Як знайти лінійні комбінації матриць Лінійна залежність та незалежність рядків матриці

Рядки та стовпці матрицьможна розглядати як матриці-рядкиі відповідно, матриці-стовпці. Тому над ними, як і будь-якими іншими матрицями, можна виконувати лінійні операції. Обмеження на операцію додавання полягає в тому, що рядки (стовпці) повинні бути однакової довжини (висоти), але ця умова завжди виконана для рядків (стовпців) однієї матриці.

Лінійні операції над рядками (стовпцями) дають можливість складати рядки (стовпці) у вигляді виразів α 1 а 1 + ... + α sas , де а 1 , ..., as - довільний набір рядків (стовпців) однакової довжини (висоти) , а α 1 , ... , α s - дійсні числа. Такі вирази називають лінійними комбінаціями рядків (стовпців).

Визначення 12.3. Рядки (стовпці)а 1 , ..., a s називають лінійно незалежними,якщо рівність

α 1 а 1 + ... + α s a s = 0, (12.1)

де 0 у правій частині - нульовий рядок (стовпець), можливо лише при α 1 = ... = as = 0. що виконується рівність (12.1), ці рядки (стовпці) називають лінійно залежними.

Наступне твердження відоме як критерій лінійної залежності.

Теорема 12.3.Рядки (стовпці) а 1, ..., a s, s > 1, лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли хоча б одна (один) з них є лінійною комбінацією інших.

◄ Доказ проведемо для рядків, а для стовпців він аналогічний.

Необхідність. Якщо рядки a 1 , ..., as лінійно залежні, то, згідно з визначенням 12.3, існують такі дійсні числа α 1 , ... , α s , не рівні нулю одночасно, що α 1 a 1 +... + α sas = 0. Виберемо ненульовий коефіцієнт αα i. Для певності нехай це буде α1. Тоді α 1 a 1 = (-α 2)a 2 + ... + (-α s)as і, отже, a 1 = (-α 2 /α 1)a 2 + ... + (-α s /α 1)as, тобто. рядок a 1 представляється як лінійної комбінації інших рядків.

Достатність. Нехай, наприклад, a 1 = λ 2 a 2 + ... + S a s . Тоді 1a 1 + (-λ 2)a 2 + ... + (-λ s) a s = 0. Перший коефіцієнт лінійної комбінації дорівнює одиниці, тобто. він ненульовий. Відповідно до визначення 12.3, рядки a 1 ..., a s лінійно залежні.

Теорема 12.4.Нехай рядки (стовпці) а 1 , ..., a s лінійно незалежні, а хоча б один із рядків (стовпців) b 1 ,..., b l є їх лінійною комбінацією. Тоді всі рядки (стовпці) a 1, ..., a s, b 1, ..., b l лінійно залежні.

◄ Нехай, наприклад, b 1 є лінійна комбінація a 1 ..., a s, тобто. b 1 = α 1 a 1 + ... + ? До цієї лінійної комбінації додамо рядки (стовпці) b 2 , ..., bl (при l > 1) з нульовими коефіцієнтами: b 1 = α 1 a 1 + ... + α sas + 0b 2 + ... + 0b l. Відповідно до теореми 12.3, рядки (стовпці) a 1 , ..., a s , b 1 , ..., b i лінійно залежні.

де - якісь числа (деякі з цих чисел або навіть всі можуть дорівнювати нулю). Це означає наявність таких рівностей між елементами стовпців:

З (3.3.1) випливає, що

Якщо рівність (3.3.3) справедлива і тоді, коли , то рядки називаються лінійно незалежними. Співвідношення (3.3.2) показує, що якщо один із рядків лінійно виражається через інші, то рядки лінійно залежні.

Легко бачити і зворотне: якщо рядки лінійно залежні, то знайдеться рядок, який буде лінійною комбінацією інших рядків.

Нехай, наприклад, (3.3.3) , тоді .

Визначення. Нехай у матриці А виділений деякий мінор r-го порядку і нехай мінор (r+1)-го порядку цієї матриці цілком містить в собі мінор . Будемо говорити, що в цьому випадку мінор облямовує мінор (або облямовує для ).

Тепер доведемо важливу лему.

Леммапро обрамляючі мінори. Якщо мінор порядку r матриці А= відмінний від нуля, а всі мінори, що його оздоблюють, рівні нулю, то будь-який рядок (стовпець) матриці А є лінійною комбінацією її рядків (стовпців), що становлять .

Доведення. Не порушуючи спільності міркувань, вважатимемо, що відмінний від нуля мінор r-го порядку стоїть у лівому верхньому кутку матриці А = :

.

Для перших k рядків матриці А твердження леми очевидно: досить у лінійну комбінацію включити цей рядок з коефіцієнтом, рівним одиниці, інші – з коефіцієнтами, рівними нулю.

Доведемо тепер, що інші рядки матриці А лінійно виражаються через перші k рядків. Для цього побудуємо мінор (r+1)-го порядку шляхом додавання до мінору k-го рядка () та l-го стовпця ():

.

Отриманий мінор дорівнює нулю за всіх k і l. Якщо , він дорівнює нулю як містить два однакових стовпця. Якщо , то отриманий мінор є облямовуючим мінором для і, отже, дорівнює нулю за умовою леми.

Розкладемо мінор за елементами останнього l-го стовпця:

Вважаючи, отримаємо:

(3.3.6)

Вираз (3.3.6) означає, що k-й рядокматриці А лінійно виражається через перші рядки r.

Так як при транспонуванні матриці значення її мінорів не змінюються (через властивості визначників), все доведене справедливо і для стовпців. Теорему доведено.

Наслідок I. Будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців). Дійсно, базисний мінор матриці відмінний від нуля, а всі мінори, що облямовують його, рівні нулю.

Наслідок ІІ. Визначник n-го порядку тоді й лише тоді дорівнює нулю, що він містить лінійно залежні рядки (стовпці). Достатність лінійної залежності рядків (стовпців) для рівності визначника нулю доведено раніше як властивість визначників.

Доведемо потребу. Нехай задана квадратна матриця n-го порядку, єдиний мінор якої дорівнює нулю. Звідси випливає, що ранг цієї матриці менший за n, тобто. знайдеться хоча б один рядок, який є лінійною комбінацією базисних рядків цієї матриці.

Доведемо ще одну теорему про ранг матриці.

Теорема.Максимальна кількість лінійно незалежних рядків матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних стовпціві дорівнює рангу цієї матриці.

Доведення. Нехай ранг матриці А = дорівнює r. Тоді будь-які її k базисних рядків є лінійно незалежними, інакше базисний мінор дорівнював би нулю. З іншого боку, будь-які r+1 і більше рядків лінійно залежать. Припустивши неприємне, ми могли б знайти мінор порядку більш ніж r, відмінний від нуля за наслідком 2 попередньої леми. Останнє суперечить з того що максимальний порядок мінорів, відмінних від нуля, дорівнює r. Все доведене для рядків є справедливим і для стовпців.

На закінчення викладемо ще один спосіб знаходження рангу матриці. Ранг матриці можна визначити, якщо знайти мінор максимального порядку, відмінний від нуля.

На перший погляд, це вимагає обчислення хоч і кінцевого, але, можливо, дуже великої кількості мінорів цієї матриці.

Наступна теорема дозволяє, проте, внести до цього значні спрощення.

Теорема.Якщо мінор матриці А відмінний від нуля, а всі мінори, що облямовують його, рівні нулю, то ранг матриці дорівнює r.

Доведення. Достатньо показати, що будь-яка підсистема рядків матриці при S>r буде в умовах теореми лінійно залежною (звідси випливатиме, що r – максимальна кількість лінійно незалежних рядків матриці або будь-які її мінори порядку більше ніж k дорівнюють нулю).

Припустимо неприємне. Нехай рядки лінійно незалежні. По лемі про мінори, що облямовують, кожна з них буде лінійно виражатися через рядки , в яких стоїть мінор і які, зважаючи на те, що відмінний від нуля, лінійно незалежні:

Тепер розглянемо наступну лінійну комбінацію:

або

Використовуючи (3.3.7) та (3.3.8), отримуємо

,

що суперечить лінійній незалежності рядків.

Отже, наше припущення є невірним і, отже, будь-які S>r рядків в умовах теореми лінійно залежні. Теорему доведено.

Розглянемо правило обчислення рангу матриці - метод облямівних мінорів, заснований на даній теоремі.

При обчисленні рангу матриці слід переходити від мінорів менших порядків до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено мінор r-го порядку, відмінний від нуля, то потрібно обчислити лише мінори (r+1)-го порядку, що облямовують мінор. Якщо вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює r. Цей метод застосовується і в тому випадку, якщо ми не тільки обчислюємо ранг матриці, а й визначаємо, які стовпці (рядки) складають базовий мінор матриці.

приклад. Обчислити методом мінорів, що облямовують, ранг матриці.

Рішення. Мінор другого порядку, що стоїть у лівому верхньому кутку матриці А, відрізняється від нуля:

.

Однак усі мінори третього порядку, що його облямовують, дорівнюють нулю:

;	;
;	;
;	.

Отже, ранг матриці А дорівнює двом: .

Перший і другий рядки, перший і другий стовпці в даній матриці є базисними. Інші рядки та стовпці є їх лінійними комбінаціями. Насправді, для рядків справедливі такі рівності:

На закінчення відзначимо справедливість таких властивостей:

1) ранг добутку матриць не більший за ранг кожного з співмножників;

2) ранг добутку довільної матриці А справа або зліва на невироджену квадратну матрицю Q дорівнює рангу матриці А.

Багаточленні матриці

Визначення. Багаточленною матрицею або -матрицею називається прямокутна матриця, елементи якої є багаточленами від одного змінного з числовими коефіцієнтами.

Над -матрицями можна здійснювати елементарні перетворення. До них відносяться:

Перестановка двох рядків (стовпців);

Розмноження рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля;

Додаток до одного рядка (стовпця) іншого рядка (стовпця), помноженого на будь-який багаточлен.

Дві -матриці і однакових розмірів називаються еквівалентними: якщо від матриці до можна перейти за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень.

приклад. Довести еквівалентність матриць

,

.

1. Поміняємо місцями в матриці перший та другий стовпці:

.

2. З другого рядка віднімемо перший, помножений на ():

.

3. Помножимо другий рядок на (–1) і зауважимо, що

.

4. Віднімемо з другого стовпця перший, помножений на , отримаємо

.

Безліч всіх -матриць даних розмірів розбивається на класи, що не перетинаються, еквівалентних матриць. Матриці, еквівалентні між собою, утворюють один клас, не еквівалентні – інший.

Кожен клас еквівалентних матриць характеризується канонічною, або нормальною, -матрицею даних розмірів.

Визначення. Канонічною, або нормальною, -матрицею розмірів називається -матриця, у якої на головній діагоналі стоять багаточлени , де р - менше чисел m і n ( ), причому не рівні нулю багаточлени мають старші коефіцієнти, рівні 1, і кожен наступний багаточлен ділитися на попередній. Усі елементи поза головною діагоналі дорівнюють 0.

З визначення слід, що й серед многочленів є багаточлени нульового ступеня, всі вони на початку головної діагоналі. Якщо є нулі, то вони стоять наприкінці головної діагоналі.

Матриця попереднього прикладу є канонічною. Матриця

також канонічна.

Кожен клас -матриць містить єдину канонічну -матрицю, тобто. кожна -матриця еквівалентна єдиній канонічній матриці, яка називається канонічною формоюабо нормальною формою цієї матриці.

Багаточлени, що стоять на головній діагоналі канонічної форми даної матриці, називаються інваріантними множниками даної матриці.

Один з методів обчислення інваріантних множників полягає у приведенні даної матриці до канонічної форми.

Так, для матриці попереднього прикладу інваріантними множниками є

Зі сказаного випливає, що наявність однієї і тієї ж сукупності інваріантних множників є необхідною і достатньою умовоюеквівалентності-матриць.

Приведення-матриць до канонічного виду зводиться до визначення інваріантних множників

, ; ,

де r – ранг-матриці; - найбільший загальний дільник мінорів k-го порядку, взятий зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює 1.

приклад. Нехай дана -матриця

.

Рішення. Зрозуміло, максимальний спільний дільник першого ладу , тобто. .

Визначимо мінори другого порядку:

,

і т.д.

Вже цих даних достатньо у тому, щоб зробити висновок: , отже, .

Визначаємо

,

Отже, .

Таким чином, канонічною формою даної матриці є наступна -матриця:

.

Матричним багаточленом називається вираз виду

де – змінне; - Квадратні матриці порядку n з числовими елементами.

Якщо , то S називають ступенем матричного багаточлена, n – порядком матричного багаточлена.

Будь-яку квадратичну -матрицю можна як матричного многочлена. Справедливо, зрозуміло, і зворотне твердження, тобто. будь-який матричний багаточлен можна подати у вигляді деякої квадратної -матриці.

Справедливість даних тверджень з усією очевидністю випливає із властивостей операцій над матрицями. Зупинимося на таких прикладах:

приклад. Уявити багаточленну матрицю

у вигляді матричного багаточлена можна так

.

приклад. Матричний багаточлен

можна подати у вигляді наступної багаточленної матриці (-матриці)

.

Ця взаємозамінність матричних багаточленів та багаточленних матриць відіграє істотну роль у математичному апараті методів факторного та компонентного аналізу.

Матричні багаточлени однакового порядку можна складати, віднімати та множити аналогічно звичайним многочленам з числовими коефіцієнтами. Слід, проте, пам'ятати, що множення матричних багаточленів, взагалі, не комутативно, т.к. не комутативно множення матриць.

Два матричних многочлена називаються рівними, якщо рівні їх коефіцієнти, тобто. відповідні матриці при однакових ступенях змінного.

Сумою (різницею) двох матричних багаточленів і називається такий матричний багаточлен, у якого коефіцієнт при кожному ступені змінного дорівнює сумі (різниці) коефіцієнтів при тій же мірі в багаточленах і .

Щоб помножити матричний багаточлен на матричний багаточлен потрібно кожного члена матричного багаточлена помножити на кожен член матричного багаточлена, скласти отримані твори і навести подібні члени.

Ступінь матричного багаточлена – твори менше або дорівнює сумі ступенів співмножників.

Операції над матричними багаточленами можна здійснювати за допомогою операцій над відповідними матрицями.

Щоб скласти (відняти) матричні багаточлени, достатньо скласти (відняти) відповідні -матриці. Те саме стосується множення. -матриця добутку матричних багаточленів дорівнює добутку -матриць співмножників.

З іншого боку і можна записати у вигляді

де 0 – невироджена матриця.

При розподілі на існує однозначно певне праве приватне та правий залишок

де ступінь R 1 менше ступеня , або (розподіл без залишку), а також ліве приватне і лівий залишок тоді і тільки тоді, коли, де порядку

Кожен рядок матриці А позначимо i = (a i 1 a i 2 …, a in) (наприклад,
е 1 = (a 11 a 12 …, a 1 n), е 2 = (a 21 a 22 …, a 2 n) і т.д.). Кожна з них є матрицею-рядком, яку можна помножити на число або скласти з іншим рядком за загальними правилами дій з матрицями.

Лінійною комбінацієюрядків e l , e 2 ,...e k називають суму творів цих рядків на довільні дійсні числа:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , де l l , l 2 ,..., l k - довільні числа (коефіцієнти лінійної комбінації).

Рядки матриці e l , e 2 , ... e m називаються лінійно залежними, якщо є такі числа l l , l 2 ,..., l m , не рівні одночасно нулю, що лінійна комбінація рядків матриці дорівнює нульовому рядку:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, де 0 = (0 0...0).

Лінійна залежністьрядків матриці означає, що хоча б один рядок матриці є лінійною комбінацією інших. Дійсно, нехай для визначеності останній коефіцієнт l m ¹ 0. Тоді, розділивши обидві частини рівності на l m , отримаємо вираз для останнього рядка як лінійної комбінації інших рядків:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Якщо лінійна комбінація рядків дорівнює нулю і тоді, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 · l k = 0 "k, то рядки називають лінійно незалежними.

Теорема про ранг матриці. Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків або стовпців, через які можна лінійно виразити решту її рядків або стовпців.

Доведемо цю теорему. Нехай матриця розміру m х n має ранг r (r(А) £ min (m; n)). Отже, існує відмінний від нуля мінор r-го порядку. Кожен такий мінор називатимемо базисним. Нехай для певності це мінор

Рядки цього мінору також називатимемо базисними.

Доведемо, що тоді рядки матриці e l , e 2 ,... e r лінійно незалежні. Припустимо неприємне, тобто. один із цих рядків, наприклад r-я, є лінійною комбінацією інших: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Тоді, якщо відняти з елементів r-йрядки елементи 1-го рядка, помножені на l l , елементи 2-го рядка, помножені на l 2 і т.д., нарешті, елементи (r-1)-го рядка, помножені на l r-1 , то r-й рядокстане нульовою. При цьому за властивостями визначника вищенаведений визначник не повинен змінитися, і при цьому повинен дорівнювати нулю. Отримано протиріччя, лінійну незалежність рядків доведено.

Тепер доведемо, будь-які (r+1) рядків матриці лінійно залежні, тобто. будь-який рядок можна виразити через базисні.

Доповнимо розглянутий раніше мінор ще одним рядком (i-й) та ще одним стовпцем (j-м). В результаті отримаємо мінор (r+1)-го порядку, який за визначенням рангу дорівнює нулю.

Нехай

Стовпці матриці розмірності. Лінійною комбінацією стовпців матриціназивається матриця-стовпець, при цьому - деякі дійсні або комплексні числа, звані коефіцієнтами лінійної комбінації. Якщо в лінійній комбінації взяти всі коефіцієнти рівними нулю, то лінійна комбінація дорівнює нульовій матриці-стовпцю.

Стовпці матриці називаються лінійно незалежними , якщо їхня лінійна комбінація дорівнює нулю лише коли всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулю. Стовпці матриці називаються лінійно залежними якщо існує набір чисел , серед яких хоча б одне відмінно від нуля, а лінійна комбінація стовпців з цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Аналогічно можуть бути дані визначення лінійної залежності та лінійної незалежності рядків матриці. Надалі всі теореми формулюються для шпальт матриці.

Теорема 5

Якщо серед стовпців матриці є нульовий, то стовпці матриці лінійно залежать.

Доведення. Розглянемо лінійну комбінацію, в якій всі коефіцієнти дорівнюють нулю при всіх ненульових стовпцях та одиниці при нульовому стовпці. Вона дорівнює нулю, а серед коефіцієнтів лінійної комбінації є відмінний від нуля. Отже, стовпці матриці лінійно залежать.

Теорема 6

Якщо стовпців матриці лінійно залежні, то й усі стовпців матриці лінійно залежні.

Доведення. Будемо для певності вважати, що перші стовпці матриці лінійно залежні. Тоді за визначенням лінійної залежності існує набір чисел , серед яких хоча б одне від нуля, а лінійна комбінація стовпців з цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Складемо лінійну комбінацію всіх стовпців матриці, включивши до неї інші стовпці з нульовими коефіцієнтами

Але. Отже, усі стовпці матриці лінійно залежні.

Слідство. Серед лінійно незалежних стовпців матриці будь-які лінійно незалежні. (Це твердження легко доводиться методом протилежного.)

Теорема 7

Для того, щоб стовпці матриці були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб хоча б один стовпець матриці був лінійною комбінацією інших.

Доведення.

Необхідність.Нехай стовпці матриці лінійно залежні, тобто існує набір чисел , серед яких хоча б одне від нуля, а лінійна комбінація стовпців із цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Припустимо для визначеності, що . Тоді, тобто перший стовпець є лінійна комбінація інших.

Достатність. Нехай хоча б один стовпець матриці є лінійною комбінацією інших, наприклад, де деякі числа.

Тоді, тобто лінійна комбінація стовпців дорівнює нулю, а серед чисел лінійної комбінації хоча б один (при) відмінний від нуля.

Нехай ранг матриці дорівнює. Будь-який відмінний від нуля мінор-го порядку називається базисним . Рядки та стовпці, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються базисними .

Лінійна незалежність рядків матриці

Дано матрицю розміру

Позначимо рядки матриці наступним чином:

Два рядки називаються рівними якщо рівні їхні відповідні елементи. .

Введемо операції множення рядка на число та додавання рядків як операції, що проводяться поелементно:

Визначення.Рядок називається лінійною комбінацією рядків матриці, якщо вона дорівнює сумі творів цих рядків на довільні дійсні числа (будь-які числа):

Визначення.Рядки матриці називаються лінійно залежними , якщо є такі числа , не рівні одночасно нулю, що лінійна комбінація рядків матриці дорівнює нульовому рядку:

Де. (1.1)

Лінійна залежність рядків матриці означає, що хоча б 1 рядок матриці є лінійною комбінацією інших.

Визначення.Якщо лінійна комбінація рядків (1.1) дорівнює нулю і тоді, коли всі коефіцієнти , то рядки називаються лінійно незалежними .

Теорема про ранг матриці. Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків або стовпців, через які лінійно виражаються всі інші рядки (стовпці).

Теорема відіграє важливу роль матричному аналізі, зокрема, щодо систем лінійних рівнянь.

6, 13,14,15,16. Вектор. Операції над векторами (додавання, віднімання, множення на число),n -Вимірний вектор. Поняття про векторний простір та його базис.

Вектор назується спрямований відрізок з початковою точкою Аі кінцевою точкою У(який можна переміщати паралельно самому собі).

Вектори можуть позначатися як двома великими літерами, так і однією малою з характеристикою або стрілкою.

Довжиною (або модулем) вектора називається число, що дорівнює довжині відрізка АВ, що зображує вектор.

Вектори, що лежать на одній прямій або паралельних прямих, називають колінеарними .

Якщо початок і кінець вектора збігаються (), такий вектор називається нульовим та позначається = . Довжина нульового вектора дорівнює нулю:

1) Добутком вектора на число:

Буде вектор, що має довжину, напрямок якого збігається з напрямком вектора , якщо , і протилежно йому, якщо .

2) Протилежний вектор -називається твір вектора -на число(-1), тобто. -=.

3) Сумою двох векторів і називається вектор , початок якого збігається з початком вектора , а кінець з кінцем вектора , за умови, що початок збігається з кінцем . (Правило трикутників). Аналогічно визначається сума кількох векторів.

4) Різниця двох векторів і називається сума вектора та вектора -, протилежного .

Скалярний твір

Визначення: Скалярним добутком двох векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

n-мірний вектор та векторний простір

Визначення. n-вимірним вектором називається впорядкована сукупність n дійсних чисел, що записуються у вигляді х = (х 1, х 2, ..., х n), де х i – i -а компонента вектора х.

Поняття n-вимірного вектора широко використовується в економіці, наприклад, деякий набір товарів можна охарактеризувати вектором х = (х 1, х 2, ..., х n),а відповідні ціни у = (у 1, 2, ..., у n).

- Два n-мірні вектори рівні і тоді, коли рівні їх відповідні компоненти, тобто. х=у, якщо х i= у i, i = 1,2,…,n.

- сумою двох векторів однакової розмірності nназивається вектор z = x + y, компоненти якого дорівнюють сумі відповідних компонент доданків векторів, тобто. z i= x i+ y i, i = 1,2, ..., n.

- Добутком вектора х на дійсне число називається вектор , компоненти якого рівні добутку відповідні компоненти вектора , тобто . , i= 1,2,…,n.

Лінійні операції над будь-якими векторами задовольняють такі властивості:

1) - комутативна (переміщувальна) властивість суми;

2) - асоціативна (сполучна) властивість суми;

3) - асоціативна щодо числового множника властивість;

4) - дистрибутивна (розподільна) щодо суми векторів властивість;

5) - дистрибутивна щодо суми числових множників властивість;

6) Існує нульовий вектор такий, що для будь-якого вектора (особлива роль нульового вектора);

7) Для будь-якого вектора існує протилежний вектор такий, що ;

8) для будь-якого вектора (особлива роль числового множника 1).

Визначення. Безліч векторів з дійсними компонентами, в якому визначено операції складання векторів та множення вектора на число, що задовольняє наведеним вище восьми властивостями (розглядається як аксіоми), називається векторним станом .

Розмірність і базис векторного простору

Визначення. Лінійний простірназивається n-мірним якщо в ньому існує nлінійно незалежних векторів, а будь-які вектори вже є залежними. Іншими словами, розмірність простору – це максимальна кількість лінійно незалежних векторів, що містяться в ньому. Число n називається розмірністю простору і позначається.

Сукупність n лінійно незалежних векторів n-вимірного простору називається базисом .

7. Власні вектори та власні значення матриці. Характеристичне рівняння матриці.

Визначення. Вектор називається власним вектором лінійного оператора, якщо знайдеться таке число, що:

Число називається власним значенням оператора (матриці А), що відповідає вектору .

Можна записати у матричній формі:

Де - матриця-стовпець з координат вектора або в розгорнутому вигляді:

Перепишемо систему так, щоб у правих частинах були нулі:

чи матричному вигляді: . Отримана однорідна система має нульове рішення. Для існування ненульового рішення потрібно і достатньо, щоб визначник системи: .

Визначник є багаточленом n-й ступеня щодо. Цей багаточлен називається характеристичним багаточленом оператора або матриці А, а отримане рівняння – характеристичним рівнянням оператора чи матриці А.

Приклад:

Знайти власні значення та власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею.

Розв'язання: Складаємо характеристичне рівняння або, звідки власне значення лінійного оператора.

Знаходимо власний вектор, що відповідає власному значенню. Для цього розв'язуємо матричне рівняння:

Або , або , звідки знаходимо: , або

Або.

Припустимо, що , отримаємо, що вектори при будь-якому є власними векторами лінійного оператора з власним значенням .

Аналогічно, вектор.

8. Система плінійних рівнянь з пзмінними (загальний вигляд). Матрична форма запису такої системи. Рішення системи (визначення). Спільні та несумісні, певні та невизначені системи лінійних рівнянь.

Розв'язання системи лінійних рівнянь із невідомими

Системи лінійних рівнянь знаходять широке застосування економіки.

Система лінійних рівнянь зі змінними має вигляд:

,

де () - довільні числа, звані коефіцієнтами при змінних і вільними членами рівнянь відповідно.

Короткий запис: ().

Визначення.Рішенням системи називається така сукупність значень, при підстановці яких кожне рівняння системи перетворюється на правильну рівність.

1) Система рівнянь називається спільної , якщо вона має хоча б одне рішення, та несуміснийякщо вона не має рішень.

2) Спільна система рівнянь називається певною , якщо вона має єдине рішення, та невизначеною якщо вона має більше одного рішення.

3) Дві системи рівнянь називаються рівносильними (еквівалентними) якщо вони мають одну і ту ж безліч рішень (наприклад, одне рішення).

Запишемо систему в матричній формі:

Позначимо: , де

А- матриця коефіцієнтів при змінних, або матриця системи, Х - матриця-стовпець змінних, У - матриця-стовпець вільних членів.

Т.к. число стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці , то їх добуток:

Є матриця-стовпець. Елементами одержаної матриці є ліві частини початкової системи. З визначення рівності матриць початкову систему можна записати як: .

Теорема Крамера. Нехай - визначник матриці системи, а - визначник матриці, що отримується з матриці заміною -го стовпця стовпцем вільних членів. Тоді, якщо , то система має єдине рішення, яке визначається за формулами:

Формула Крамер.

приклад. Розв'язати систему рівнянь за формулами Крамера

Рішення. Визначник матриці системи. Отже система має єдине рішення. Обчислимо , отримані із заміною відповідно першого, другого, третього стовпців стовпцем вільних членів:

За формулами Крамера:

9. Метод Гауса вирішення системиn лінійних рівнянь з пзмінними. Поняття методу Жордана – Гаусса.

Метод Гауса - метод послідовного виключення змінних.

Метод Гаусса у тому, що з допомогою елементарних перетворень рядків і перестановок стовпців система рівнянь приводиться до рівносильної системі ступінчастого (чи трикутного) виду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, перебувають інші змінні.

Перетворення Гауса зручно проводити не з самими рівняннями, а з розширеною матрицею їх коефіцієнтів, що отримується приписуванням до матриці стовпця вільних членів:

.

Слід зазначити, що методом Гауса можна вирішити будь-яку систему рівнянь виду .

приклад. Методом Гауса вирішити систему:

Випишемо розширену матрицю системи.

Крок 1 . Поміняємо місцями перший і другий рядки, щоб став рівним 1.

Крок 2 Помножимо елементи першого рядка на (–2) та (–1) і додамо їх до елементів другого та третього рядків, щоб під елементом у першому стовпці утворилися нулі. .

Для спільних систем лінійних рівнянь вірні такі теореми:

Теорема 1.Якщо ранг матриці спільної системи дорівнює кількості змінних, тобто. , то система має єдине рішення.

Теорема 2.Якщо ранг матриці спільної системи менше кількості змінних, тобто. , то система є невизначеною і має безліч рішень.

Визначення.Базовим мінором матриці називається будь-який ненульовий мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Визначення.Ті невідомих, коефіцієнти у яких входять у запис базисного мінору, називаються базисними (чи основними), інші невідомих називаються вільними (чи неосновными).

Вирішити систему рівнянь у разі - це означає висловити і (т.к. визначник, складений з їх коефіцієнтів не дорівнює нулю), тоді і - вільні невідомі.

Висловимо базисні змінні через вільні.

З другого рядка отриманої матриці висловимо змінну:

З першого рядка висловимо: ,

Загальне рішення системи рівнянь: , .