагає знання процесів, що відбуваються при одночасному впливі на нелінійний елемент двох гармонійних сигналів. Це пов'язано з необхідністю перемноження двох сигналів при реалізації таких пристроїв, як перетворювачі частоти, модулятори, демодулятори і т. Д. Природно, що спектральний склад вихідного струму НЕ при бігармонічні впливі буде набагато багатшими, ніж при моногармоніческом.

Нерідко виникає ситуація, коли один з двох впливають на НЕ сигналів малий по амплітуді. Аналіз в цьому випадку значно спрощується. Можна вважати, що по відношенню до малого сигналу НЕ є лінійним, але зі змінним параметром (в даному випадку крутизною ВАХ). Такий режим роботи НЕ називається параметричним.

1. Апроксимація характеристик нелінійних елементів

При аналізі нелінійних ланцюгів (НЦ) зазвичай не розглядають процеси, що відбуваються всередині елементів, що складають цю ланцюг, а обмежуються лише зовнішніми їх характеристиками. Зазвичай це залежність вихідного струму від прикладеної вхідної напруги

, (1)

яку прийнято називати вольт-амперної характеристикою (ВАХ).

Найпростіше - використовувати наявну табличну форму ВАХ для чисельних розрахунків. Якщо ж аналіз ланцюга повинен проводитися аналітичними методами, то виникає задача підбору такого математичного виразу, яке відображало б все найважливіші особливості експериментально знятої характеристики.

Це не що інше, як завдання апроксимації. При цьому вибір апроксимуючих виразів визначається як характером нелінійності, так і використовуваними розрахунковими методами.

Реальні характеристики мають досить складний вид. Це ускладнює їх точний математичний опис. Крім того, таблична форма подання ВАХ робить характеристики дискретними. У проміжках між цими точками значення ВАХ невідомі. Перш ніж переходити до апроксимації, необхідно якось визначитися з невідомими значеннями ВАХ, зробити її безперервної. Тут виникає задача інтерполяції (від лат. inter- між, polio- пригладжував) - це відшукання проміжних значень функції щодо деяких відомих її значень. Наприклад, відшукання значень

в точках лежачих між точками по відомих значеннях. Якщо, то аналогічна процедура носить завдання екстраполяції.

Зазвичай апроксимують лише ту частину характеристики, яка є робочою областю, т. Е. В межах зміни амплітуди вхідного сигналу.

При апроксимації вольт-амперних характеристик необхідно вирішити два завдання: вибрати певну аппроксимирующую функцію і визначити відповідні коефіцієнти. Функція повинна бути простою і в той же час досить точно передавати апроксимується характеристику. Визначення коефіцієнтів апроксимуючих функцій здійснюється методами інтерполяції, середньоквадратичного або рівномірного наближення, які розглядаються в математиці.

Математично постановка задачі інтерполяції може бути сформульована таким чином.

знайти многочлен

ступені не більше nтакий, що i = 0, 1, …, n, Якщо відомі значення вихідної функції в фіксованих точках, i = 0, 1, …, n. Доводиться, що завжди існує тільки один інтерполяційний многочлен, який може бути представлений в різних формах, наприклад у формі Лагранжа або Ньютона. (Розглянути самостійно на самопідготовки по рекомендованій літературі).

Апроксимація статечними полиномами і кусочно-лінійна

Вона заснована на використанні добре відомих з курсу вищої математики рядів Тейлора і Маклорена і полягає в розкладанні нелінійної ВАХ

в безконечномірний ряд, що сходиться в деякій околиці робочої точки. Оскільки такий ряд фізично не реалізуємо, доводиться обмежувати число членів ряду, виходячи з необхідної точності. Статечна апроксимація застосовується при відносно малій зміні амплітуди впливу відносно.

Розглянемо типову форму ВАХ будь-якого НЕ (рис. 1).

напруга

визначає положення робочої точки і, отже, статичний режим роботи НЕ.

Мал. 1. Приклад типової ВАХ НЕ

Зазвичай апроксимується не вся характеристика НЕ, а лише робоча область, розмір якої визначається амплітудою вхідного сигналу, а положення на характеристиці - величиною постійного зміщення

. Аппроксимирующий поліном записується у вигляді, (2)

де коефіцієнти

визначаються виразами.

Апроксимація степеневим поліномом полягає в знаходженні коефіцієнтів ряду

. При заданій формі ВАХ ці коефіцієнти істотно залежать від вибору робочої точки, а також від ширини використовуваного ділянки характеристики. У зв'язку з цим доцільно розглянути деякі найбільш типові і важливі для практики випадки.

1. Робоча точка розташована на середині лінійної ділянки (рис. 2).

Мал. 2. Робоча точка ВАХ - на середині лінійної ділянки

Ділянка на характеристиці, де закон зміни струму близький до лінійного, щодо неширокий, тому амплітуда вхідної напруги

не повинна виходити за межі цієї ділянки. В цьому випадку можна записати:, (3) - струм спокою; ; - диференціальна крутизна характеристики.

Цей випадок можна застосувати тільки при слабкому сигналі

Перетворення сигналів в нелінійних

радіотехнічних ланцюгах

Більшість процесів (нелінійне посилення сигналів, модуляція,

демодуляция, обмеження, генерація, множення, ділення і перенесення частоти і т. д.), пов'язаних з перетворенням спектру сигналів, здійснюють за допомогою нелінійних і параметричних кіл. У нелінійних колах параметри елементів залежать від вхідних впливів, і процеси, що протікають в них, описують нелінійними диференціальними рівняннями. При цьому до них непридатний принцип суперпозиції. Ці ланцюги відрізняються великою різноманітністю і тому не існує загальних методів їх аналізу.

Аналіз нелінійних ланцюгів ми обмежимо розглядом тільки їх певного класу. Це радіотехнічні ланцюги, аналіз яких проводиться в основному за допомогою вольт-амперних характеристик нелінійних елементів. Проміжне становище між лінійними і нелінійними ланцюгами займають параметричні ланцюга, які є лінійними і до яких застосовується принцип суперпозиції. Однак в спектрі вихідного сигналу таких ланцюгів можуть з'явитися нові частоти. Параметричні ланцюга описують лінійними диференціальними рівняннями зі змінними (т. Е. Залежними від часу) коефіцієнтами. Теорія цих рівнянь в порівнянні з теорією лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами складніша. Деякі параметричні ланцюга працюють в істотно нелінійному режимі. Це дозволяє методологічно об'єднати параметричні ланцюга з нелінійними ланцюгами, тим більше що результат обробки сигналу пов'язаний з перетворенням його спектра.

Апроксимація характеристик нелінійних елементів

У загальному випадку аналіз процесу перетворення сигналів в нелінійних колах - дуже складне завдання, що пов'язане з проблемою вирішення нелінійних диференціальних рівнянь. При цьому непридатний принцип суперпозиції, так як параметри нелінійної ланцюга при впливі одного джерела вхідного сигналу відрізняються від її параметрів при підключенні декількох джерел. Однак дослідження нелінійних ланцюгів вдається здійснити порівняно простими методами, якщо нелінійний елемент (НЕ) відповідає умовам безінерційного. Фізично безінерційність НЕ означає миттєве встановлення відгуку на його виході слідом за зміною вхідного впливу. Строго кажучи, безінерційних (резистивних, або омических, тобто тільки поглинають енергію вхідного сигналу) практично не існує. Всі нелінійні елементи - діоди, транзистори, аналогові і цифрові мікросхеми, - мають інерційними властивостями. У той же час сучасні напівпровідникові прилади досить досконалі за своїми частотним параметрами і їх вдається ідеалізувати з точки зору безінерційного.

Нелінійні динамічні системи описують нелінійними диференціальними рівняннями, в цих системах нелінійність обов'язково присутній. Нелінійну ланцюг можна визначити не тільки по вхідних в неї елементів, а й за зовнішніми ознаками, до числа яких при гармонійному вхідному сигналі відносять:

ü відміну від синусоїдальної форми вихідного сигналу;

ü поява в спектрі вихідного коливання гармонік вхідного сигналу;

ü нелінійність передавальної амплітудної характеристики;

ü залежність фази посиленого сигналу від амплітуди.

Відомі й використовують такі методи аналізу нелінійних ланцюгів при проходженні через них детермінованих сигналів:

Ø линеаризация характеристик нелінійного елемента (НЕ) при

фільтрації вищих гармонік сигналу на виході ланцюга;

Ø аналітичні, як правило, наближені способи вирішення системи

нелінійних рівнянь, що описують роботу пристрою;

Ø спектральний, що оцінює нелінійні властивості ланцюга по спектру

вихідного сигналу;

Ø чисельні методи вирішення системи нелінійних рівнянь з

допомогою комп'ютера;

Найбільш часто використовують метод аналізу нелінійних ланцюгів, заснований на лінеаризації характеристик НЕ при фільтрації вищих гармонік сигналу на виході ланцюга.

Лінеаризація (від лат. linearis - лінійний) - метод наближеного

уявлення замкнутих нелінійних систем, при якому дослідження

нелінійної системи замінюють аналізом лінійної системи, в деякому сенсі еквівалентній вихідної. Методи лінеаризації мають обмежений характер, т. Е. Еквівалентність вихідної нелінійної системи і її лінійного наближення зберігається лише при певному «режимі» роботи системи, а якщо система переходить з одного режиму роботи на інший, то слід змінити і її линеаризировать модель. Разом з тим, застосовуючи линеаризацию, можна з'ясувати багато якісні та кількісні характеристики нелінійної системи.

Як приклад нелінійних ланцюгів, точніше елементів, можна привести напівпровідниковий випрямний діод, який залишає від синусоїдального сигналу тільки однополярні (позитивні або негативні) полусінусоіди, або трансформатор, насичення сердечника якого магнітним полем призводить до «затуплення» вершин синусоїди (а з точки зору частотного спектра , це супроводжується появою гармонік основної частоти, а іноді і частот меншою в кратне число раз основної частоти - субгармонік).

При використанні методу лінеаризації аналіз проходження сигналу

через нелінійну ланцюг порівняно просто здійснити, якщо нелінійний

елемент відповідає умовам безінерційного. Фізично безінерційність нелінійного елемента (НЕ) означає миттєве зміна відгуку на його виході слідом за зміною вхідного впливу. Якщо говорити строго, то безінерційних (резистивних, або омических, т. Е. Поглинають енергію сигналу) НЕ практично не існує. Все НЕ - діоди, транзистори, мікросхеми, електровакуумні прилади й т. Д. - мають інерційними властивостями. Разом з тим, сучасні напівпровідникові прилади досить досконалі за своїми частотним параметрами, і їх вдається ідеалізувати з точки зору безінерційного.

Більшість нелінійних радіотехнічних ланцюгів і пристроїв визначається структурною схемою, представленої на рис.1.

Рис.1. Структурна схема нелінійного пристрою

Відповідно до цієї схеми, вхідний сигнал безпосередньо впливає на нелінійний елемент, до виходу якого підключений фільтр (лінійна ланцюг).

У цих випадках процес в радіоелектронної нелінійної ланцюга можна охарактеризувати двома незалежними один від одного операціями.

В результаті першої операції в безінерційного нелінійному елементі відбувається таке перетворення форми вхідного сигналу, при якому в його спектрі з'являються нові гармонійні складові. Другу операцію здійснює фільтр, що виділяє потрібні спектральні складові перетвореного вхідного сигналу. Змінюючи параметри вхідних сигналів і використовуючи різні нелінійні елементи і фільтри, можна здійснювати необхідну трансформацію спектра. До такої зручної теоретичної моделі зводяться багато схем модуляторів, детекторів, автогенераторів, випрямлячів, умножителей, подільників та перетворювачів частоти.

Як правило, нелінійні ланцюги характеризуються складною залежністю між вхідним сигналом і вихідний реакцією, яку в загальному вигляді можна записати так:

У нелінійних колах з безінерційний НЕ як впливу найзручніше розглядати вхідна напруга, а відгуку - вихідний струм, зв'язок між якими визначається нелінійної функціональної залежністю:

...................... (1)

Дане співвідношення аналітично може являти собою звичайну вольтамперних характеристику НЕ. Такий характеристикою володіє і нелінійний двухполюсник (напівпровідниковий діод), і нелінійний чотириполюсника (транзистор, ОУ, цифрова мікросхема), що працює в нелінійному режимі при різних амплітудах вхідного сигналу. Вольтамперні характеристики (для нелінійних елементів їх отримують експериментально) більшості НЕ мають складний вид, тому уявлення їх аналітичними виразами є досить важким завданням. Як правило, не має великого сенсу проектування систем аналізу і обробки сигналів по високоточним формулами, якщо зниження похибки розрахунків і відповідне ускладнення систем не дає відчутного ефекту в підвищенні точності обробки даних. У всіх цих умовах виникає завдання апроксимації - уявлення вихідних складних функцій простими і зручними для практичного використання відносно простими функціями (або їх набором) таким чином, щоб відхилення від в області її завдання було найменшим за певним критерієм наближення. Функції називають функціями апроксимації. Знаходження аналітичної функції по експериментальної вольт-амперної характеристики нелінійного елемента називають апроксимацією.

У радіотехніці і теорії передачі інформації використовуються кілька способів апроксимації характеристик НЕ - степеннáя, показова, кусочно-лінійна (лінійно-ламана) .Найбільші поширення набули апроксимація ступеня и м полиномом і кусочно-лінійна апроксимація складних функцій.

Апроксимація ВАХ степеневим поліномом

Даний вид апроксимації особливо ефективний при малих амплітудах вхідних сигналів (як правило, частки вольта) в тих випадках, коли характеристика НЕ ​​має вигляд гладкої кривої, тобто крива і її похідні неперервні і не мають стрибків. Найбільш часто при апроксимації як ступінь го полінома використовують ряд Тейлора:

де - постійні коефіцієнти;

- значення напруги, щодо якого ведеться розкладання в ряд і зване робочою точкою.

Постійні коефіцієнти ряду Тейлора визначаються відомою формулою

. .................. (3)

Оптимальне число членів ряду береться в залежності від необхідної точності апроксимації. Чим більше вибрано членів ряду, тим точніше апроксимація. Апроксимацію характеристик зазвичай вдається досить точно здійснити полиномом не вище другого-третього ступеня. Для відшукання невідомих коефіцієнтів ряду (2) необхідно задатися діапазоном, декількох можливих значень напруги і положенням робочої точки в цьому діапазоні. Якщо потрібно визначити коефіцієнтів ряду, то на заданій характеристиці вибирається точок зі своїми координатами. Для спрощення розрахунків одну точку поєднують з робочою точкою, що має координати; ще дві точки вибираються на кордонах діапазону і. Решта точки розташовують довільно, але з урахуванням важливості апроксимується ділянки ВАХ. Підставляючи координати обраних точок в формулу (2), складають систему з рівнянь, яка вирішується щодо відомих коефіцієнтів ряду Тейлора.