нехай

Стовпці матриці розмірності. Лінійною комбінацією стовпців матриціназивається матриця-стовпець, при цьому - деякі дійсні або комплексні числа, звані коефіцієнтами лінійної комбінації. Якщо в лінійній комбінації взяти все коефіцієнти рівними нулю, то лінійна комбінація дорівнює нульовий матриці-стовпці.

Стовпці матриці називаються лінійно незалежними , Якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю лише коли всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулю. Стовпці матриці називаються лінійно залежними , Якщо існує набір чисел, серед яких хоча б одне відмінно від нуля, а лінійна комбінація стовпців з цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Аналогічно можуть бути дані визначення лінійної залежності і лінійної незалежності рядків матриці. Надалі все теореми формулюються для стовпців матриці.

теорема 5

Якщо серед стовпців матриці є нульовою, то стовпці матриці лінійно залежні.

Доведення. Розглянемо лінійну комбінацію, в якій всі коефіцієнти дорівнюють нулю при всіх ненульових шпальтах і одиниці при нульовому стовпці. Вона дорівнює нулю, а серед коефіцієнтів лінійної комбінації є відмінний від нуля. Отже, стовпці матриці лінійно залежні.

теорема 6

якщо стовпців матриці лінійно залежні, то і все стовпців матриці лінійно залежні.

Доведення. Будемо для визначеності вважати, що перші стовпців матриці лінійно залежні. Тоді за визначенням лінійної залежності існує набір чисел, серед яких хоча б одне відмінно від нуля, а лінійна комбінація стовпців з цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Складемо лінійну комбінацію всіх стовпців матриці, включивши в неї інші стовпці з нульовими коефіцієнтами

Але. Отже, всі стовпці матриці лінійно залежні.

слідство. Серед лінійно незалежних стовпців матриці будь-які лінійно незалежні. (Це твердження легко доводиться методом від противного.)

теорема 7

Для того щоб стовпці матриці були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб хоча б один стовпець матриці був лінійною комбінацієюінших.

Доведення.

Необхідність.Нехай стовпці матриці лінійно залежні, тобто існує набір чисел, серед яких хоча б одне відмінно від нуля, а лінійна комбінація стовпців з цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Припустимо для визначеності, що. Тоді тобто перший стовпець є лінійна комбінація інших.

достатність. Нехай хоча б один стовпець матриці є лінійною комбінацією інших, наприклад,, де - деякі числа.

Тоді, тобто лінійна комбінація стовпців дорівнює нулю, а серед чисел лінійної комбінації хоча б один (при) відмінний від нуля.

Нехай ранг матриці дорівнює. Будь відмінний від нуля мінор - го порядку називається базисним . Рядки і стовпці, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються базисними .

Нехай в матриці А розмірів (m; n) обрані довільно k рядків і k стовпців (k ≤ min (m; n)). Елементи матриці, що стоять на перетині вибраних рядків і стовпців, утворюють квадратну матрицю порядку k, визначник якої називається мінор M kk порядку k y або мінор k-го порядку матриці A.

Рангом матриці називається максимальний порядок r відмінних від нуля мінорів матриці A, а будь-який мінор порядку r, відмінний від нуля, - базисним мінор. Позначення: rang A = r. Якщо rang A = rang B і розміри матриць A і Bсовпадают, то матриці A і B називаються еквівалентними. Позначення: A ~ B.

Основними методами обчислення рангу матриці є метод оздоблюють мінорів і метод.

Метод оздоблюють мінорів

Суть методу оздоблюють мінорів полягає в наступному. Нехай в матриці вже знайдений мінор порядку k, відмінний від нуля. Тоді далі розглядаються лише ті мінори порядку k + 1, які містять в собі (т. Е. Облямовують) мінорk-го порядку, відмінний від нуля. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k, в іншому випадку серед оздоблюють мінорів (k + 1) -го порядку знайдеться відмінний від нуля і вся процедура повторюється.

Лінійна незалежність рядків (стовпців) матриці

Поняття рангу матриці тісно пов'язане з поняттям лінійної незалежності її рядків (стовпців).

Рядки матриці:

називають лінійно залежними, якщо знайдуться такі числа λ 1, λ 2, λ k, що справедливо рівність:

Рядки матриці A називаються лінійно незалежними, якщо вищенаведене рівність можливо лише в разі, коли всі числа λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0

Аналогічним чином визначається лінійна залежність і незалежність стовпців матриці A.

Якщо будь-який рядок (a l) матриці A (де (a l) = (a l1, a l2, ..., a ln)) може бути представлена ​​у вигляді

Аналогічним чином визначається поняття лінійної комбінації стовпців. Справедлива наступна теорема про базисному мінорі.

Базисні рядки і базисні стовпці лінійно незалежні. Будь-яка рядок (або стовпчик) матриці A є лінійною комбінацією базисних рядків (стовпців), т. Е. Рядків (стовпців), які перетинають базисний мінор. Таким чином, ранг матриці A: rang A = k дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпців) матриці A.

Тобто ранг матриці - це розмірність найбільшою квадратної матриці всередині тієї матриці, для якої потрібно визначити ранг, для якої визначник не дорівнює нулю. Якщо вихідна матриця не є квадратної, або якщо вона квадратна, але її визначник дорівнює нулю, то для квадратних матриць меншого порядку рядки і стовпці вибираються довільно.

Крім як через визначники, ранг матриці можна порахувати по числу лінійно незалежних рядків або стовпців матриці. Він дорівнює кількості лінійно незалежних рядків або стовпців в залежності від того, чого менше. Наприклад, якщо матриця має 3 лінійно незалежних рядки і 5 лінійно незалежних стовпців, то її ранг дорівнює трьом.

Приклади знаходження рангу матриці

Методом оздоблюють мінорів знайти ранг матриці

Р і ш е н і е. Мінор другого порядку

окаймляющий мінор M 2, також різниться від нуля. Однак обидва мінору четвертого порядку, оздоблюють M 3.

дорівнюють нулю. Тому ранг матриці A дорівнює 3, а базисним мінор є, наприклад, представлений вище мінор M 3.

Метод елементарних перетворень заснований на тому, що елементарні перетворення матриці не змінюють її рангу. Використовуючи ці перетворення, можна привести матрицю до вигляду, коли всі її елементи, крім a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), дорівнюють нулю. Це, очевидно, означає, що rang A = r. Зауважимо, що якщо матриця n-го порядку має вигляд верхньої трикутної матриці, т. Е. Матриці, у якій всі елементи під головною діагоналлю дорівнюють нулю, то її визначитеся дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі. Це властивість можна використовувати при обчисленні рангу матриці методом елементарних перетворень: необхідно з їх допомогою привести матрицю до трикутної і тоді, виділивши відповідний визначник, знайдемо, що ранг матриці дорівнює числу елементів головної діагоналі, відмінних від нуля.

Методом елементарних перетворень знайти ранг матриці

Р і ш е н і е. Позначимо i-й рядокматриці A символом α i. На першому етапі виконаємо елементарні перетворення

На другому етапі виконаємо перетворення

В результаті отримаємо

Лінійна алгебра

теорія Слау

1. Матриці, дії з матрицями, обернена матриця. Матричні рівняння і їх рішення.

матриця- прямокутна таблиця довільних чисел, розташованих в певному порядку, розміром m * n (рядків на стовпці). Елементи матриці позначаються, де i - номер рядка, а j - номер стовпця.

додавання (віднімання)матриць визначені тільки для однорозмірних матриць. Сума (різниця) матриць - матриця, елементи якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.

Множення (розподіл)на число- множення (ділення) кожного елемента матриці на це число.

Множення матриць визначено тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої.

множення матриць- матриця, елементи яких задаються формулами:

транспонування матриці- така матріцаB, рядки (стовпці) якої є стовпцями (рядками) у вихідній матріцеA. позначається

зворотна матриця

матричні рівняння- рівняння відаA * X = B є твір матриць, відповіддю на дане рівняння є матріцаX, яка знаходиться за допомогою правил:

1. Лінійна залежність і незалежність стовпців (рядків) матриці. Критерій лінійної залежності, достатні умови лінійної залежності стовпців (рядків) матриці.

Система рядків (стовпців) називається лінійно незалежної, Якщо лінійна комбінація тривіальна (рівність виконується тільки пріa1 ... n = 0), гдеA1 ... n - стовпці (рядки), аa1 ... n - коефіцієнти розкладання.

критерій: Для того, що б система векторів була лінійно зависмости, необхідно і достатньо, щоб хоча б один з векторів системи лінійно висловлювався через інші вектори системи.

достатня умова:

1. Визначники матриці і їх властивості

Визначник матриці (детермінанта)- таке число, яке для квадратної матріциA може бути обчислено за елементами матриці за формулою:

, Де - додатковий мінор елемента

властивості:

1. Зворотній матриця, алгоритм обчислення зворотної матриці.

зворотна матриця- така квадратна матріцаX, яка разом з квадратною матрицею A того ж порядку, удовлевторяет умові :, гдеE - одинична матриця, того ж порядку що іA. Будь-яка квадратна матриця з визначником, не рівним нулю має 1 зворотну матрицю. Знаходиться за допомогою методу елементарних перетворень і за допомогою формули:

Поняття рангу матриці. Теорема про базисному мінорі. Критерій рівності нулю визначника матриці. Елементарні перетворення матриць. Обчислення рангу методом елементарних перетворень. Обчислення оберненої матриці методом елементарних перетворень.

Ранг матриці -порядок базисного мінору (rg A)

Базисний мінор -мінор порядкаr не дорівнює нулю, такий що все мінори порядку r + 1 і вище дорівнюють нулю або не існують.

Теорема про базисному мінорі -У довільній матриці А кожен стовпець (рядок) є лінійною комбінацією стовпців (рядків), в яких розташований базисний мінор.

Доведення:Нехай в матріцеAразмеров m * n базисний мінор розташований в перших r рядках і перших r шпальтах. Розглянемо визначник, який отримано приписуванням до базисного мінору матриці А відповідних елементів s-го рядкаі k-го стовпця.

Відзначимо, що при будь-яких іетот визначник дорівнює нулю. Есліілі, то определітельD містить дві однакових рядки або два однакових стовпця. Якщо жеі, то визначник D дорівнює нулю, так як є мінор (r + λ) -ro порядку. Розкладаючи визначник по останньому рядку, отримуємо :, де-алгебраїчні доповнення елементів останнього рядка. Зауважимо, що, так як це базисний мінор. Тому, де Записуючи останню рівність для, отримуємо , Тобто k-й стовпець(При будь-якому) є лінійна комбінація стовпців базисного мінору, що й треба було довести.

критерій detA = 0- Визначник дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки (стовпці) лінійно залежні.

елементарні перетворення:

1) множення рядка на число, відмінне від нуля;

2) додаток до елементів одного рядка елементів іншого рядка;

3) перестановка рядків;

4) викреслювання однієї з однакових рядків (стовпців);

5) транспонування;

Обчислення рангу -З теореми про базисному мінорі слід, що ранг матриці А дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпців в матриці), отже завдання елементарних перетворень знайти всі лінійно незалежні рядки (стовпці).

обчислення оберненої матриці ­ - Перетворення можуть бути реалізовані множенням на матрицю A деякої матриці T, яка представляє собою добуток відповідних елементарних матриць: TA = E.

Це рівняння означає, що матриця перетворення T являє собою зворотну матрицю для матриці. Тогдаі, отже,

Кожен рядок матриці А позначимо е i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (наприклад,
е 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), е 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) і т.д.). Кожна з них являє собою матрицю-рядок, яку можна помножити на число або скласти з іншого рядком за загальними правилами дій з матрицями.

лінійною комбінацієюрядків e l, e 2, ... e k називають суму творів цих рядків на довільні дійсні числа:
e = l l e l + l 2 e 2 + ... + l k e k, де l l, l 2, ..., l k - довільні числа (коефіцієнти лінійної комбінації).

Рядки матриці e l, e 2, ... e m називаються лінійно залежними, Якщо існують такі числа l l, l 2, ..., l m, нерівні одночасно нулю, що лінійна комбінація рядків матриці дорівнює нульовий рядку:
l l e l + l 2 e 2 + ... + l m e m = 0, де 0 = (0 0 ... 0).

Лінійна залежність рядків матриці означає, що хоча б один рядок матриці є лінійною комбінацією інших. Дійсно, нехай для визначеності останній коефіцієнт l m ¹ 0. Тоді, розділивши обидві частини рівності на l m, отримаємо вираз для останнього рядка, як лінійної комбінації інших рядків:
e m = (l l / l m) e l + (l 2 / l m) e 2 + ... + (l m-1 / l m) e m-1.

Якщо лінійна комбінація рядків дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто l l e l + l 2 e 2 + ... + l m e m = 0 Û l k = 0 "k, то рядки називають лінійно незалежними.

Теорема про ранг матриці. Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків або стовпців, через які можна лінійно висловити всі інші її рядки або стовпці.

Доведемо цю теорему. Нехай матриця А розміру m х n має ранг r (r (А) £ min (m; n)). Отже, існує відмінний від нуля мінор r-го порядку. Всякий такий мінор будемо називати базисним. Нехай для визначеності це мінор

Рядки цього мінору також будемо називати базисними.

Доведемо, що тоді рядки матриці e l, e 2, ... e r лінійно незалежні. Припустимо гидке, тобто одна з цих рядків, наприклад r-я, є лінійною комбінацією інших: e r = l l e l + l 2 e 2 + ... + l r-1 e r-1 = 0. Тоді, якщо відняти від елементів r-йрядки елементи 1-го рядка, помножені на l l, елементи 2-го рядка, помножені на l 2, і т.д., нарешті, елементи (r-1) -го рядка, помножені на l r-1, то r-й рядокстане нульовою. При цьому за властивостями визначника вищенаведений визначник не повинен змінитися, і при цьому має дорівнювати нулю. Отримано протиріччя, лінійна незалежність рядків доведена.

Тепер доведемо, що будь-які (r + 1) рядків матриці лінійно залежні, тобто будь-який рядок можна виразити через базисні.

Доповнимо розглянутий раніше мінор ще одним рядком (i-й) і ще одним стовпцем (j-м). В результаті отримаємо мінор (r + 1) -го порядку, який за визначенням рангу дорівнює нулю.

Поняття рангу матриці тісно пов'язане з поняттям лінійної залежності (незалежності) її рядків або стовпців. Надалі будемо викладати матеріал для рядків, для стовпців виклад аналогічно.

У матриці Aпозначимо її рядки наступним чином:

Два рядки матриці називаються рівними, Якщо рівні їх відповідні елементи:, якщо,.

Арифметичні операції над рядками матриці (множення рядка на число, додавання рядків) вводяться як операції, що проводяться поелементно:

рядок еназивається лінійною комбінацією рядків..., матриці, якщо вона дорівнює сумі творів цих рядків на довільні дійсні числа:

Рядки матриці називаються лінійно залежними, Якщо існують такі числа, не рівні одночасно нулю, що лінійна комбінація рядків матриці дорівнює нульовий рядку:

, =(0,0,...,0). (3.3)

теорема 3.3Рядки матриці лінійно залежні, якщо хоча б один рядок матриці є лінійною комбінацією інших.

□ Дійсно, нехай для визначеності у формулі (3.3), тоді

Таким чином, рядок є лінійною комбінат інших рядків. ■

Якщо лінійна комбінація рядків (3.3) дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю, то рядки називаються лінійно незалежними.

Теорема 3.4.(Про ранг матриці) Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків або стовпців, через які лінійно виражаються всі інші її рядки (стовпці).

□ Нехай матриця Aрозміру m n має ранг r(r min). Це означає, що існує відмінний від нуля мінор r-го порядку. Всякий ненульовий мінор r-го порядку будемо називати базисним мінор.

Нехай для визначеності базисний мінор є провідний або кутовий мінор. Тоді рядки матриці лінійно незалежні. Припустимо гидке, тобто одна з цих рядків, наприклад, є лінійною комбінацією інших. Віднімемо з елементів r- го рядка елементи 1-го рядка, помножені на, потім елементи 2-го рядка, помножені на, ... і елементи ( r - 1) - го рядка, помножені на. На підставі властивості 8 при таких перетвореннях матриці її визначник D не зміниться, але так як r- я рядок буде тепер складатиметься з одних нулів, то D = 0 - протиріччя. Отже, наше припущення про те, що рядки матриці лінійно залежні, невірно.

рядки назвемо базисними. Покажемо, що будь-які (r + 1) рядків матриці лінійно залежні, тобто будь-який рядок виражається через базисні.

Розглянемо мінор (r +1) - го порядку, який виходить при доповненні розглядуваного мінору елементами ще одного рядка iі стовпці j. Цей мінор дорівнює нулю, так як ранг матриці дорівнює r, Тому будь-який мінор вищого порядку дорівнює нулю.

Розкладаючи його за елементами останнього (доданого) стовпчика, одержуємо

Де модуль останнього алгебраїчного доповненнязбігається з базисним мінор Dі тому відмінно від нуля, тобто 0.

3. Воєводін В.В., Кузнецов Ю. А. Матриці і вичісленія.- М .: Наука, 1984.-320с.

4. Ільїн В.А., Позняк Е. Г. Лінійна алгебра.- М .: «Наука», 1978.- 304с.