Шуми квантування. Квантування за рівнем у цифрових системах

Жарознижувальні засоби для дітей призначаються педіатром. Але бувають ситуації невідкладної допомоги за лихоманки, коли дитині потрібно дати ліки негайно. Тоді батьки беруть на себе відповідальність і застосовують жарознижувальні препарати. Що можна давати дітям грудного віку? Чим можна збити температуру у старших дітей? Які ліки найбезпечніші?

При правильно обраній частоті дискретизації, виходячи з теореми Котельникова, точність перетворення аналогового ЗС на цифровий визначається величиною кроку квантування. Похибка перетворення тим менше, чим менше крок квантування. Різниця між вихідним і квантованим значеннями сигналу дискретні моменти часу називається шумом квантування (помилкою квантування).

Шум квантування на відміну флуктуаційного шуму, у випадку, носить невипадковий характер. Тому правильніше говорити про спотворення сигналу при його аналого-цифровому перетворенні. При фіксованому максимальному рівніВхідний аналоговий ЗС шум квантування визначається числом рівнів квантування - розрядністю аналого-цифрового перетворювача (АЦП).

При кодуванні двійковими числами та довжиною кодового слова в m розрядів кількість двійкових кодових слів r (роздільна здатність) становить. Так за m=16, r=65536.

Потік кодових слів на виході АЦП характеризується швидкістю передачі – кількість біт інформації переданих за 1 секунду. Швидкість передачі є добуток числа розрядів кодового слова на частоту дискретизації (в герцах). Об'єм пам'яті необхідний для зберігання інформації про реалізацію ЗС тривалістю, визначається як добуток швидкості потоку даних на тривалість сигналу.

При лінійної імпульсно-кодової модуляції (ІКМ), тобто. при рівномірному етапі квантування, потужність шуму квантування визначається тільки кроком квантування:

де – загальний динамічний діапазон сигналу.

Ефективне значення помилки квантування:

Шум квантування є, при лінійній ІКМ, випадковий процес з рівномірним розширенням у межах, із щільністю ймовірності. Спектр шуму квантування рівномірний у смузі частот.

Шум квантування проявляється лише за наявності сигналу. За відсутності сигналу на вході АЦП на виході АЦП будуть квантування коливання в молодшому розряді АЦП. Пояснюється це наявністю теплового шуму вхідних аналогових частин АЦП, нестабільністю напруги живлення, дрейфом постійної складової в підсилювачах постійного струмута іншими причинами. На виході ЦАП (цифро-аналогового перетворювача) це квантоване коливання перетворюється на шум, який називається шумом паузи. Шум паузи менш рівномірний, ніж білий шум, характерний аналогових пристроїв, і його часто називають гранульованим. Потужність шуму паузи:

на 4,7 дБ більше шуму квантування.

Оскільки не залежить від рівня вхідного сигналу, зі збільшенням потужності вхідного відношення лінійно зростає до тих пір, поки не виникають шуми обмеження. Рівень обмеження входу АЦП визначається максимальною вхідною робочою напругою АЦП. Шумом обмеження називається різниця між вихідним та обмеженим сигналами. Система АЦП розраховується в такий спосіб, щоб обмеження виникало тобто.

тут R-пік-фактор сигналу; S СР – середньоквадратичне значення сигналу.

Число кроків можна визначити із співвідношення:

де - максимальне та мінімальне значення сигналу на вході АЦП;

Крок квантування.

З урахуванням виразів (9.6), (9.9), (9.10) отримаємо вираз для потужності шуму

Потужність сигналу на опорі 1 Ом, тоді

або в децибелах

При m-розрядному кодуванні, тоді

У гармонійного сигналу пік-фактор, у цьому випадку

Для сигналів мовлення пік-фактор залежить від жанру програми. Якщо в середньому рахувати R=13 дБ то

Якщо враховувати неоднакову чутливість слуха слухача до складових шуму різних частот, то відношення сигнал/шум квантування зменшується на 8.5 дБ для сигналу в смузі частот до 15 кГц і становить

Динамічний діапазон цифрового сигналу оцінюють величиною, дБ з урахуванням того, що отримуємо

З виразу (9.15) видно, збільшення кількості розрядів на одиницю призводить до поліпшення відношення сигнал/шум на 6 дБ.

На рис.9.2. зображено залежності відношення сигнал/шум для сигналів 3В при різних значеннях m від рівня вхідного сигналу (9.17).

При 16-розрядному квантуванні маємо для гармонійного сигналу D=90 дБ, С-Ш=98 Б (з 9.15, 9.18). Відношення С-Ш при розрахунку за формулою (9.17) виходить рівним 80дБ при кодуванні максимального сигналу за рівнем. При кодуванні слабких сигналівставлення С-Ш меншена величину динамічного діапазонусигналу і виявляється дуже малим при D = 50 ... 60 дБ.

80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

9.2. Відношення сигнал/шум при ІКМ

У попередніх параграфах щодо дискретних фільтрів питання неминучої похибки перетворення вхідного сигналу з аналогової форми в цифрову не розглядався. Похибка виникає при квантуванні сигналу на кінцеву, обмежену кількість рівнів. Щоб виявити характер цієї похибки, повернемося до структурної схеми на рис. 12.1 і виділимо з неї два пристрої: АЦП та ЦАП.

Розглянемо спочатку спільну роботу цих пристроїв без урахування цифрового фільтра під час подачі на вхід АЦП постійної напругирізного рівня (рис. 12.28, а). Основним параметром АЦП є кількість розрядів, що використовуються для кодування вхідної напруги. При двійковому коді число розрядів визначається числом двійкових елементів (наприклад, тригерів), кожен з яких може бути в одному з двох станів: з нульовою або ненульовою напругою на виході. Одному з цих станів умовно приписується нуль, іншому - одиниця. При числі двійкових елементів на виході АЦП виходить комбінація (кодове число) із символів, кожен із яких може приймати одне із двох значень (нуль чи одиниця).

Мал. 12.28. Перетворення А-Цта Ц-А (а), характеристика квантування (б) та помилка квантування (а)

Як зазначалося в § 12.1, число можливих різних комбінацій і визначає число дискретних рівнів, на яке може бути розбитий діапазон зміни вхідної напруги.

У ЦАП здійснюється зворотне перетворення. Кожна комбінація нулів і одиниць, що надходять на вхід ЦАП, відповідає певний дискретний рівень вихідної напруги. В результаті при рівномірному етапі квантування Д залежність від них набуває вигляду ламаної лінії, показаної на рис. 12.28, б.

Пристрій представлений на рис. 12.28, а й що має подібну характеристику, має розглядатися як нелінійне, а різниця - як помилка, похибка квантування. Видно, що найбільша помилка, яка за абсолютною величиною не перевищує зі зростанням, їх залишається незмінною (рис. 12.28, в).

Продовжимо цей розгляд для гармонійного вхідного коливання (рис. 12.29 а). Коливання набуває ступінчастої форми, що відрізняється від вхідного коливання (на рис. 12.29, б, показаного тонкою лінією), а помилка квантування набуває вигляду функції

представленою на рис. 12.29, ст.

При зміні в широких межах амплітуди та частоти гармонійного коливання змінюється лише частота слідування зубців: форма їх залишається близькою до трикутної при незмінній амплітуді. Функцію можна назвати перешкодою чи шумом квантування. Неважко вирахувати середню потужність шуму квантування. При допущенні трикутної формизубців (рис. 12.29 в) з амплітудою середня за тривалість одного зубця потужність дорівнює .

Мал. 12.29. Сигнал на вході (а) та виході (б) квантуючого пристрою; перешкода квантування (в)

Так як ця величина не залежить від тривалості зубця, можна вважати, що середня потужність шуму квантування

(12.63)

Цей результат, виведений для гармонійного сигналу, можна поширити і будь-який інший сигнал, зокрема і випадковий. Відмінність лише тому, що функція q(t) буде випадковим процесом через випадкової тривалості зубців.

Неважко обчислити ставлення сигнал-перешкода при квантуванні. При висоті щаблі і загальному числі щаблів, що укладаються в межах характеристики АЦП, що дорівнює L, амплітуда гармонійного сигналу не повинна перевищувати величини, а середня потужність сигналу - величини (щоб уникнути обмеження сигналу). Отже, відношення сигнал-перешкода при квантуванні гармонійного коливання

Так як число рівнів L пов'язане з числом двійкових розрядів співвідношенням, то останній вираз можна подати у формі

(12.64)

Це співвідношення можна як окремий випадок загального висловлювання

де - пік фактор сигналу, тобто відношення максимального значення до середньоквадратичного.

При гармонійному коливанні , що призводить до виразу (12.64); при випадковому сигналі з нормальним законом розподілу можна прийняти (див. § 4.2, п.3); У цьому випадку, а середньоквадратична напруга сигналу не повинна перевищувати. Фізичний зміст виразу (12.65) очевидний: зі збільшенням числа розрядів дуже швидко зростає кількість дискретних рівнів, що припадають на заданий діапазон зміни і, отже, знижується перепад двох сусідніх рівнів.

При грубій оцінці перевищення сигналу над шумом квантування виходять із співвідношення або, децибелах,

У сучасних АЦП кількість розрядів сягає десяти і більше. При цьому величина, що характеризує динамічний дапазон АЦП, дорівнює приблизно 60 дБ (6 дБ на один розряд).

Інший важливою характеристикоюШуму квантування є його спектральна характеристика. При гармонійному коливанні на вході АЦП перешкода квантування періодичною функцією часу. Спектр її є лінійчастим, що містить лише частоти, кратні частоті вхідного коливання. Через зубчасту форму функції (див. рис. 12.29, в) спектр шуму багатий вищими гармоніками.

При вхідному впливі типу випадкового процесу з дисперсією та середньоквадратичною шириною спектра статистичні характеристики шуму квантування залежать не тільки від характеристик вихідного процесу, але і від співвідношення між. Зокрема, при ширині спектру шуму квантування в багато разів більше ширини спектру процесу

Мал. 12.30. До визначення помилки квантування

Введемо на розгляд дискретизацію вхідного сигналу.

На рис. 12.30 представлено одну з реалізацій випадкового сигналуі сукупність вибірок, взятих з кроком Т. В АЦП кожна вибірка перетворюється на цифровий код, як це було описано в § 12.1 та на початку даного параграфа для постійної напруги.

Як очевидно з попередніх міркувань, перетворення здійснюється з помилкою, укладеної не більше . Якщо вибірки беруться з випадкового сигналу, а зміна функції за час Т перевищує або більше кілька , то помилки в різні відлікові моменти часу можна вважати взаємно незалежними і рівноймовірними. Дисперсія випадкової величини, рівноймовірною в інтервалі дорівнює (див. § 4.2, п. 1). Цей результат збігається з виразом (12.62) отриманим усередненням потужності шуму квантування за часом. Зроблені вище припущення рівносильні твердженню, що дискретна послідовність помилок відповідає вибіркам з некорельованого шуму, тобто шуму з рівномірним спектром. Цей спектр, як зазначалося вище, набагато ширше спектра вихідного випадкового процесу . У зв'язку з цим шум квантування зазвичай розглядають як білий шум, адитивний по відношенню до того, як квантування здійснюється на вході цифрового фільтра, то шум квантування можна трактувати як власний шум цифрового фільтра (віднесений до його входу).

Визначимо діапазон шуму квантування. Нехай повна ширина спектра шуму квантування без дискретизації дорівнює. При дискретизації шуму квантування з кроком результуючий спектр є сумою парціальних спектрів, зрушених один щодо іншого (див. § 2.17, рис. 2.35). Особливістю даного випадку є те, що так має місце багаторазове перекриття спектрів.

У межах частотного інтервалу потужність кожного окремого спектра. Але число спектрів, що перекривають, дорівнює . Результуюча потужність шуму квантування у смузі буде. Тому можна вважати, що в зазначеному частотному інтервалі спектр рівномірний (білий шум) і дорівнює

Залежно від типу аналого-цифрового перетворення можуть виникати заокруглення (до певного розряду) сигналу або усічення (відкидання молодших розрядів) сигналу.

Математичний опис

Модель

Шум квантування можна як адитивний дискретний сигнал $e(nT)$ , що враховує помилки квантування. Якщо $d(nT)$ - вхідний сигнал квантувача, а $F[\,]$ - його передатна функція , маємо наступну лінійну модель шуму квантування:

$e(nT) = F - d(nT)$

Лінійна модель використовується для аналітичного дослідження властивостей шуму квантування.

Детерміновані оцінки

Детерміновані оцінки дозволяють визначити абсолютні межі шуму квантування у разі рівномірного квантування:

$|max| = frac(1)(m) 2^(-b) = frac(1)(m) Q$ ,

де $b$ - Число розрядів квантування (сигналу $e(nT)$ ), $Q$ - Крок квантування $m = 2$ - при округленні $m = 1$ - При усіченні.

Імовірнісні оцінки

Імовірнісні оцінки ґрунтуються на поданні помилок квантування (сигналу $e(nT)$ ) як випадкового шумоподібного процесу. Припущення щодо шуму квантування:

Послідовність $e(nT)$ є стаціонарним випадковим процесом
Послідовність $e(nT)$ не корельована з квантованим сигналом $d(nT)$
Будь-які два відліки послідовності $e(nT)$ не корельовані, тобто шум квантування є процесом типу «білий шум».
Розподіл ймовірності помилок квантування є рівномірним діапазоном помилок квантування.

$M_e = -0,5Q$
$D_e = Q^2/12$

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Шум квантування"

Література

Гольденберг Л. М., Матюшкін Б. Д. Цифрова обробкасигналів – М.: Радіо та зв'язок, 1985.

Посилання

(англ.)

Уривок, що характеризує шум квантування

Княжна Мар'я зрозуміла все.
Але вона все ж таки сподівалася і запитала словами, в які вона не вірила:
- Але як його рана? Взагалі, в якому він положенні?
– Ви, ви… побачите, – тільки-но могла сказати Наталя.
Вони посиділи кілька днів унизу біля його кімнати, щоб перестати плакати і увійти до нього зі спокійними обличчями.
– Як ішла вся хвороба? Чи давно йому погіршало? Коли це сталося? – питала княжна Марія.
Наташа розповідала, що спочатку була небезпека від спекотного стану та від страждань, але в Трійці це минуло, і лікар боявся одного – антонова вогню. Але й ця небезпека минула. Коли приїхали до Ярославля, рана почала гноитися (Наташа знала все, що стосувалося нагноєння тощо), і лікар казав, що нагноєння може піти правильно. Стала лихоманка. Лікар казав, що лихоманка ця не така небезпечна.
– Але два дні тому, – почала Наталка, – раптом це сталося… – Вона втримала ридання. - Я не знаю чому, але ви побачите, якою він став.
- Ослаб? схуд?.. – питала княжна.
- Ні, не те, але гірше. Ви побачите. Ах, Марі, Марі, він дуже гарний, він не може, не може жити… бо…

Коли Наташа звичним рухом відчинила його двері, пропускаючи вперед себе князівну, князівна Марія відчувала вже в горлі своєму готові ридання. Скільки вона ні готувалася, ні намагалася заспокоїтись, вона знала, що не в силах буде без сліз побачити його.
Княжна Мар'я розуміла те, що розуміла Наташа словами: знім трапилося це два дні тому. Вона розуміла, що це означало те, що він раптом пом'якшав, і що пом'якшення, розчулення ці були ознаками смерті. Вона, підходячи до дверей, уже бачила в уяві своєму обличчя Андрійка, яке вона знала з дитинства, ніжне, лагідне, зворушене, яке так рідко бувало в нього і тому так сильно завжди на неї діяло. Вона знала, що він скаже їй тихі, ніжні слова, як ті, які сказав батько перед смертю, і що вона не винесе цього і розридається над ним. Але рано чи пізно це мало бути, і вона зайшла до кімнати. Ридання все ближче й ближче підступали їй до горла, коли вона своїми короткозорими очима ясніше й ясніше розрізняла його форму й шукала його рис, і ось вона побачила його обличчя й зустрілася з ним поглядом.

Однак логічно припустити, що проміжні ділянки хвилі, які оцифровщику не вдалося достовірно відобразити, не можуть так просто зникнути.

Шуми квантування

Між аналоговим сигналом та його цифровою копієюу вашій системі запису існує різниця, яка називається помилками квантування, або шумами квантування.

За допомогою нескладних математичних формулможна обчислити частоту та рівень гучності шумів квантування. Також їхній характер можна простежити наочно, якщо проаналізувати відхилення графіка оцифрованої хвилі від оригінальної синусоїди. На малюнку справа показана різниця між вихідним та оцифрованим сигналом.

Шуми квантування – це невід'ємна складова цифрового звуку, вони виникають у момент оцифрування. Для мінімізації впливу цих шумів на звук у конструкціях конверторів використовуються спеціальні фільтри. Купуючи оцифровувач із більш дорогими характеристиками (наприклад, 24 /192 ), багато хто не звертає уваги якість цих фільтрів, орієнтуючись лише на гарні чисельні характеристики розрядності та частоти дискретизації.

Чим вищі показники конвертора, тим дорожче повинні бути фільтриОднак саме на них виробники зазвичай економлять, щоб зберегти собівартість на низькому рівні та забезпечити собі конкурентоспроможність.

Аліасінг

Ще одна неприємна річ, яка може статися в процесі семплювання (оцифрування) звуку, називається аліасинг. Аліасінг- накладання двох безперервних сигналів різної частоти один на одного при семплюванні, в результаті якого в звуці виникають спотворення.

Ми можемо уявити аліасинг навіть візуально. Згадайте обертання коліс автомобілів чи поїздів у старих фільмах. У певні моментиможна чітко помітити, що колеса крутяться у зворотний бік. І це не обман зору, цей ефект з'являється в моменти, коли частота обертання коліс наближається до кадрової частоти кінокамери (зазвичай це 24 кадри на секунду, але колись це значення було на рівні 16-20). Кожна точка колеса, рухаючись за годинниковою стрілкою, встигає пройти майже повний оберт за один кадр, опиняючись з зворотного бокувихідної точки, ніби ця точка зрушила проти годинникової стрілки. І ми бачимо зворотне обертання.

В результаті аліасингу записаний сигнал відрізняється від очікуваного.

Відповідно до теорема Котельниковадля відновлення сигналу без втрат семплювання повинно проводитися з частотою, що в два рази перевищує найвищу частоту в записуваному спектрі.

Тобто, скажімо, якщо максимальна швидкість обертання коліс становить 10 оборотів за секунду, то для усунення ефекту аліасингу фіксувати цей рух потрібно з частотою не менше 20 кадрів за секунду. А кінокамера – це той самий семплер, що тільки записує не звук, а зображення. При зазначених значеннях, хоч би як крутилося колесо, камера за його оборот встигне зробити два семпла, отже зворотного обертання ми не побачимо.

Так що якщо нам треба записати звук у межах 20 кГц (верхній поріг частот, що ідентифікуються людським вухом), то семплювання має відбуватися з частотою дискретизації не менше 40 кГц.

При цьому половина частоти дискретизації називається числом Найквіста(Найквіст і Котельников - вчені, які незалежно один від одного займалися дослідженнями цієї проблеми).

Однак ми знаємо, що навіть якщо наше вухо не розпізнає якихось частот, це ще не означає, що їх немає. А якщо вони є, то семплер (оцифрувальник) спробує їх зафіксувати, працюючи при цьому на недостатній для запису цього діапазону частоті дискретизації. І виникне аліасинг.

Щоб усунути негативний ефект від аліасингу, при семплюванні потрібна частота дискретизації із запасом більш ніж у два рази. Крім того, необхідно на вході оцифровувача застосовувати фільтри, що відсікають небажані частоти вище за певне значення.

Саме тому «стандартні» частоти дискретизації, що використовуються в звукозаписі, вище 40 кГц – 44.1 і 48 кГц: таке семплювання забезпечує запас для усунення спотворень.

Можна почергово почути «хороший» і «поганий» запис пилкоподібної хвилі на частотах 440, 880 і 1760 Гц. У першому варіанті були застосовані фільтри, а в другому виразно чути аліасинг.

Сьогодні вже нікого не здивуєш навіть значеннями 32 біти чи 96–192 кГц. З кожним роком виробники покращують характеристики приладів. Але оскільки, як я вже казав, для фільтрації більше високих частотпотрібні більш якісні та дорогі фільтри, нерідко виходить, що конвертор, що працює в режимі 16/44.1, дає більше якісний звукніж конвертор 24/192. Шуми квантування, аліасинг та відсутність хороших фільтрів роблять свою справу. І це ми ще опускаємо можливі похибки, пов'язані з підвищеним навантаженням на систему під час роботи з вищими параметрами звуку.

Якщо стаття виявилася корисною, ви можете передплатити оновлення цього блогу , щоб безкоштовно отримувати нові матеріали на електронну пошту. Або вступайте

Лекція №9

«Ефекти квантування та шуми у цифрових фільтрах»

У реальних пристроях, що реалізують алгоритми цифрової обробки сигналів, необхідно враховувати ефекти, зумовлені квантуванням вхідних сигналів та кінцевою розрядністю всіх регістрів. Джерелами помилок у процесах обробки сигналів є округлення (або усічення) результатів арифметичних операцій, шум квантування, пов'язаний з аналого-цифровим перетворенням аналогових вхідних сигналів, неточність реалізації характеристик цифрових фільтрів через округлення їх коефіцієнтів.

Для аналізу ефектів, пов'язаних із кінцевою розрядністю подання даних, необхідно зробити деякі припущення щодо статистичної незалежності різних джерел шумів, що виникають у цифровому фільтрі. Приймається статистична модель, яка ґрунтується на таких припущеннях:

1. Будь-які два відліки шуму від одного й того ж джерела не корельовані.

2. Будь-які два джерела шуму створюють некорельовані шуми.

3. Шум кожного з джерел не корелюваний із вхідним сигналом.

Ці припущення значно спрощують аналіз процесів, пов'язаних із шумами квантування в цифрових фільтрах, оскільки роблять окремі джерела шуму статистично незалежними один від одного і дають можливість проводити аналіз для кожного окремо. Проте прийняті припущення справедливі далеко не завжди. Можна навести безліч прикладів, котрим ці припущення не вірні. Наприклад, якщо вхідний сигнал є постійним або синусоїдальним, з частотою кратної частоти дискретизації. У першому випадку всі відліки помилки квантування будуть однакові, а у другому вони утворюють періодичну послідовність. Таким чином, в обох випадках висунуті припущення неправильні.

Ефекти квантування призводять зрештою до похибок у вихідних сигналах цифрових фільтрів, а деяких випадках і до нестійких режимів роботи. Через прийняті припущення вихідна помилка цифрового фільтра обчислюється як суперпозиція помилок, обумовлених кожним незалежним джерелом.

Якщо на вхід цифрового фільтра з імпульсною характеристикою h (t ) надходить сигнал x (t ), то вихідний сигнал фільтра визначається виразом

(9.1).

В результаті квантування вхідного сигналу утворюється шум квантування e in (n ), який накладається на вхідний сигнал та впливає на фільтр. Через лінійність фільтра можна обчислити реакцію фільтра e out (n ) на вхідний шум

(9.2).

При цьому мається на увазі, що всі обчислювальні пристрої і пристрої фільтра, що запам'ятовують, мають нескінченну розрядність.

Аналогічно можна знайти помилку сигналу у будь-якій точці структурної схеми фільтра, обумовлену шумом квантування вхідного сигналу e in (n).

(9.3),

де h i (n ) – імпульсна характеристика частини фільтра з його входу до точки, у якій оцінюється помилка.

Якщо вхідний сигнал фільтра квантується з розрядністю b in , то помилка квантування вхідного сигналу при використанні заокруглення обмежена величиною

(9.4),

а помилка вихідного сигналу фільтра, викликана квантуванням вхідного сигналу може бути оцінена як

(9.5).

Таким чином, верхня межа помилки, викликаної квантуванням вхідного сигналу, залежить від розрядності квантування і суми модулів вибірок імпульсної характеристики фільтра.

Дисперсія вхідного шуму округлення

(9.6),

тому дисперсія шуму квантування на виході фільтра відповідно до (9.3) дорівнює

(9.7).

Відповідно до рівності Парсеваля

(9.8)

можна записати (9.7) у вигляді

(9.9),

де - Амплітудно-частотна характеристика цифрового фільтра.

Таким чином, за допустимою величиною s out 2 та відомою АЧХ або імпульсною характеристикою фільтра можна визначити допустиму величину дисперсії помилки вхідного сигналу s in 2 , яка у свою чергу визначає необхідну розрядність b in квантування вхідного сигналу

Відношення сигнал-шум на виході фільтра, що визначається як відношення потужності сигналу до потужності шуму в логарифмічному масштабі визначається як

(9.10),

де s s 2 - Дисперсія корисного вхідного сигналу, а b in - Розрядність квантування вхідного сигналу. Отже, зі збільшенням розрядності квантування однією розряд відношення сигнал-шум збільшується приблизно 6 дБ.

Як приклад розглянемо цифровий фільтр першого порядку, що описується рівнянням

(9.11).

Його структурна схема представлена на рис.9.1.

Нехай шум квантування вхідного сигналу має дисперсію s in 2 . Імпульсна характеристика такого фільтра має вигляд

(9.12).

Відповідно (9.7) дисперсія шуму вихідного сигналу такого фільтра, обумовленого квантуванням вхідного сигналу дорівнює

(9.13).

Для стійкості фільтра необхідно виконання умовиі, отже,, тобто. потужність вихідного шуму більша за потужність вхідного шуму. Чим ближчедо одиниці, тим більше посилення вхідного шуму фільтром.

З використанням теореми Парсеваля можна визначати дисперсію вихідного шуму фільтра з його АЧХ. Нехай заданий фільтр, АЧХ якого представлено на рис.9.2.

Тоді, згідно (9.9) дисперсія вихідного шуму фільтра, викликаного квантуванням вхідного сигналу дорівнюватиме

(9.14).

Вибір оптимальної розрядності квантування вхідного сигналу визначається необхідною точністю подання інформації, закладеної у вхідному сигналі, наявністю в ньому вхідного шуму та процедурою, яка застосовується для обробки сигналу.

Шум, що міститься в сигналі, визначає верхнюмежу числа рівнів квантування.Очевидно, немає сенсу використовувати велика кількістьрозрядів коли в сигналі міститься великий шум, тому що в цьому випадку з великою точністю квантуватиметься шум, а не сигнал. Достатньо вибрати стільки рівнів квантування, щоб вклад шуму квантування був малий порівняно з шумом, що міститься в сигналі.

З іншого боку, мінімально допустима кількість рівнів квантування має забезпечувати бажану якість вихідного сигналу. Погіршення якості вхідного сигналу може бути викликане впливом неідеальностей на етапі попередньої обробки сигналу (шуми та обмежені) частотні характеристикипопередніх масштабуючих підсилювачів та аналогових фільтрів).

До цього часу приймалося, що коефіцієнти різницевого рівняння фільтра задані безкінечною точністю. При фізичній реалізації фільтра ці коефіцієнти зберігаються в елементах електронної пам'яті (комірках, що запам'ятовують), які мають обмежену розрядність. Це означає, що коефіцієнти фільтра як і вхідний сигнал піддаються квантування.

Квантування коефіцієнтів фільтра підпорядковується тим самим закономірностям, як і квантування вхідного сигналу. В результаті квантування коефіцієнтів фільтра значення полюсів і нулів передавальної функції фільтра більшою чи меншою мірою змінюються, що, у свою чергу, призводить до відповідної зміни частотних характеристик фільтра. Так, кантування коефіцієнтів фільтра призводить до появи помилки.

(9.15),

де A (w ) – АЧХ фільтра з неквантованими коефіцієнтами, A d (w ) - АЧХ фільтра з квантованими коефіцієнтами. Величина не повинна перевищувати допустиму величину, що визначається зазвичай з умови, щоб відхилення реальної АЧХ від ідеальної були в допустимих межах.

Різні структури фільтрів мають різну чутливість до зміни окремих коефіцієнтів. Тому універсального методу визначення необхідної кількості розрядів квантування коефіцієнтів для всіх типів фільтрів запропонувати неможливо. Необхідну кількість розрядів у квантованих коефіцієнтах фільтрів можна визначити шляхом обчислення для послідовно зростаючого числа розрядів у кодах коефіцієнтів до виконання умови .

Можливі і практично застосовуються інші методи, зокрема методи, засновані на попередньому вивченні чутливості характеристик конкретного типу фільтра до змін його коефіцієнтів.

Як приклад розглянемо біквадратний блок, що описується передавальною функцією.

(9.16),

структурна схема якого представлена на рис.9.3.

Якщо позначити полюси передавальної функції (9.16) через , то легко переконатися, що

(9.17).

Тоді за малих змін a 1 та a 2 координати полюсів змінюються на величини

(9.18),

аналогічно (9.19).

Можна помітити, що D r r , близьких до одиниці, тоді як D q різко змінюється при значеннях q, близьких до нуля.

Чутливість частотних характеристик фільтрів до зміни значень коефіцієнтів залежить від структури, обраної для реалізації фільтра.

При реалізації алгоритму цифрового фільтра виконуються операції складання та множення на коефіцієнти. Складання чисел з фіксованою точкою при розрядності суматора, не меншою за розрядність подання доданків, не призводить до помилок округлення подання суми.

Виконання операції множення пов'язані з помилками округлення. Добуток двох чисел з фіксованою точкою з b 1 та b 2 розрядами відповідно може містити до b 1 + b 2 розрядів. При послідовному виконанні операцій множення необхідно обмежувати розрядність творів. Інакше, розрядність наступних творів зростатиме необмежено. Тому, для зберігання творів зазвичай відводять осередки, що запам'ятовують, з розрядністю, меншою ніж до b 1 + b 2 . Таким чином, результат множення зазнає округлення. В результаті заокруглення творів алгоритм фільтра реалізується не точно і вихідний сигнал обчислюється з помилкою.

Модель помножувача з кінцевим числом розрядів представляється як послідовного з'єднання ідеального помножувача (з необмеженим числом розрядів) і суматора, на вхід якого поруч із точним значенням твору надходить шум квантування. На виході суматора виходить квантоване значення твору з b mul розрядами (рис.9.4).

Помилка округлення одного твору може бути оцінена своїм верхнім кордоном

(9.20),

де Q mul - Крок квантування твору. Ця помилка може розглядатися як дискретний стаціонарний випадковий процес з рівномірною щільністю розподілу ймовірності, з нульовим середнім та дисперсією рівною

(9.21).

Прийнявши таку лінійну модель для кожного вузла множення на структурній схемі фільтра, можна обчислити помилку у вихідному сигналі фільтра як супозицію помилок, обумовлених усіма джерелами шуму округлення. З цією метою слід лише визначити імпульсні характеристики g i (n ) частин структури фільтра від кожного i -го джерела шуму (тобто виходу i -го помножувача) до виходу фільтра та обчислити складову у вихідному шумі фільтра, обумовлену i -м джерелом шуму як

(9.22).

Тоді шум округлення на виході, обумовлений усіма L джерелами шуму можна обчислити як

(9.23).

Таким чином, вихідний шум фільтра, обумовлений i -м джерелом округлення не перевищує величини

(9.24).

Тоді максимальна величина вихідного шуму, зумовленого всіма L джерелами округлення (при тому, що розрядність усіх помножувачів однакова) дорівнює

(9.25).

На підставі (9.7) можна оцінити дисперсію результуючого шуму округлення від усіх джерел як

(9.26).

Рівень вихідного шуму фільтра, обумовленого квантуванням творів, залежить від особливостей структури, обраної для реалізації фільтра. Це тим, що імпульсна характеристика ділянки фільтра від виходу конкретного помножувача до виходу фільтра залежить від застосовуваної структури. При виборі структури фільтра необхідно враховувати вплив помилок квантування творів поруч із помилками квантування коефіцієнтів.

Всі джерела шуму квантування творів роблять різний внесок у результуючий вихідний шум.

Як приклад розглянемо оцінку вихідного шуму квантування творів у біквадратному блоці, що має імпульсну характеристику h (n ). Шумова модель аналізованої структури представлена на рис.9.5.

З представленої моделі видно, структура фільтра має п'ять джерел шуму квантування творів. Джерела e mul .4 та e mul .5 проходять з тієї ж ланцюга, як і вхідний сигнал. Це означає, що з імпульсні характеристики g 4 (n ) та g 5 (n ) збігаються із загальною імпульсною характеристикою фільтра h (n). Джерела e mul.1, e mul.2, e mul.3 безпосередньо додають помилку на виході фільтра, внаслідок чого не можуть бути посилені фільтром. Їхні імпульсні характеристики рівні d (n ). Відповідно до (9.7) та (9.26) можна оцінити внесок окремих джерел шуму як

(9.27).

Дисперсія сумарного шуму квантування на виході фільтра відповідно до (9.26) дорівнюватиме

(9.28).

Загальна помилка квантування, обумовлена квантуванням вхідного сигналу та квантуванням творів, визначається сумою оцінок відповідних помилок.

При підсумовуванні чисел з фіксованою точкою помилка округлення немає (якщо тільки суматор має розрядність щонайменше розрядності доданків). Однак, при підсумовуванні чисел з фіксованою розрядністю можливе виникнення переповнення, коли результат, що вийшов, не міститься в кількість розрядів, що відповідає розрядності доданків. При виникненні переповнення, щоб уникнути порушення алгоритму функціонування фільтра, сума повинна бути обмежена з урахуванням знака на рівні максимального значення, що вміщується в задану кількість розрядів результату. При програмної реалізації фільтра це здійснюється відповідним розгалуженням алгоритму функціонування, а апаратної реалізації вимагає включення до схеми фільтра спеціальних пристроїв аналізу переповнення та обмеження суми з урахуванням знака. Однак, навіть реалізація зазначених засобів не вирішує всіх проблем, пов'язаних з переповненням, так як за наявності переповнень фільтр перетворюється на істотно нелінійний пристрій з усіма наслідками, що з цього випливають. Тому для нормальної роботи фільтра необхідна реалізація спеціальних заходів, що дозволяють уникнути появи ситуації переповнення взагалі.

Один із засобів для запобігання переповненню полягає у введенні масштабування, яке зводиться до зсуву вправо (що еквівалентно поділу) двійкових кодів доданків на всіх входах суматорів. Якщо вихідні доданки унормовані на рівні 1.0, то при підсумовуванні двох чисел, для виключення можливості переповнення необхідно кожне з доданків зрушити на один розряд вправо, що еквівалентно поділу кожного доданку на 2. Після цього, кожне з доданків по модулю не перевищуватиме 0.5, а Отже, їх сума не перевищить 1.0. Якщо суматор більше двох входів, то доданки повинні бути зрушені на більшу кількість розрядів. Такий метод називається автоматичним масштабуванням.

В результаті такого масштабування виникає помилка масштабування, пов'язана з тим, що молодший розряд (або розряди при зрушенні більш ніж на один розряд) складових, що зрушуються, губляться і результуюча помилка їх уявлення збільшується. Так, при зрушенні доданків на один розряд максимальне значення помилки масштабування дорівнює

(9.29),

де b – кількість розрядів у поданні доданку. Якщо сдвигаемое доданок є числом зі знаком у прямому коді, то можливі значення цієї помилки рівні 2 - b, -2 - b, 0. Якщо прийняти

(9.30),

то ця помилка може бути представлена як випадковий шум із середнім значенням рівним 0 та дисперсією

(9.31).

Якщо доданок є числом у додатковому коді, то помилка масштабування може приймати значення -2 - b або 0 з ймовірністю 0.5. При цьому шум масштабування має середнє значення -2 - b /2 та дисперсію

(9.32).

Таким чином, помилки масштабування можуть бути враховані в моделі фільтра аналогічно помилкам квантування.

Інший спосіб запобігання можливості переповнення зводиться до масштабування вхідних сигналів фільтра або його складових частин. Якщо імпульсна характеристика фільтра або деякої його частини дорівнює h i (n ), то вихідний сигнал фільтра (або його частини) y i (n ) обмежений величиною

(9.33),

де – верхня межа вхідного сигналу фільтра. Якщо то необхідною умовоювідсутність переповнення є

(9.34).

Якщо коефіцієнти фільтра задані (тобто задані h i (n )), то, щоб було переповнень, тобто. щоб вихідний сигнал будь-якого суматора не перевищував одиниці, необхідно обмежити величини вхідного сигналу і вихідних сигналів помножувачів. З цією метою вводиться таке масштабування, щоб сигнали

(9.35),

де g i - Коефіцієнти, що масштабують.

Масштабують помножувачі включають на входах фільтра або на виходах помножувачів. Якщо , то достатньою умовою відсутності переповнень є згідно (9.35) вибір масштабуючих коефіцієнтів виходячи з умови

(9.36).

Коефіцієнти g i вибирають, як і у випадку автоматичного масштабування, зазвичай рівними ступеням двійки, і масштабування зводиться до зсувів. При цьому, аналогічно випадку автоматичного масштабування, виникає шум масштабування, який знижує відношення сигнал-шум на виході фільтра.

При суттєвому зменшенні амплітуд сигналів, що проходять через фільтр, зменшується відношення сигнал-шум на виході фільтра. Обчислення масштабуючих коефіцієнтів за формулою (9.36) часто призводить до завищених результатів і, отже, зменшення ефективності роботи фільтра. Крім цього, при складних структурах фільтра обчислення суми нескінченного ряду відліків імпульсної характеристики фільтра може виявитися реалізованим. Тому розрахунок масштабних коефіцієнтів часто реалізують за іншою методикою, що базується на аналізі спектра вхідного сигналу та частотних властивостей фільтра.

Якщо структура фільтра містить m суматорів, то вихідний сигнал i-го суматора vi (n ) можна уявити у вигляді

(9.37),

де x (n ) – вхідний сигнал фільтра, h i (n ) – імпульсна характеристика частини фільтра від входу до виходу i-го суматора.

Z -перетворення сигналу v i (n ) можна записати як

(9.38),

де H i (z ) – передатна функція частини фільтра від входу до виходу i-го суматора.

Частотну характеристику сигналу v i (n ) (для стійкого фільтра) можна отримати зробивши у виразі (9.38) заміну змінних

(9.40).

Тоді сам вихідний сигнал суматора v i (n ) можна визначити як зворотне перетворення Фур'є від V i (e j w T )

(9.41).

Якщо зробити припущення, що модуль спектру вхідного сигналу x (n C , то можна оцінити максимальне значення модуля вихідного сигналу суматора

(9.42).

Якщо вхідний сигнал фільтра x (n ) піддається попередньому масштабуванню на коефіцієнт l i , то останній вираз набуває вигляду

(9.43).

Для запобігання переповнень на виході суматора, тобто. для виконання умови достатньо вибрати значення нормуючого множника l і таким, що

(9.44).

Якщо припустити, що модуль частотної характеристики H i (e j w T ) обмежений деякою величиною D , то можна зробити оцінку максимального значення модуля вихідного сигналу суматора іншим способом, а саме

(9.45).

У цьому випадку нормуючий множник l i для виключення переповнення на виході суматора може бути обраний таким, що

(9.46).

Нарешті, застосувавши до виразу (9.41) нерівність Коші-Буняковського ( ) можна отримати таку нерівність

(9.47).

Якщо припустити, що енергія спектра вхідного сигналу (друге підкорене вираз у нерівності (9.47)) обмежена деякою величиною E , то нормуючий множник l i може бути обраний виходячи з наступного виразу

(9.48).

Всі три варіанти вибору множника, що масштабує, базуються на наявності достовірної інформації про спектральні характеристики вхідного сигналу фільтра. Якщо ця інформація не є абсолютно достовірною, то ймовірність виникнення переповнення на виході суматора не є нульовою.

Для виключення переповнення на виходах всіх суматорів, що входять до структурної схеми фільтра, необхідно зробити оцінку коефіцієнтів l i для кожного із суматорів і вибрати остаточне значення нормуючого коефіцієнта на вході фільтра як

(9.49).

Як і у разі автоматичного масштабування, коефіцієнти l вибирають зазвичай рівним ступеням числа 2, що перетворює операцію масштабуючого множення зсув коду вхідного сигналу на відповідне число розрядів вправо.

Масштабуючий помножувач, як і будь-який інший помножувач у структурній схемі фільтра, є джерелом шуму помилки квантування, вплив якого на вихідний сигнал може бути враховано аналогічно шумів інших помножувачів.

Очевидно, що у випадках, коли деякий суматор у структурній схемі фільтра складає більше двох доданків, навіть за відсутності переповнення в кінцевій сумі, воно може мати місце в часткових проміжних сумах. Цей факт не було враховано у попередніх міркуваннях. Однак, якщо вхідні та проміжні цифрові сигнали фільтра представлені в додатковому коді, то всі наведені вище методи нормування залишаються правомірними, оскільки при підсумовуванні чисел у додатковому коді, кінцевий результат залишається правильним (за відсутності в ньому переповнення) навіть за наявності переполення в часткових сумах.

Попередній аналіз базувався на припущенні, що сигнали шумів статистично незалежні від вибірки до вибірки і від джерела до джерела. Це справедливо якщо різниця між двома сусідніми відліками вхідного сигналу значно більша за крок квантування. Зрозуміло, що у багатьох випадках (зокрема, коли вхідний сигнал постійний чи дорівнює нулю) таке припущення несправедливо. За цих обставин помилки квантування можуть бути сильно корелювані. Це може призвести до порушення нормальної роботи фільтра, внаслідок чого фільтр стає нестійким, а на його виході генеруються періодичні коливання, що встановилися. Це явище називається ефектом мертвої зони, а періодичні коливання на виході називаються коливаннями граничного циклу.Загальний аналіз цього нелінійного ефекту є досить складним. Тому проведемо дослідження цього явища для найпростіших цифрових фільтрів.

Розглянемо фільтр першого порядку, що описується різницевим рівнянням

(9.50).

Передатна функція такого фільтра має вигляд

(9.51).

Структурна схема фільтра представлена рис.9.6.

Імпульсна характеристика такого фільтра дорівнює

(9.52).

Якщо коефіцієнт a 1 дорівнює 1 або -1, то фільтр стає нестійким і має імпульсну характеристику

(9.53).

У таблиці 9.1 представлені точні значеннявідліків імпульсної характеристики (9.52) при b 0 = 10, a 1 = 0.9.

	h(n)	H Q (n)



	7.29
	6.561
	5.9049
	5.31441

	2.65614*10 -4

Тепер припустимо, що фільтр має десятковий помножувач із фіксованою точкою, в якому кожен твір a 1 * y (n -1) округляється до найближчого цілого згідно з умовою

(9.54).

У третьому стовпчику таблиці 9.1 представлені відліки імпульсної характеристики такого фільтра. Як видно, при відгукі фільтра стає постійним, і квантування робить фільтр нестійким.

Якщо припустити, що різницеве рівняння (9.50) залишається справедливим для нестійкого фільтра, ефективне значення. Якщо , то відгук фільтра загасатиме за відсутності вхідного сигналу поки вихідний сигнал не досягне зони [- k , k ], званої мертвою зоною. Коли це станеться, режим фільтра стане нестійким. Будь-яка причина, що зумовлює перевищення модулем вихідного сигналу величини k приводить до відновлення стійкості. Однак, за відсутності вхідного сигналу, відгук знову загасає до величини, що відповідає мертвій зоні.

Таким чином, фільтр перебуватиме в режимі граничного циклу з амплітудою вихідного сигналу рівною k . Оскільки ефективне значення a 1 дорівнює 1 при a 1 >0 або -1 при a 1 <0, то частота такого предельного цикла равна 0 или w s /2.

(9.60).

Цей вираз може бути використаний для вибору мінімальної кількості розрядів обчислювального пристрою за умови обмеження амплітуди коливань граничного циклу на заданому рівні.

Проведемо аналіз ефекту мертвої зони для фільтра другого порядку, який описується різницевим рівнянням дорівнюватиме 1. При цьому

(9.66).

Отже, як і раніше умову нестійкої роботи фільтра можна визначити як

(9.67).