Формування матриці цілісного образу при роздільному сприйнятті елементів комплексного об'єкта. Формування матриці цілісного образу при роздільному сприйнятті елементів комплексного об'єкта Визначники

1

З'ясування принципів інтеграції дискретної інформації при роздільному сприйняттіелементів складного об'єкта є актуальною міждисциплінарної проблемою. У статті розглядається процес побудови образу об'єкта, що представляє собою комплекс блоків, кожен з яких об'єднує набір дрібних елементів. В якості досліджуваного об'єкта була обрана конфліктна ситуація, оскільки вона стабільно перебувала в полі уваги при незмінній стратегії аналізу інформації. Обставини ситуації були складовими частинамиоб'єкта і окремо сприймалися як прообразів конфлікту. Завдання даної роботи полягала в математичному вираженні матриці, що відображала образ проблемної поведінкової ситуації. Рішення завдання грунтувалося на даних візуального аналізу конструкції графічної композиції, елементи якої відповідали ситуаційним обставинам. Розмір і графічні особливості обираних елементів, а також їх розподіл в композиції служили орієнтиром для виділення рядів і стовпців в матриці образу. Дослідження показало, що конструкція матриці визначається, по-перше, поведінкової мотивацією, по-друге, причинно-наслідкових відносин ситуаційних елементів і послідовністю отримання інформації, а також, по-третє - виділенням фрагментів інформації відповідно до їх ваговими параметрами. Можна вважати, що відмічені матричний векторний принципи формування образу поведінкової ситуації характерні для побудови образів та інших об'єктів, на які спрямована увага.

візуалізація

сприйняття

дискретність інформації

1. Анохін П.К. Нариси з фізіології функціональних систем. - М .: Медицина, 1985. - 444 с.

2. Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Лінійна алгебра: Учеб.для вузів. - 6-е изд. - М .: Физматлит, 2004. -280 с.

3. Лавров В.В. Мозок і психіка. - СПб .: РГПУ, 1996. - 156 с.

4. Лавров В.В., Лаврова Н.М Вплив агресії на цілісність, цілісність, цінність і суб'єктивність образу конфліктної ситуації // Когнітивна психологія: міждисциплінарні дослідження і інтегративні практики. - СПб .: ВВМ, 2015. - С. 342-347.

5. Лавров В.В., Рудинський А.В. Тріада стратегій обробки інформації при впізнанні неповних зорових образів // Фундаментальні дослідження. - 2014 року - № 6 (2). - С. 375-380.

6. Лаврова Н.М., Лавров В.В., Лавров Н.В. Медіація: прийняття відповідальних рішень. - М: ОППЛ, 2013. - 224 с.

7. Шелепін Ю.Є., Чіхман В.Н., Фореман Н. Аналіз досліджень сприйняття фрагментованих зображень - цілісне сприйняття і сприйняття по інформативним ознаками // Російський фізіологічний журнал. 2008. - Т. 94. № 7. - С. 758-776.

Результати досліджень сприйняття неповних зображень розширили перспективу вивчення принципів, що визначають інтеграцію дискретної інформації і монтаж цілісних образів. Аналіз особливостей впізнання фрагментованих зображень при пред'явленні змінюється кількості фрагментів дозволив простежити три стратегії побудови цілісного образу в умовах дефіциту інформації. Стратегії відрізнялися за оцінкою значущості готівки порцій інформації для формування цілісного образу. Інакше кажучи, кожна стратегія характеризувалася маніпуляцією ваговими параметрами готівки порцій інформації. Перша стратегія передбачала рівнозначність фрагментів образу - його впізнання відбувалося після накопичення інформації до рівня, достатнього для повноцінного уявлення щодо висунутого об'єкта. Друга стратегія ґрунтувалася на диференційований підхід до оцінки ваги фрагментів наявної інформації. Оцінка давалася відповідно до висунутої гіпотезою щодо сутності об'єкта. Третя стратегія визначалася мотивацією максимального використання наявної інформації, яка наділялася високим вагою і вважалася ознакою або прообразом реального об'єкта. Важливим моментом в виконану раніше роботу стало розгляд мозкових механізмів, які забезпечували зміну стратегій в залежності від домінуючої емоції і поведінкової мотивації. Маються на увазі неспецифічні системи мозку і гетерогенність нейронних модулів, що працюють під контролем центрального управління. Проведені дослідження, як і ті, що відомі з літературних джерел, залишали відкритим питання про принципи розподілу інформації в цілісному образі. Для відповіді на питання були потрібні спостереження за формуванням образу того об'єкта, на якому тривалий час зосереджена увага і залишається незмінною обрана стратегія побудови образу. В якості такого об'єкта могла служити конфліктна ситуація, оскільки вона стабільно перебувала в полі уваги при незмінній другий стратегії аналізу обставин. Спірні боку відкидали першу стратегію через збільшення тривалості конфлікту і не застосовували третю стратегію, уникаючи помилкових рішень.

метаданої роботи полягала в з'ясуванні принципів побудови матриці образу на основі елементів інформації, отриманої при роздільному сприйнятті компонентів комплексного об'єкта, на який було направлено увагу. Вирішували такі завдання: по-перше, вибирали об'єкт, на якому стабільно тривалий час було зосереджено увагу, по-друге, використовували метод візуалізації образу, щоб простежити фрагментацію інформації, отриманої при сприйнятті об'єкта, а потім, по-третє, сформулювати принципи цілісного розподілу фрагментів в матриці.

Матеріали і методи дослідження

Як многокомпонентного об'єкта, який стабільно знаходився в полі уваги при незмінній стратегії аналізу наявної інформації, служила проблемна поведінкова ситуація. Проблема була викликана конфліктом у відносинах членів сімей, а також співробітників виробничих і освітніх установ. Експерименти, в яких проводився аналіз образу ситуації, передували медіації, спрямованої на врегулювання протиріч між спірними сторонами. Перед початком медіативних переговорів представники спірних сторін отримували пропозицію брати участь в якості піддослідних в експериментах з використанням методики, що сприяє аналізу ситуації. Методика візуалізації передбачала побудову графічної композиції, що відображала конструкцію образу, який виникав при роздільному сприйнятті компонентів комплексного об'єкта. Методика служила інструментом дослідження процесів формування цілісного образу з набору елементів, відповідних деталей об'єкта. Група піддослідних складалася з 19 жінок і 8 чоловіків у віці від 28 до 65 років. Для отримання цілісного візуального образу ситуації випробуваним пропонували зробити наступні дії: 1) відновите в пам'яті обставини конфліктної ситуації - події, відносини з людьми, мотиви своєї поведінки і оточуючих людей; 2) оціните обставини по значущості для розуміння суті ситуації; 3) розділіть обставини на сприятливі і несприятливі для вирішення конфлікту і постарайтеся простежити їх взаємозв'язок; 4) підберіть відповідний, на Вашу думку, графічний елемент (коло, квадрат, трикутник, лінію або точку) для кожного з обставин, які характеризують ситуацію; 5) сформуйте композицію з графічних елементів, враховуючи значущість і взаємозв'язок обставин, які передаються цими елементами, і намалюйте отриману композицію на паперовому аркуші. Графічні композиції піддавалися аналізу - оцінювалася впорядкованість і співвідношення розмірів елементів образу. Випадкові невпорядковані композиції відкидалися, а піддослідним пропонувалося знову розглянути взаємозв'язок ситуаційних обставин. Результати узагальненого аналізу композиція служили орієнтиром для формулювання математичного виразу матриці образу.

Результати дослідження та їх обговорення

Кожна графічна композиція, за допомогою якої випробуваний представляв конструкцію образу поведінкової ситуації, була оригінальною. Приклади композицій ілюструються на малюнку.

Графічні композиції, що відображають образи проблемних поведінкових ситуацій, в яких знаходилися випробовувані (кожен елемент композиції відповідає ситуаційним обставинам)

Неповторність композицій свідчила про відповідальний підхід випробовуваних до аналізу ситуацій з урахуванням їх відмінних рис. Кількість елементів в композиції і розмірність елементів, а також конструкція композиції відображали оцінку комплексу обставин.

Після того, як була відзначена оригінальність композицій, дослідження звернулося до виявлення принципових особливостей конструкції образу. Прагнучи до побудови цілісної композиції, що відбиває образ ситуації, випробовувані розподіляли елементи відповідно до своїх індивідуальних переваг, а також з урахуванням причинно-наслідкових відносин обставин і поєднання обставин за часом. Сім випробовуваних вважали за краще монтувати композицію в формі малюнка, побудова якого визначалося заздалегідь складеним образним планом. На рис. 1 (а, б, г) даються приклади таких композицій. Двоє піддослідних перед складанням композиції вибрали ідею, покладену в основу плану, свідомо, а п'ятеро інтуїтивно, не даючи логічного пояснення, чому зупинилися на обраному варіанті. Решта двадцять випробовуваних створювали схематичну композицію, звертаючи увагу тільки на причинно-наслідкові зв'язки обставин і поєднання обставин за часом (рис. 1, в, д, е). Пов'язані і збігаються за часом обставини поєднувалися в композиції. В експериментах не проводилася інтерпретація сутності конфлікту з використанням даних графічної композиції. Така інтерпретація здійснювалася згодом в рамках медіації, коли з'ясовувалася готовність сторін до переговорів.

Аналіз композицій дозволив простежити не тільки відмінність, а й універсальність принципів формування образу ситуації. По-перше, композиції складалися з графічних елементів, кожен з яких відображав обставини, котрі володіли спільністю. Спільність обставин була обумовлена ​​причинно-наслідковими і тимчасовими відносинами. По-друге, обставини мали неоднакову значимість для розуміння сутності проблемної ситуації. Тобто, обставини відрізнялися за ваговими параметрами. Високо значимі обставини зображувалися графічними елементами в збільшеному розмірі, в порівнянні з менш значущими. Зазначені особливості образу враховували при складанні матриці образу. Мається на увазі, що розмір і графічні особливості обираних елементів, а також їх просторове положення в графічній композиції служили орієнтиром для побудови інформаційної матриці, що відображала образ ситуації і що була його математичною моделлю. Прямокутна матриця, представлена ​​у вигляді таблиці, розділена на рядки і стовпці. Стосовно до формованому образу проблемної ситуації в матриці виділяли рядки, в яких знаходилися зважені елементи прообразів, об'єднані причинно-наслідковими і тимчасовими відносинами, і стовпці, що містять елементні дані, що відрізняються за ваговими параметрами.

(1)

Кожна окрема рядок відображала формування частини образу або, інакше кажучи, прообразу об'єкта. Чим більше рядків і чим більше m, тим більше тотально сприймався об'єкт, оскільки повніше враховувалися структурні і функціональні властивості, що служили його прообразами. Кількість стовпців n визначалося кількістю деталей, що відзначаються при побудові прообразу. Можна вважати, що чим більше було накопичено інформаційних фрагментів високого і низького ваги, тим повніше прообраз відповідав реальності. Матриця (1) характеризувалася динамічністю, оскільки її мірність змінювалася відповідно до повнотою образу сприйманого об'єкта.

Тут доречно зазначити, що повнота є не єдиним показником якості способу. Образи, представлені на полотнах художників, найчастіше програють фотографії по деталізації і по відповідності реальності, але при цьому можуть перевершувати по асоціації з іншими образами, щодо порушення уяви і по провокації емоцій. Зроблене зауваження допомагає зрозуміти значущість параметрів amn, що позначають вага інформаційних фрагментів. Збільшення ваги нівелювало недолік готівки даних. Як показало дослідження стратегій подолання невизначеності, визнання високої значимості готівки фрагментів інформації прискорювало прийняття рішень у проблемній ситуації.

Отже, процес формування цілісного образу піддається інтерпретації, якщо співвіднести його з маніпуляцією інформацією в рамках матриці. Маніпуляція виражається довільним або мимовільним (свідомим цілеспрямованим або інтуїтивним несвідомим) зміною вагових параметрів інформаційних фрагментів, тобто, зміною величини amn. При цьому збільшується або зменшується величина bm, яка характеризує значимість прообразу, і одночасно змінюється результуючий образ br. Якщо звернутися до матричної моделі формування образу, що охоплює сукупність даних щодо об'єкта, то організація способу описується наступним чином. Позначимо вектор прообразів, що містить m компонент, через

де Т - знак транспонування, а кожен елемент вектора прообразів має вигляд:

Тоді вибір результуючого образу можна здійснити за правилом Лапласа:

де br - кінцевий результат формування цілісного образу, який має своїми компонентами значення bm, amn - комплекс значень, що визначають положення і вагові параметри змінної в рядку, що відповідає прообразу. В умовах обмеженої інформації кінцевий результат може збільшуватися за допомогою підвищення вагових значень готівки даних.

На завершення обговорення представленого матеріалу щодо принципів формування образу звертається увага на необхідність конкретизації терміна «образ», оскільки в літературі відсутнє загальновизнане тлумачення. Термін, перш за все, означає формування цілісної системи інформаційних фрагментів, які відповідають деталям об'єкту, що знаходиться в полі уваги. Причому великі деталі об'єкта відображаються підсистемами інформаційних фрагментів, що становлять прообрази. Як об'єкт може виступати предмет, явище, процес, а також поведінкова ситуація. Формування образу забезпечується асоціаціями одержуваної інформації і тієї, яка міститься в пам'яті і пов'язана з більш прийнятною об'єктом. Консолідація інформаційних фрагментів і асоціацій при створенні образу реалізується в рамках матриці, конструкція і вектор якої вибираються свідомо або інтуїтивно. Вибір залежить від уподобань, що задаються мотиваціями поведінки. Тут особливо звертається увага на основний момент - дискретність інформації, використовуваної для монтажу цільної матриці образу. Цілісність, як це показано, забезпечується неспецифічними системами мозку, що контролюють процеси аналізу одержуваної інформації та її інтеграції в пам'яті. Цілісність може виникнути при мінімальних значеннях n і m, рівних одиниці. Образ набуває високу цінність за рахунок збільшення вагових параметрів наявної інформації, а повнота образу зростає в міру збільшення значень n і m (1).

висновок

Візуалізація елементів способу дозволила простежити принципи його конструкції в умовах роздільного сприйняття обставин проблемної поведінкової ситуації. В результаті проведеної роботи, було показано, що побудова цілісного образу можна розглядати в якості розподілу інформаційних фрагментів у структурі матриці. Її конструкція і вектор визначаються, по-перше, поведінкової мотивацією, по-друге, причинно-наслідковими відносинами обставин і тимчасової послідовністю отримання інформації, а також, по-третє - виділенням фрагментів інформації відповідно до їх ваговими параметрами. Цілісність матриці образу забезпечується інтеграцією дискретної інформації, що відбиває сприймається об'єкт. Неспецифічні системи мозку складають механізм, відповідальний за інтеграцію інформації в цілісному образі. З'ясування матричних принципів формування образу складного об'єкта розширює перспективу розуміння природи не тільки цілісності, а й інших властивостей образу. Мається на увазі цілісність і збереження образної системи, а також цінність і суб'єктивність, обумовлена ​​недоліком повної інформації щодо об'єкта.

бібліографічна посилання

Лавров В.В., Рудинський А.В. ФОРМУВАННЯ МАТРИЦІ НЕЗБИРАНОГО СПОСОБУ при роздільному ВОСПРИЯТИИ ЕЛЕМЕНТІВ КОМПЛЕКСНОГО ОБ'ЄКТА // Міжнародний журнал прикладних і фундаментальних досліджень. - 2016. - № 7-1. - С. 91-95;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=9764 (дата звернення: 15.01.2020). Пропонуємо вашій увазі журнали, що видаються у видавництві «Академія природознавства»

Визначення 1.образом лінійного оператораА називається безліч всіх елементів, які представлені у виді, де.

Образ лінійного оператора А є лінійним подпространством простору. Його розмірність називається рангом оператораА.

Визначення 2.Ядром лінійного оператора А називається безліч всіх векторів, для яких.

Ядро є лінійним подпространством простору Х. Його розмірність називається дефектом оператораА.

Якщо оператор А діє в вимірному просторі Х, то справедливо наступне співвідношення + =.

Оператор А називається невироджених, Якщо його ядро. Ранг невиродженого оператора дорівнює розмірності простору Х.

Нехай - матриця лінійного перетворення А простору Х в деякому базисі, тоді координати образу і прообразу пов'язані співвідношенням

Тому координати будь-якого вектора задовольняють системі рівнянь

Звідси випливає, що ядро ​​лінійного оператора є лінійною оболонкою фундаментальної системи рішень даної системи.

завдання

1. Довести, що ранг оператора дорівнює рангу його матриці в довільному базисі.

Обчислити ядра лінійних операторів, заданих в деякому базисі простору Х наступними матрицями:

5. Довести, що.

Обчислити ранг і дефект операторів, заданих наступними матрицями:

6. . 7. . 8. .

3. ВЛАСНІ ВЕКТОРИ І ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ лінійного ОПЕРАТОРА

Розглянемо лінійний оператор А, який діє в - вимірному просторі Х.

Визначення.Число l називається власним значенням оператора А, якщо, такий, що. При цьому вектор називається власним вектором оператора А.

Найважливішим властивістю власних векторів лінійного оператора є те, що власні вектори, відповідні попарно різним власним значенням лінійно незалежні.

Якщо - матриця лінійного оператора А в базисі простору Х, то власні значення l і власні вектори оператора А визначаються наступним чином:

1. Власні значення знаходять як коріння характеристичного рівняння (алгебраїчного рівняння го ступеня):

2. Координати всіх лінійно незалежних власних векторів, що відповідають кожному окремому своїм значенням, отримують, вирішуючи систему однорідних лінійних рівнянь:

матриця якої має ранг. Фундаментальні рішення цієї системи є вектор - стовпцями з координат власних векторів.

Коріння характеристичного рівняння називають також власними значеннями матриці, а рішення системи - власними векторами матриці.

Приклад.Знайти собственниевектори і власні значення оператора А, заданого в деякому базисі матрицею

1. Для визначення власних значень складаємо і вирішуємо характеристичне рівняння:

Звідси власне значення, його кратність.

2. Для визначення власних векторів складаємо і вирішуємо систему рівнянь:

Еквівалентна система базисних рівнянь має вигляд

Тому всякий власний вектор являє собою вектор-стовпець, де с - довільна константа.

3.1.Оператор простої структури.

Визначення.Лінійний оператор А, який діє в n - вимірному просторі називається оператором простої структури, якщо йому відповідає рівно n лінійно незалежних власних векторів. В цьому випадку можна побудувати базис простору з власних векторів оператора, в якому матриця оператора має найбільш простий діагональний вид

де - власні значення оператора. Очевидно, що вірно і зворотне: якщо в деякому базисі простору Х матриця оператора має діагональний вигляд, то базис складається з власних векторів оператора.

Лінійний оператор А є оператором простої структури тоді і тільки тоді, коли кожному власному значенню кратності відповідає рівно лінійно незалежних власних векторів. Так як власні вектори є рішення системи рівнянь то, отже, кожному корені характеристичного рівняння кратності, повинна відповідати матриця рангу.

Будь-яка матриця розміру, відповідна оператору простої структури, подібна діагональної матриці

де матриця переходу Т від вихідного базису до базису з власних векторів має своїми стовпцями вектор-стовпці з координат власних векторів матриці (оператора А).

Приклад.Привести матрицю лінійного оператора до діагонального вигляду

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені.

Звідки власні значення кратності і кратності.

Перше власне значення. Йому відповідають власні вектори, координати яких є

рішенням системи

Ранг даної системи дорівнює 3, тому є тільки одна незалежна рішення, наприклад, вектор.

Власні вектори, відповідні, визначаються системою рівнянь

ранг якої дорівнює 1 і, отже, існує три лінійно незалежних рішення, наприклад,

Таким чином, кожному власному значенню кратності відповідає рівно лінійно незалежних власних векторів і, отже, оператор є оператором простої структури. Матриця переходу Т має вигляд

і зв'язок між подібними матрицями і визначається співвідношенням

завдання

Знайти власні вектори і власні значення

лінійних операторів, заданих в деякому базисі матрицями:

Визначити які з наступних лінійних операторів можна привести до діагонального вигляду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:

10. Довести, що власні вектори лінійного оператора, які відповідають різним власним значенням лінійно незалежні.

11. Довести, що якщо лінійний оператор А, який діє в, має n різних значень, то будь-який лінійний оператор В перестановочний з А, володіє базисом власних векторів, причому будь-який власний вектор А буде власним і для В.

інваріантний підпростір

Визначення 1.. підпростір L лінійного простору X називається інваріантним щодо оператора А, що діє в X, якщо для кожного вектора його образ також належить.

Основні властивості інваріантних підпросторів визначаються наступними співвідношеннями:

1. Якщо і є інваріантними підпросторами щодо оператора А, то їх сума і перетин також інваріантніщодо оператора А.

2. Якщо простір Х розкладається в пряму суму підпросторів і () і інваріантної щодо А, то матриця оператора в базисі, який є об'єднанням базисів і є блокова матриця

де - квадратні матриці, 0 - нульова матриця.

3. У всякому інваріантному щодо оператора А підпросторі оператор має хоча б один власний вектор.

Приклад 1.Розглянемо ядро ​​деякого оператора А, що діє в Х. За визначенням. Нехай. Тоді, так як нульовий вектор міститься в усякому лінійному підпросторі. Отже, ядро ​​- інваріантне щодо А підпростір.

Приклад 2.Нехай в деякому базисі простору Х оператор А задається матрицею визначаються рівнянням і

5. Довести, що будь-який підпростір, інваріантне щодо невиродженого оператора А, буде інваріантної і щодо зворотного оператора.

6. Нехай лінійне перетворенняА -мірного простору в базисі має діагональну матрицю з різними елементамина діагоналі. Знайти всі підпростори, інваріантні щодо А, і визначити їх число.

В векторному просторі V над довільним полем P заданий лінійний оператор .

Определеніе9.8. ядромлінійного оператора  називається множина векторів простору V, Чином яких є нульовий вектор. прийняте позначення для цієї множини: Ker, т. Е.

Ker = {x | (х) = o}.

Теорема 9.7.Ядро лінійного оператора є подпространством простору V.

Визначення 9.9.розмірність ядра лінійного оператора називається дефектомлінійного оператора. dim Ker = d.

Визначення 9.10.образомлінійного оператора  називається безліч образів векторів простору V. Позначення для цього безлічі Im, т. Е. Im = {(х) | х V}.

Теорема 9.8.образ лінійного оператора є подпространством простору V.

Визначення 9.11.розмірність образу лінійного оператора називається рангомлінійного оператора. dim Im = r.

Теорема 9.9.простір Vє прямою сумою ядра і образу заданого в ньому лінійного оператора. Сума рангу і дефекту лінійного оператора дорівнює розмірності простору V.

Приклад 9.3. 1) В просторі R[x] ( 3) знайти ранг і дефект оператора диференціювання. Знайдемо ті многочлени, похідна яких дорівнює нулю. Це многочлени нульового ступеня, отже, Ker = {f | f = c) і d= 1. Похідні многочленів, ступінь яких не перевищує трьох, утворюють безліч многочленів, ступінь яких не перевищує двох, отже, Im =R[x] ( 2) і r = 3.

2) якщо лінійний оператор заданий матрицею M(), то для знаходження його ядра треба вирішити рівняння  ( х) = про, Яке в матричної формі виглядає так: M()[x] = [про]. з цього випливає, що базисом ядра лінійного оператора є фундаментальний набір рішень однорідної системи лінійних рівнянь із використанням головного датчика M(). Систему утворюють образу лінійного оператора складають вектори  ( e 1), (e 2), …, (e n). Базис цієї системи векторів дає базис образу лінійного оператора.

9.6. Оборотні лінійні оператори

визначення9.12. лінійний оператор  називається оборотним, Якщо існує лінійний оператор ψ такий що виконується рівність ψ = ψ = , де  - тотожний оператор.

Теорема 9.10.якщо лінійний оператор  звернемо, то оператор ψ визначається єдиним чином і називається зворотним для оператора .

У цьому випадку оператор, зворотний для оператора , позначається  -1.

Теорема 9.11.лінійний оператор  звернемо тоді і тільки тоді, коли оборотна його матриця M(), при цьому M( –1) = (M()) –1 .

З цієї теореми випливає, що ранг оборотного лінійного оператора дорівнює розмірності простору, а дефект дорівнює нулю.

приклад 9.4 1) Визначити, звернемо чи лінійний оператор , якщо  ( x) = (2х 1 – х 2 , –4х 1 + 2х 2).

Рішення. Складемо матрицю цього лінійного оператора: M() =. Так як
= 0 то матриця M() необоротна, а значить, є незворотнім і лінійний оператор .

2) знайти лінійний оператор, зворотний оператору , якщо (x) = (2х 1 + х 2 , 3х 1 + 2х 2).

Рішення.Матриця цього лінійного оператора, що дорівнює M() =
, Оборотна, так як | M()| ≠ 0. (M()) –1 =
, Тому  -1 = (2х 1 – х 2 , –3х 1 + 2х 2).