Спрощений вигляд матриці. Приведення матриці до ступінчастого вигляду

У цій темі розглянемо поняття матриці, і навіть види матриць. Так як у цій темі чимало термінів, то я додам короткий зміст, щоб орієнтуватися у матеріалі було простіше.

Визначення матриці та її елемента. Позначення.

Матриця- Це таблиця з $ m $ рядків і $ n $ стовпців. Елементами матриці може бути об'єкти абсолютно різноманітної природи: числа, змінні чи, наприклад, інші матриці. Наприклад, матриця $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \end(array) \right)$ містить 3 рядки і 2 стовпці; Елементами її є цілі числа. Матриця $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \ -9 & 3t^2-4 & ut & 8\end(array) \right)$ містить 2 рядки та 4 стовпці.

Різні способи запису матриць: показати\сховати

Матриця може бути записана у круглих, а й у квадратних чи подвійних прямих дужках. Нижче вказана та сама матриця в різних формахзапису:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Твір $m\times n$ називають розміром матриці. Наприклад, якщо матриця містить 5 рядків і 3 стовпці, то говорять про матрицю розміру $5\times 3$. Матриця $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ має розмір $3 \times 2$.

Зазвичай матриці позначаються великими літерами латинського алфавіту: $A$, $B$, $C$ і таке інше. Наприклад, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \end(array) \right)$. Нумерація рядків йде зверху донизу; стовпців - зліва направо. Наприклад, перший рядок матриці $B$ містить елементи 5 та 3, а другий стовпець містить елементи 3, -87, 0.

Елементи матриць зазвичай позначаються дрібними літерами. Наприклад, елементи матриці $A$ позначаються $a_(ij)$. Подвійний індекс $ij$ містить інформацію про положення елемента у матриці. Число $i$ це номер рядка, а число $j$ - номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент $a_(ij)$. Наприклад, на перетині другого рядка і п'ятого стовпця матриці $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \1 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ розташований елемент $a_(25)= 59$:

Так само на перетині першого рядка і першого стовпця маємо елемент $a_(11)=51$; на перетині третього рядка та другого стовпця - елемент $a_(32)=-15$ тощо. Зауважу, що запис $a_(32)$ читається як "а три два", але не "а тридцять два".

Для скороченого позначення матриці $A$, розмір якої дорівнює $m\times n$, використовується запис $A_(m\times n)$. Нерідко використовується і такий запис:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Тут $(a_(ij))$ свідчить про позначення елементів матриці $A$, тобто. свідчить, що елементи матриці $A$ позначаються як $a_(ij)$. У розгорнутому вигляді матрицю $A_(m\times n)=(a_(ij))$ можна записати так:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Введемо ще один термін - рівні матриці.

Дві матриці однакового розміру $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називаються рівними, якщо відповідні елементи рівні, тобто. $a_(ij)=b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Пояснення до запису $i=\overline(1,m)$: показати\приховати

Запис "$i=\overline(1,m)$" означає, що параметр $i$ змінюється від 1 до m. Наприклад, запис $i=\overline(1,5)$ говорить про те, що параметр $i$ приймає значення 1, 2, 3, 4, 5.

Отже, для рівності матриць потрібно виконання двох умов: збіг розмірів та рівність відповідних елементів. Наприклад, матриця $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ не дорівнює матриці $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, оскільки матриця $A$ має розмір $3\times 2$, а розмір матриці $B$ становить $2\times 2 $. Також матриця $A$ не дорівнює матриці $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\98 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$, оскільки $a_( 21) \ neq c_ (21) $ (тобто $ 0 \ neq 98 $). А ось для матриці $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ можна сміливо записати $A=F$ оскільки і розміри, і відповідні елементи матриць $A$ та $F$ збігаються.

Приклад №1

Визначити розмір матриці $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\\end(array) \right)$. Вказати, чому рівні елементи $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Дана матриця містить 5 рядків і 3 стовпці, тому розмір $5\times 3$. Для цієї матриці можна також використовувати позначення $A_(5\times 3)$.

Елемент $a_(12)$ знаходиться на перетині першого рядка та другого стовпця, тому $a_(12)=-2$. Елемент $a_(33)$ знаходиться на перетині третього рядка та третього стовпця, тому $a_(33)=23$. Елемент $a_(43)$ знаходиться на перетині четвертого рядка та третього стовпця, тому $a_(43)=-5$.

Відповідь: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Види матриць залежно від їхнього розміру. Головна та побічна діагоналі. Слід матриці.

Нехай задана певна матриця $A_(m\times n)$. Якщо $m=1$ (матриця складається з одного рядка), то задану матрицю називають матриця-рядок. Якщо $n=1$ (матриця складається з одного стовпця), то таку матрицю називають матриця-стовпець. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ - матриця-рядок, а $\left(\begin(array) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - матриця-стовпець.

Якщо для матриці $A_(m\times n)$ правильна умова $m\neq n$ (тобто кількість рядків не дорівнює кількості стовпців), то часто говорять, що $A$ - прямокутна матриця. Наприклад, матриця $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ має розмір $2\times 4$, тобто. містить 2 рядки та 4 стовпці. Так як кількість рядків не дорівнює кількості стовпців, то ця матриця прямокутна.

Якщо для матриці $A_(m\times n)$ правильна умова $m=n$ (тобто кількість рядків дорівнює кількості стовпців), то кажуть, що $A$ - квадратна матриця порядку $n$. Наприклад, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ - квадратна матриця другого порядку; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ - квадратна матриця третього порядку. Загалом квадратну матрицю $A_(n\times n)$ можна записати так:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Кажуть, що елементи $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ знаходяться на головної діагоналіматриці $A_(n\times n)$. Ці елементи називаються головними діагональними елементами(чи просто діагональними елементами). Елементи $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ знаходяться на побічної (другорядної) діагоналі; їх називають побічними діагональними елементами. Наприклад, для матриці $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end(array) \right)$ маємо:

Елементи $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ є головними діагональними елементами; елементи $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ - побічні діагональні елементи.

Сума головних діагональних елементів називається слідом матриціі позначається $\Tr A$ (або $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Наприклад, для матриці $C = \ left ( \ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \ -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ маємо:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Поняття діагональних елементів також використовується для неквадратних матриць. Наприклад, для матриці $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ головними діагональними елементами будуть $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Види матриць залежно від значень їх елементів.

Якщо всі елементи матриці $A_(m\times n)$ дорівнюють нулю, то така матриця називається нульовийі зазвичай позначається буквою $O$. Наприклад, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - нульові матриці.

Розглянемо деяку ненульову рядок матриці $A$, тобто. такий рядок, у якому є хоч один елемент, відмінний від нуля. Провідним елементомненульового рядка назвемо її перший (рахуючи зліва направо) ненульовий елемент. Наприклад розглянемо таку матрицю:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

У другому рядку провідним буде четвертий елемент, тобто. $w_(24)=12$, а третьому рядку провідним буде другий елемент, тобто. $w_(32)=-9$.

Матриця $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ називається ступінчастою, якщо вона задовольняє двом умовам:

1. Нульові рядки, якщо вони є, розташовані нижче за всі ненульові рядки.
2. Номери провідних елементів ненульових рядків утворюють послідовно, що строго зростає, тобто. якщо $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ - провідні елементи ненульових рядків матриці $A$, то $k_1\lt(k_2)\lt\ldots\lt( k_r) $.

Приклади ступінчастих матриць:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(array)\right). $$

Для порівняння: матриця $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ не є ступінчастою, так як порушена друга умова у визначенні ступінчастої матриці. Провідні елементи в другому та третьому рядках $q_(24)=7$ і $q_(32)=10$ мають номери $k_2=4$ і $k_3=2$. Для ступінчастої матриці має бути виконана умова $k_2\lt(k_3)$, яка в даному випадку порушена. Зазначу, що якщо поміняти місцями другий і третій рядки, то отримаємо ступінчасту матрицю: $ \ left ( \ begin (array) (ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9 \ \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$.

Ступінчасту матрицю називають трапецієподібноїабо трапецеїдальної, якщо для провідних елементів $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ виконані умови $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r= r$, тобто. провідними є діагональні елементи. У загальному вигляді трапецієподібну матрицю можна записати так:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

Приклади трапецієподібних матриць:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(array)\right). $$

Дамо ще кілька визначень для квадратних матриць. Якщо всі елементи квадратної матриці, розташовані під головною діагоналлю, дорівнюють нулю, то таку матрицю називають верхньою трикутною матрицею. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $ - Верхня трикутна матриця. Зауважте, що у визначенні верхньої трикутної матриці нічого не сказано про значення елементів, які розташовані над головною діагоналлю або на головній діагоналі. Вони можуть бути нульовими чи ні – це несуттєво. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - теж верхня трикутна матриця.

Якщо всі елементи квадратної матриці, розташовані над головною діагоналлю, дорівнюють нулю, то таку матрицю називають нижньою трикутною матрицею. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - нижня трикутна матриця. Зверніть увагу, що у визначенні нижньої трикутної матриці нічого не сказано про значення елементів, розташованих під або на головній діагоналі. Вони можуть бути нульовими чи ні – це неважливо. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ і $\left(\begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - теж нижні трикутні матриці.

Квадратна матриця називається діагональноїякщо всі елементи цієї матриці, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Приклад: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array) \right)$. Елементи на головній діагоналі можуть бути будь-якими (рівними нулю чи ні) – це несуттєво.

Діагональна матриця називається одиничною, якщо всі елементи цієї матриці, розташовані на головній діагоналі, дорівнюють 1. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - одинична матриця четвертого порядку; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ - одинична матриця другого порядку.

Щоб привести матрицю до східчастого вигляду(Рис. 1.4), потрібно виконати такі дії.

1. У першому стовпці вибрати елемент, відмінний від нуля ( провідний елемент ). Рядок з провідним елементом ( провідний рядок ), якщо вона не перша, переставити на місце першого рядка (перетворення I типу). Якщо в першому стовпці немає ведучого (всі елементи дорівнюють нулю), то виключаємо цей стовпець, і продовжуємо пошук провідного елемента в частині матриці, що залишилася. Перетворення закінчуються, якщо виключені всі стовпці або в частині матриці, що залишилася, всі елементи нульові.

2. Розділити всі елементи провідного рядка на провідний елемент (перетворення типу II). Якщо провідний рядок останній, то на цьому перетворення слід закінчити.

3. До кожного рядка, розташованого нижче ведучої, додати провідний рядок, помножений відповідно на таке число, щоб елементи, що стоять під ведучим, дорівнювали нулю (перетворення III типу).

4. Виключивши з розгляду рядок і стовпець, на перетині яких стоїть провідний елемент, перейти до пункту 1, в якому всі описані дії застосовуються до частини матриці, що залишилася.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка.

Теорема про розкладання визначника за елементами рядка чи стовпця дозволяє звести обчислення визначника - го порядку () до обчислення визначників порядку .

Якщо визначник має рівні нулю елементи, то зручніше розкладати визначник по елементах того рядка або стовпця, який містить найбільше число нулів.

Використовуючи властивості визначників, можна перетворити визначник - го порядку так, щоб усі елементи деякого рядка або стовпця, крім одного, стали рівними нулю. Таким чином, обчислення визначника - го порядку, якщо він відмінний від нуля, зведеться до обчислення одного визначника - го порядку.

Завдання 3.1.Обчислити визначник

Рішення.Додавши до другого рядка перший, до третього – перший, помножений на 2, до четвертого – перший, помножений на -5, отримаємо

Розкладаючи визначник за елементами першого стовпця, маємо

.

В отриманому визначнику 3-го порядку звернемо нанівець усі елементи першого стовпця, крім першого. Для цього до другого рядка додамо перший, помножений на (-1), до третього, помноженого на 5, додамо перший, помножений на 8. Так як множили третій рядок на 5, то (для того, щоб визначник не змінився) помножимо його на . Маємо

Отриманий визначник розкладемо за елементами першого стовпця:

Теорема Лапласа(1). Теорема про чужі доповнення(2)

1)Визначник дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка з їхньої алгебраїчні доповнення.

2)Сума творів елементів будь-якого рядка визначника на додатки алгебри відповідних елементів іншого його рядка дорівнює нулю (теорема про множення на чужі алгебраїчні доповнення).

Будь-яка точка на площині при вибраній системі координат визначається парою (α, β) своїх координат; числа α і β можна розуміти також як координати радіусу-вектора з кінцем у цій точці. Аналогічно, у просторі трійка (α, β, γ) визначає точку або вектор з координатами α, β, γ. Саме на цьому ґрунтується добре відома читачеві геометрична інтерпретація систем лінійних рівняньз двома чи трьома невідомими. Так, у разі системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими

а 1 х + b 1 у = с 1

а 2 х + b 2 у = з 2

кожне з рівнянь тлумачиться як пряма на площині (див. рис. 26), а рішення (α, β) - як точка перетину цих прямих або вектор з координатами аїр (рисунок відповідає випадку, коли система має єдине рішення).

Мал. 26

Аналогічно можна зробити з системою лінійних рівнянь з трьома невідомими, інтерпретуючи кожне рівняння як рівняння площини у просторі.

У математиці та різних її додатках (зокрема, в теорії кодування) доводиться мати справу із системами лінійних рівнянь, що містять більше трьох невідомих. Системою лінійних рівнянь з n невідомими x 1 , х 2 , ..., х n називається сукупність рівнянь виду

а 11 х 1 + а 12 х 2 + ... + а 1n х n = b 1

а 21 х 1 + а 22 х 2 + ... + а 2n х n = b 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

а m1 х 1 + а m2 х 2 + ... + а mn х n = b m,

де a ij та b i - довільні дійсні числа. Число рівнянь у системі може бути будь-яким і ніяк не пов'язане з кількістю невідомих. Коефіцієнти при невідомих ij мають подвійну нумерацію: перший індекс i вказує номер рівняння, другий індекс j - номер невідомого, при якому стоїть даний коефіцієнт.

Будь-яке рішення системи розуміється як набір (дійсних) значень невідомих (α 1 , α 2 , ..., α n ), що обертають кожне рівняння у правильну рівність.

Хоча безпосереднє геометричне тлумачення системи (1) при n > 3 вже неможливо, проте цілком можливо і у багатьох відношеннях зручно поширити на випадок довільного n геометричну мову простору двох або трьох вимірів. Цій меті і є подальші визначення.

Кожен упорядкований набір із n дійсних чисел (α 1 , α 2 , ..., α n ) називається n-вимірним арифметичним вектором, а самі числа α 1 , α 2 , ..., α n - Координаціями цього вектора.

Для позначення векторів використовується, як правило, жирний шрифт і для вектора з координатами α 1 , α 2 , ..., α n зберігається звичайна форма запису:

а = (α 1, α 2, ..., α n).

За аналогією зі звичайною площиною множину всіх n-мірних векторів, що задовольняють лінійному рівнянню з n невідомими, називають гіперплощиною в n-мірному просторі. При такому визначенні безліч всіх рішень системи (1) є не що інше, як перетин декількох гіперплощин.

Додавання та множення n-мірних векторів визначаються за тими самими правилами, що і для звичайних векторів. А саме, якщо

а = (α 1 , α 2 , ..., α n), b = (β 1 , β 2 , ..., β n) (2)

Два n-мірних вектори, то їх сумою називається вектор

α + β = (α 1 + β 1 , α 2 + β 2 ..., α n + β n). (3)

Добутком вектора на число λ називається вектор

λа = (λα 1 , λα 2 , ..., λα n). (4)

Безліч всіх n-вимірних арифметичних векторів з операціями складання векторів і множення вектора на число називається арифметичним n-вимірним векторним простором L n .

Використовуючи введені операції, можна розглядати довільні лінійні комбінації кількох векторів, тобто вирази виду

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k ,

де i - дійсні числа. Наприклад, лінійна комбінація векторів (2) з коефіцієнтами λ і μ - це вектор

λа + μb = (λα 1 + μβ 1 , λα 2 + μβ 2 , ..., λα n + μβ n).

У тривимірному просторі векторів особливу роль грає трійка векторів i, j, k (координатні орти), якими розкладається будь-який вектор а:

a = xi + yj + zk,

де х, у, z – дійсні числа (координати вектора а).

У n-вимірному випадку таку ж роль відіграє наступна система векторів:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

n = (0, 0, 0, ..., 1).

Будь-який вектор є, очевидно, лінійна комбінація векторів е 1 , e 2 , ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n (6)

причому коефіцієнти 1, 2, ..., n збігаються з координатами вектора а.

Позначаючи через 0 вектор, всі координати якого дорівнюють нулю (коротко, нульовий вектор), введемо таке важливе визначення:

Система векторів а 1 , а 2 , ..., а k називається лінійно залежною, якщо існує рівна нульовому вектору лінійна комбінація

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

в якій хоча б один з коефіцієнтів h 1 , 2 , ..., λ k відмінний від нуля. Інакше система називається лінійно незалежною.

Так, вектори

а 1 = (1, 0, 1, 1), а 2 = (1, 2, 1, 1), а 3 = (2, 2, 2, 2)

лінійно залежні, оскільки

a 1 + a 2 – а 3 = 0.

Лінійна залежність, як видно з визначення, рівносильна (при k ≥ 2) тому, що хоча б один із векторів системи є лінійною комбінацією інших.

Якщо система і двох векторів a 1 , а 2 , то лінійна залежність системи означає, що з векторів пропорційний іншому, скажімо, а 1 = λа 2 ; у тривимірному випадку це рівнозначно колінеарності векторів а 1 і 2 . Так само лінійна залежність системи I із трьох векторів у звичайному просторі означає компланарність цих векторів. Поняття лінійної залежності є таким чином природним узагальненням понять колінеарності та компланарності.

Неважко переконатися, що вектори е 1 , е 2 , ..., е n із системи (5) лінійно незалежні. Отже, у n-вимірному просторі існують системи з n лінійно незалежних векторів. Можна показати, що будь-яка система з більшого числавектори лінійно залежні.

Будь-яка система a 1 , а 2 , ..., а n із n лінійно незалежних векторів n-вимірного простору L n називається його базисом.

Будь-який вектор простору L n розкладається, і притому єдиним чином, за векторами довільного базису a 1 , а 2 , ..., а n:

а = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Цей факт легко встановлюється виходячи з визначення базису.

Продовжуючи аналогію з тривимірним простором, можна і в n-вимірному випадку визначити скалярний твір а · b векторів, вважаючи

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

За такого визначення зберігаються всі основні властивості скалярного твору тривимірних векторів. Вектори а і b називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Теоретично лінійних кодів використовується ще одне важливе поняття - поняття підпростору. Підмножина V простору L n називається підпростором цього простору, якщо

1) для будь-яких векторів а, b, що належать V, їхня сума а + b також належить V;

2) для будь-якого вектора а, що належить V, і для будь-якого дійсного числа λ вектор λа також належить V.

Наприклад, безліч всіх лінійних комбінацій векторів e 1 , е 2 із системи (5) буде підпростором простору L n .

У лінійній алгебрі доводиться, що у будь-якому підпросторі V існує така лінійно незалежна система векторів a 1 , a 2 , ..., a k , що кожен вектор підпростору є лінійною комбінацією цих векторів:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.

Зазначена система векторів називається базисом підпростору V.

З визначення простору та підпростору безпосередньо випливає, що простір L n є комутативна група щодо операції складання векторів, а будь-яке його підпростір V є підгрупою цієї групи. У цьому сенсі можна, наприклад, розглядати суміжні класи простору L n підпростором V.

На закінчення підкреслимо, що якби теорії n-мірного арифметичного простору замість дійсних чисел (тобто елементів поля дійсних чисел) розглядати елементи довільного поля F, всі визначення і факти, наведені вище, зберегли б силу.

Теоретично кодування важливу роль відіграє випадок, коли поле F поле відрахувань Z p , яке, як знаємо, звичайно. У цьому випадку відповідний n-вимірний простір також звичайно і містить, як неважко бачити, р n елементів.

Поняття простору, як і поняття групи та кільця, допускає також і аксіоматичне визначення. За подробицями ми відсилаємо Живителя до будь-якого курсу лінійної алгебри.

Лінійна комбінація. Лінійно залежні та незалежні системи векторів.

інійна комбінація векторів

Лінійна комбінація векторів називають вектор

де - Коефіцієнти лінійної комбінації. Якщо комбінація називається тривіальною, якщо-нетривіальною.

Лінійна залежність та незалежність векторів

Система лінійно залежно

Система лінійно незалежна

Критерій лінійної залежності векторів

Для того, щоб вектори (r > 1) були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб хоча б один із цих векторів був лінійною комбінацією інших.

Розмірність лінійного простору

Лінійний простір Vназивається n-мірним (має розмірність n), якщо в ньому:

1) існує nлінійно незалежних векторів;

2) будь-яка система n + 1вектори лінійно залежні.

Позначення: n= dim V;.

Система векторів називається лінійно залежною,якщо існує ненульовийнабір чисел таких, що лінійна комбінація

Система векторів називається лінійно незалежною,якщо з рівності нулю лінійної комбінації

слід рівність нулю всіхкоефіцієнтів

Питання про лінійної залежностівекторів у випадку зводиться до питання існування ненульового рішення в однорідної системи лінійних рівнянь з коефіцієнтами, рівними відповідним координатам даних векторів.

Щоб добре засвоїти поняття «лінійна залежність», «лінійна незалежність» системи векторів, корисно розв'язати завдання наступного типу:

Лінійна залежність.І та ІІ критерії лінійної залежності.

Система векторів лінійно залежна тоді і лише тоді, коли один із векторів системи є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Доведення. Нехай система векторів є лінійно залежною. Тоді існує такий набір коефіцієнтів , Що , причому хоча б один коефіцієнт відмінний від нуля. Припустимо, що . Тоді

тобто є лінійною комбінацією інших векторів системи.

Нехай один із векторів системи є лінійною комбінацією інших векторів. Припустимо, що це вектор, тобто . Очевидно, що . Отримали, що лінійна комбінація векторів системи дорівнює нулю, причому один із коефіцієнтів відмінний від нуля (рівний).

Пропозиція10 . 7 Якщо система векторів містить лінійно залежну підсистему, вся система лінійно залежна.

Доведення.

Нехай у системі векторів підсистема , , є лінійно залежною, тобто , і хоча один коефіцієнт відмінний від нуля. Тоді складемо лінійну комбінацію. Очевидно, що ця лінійна комбінація дорівнює нулю, і серед коефіцієнтів є ненульової.

База системи векторів, її основна властивість.

Базою ненульової системи векторів називається еквівалентна їй лінійно незалежна підсистема. Нульова система бази немає.

Властивість 1:База лінійної незалежної системизбігається з нею самою.

Приклад:Система лінійно незалежних векторів, оскільки жоден із векторів не може бути лінійно вироджений через інші.

Властивість 2: (Критерій Бази)Лінійно незалежна підсистема цієї системи є її базою і тоді, коли вона максимально лінійно незалежна.

Доведення:Дана система НеобхідністьНехай база. Тоді за визначенням і, якщо , де , система лінійно залежна, тому що лінійно вироджується через , отже максимально лінійно незалежна. ДостатністьНехай максимально лінійно незалежна підсистема, де . лінійно залежна лінійно вироджується через отже база системи.

Властивість 3: (Основна властивість бази)Кожен вектор системи вироджується через базу єдиним чином.

ДоведенняНехай вектор вироджується через базу двома способами, тоді: тоді

Ранг системи векторів.

Для знаходження рангу системи векторів потрібно використовувати метод Гауссаї привести систему до трикутної або трапецієподібної форми.

Еквівалентні системи векторів.

Приклад:

Перетворимо дані вектора на матрицю для знаходження бази. Отримаємо:

Тепер за допомогою методу Гауса перетворюватимемо матрицю до трапецеїдального вигляду:

1) У нашій основній матриці, будемо анулювати весь перший стовпець крім першого рядка від другого віднімемо першу помножену на , від третього віднімемо першу помножену на , а від четвертої ми нічого не будемо віднімати так як перший елемент четвертого рядка, тобто перетин першого стовпця і четвертого рядка, дорівнює нулю. Отримаємо матрицю: 2) Тепер у матриці, поміняємо місцями рядки 2, 3 і 4 для простоти рішення, щоб на місці елемента була одиниця. Четвертий рядок поміняємо поставимо замість другого, другого замість третього і третього на місце четвертого. Отримаємо матрицю: 3) У матриці анулюємо всі елементи під елементом. Оскільки знову елемент нашої матреці дорівнює нулю, ми нічого не віднімаємо від четвертого рядка, а до третього додамо другий помножений на . Отримаємо матрицю: 4)Знову поміняємо в матриці рядка 3 та 4 місцями. Отримаємо матрицю: 5) У матриці додамо до черв'ятого рядка третього, помноженого на 5. Отримаємо матрицю, яка матиме трикутний вигляд:

Системи , їх ранги збігаються з властивостей рангу та їх ранг дорівнює rank rank

Зауваження: 1) На відміну традиційного методу Гаусса, якщо у рядку матриці всі елементи діляться на певне число, ми маємо право скорочувати рядок матриці з дії властивостей матриці. Якщо ми захочемо скоротити рядок на певне число, доведеться скорочувати всю матрицю цього числа. 2) У випадку, якщо ми отримаємо рядок, що лінійно залежить, ми можемо його прибрати з нашої матриці і замінити на нульовий рядок. Приклад: Відразу видно, що другий рядок виражається через перший, якщо домножити перший на 2. У тому випадку можемо замінити весь другий рядок на нульовий. Отримаємо: У результаті, привівши матрицю, або до трикутного, або до трапецеїдального вигляду, де у неї немає лінійно залежних векторів, всі не нульові вектори матриці і будуть базою матриці, а їх кількість рангом.

Ось так само приклад системи векторів як графіка: Дана система де , , і . Базою даної системи очевидно буду вектор і, оскільки через них виражаються вектори. Дана система у графічному вигляді матиме вигляд:

Елементарні перетворення. Системи ступінчастого вигляду.

Елементарні перетворення матриці- це перетворення матриці, у яких зберігається еквівалентність матриць. Таким чином, елементарні перетворення не змінюють безліч рішень системи лінійних рівнянь алгебри, яку представляє ця матриця.

Елементарні перетворення використовуються у методі Гауса для приведення матриці до трикутного або ступінчастого вигляду.

Елементарними перетвореннями рядківназивають:

У деяких курсах лінійної алгебри перестановка рядків матриці не виділяється в окреме елементарне перетворення через те, що перестановку місцями будь-яких двох рядків матриці можна отримати, використовуючи множення будь-якого рядка матриці на константу , і додавання до будь-якого рядка матриці іншого рядка, помноженого на константу .

Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.

Елементарні перетворення оборотні.

Позначення вказує на те, що матриця може бути отримана шляхом елементарних перетворень (або навпаки).

Щоб привести матрицю до ступінчастого вигляду (рис. 1.4), необхідно виконати такі дії.

1. У першому стовпці вибрати елемент, відмінний від нуля ( провідний елемент ). Рядок з провідним елементом ( провідний рядок ), якщо вона не перша, переставити на місце першого рядка (перетворення I типу). Якщо в першому стовпці немає ведучого (всі елементи дорівнюють нулю), то виключаємо цей стовпець, і продовжуємо пошук провідного елемента в частині матриці, що залишилася. Перетворення закінчуються, якщо виключені всі стовпці або в частині матриці, що залишилася, всі елементи нульові.

2. Розділити всі елементи провідного рядка на провідний елемент (перетворення типу II). Якщо провідний рядок останній, то на цьому перетворення слід закінчити.

3. До кожного рядка, розташованого нижче ведучої, додати провідний рядок, помножений відповідно на таке число, щоб елементи, що стоять під ведучим, дорівнювали нулю (перетворення III типу).

4. Виключивши з розгляду рядок і стовпець, на перетині яких стоїть провідний елемент, перейти до пункту 1, в якому всі описані дії застосовуються до частини матриці, що залишилася.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка.

Теорема про розкладання визначника за елементами рядка чи стовпця дозволяє звести обчислення визначника - го порядку () до обчислення визначників порядку .

Якщо визначник має рівні нулю елементи, то зручніше розкладати визначник по елементах того рядка або стовпця, який містить найбільше число нулів.

Використовуючи властивості визначників, можна перетворити визначник - го порядку так, щоб усі елементи деякого рядка або стовпця, крім одного, стали рівними нулю. Таким чином, обчислення визначника - го порядку, якщо він відмінний від нуля, зведеться до обчислення одного визначника - го порядку.

Завдання 3.1.Обчислити визначник

Рішення.Додавши до другого рядка перший, до третього – перший, помножений на 2, до четвертого – перший, помножений на -5, отримаємо

Розкладаючи визначник за елементами першого стовпця, маємо

.

В отриманому визначнику 3-го порядку звернемо нанівець усі елементи першого стовпця, крім першого. Для цього до другого рядка додамо перший, помножений на (-1), до третього, помноженого на 5, додамо перший, помножений на 8. Так як множили третій рядок на 5, то (для того, щоб визначник не змінився) помножимо його на . Маємо

Отриманий визначник розкладемо за елементами першого стовпця:

Теорема Лапласа(1). Теорема про чужі доповнення(2)

1) Визначник дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

2) Сума творів елементів будь-якого рядка визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого його рядка дорівнює нулю (теорема про множення на чужі алгебраїчні доповнення).

Будь-яка точка на площині при вибраній системі координат визначається парою (α, β) своїх координат; числа α і β можна розуміти також як координати радіусу-вектора з кінцем у цій точці. Аналогічно, у просторі трійка (α, β, γ) визначає точку або вектор з координатами α, β, γ. Саме на цьому ґрунтується добре відома читачеві геометрична інтерпретація систем лінійних рівнянь із двома чи трьома невідомими. Так, у разі системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими

а 1 х + b 1 у = с 1

а 2 х + b 2 у = з 2

кожне з рівнянь тлумачиться як пряма на площині (див. рис. 26), а рішення (α, β) - як точка перетину цих прямих або вектор з координатами аїр (рисунок відповідає випадку, коли система має єдине рішення).

Мал. 26

Аналогічно можна зробити з системою лінійних рівнянь з трьома невідомими, інтерпретуючи кожне рівняння як рівняння площини у просторі.

У математиці та різних її додатках (зокрема, в теорії кодування) доводиться мати справу із системами лінійних рівнянь, що містять більше трьох невідомих. Системою лінійних рівнянь з n невідомими x 1 , х 2 , ..., х n називається сукупність рівнянь виду

а 11 х 1 + а 12 х 2 + ... + а 1n х n = b 1

а 21 х 1 + а 22 х 2 + ... + а 2n х n = b 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

а m1 х 1 + а m2 х 2 + ... + а mn х n = b m,

де a ij та b i - довільні дійсні числа. Число рівнянь у системі може бути будь-яким і ніяк не пов'язане з кількістю невідомих. Коефіцієнти при невідомих ij мають подвійну нумерацію: перший індекс i вказує номер рівняння, другий індекс j - номер невідомого, при якому стоїть даний коефіцієнт. Будь-яке рішення системи сприймається як набір (дійсних) значень невідомих (α 1 , α 2 , ..., α n), що обертають кожне рівняння у правильну рівність.

Хоча безпосереднє геометричне тлумачення системи (1) при n > 3 вже неможливо, проте цілком можливо і у багатьох відношеннях зручно поширити на випадок довільного n геометричну мову простору двох або трьох вимірів. Цій меті і є подальші визначення.

Кожен упорядкований набір з n дійсних чисел (α 1 , α 2 , ..., α n) називається n-вимірним арифметичним вектором, а самі числа α 1 , α 2 , ..., α n - координатами цього вектора.

Для позначення векторів використовується, як правило, жирний шрифт і для вектора з координатами α 1 , α 2 , ..., α n зберігається звичайна форма запису:

а = (α 1, α 2, ..., α n).

За аналогією зі звичайною площиною множину всіх n-мірних векторів, що задовольняють лінійному рівнянню з n невідомими, називають гіперплощиною в n-мірному просторі. При такому визначенні безліч всіх рішень системи (1) є не що інше, як перетин декількох гіперплощин.

Додавання та множення n-мірних векторів визначаються за тими самими правилами, що і для звичайних векторів. А саме, якщо

а = (α 1 , α 2 , ..., α n), b = (β 1 , β 2 , ..., β n) (2)

Два n-мірних вектори, то їх сумою називається вектор

α + β = (α 1 + β 1 , α 2 + β 2 ..., α n + β n). (3)

Добутком вектора на число λ називається вектор

λа = (λα 1 , λα 2 , ..., λα n). (4)

Безліч всіх n-вимірних арифметичних векторів з операціями складання векторів і множення вектора на число називається арифметичним n-вимірним векторним простором L n .

Використовуючи введені операції, можна розглядати довільні лінійні комбінації кількох векторів, тобто вирази виду

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k ,

де i - дійсні числа. Наприклад, лінійна комбінація векторів (2) з коефіцієнтами λ і μ - це вектор

λа + μb = (λα 1 + μβ 1 , λα 2 + μβ 2 , ..., λα n + μβ n).

У тривимірному просторі векторів особливу роль грає трійка векторів i, j, k (координатні орти), якими розкладається будь-який вектор а:

a = xi + yj + zk,

де х, у, z – дійсні числа (координати вектора а).

У n-вимірному випадку таку ж роль відіграє наступна система векторів:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

n = (0, 0, 0, ..., 1).

Будь-який вектор є, очевидно, лінійна комбінація векторів е 1 , e 2 , ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n (6)

причому коефіцієнти 1, 2, ..., n збігаються з координатами вектора а.

Позначаючи через 0 вектор, всі координати якого дорівнюють нулю (коротко, нульовий вектор), введемо таке важливе визначення:

Система векторів а 1 , а 2 , ..., а k називається лінійно залежною, якщо існує рівна нульовому вектору лінійна комбінація

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

в якій хоча б один з коефіцієнтів h 1 , 2 , ..., λ k відмінний від нуля. Інакше система називається лінійно незалежною.

Так, вектори

а 1 = (1, 0, 1, 1), а 2 = (1, 2, 1, 1), а 3 = (2, 2, 2, 2)

лінійно залежні, оскільки

a 1 + a 2 – а 3 = 0.

Лінійна залежність, як видно з визначення, рівносильна (при k ≥ 2) тому, що хоча б один із векторів системи є лінійною комбінацією інших.

Якщо система і двох векторів a 1 , а 2 , то лінійна залежність системи означає, що з векторів пропорційний іншому, скажімо, а 1 = λа 2 ; у тривимірному випадку це рівнозначно колінеарності векторів а 1 і 2 . Так само лінійна залежність системи I із трьох векторів у звичайному просторі означає компланарність цих векторів. Поняття лінійної залежності є таким чином природним узагальненням понять колінеарності та компланарності.

Неважко переконатися, що вектори е 1 , е 2 , ..., е n із системи (5) лінійно незалежні. Отже, у n-вимірному просторі існують системи з n лінійно незалежних векторів. Можна показати, що будь-яка система з більшої кількості векторів лінійно залежить.

Будь-яка система a 1 , а 2 , ..., а n із n лінійно незалежних векторів n-вимірного простору L n називається його базисом.

Будь-який вектор простору L n розкладається, і притому єдиним чином, за векторами довільного базису a 1 , а 2 , ..., а n:

а = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Цей факт легко встановлюється виходячи з визначення базису.

Продовжуючи аналогію з тривимірним простором, можна і в n-вимірному випадку визначити скалярний твір а · b векторів, вважаючи

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

За такого визначення зберігаються всі основні властивості скалярного твору тривимірних векторів. Вектори а і b називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Теоретично лінійних кодів використовується ще одне важливе поняття - поняття підпростору. Підмножина V простору L n називається підпростором цього простору, якщо

1) для будь-яких векторів а, b, що належать V, їхня сума а + b також належить V;

2) для будь-якого вектора а, що належить V, і для будь-якого дійсного числа λ вектор λа також належить V.

Наприклад, безліч всіх лінійних комбінацій векторів e 1 , е 2 із системи (5) буде підпростором простору L n .

У лінійній алгебрі доводиться, що у будь-якому підпросторі V існує така лінійно незалежна система векторів a 1 , a 2 , ..., a k , що кожен вектор підпростору є лінійною комбінацією цих векторів:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.

Зазначена система векторів називається базисом підпростору V.

З визначення простору та підпростору безпосередньо випливає, що простір L n є комутативна група щодо операції складання векторів, а будь-яке його підпростір V є підгрупою цієї групи. У цьому сенсі можна, наприклад, розглядати суміжні класи простору L n підпростором V.

На закінчення підкреслимо, що якби теорії n-мірного арифметичного простору замість дійсних чисел (тобто елементів поля дійсних чисел) розглядати елементи довільного поля F, всі визначення і факти, наведені вище, зберегли б силу.

Теоретично кодування важливу роль відіграє випадок, коли поле F поле відрахувань Z p , яке, як знаємо, звичайно. У цьому випадку відповідний n-вимірний простір також звичайно і містить, як неважко бачити, р n елементів.

Поняття простору, як і поняття групи та кільця, допускає також і аксіоматичне визначення. За подробицями ми відсилаємо Живителя до будь-якого курсу лінійної алгебри.

Лінійна комбінація. Лінійно залежні та незалежні системи векторів.

інійна комбінація векторів

Лінійна комбінація векторів називають вектор

де - Коефіцієнти лінійної комбінації. Якщо комбінація називається тривіальною, якщо-нетривіальною.

Лінійна залежність та незалежність векторів

Система лінійно залежно

Система лінійно незалежна

Критерій лінійної залежності векторів

Для того, щоб вектори (r > 1) були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб хоча б один із цих векторів був лінійною комбінацією інших.

Розмірність лінійного простору

Лінійний простір Vназивається n-мірним (має розмірність n), якщо в ньому:

1) існує nлінійно незалежних векторів;

2) будь-яка система n + 1вектори лінійно залежні.

Позначення: n= dim V;.

Система векторів називається лінійно залежною,якщо існує ненульовийнабір чисел таких, що лінійна комбінація

Система векторів називається лінійно незалежною,якщо з рівності нулю лінійної комбінації

слід рівність нулю всіхкоефіцієнтів

Питання лінійної залежності векторів у випадку зводиться до питання існування ненульового рішення в однорідної системи лінійних рівнянь з коефіцієнтами, рівними відповідним координатам даних векторів.

Щоб добре засвоїти поняття «лінійна залежність», «лінійна незалежність» системи векторів, корисно розв'язати завдання наступного типу:

Лінійна залежність.І та ІІ критерії лінійної залежності.

Система векторів лінійно залежна тоді і лише тоді, коли один із векторів системи є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Доведення. Нехай система векторів є лінійно залежною. Тоді існує такий набір коефіцієнтів , Що , причому хоча б один коефіцієнт відмінний від нуля. Припустимо, що . Тоді

тобто є лінійною комбінацією інших векторів системи.

Нехай один із векторів системи є лінійною комбінацією інших векторів. Припустимо, що це вектор, тобто . Очевидно, що . Отримали, що лінійна комбінація векторів системи дорівнює нулю, причому один із коефіцієнтів відмінний від нуля (рівний).

Пропозиція10 . 7 Якщо система векторів містить лінійно залежну підсистему, вся система лінійно залежна.

Доведення.

Нехай у системі векторів підсистема , , є лінійно залежною, тобто , і хоча один коефіцієнт відмінний від нуля. Тоді складемо лінійну комбінацію. Очевидно, що ця лінійна комбінація дорівнює нулю, і серед коефіцієнтів є ненульової.

База системи векторів, її основна властивість.

Базою ненульової системи векторів називається еквівалентна їй лінійно незалежна підсистема. Нульова система бази немає.

Властивість 1:База лінійної незалежної системи збігається із нею самої.

Приклад:Система лінійно незалежних векторів, оскільки жоден із векторів не може бути лінійно вироджений через інші.

Властивість 2: (Критерій Бази)Лінійно незалежна підсистема цієї системи є її базою і тоді, коли вона максимально лінійно незалежна.

Доведення:Дана система НеобхідністьНехай база. Тоді за визначенням і, якщо , де , система лінійно залежна, тому що лінійно вироджується через , отже максимально лінійно незалежна. ДостатністьНехай максимально лінійно незалежна підсистема, де . лінійно залежна лінійно вироджується через отже база системи.

Властивість 3: (Основна властивість бази)Кожен вектор системи вироджується через базу єдиним чином.

ДоведенняНехай вектор вироджується через базу двома способами, тоді: тоді

Ранг системи векторів.

Для знаходження рангу системи векторів потрібно використовувати метод Гауссаї привести систему до трикутної або трапецієподібної форми.

Еквівалентні системи векторів.

Приклад:

Перетворимо дані вектора на матрицю для знаходження бази. Отримаємо:

Тепер за допомогою методу Гауса перетворюватимемо матрицю до трапецеїдального вигляду:

1) У нашій основній матриці, будемо анулювати весь перший стовпець крім першого рядка від другого віднімемо першу помножену на , від третього віднімемо першу помножену на , а від четвертої ми нічого не будемо віднімати так як перший елемент четвертого рядка, тобто перетин першого стовпця і четвертого рядка, дорівнює нулю. Отримаємо матрицю: 2) Тепер у матриці, поміняємо місцями рядки 2, 3 і 4 для простоти рішення, щоб на місці елемента була одиниця. Четвертий рядок поміняємо поставимо замість другого, другого замість третього і третього на місце четвертого. Отримаємо матрицю: 3) У матриці анулюємо всі елементи під елементом. Оскільки знову елемент нашої матреці дорівнює нулю, ми нічого не віднімаємо від четвертого рядка, а до третього додамо другий помножений на . Отримаємо матрицю: 4)Знову поміняємо в матриці рядка 3 та 4 місцями. Отримаємо матрицю: 5) У матриці додамо до черв'ятого рядка третього, помноженого на 5. Отримаємо матрицю, яка матиме трикутний вигляд:

Системи , їх ранги збігаються з властивостей рангу та їх ранг дорівнює rank rank

Зауваження: 1) На відміну традиційного методу Гаусса, якщо у рядку матриці всі елементи діляться на певне число, ми маємо право скорочувати рядок матриці з дії властивостей матриці. Якщо ми захочемо скоротити рядок на певне число, доведеться скорочувати всю матрицю цього числа. 2) У випадку, якщо ми отримаємо рядок, що лінійно залежить, ми можемо його прибрати з нашої матриці і замінити на нульовий рядок. Приклад: Відразу видно, що другий рядок виражається через перший, якщо домножити перший на 2. У тому випадку можемо замінити весь другий рядок на нульовий. Отримаємо: У результаті, привівши матрицю, або до трикутного, або до трапецеїдального вигляду, де у неї немає лінійно залежних векторів, всі не нульові вектори матриці і будуть базою матриці, а їх кількість рангом.

Ось так само приклад системи векторів як графіка: Дана система де , , і . Базою даної системи очевидно буду вектор і, оскільки через них виражаються вектори. Дана система у графічному вигляді матиме вигляд:

Елементарні перетворення. Системи ступінчастого вигляду.

Елементарні перетворення матриці- це перетворення матриці, у яких зберігається еквівалентність матриць. Таким чином, елементарні перетворення не змінюють безліч рішень системи лінійних рівнянь алгебри, яку представляє ця матриця.

Елементарні перетворення використовуються у методі Гауса для приведення матриці до трикутного або ступінчастого вигляду.

Елементарними перетвореннями рядківназивають:

У деяких курсах лінійної алгебри перестановка рядків матриці не виділяється в окреме елементарне перетворення через те, що перестановку місцями будь-яких двох рядків матриці можна отримати, використовуючи множення будь-якого рядка матриці на константу , і додавання до будь-якого рядка матриці іншого рядка, помноженого на константу .

Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.

Елементарні перетворення оборотні.

Позначення вказує на те, що матриця може бути отримана шляхом елементарних перетворень (або навпаки).

Визначення. Ступінчастоїбудемо називати матрицю, яка має наступні властивості:

1) якщо i-й рядокнульовий, то (I + 1)-й рядок також нульовий,

2) якщо перші ненульові елементи i-йта (I + 1)-й рядків розташовані в стовпцях з номерами k та R, відповідно, то k< R.

Умова 2) вимагає обов'язкового збільшення нулів зліва при переході від i-го рядкадо (I+1)-го рядка. Наприклад, матриці

А 1 = , А 2 =
, А 3 =

є ступінчастими, а матриці

У 1 = , У 2 = , В 3 =

ступінчастими не є.

Теорема 5.1.Будь-яку матрицю можна призвести до ступінчастого за допомогою елементарних перетворень рядків матриці.

Проілюструємо цю теорему з прикладу.

А =

Матриця, що вийшла ─ ступінчаста.

Визначення. Рангом матриціназиватимемо число ненульових рядків у ступінчастому вигляді цієї матриці.

Наприклад, ранг матриці А попередньому прикладі дорівнює 3.

Лекція 6

Визначники, властивості. Зворотна матриця та її обчислення.

Визначники другого порядку.

Розглянемо квадратну матрицю другого порядку

А =

Визначення. Визначником другого порядку,відповідним матриці А,називається число, що обчислюється за формулою

│А│= = .

Елементи a ij називаються елементами визначника│А│, елементи а 11 , а 22 утворюють головну діагональ, а елементи а 12 а 21 ─ побічну.

приклад. = -28 + 6 = -22

Визначники третього порядку.

Розглянемо квадратну матрицю третього порядку

А =

Визначення. Визначником третього порядку,відповідним матриці А, називається число, що обчислюється за формулою

│А│= =

Щоб запам'ятати, які твори у правій частині рівності слід брати зі знаком «плюс», а які ─ зі знаком «мінус», корисно запам'ятати правило, яке називається правилом трикутника.

= ─

Приклади:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) = 1, тобто. │Е 3 │= 1.

Розглянемо ще один метод обчислення визначника третього порядку.

Визначення. Мінором елемента a ij визначника називається визначник, отриманий з даного креслення i-го рядка і j-го стовпця. Алгебраїчним доповненням A ij елемента a ij визначника називається його мінор M ij взятий зі знаком (-1) i + j .

приклад.Обчислимо мінор М 23 і додаток алгебри А 23 елемента а 23 в матриці

А =

Обчислимо мінор М 23:

М 23 = = = - 6 + 4 = -2

А 23 = (-1) 2+3 М 23 = 2

Теорема 1.Визначник третього порядку дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення.

Док-во. За визначенням

= (1)

Виберемо, наприклад, другий рядок і знайдемо додаток алгебри А 21 , А 22 , А 23:

А 21 = (-1) 2+1 = -() =

А 22 = (-1) 2+2 =

А 23 = (-1) 2+3 = - () =

Перетворимо формулу (1)

│А│= ( ) + () + () = А 21 + А 22 + А 23

│А│= А 21 + А 22 + А 23

називається розкладанням визначника│А│ за елементами другого рядка. Аналогічно розкладання можна отримати за елементами інших рядків та будь-якого стовпця.

приклад.

= (за елементами другого стовпця) = 1× (-1) 1+2 + 2 × (-1) 2+2 +

+ (-1)(-1) 3+2 = - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. Визначник n-го порядку (n N).

Визначення. Визначником n-го порядку,відповідним матриці n-го порядку

А =

Називається число, що дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення, тобто.

│A│= А i1 + A i2 + … + A in = А 1j + A 2j + … + A nj

Неважко помітити, що з n = 2 виходить формула для обчислення визначника другого порядку.

приклад. = (за елементами 4-го рядка) = 3×(-1) 4+2 +

2×(-1) 4+4 = 3 (-6 + 20 - 2 - 32) +2 (-6 +16 +60 +2) = 3 (-20) +2 × 72 = -60 +144 = 84.

Зауважимо, що якщо у визначнику всі елементи будь-якого рядка (стовпця), крім одного, дорівнюють нулю, то при обчисленні визначника його зручно розкласти по елементах цього рядка (стовпця).

приклад.

│Е n │= = 1 × │E n -1 │ = … = │E 3 │= 1

Властивості визначників.

Визначення.Матрицю виду

або

будемо називати трикутною матрицею.

Властивість 1.Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів головного діагоналі, тобто.

= =

Властивість 2.Визначник матриці з нульовим рядком або нульовим стовпцем дорівнює нулю.

Властивість 3. .Під час транспонування матриці визначник не змінюється, тобто.

│А│= │А t │.

Властивість 4.Якщо матриця виходить з матриці А множенням кожного елемента деякого рядка на число k, то

│В│= k│А│

Властивість 5.

= =

Властивість 6.Якщо матриця виходить із матриці А перестановкою двох рядків, то │В│= −│А│.

Властивість 7.Визначник матриці з пропорційними рядками дорівнює нулю, зокрема нулю дорівнює визначник матриці з двома однаковими рядками.

Властивість 8.Визначник матриці не змінюється, якщо до елементів одного рядка додати елементи іншого рядка матриці, помножені на деяке число.

Зауваження.Так як за якістю 3 визначник матриці не змінюється при транспонуванні, всі властивості про рядках матриці правильні і для стовпців.

Властивість 9.Якщо А та В ─ квадратні матриці порядку n, то │АВ│=│А││В│.

Зворотна матриця.

Визначення.Квадратна матриця А порядку n називається зворотній,якщо існує матриця така, що АВ = ВА = Е n . У цьому випадку матриця називається зворотної до матриціА і позначається А-1.

Теорема 2.Справедливі такі твердження:

1) якщо матриця А оборотна, то існує точно одна їй зворотна матриця;

2) обернена матриця має визначник, відмінний від нуля;

3) якщо А і В - зворотні матриці порядку n, то матриця АВ оборотна, причому (АВ) -1 =

В -1 ×А -1 .

Доведення.

1) Нехай В і С матриці, зворотні до матриці А, тобто. АВ = ВА = Е n і АС = СА = Е n. Тоді В = ВЕ n = В(АС) = (ВА)С = Е n С = С.

2) Нехай матриця А оборотна. Тоді існує матриця А-1, їй зворотна, причому

За якістю 9 визначника │АА -1 │=│А││А -1 │. Тоді │А││А -1 │=│Е n │, звідки

│А││А -1 │= 1.

Отже, │А│¹ 0.

3) Справді,

(АВ)(В -1 А -1) = (А(ВВ -1))А -1 = (АЕ n)А -1 = АА -1 = Е n.

(В -1 А -1)(АВ) = (В -1 (А -1 А))В = (В -1 Е n)В = В -1 В = Е n.

Отже, АВ ─ оборотна матриця, причому (АВ) -1 = В -1 А -1 .

Наступна теорема дає критерій існування зворотної матриці та її обчислення.

Теорема 3.Квадратна матриця А оборотна тоді і лише тоді, коли її визначник відмінний від нуля. Якщо │А│¹ 0, то

А -1 = =

приклад.Знайти матрицю, обернену для матриці А =

Рішення.│А│= = 6 + 1 = 7.

Оскільки │А│¹ 0, існує зворотна матриця

А -1 = =

Обчислюємо А11 = 3, А12 = 1, А21 = -1, А22 = 2.

А -1 = .

лекція 7.

Системи лінійних рівнянь. Критерій спільності системи лінійних рівнянь. Метод Гауса вирішення систем лінійних рівнянь. Правило Крамера та матричний метод вирішення систем лінійних рівнянь.

Систем лінійних рівнянь.

Сукупність рівнянь виду

(1)

називається системою m лінійних рівнянь із n невідомимих 1, х 2, …, х n. Числа a ij називаються коефіцієнтами системи,а числа b i ─ вільними членами.

Рішенням системи (1)називається сукупність чисел з 1, з 2, ..., з n, при підстановці яких в систему (1) замість х 1, х 2, ..., х n, отримуємо вірні числові рівності.

Вирішити систему─ значить знайти всі її рішення чи довести, що їх немає. Система називається спільної, якщо вона має хоча б одне рішення, та несуміснийякщо рішень немає.

Матриця, складена з коефіцієнтів системи

А =

Називається матрицею системи (1). Якщо до матриці системи додати стовпець вільних членів, то отримаємо матрицю

В =
,

яку називають розширеною матрицею системи (1).

Якщо позначимо

Х = , С = , то систему (1) можна записати як матричного рівняння АХ=С.