Приведення матриці до ступінчастого вигляду рішення. матриці

Жарознижуючі засоби для дітей призначаються педіатром. Але бувають ситуації невідкладної допомоги при лихоманці, коли дитині потрібно дати ліки негайно. Тоді батьки беруть на себе відповідальність і застосовують жарознижуючі препарати. Що дозволено давати дітям грудного віку? Чим можна збити температуру у дітей старшого віку? Які ліки найбезпечніші?

Щоб привести матрицю до ступінчастого вигляду (рис. 1.4), потрібно виконати наступні дії.

1. У першому стовпці вибрати елемент, відмінний від нуля ( провідний елемент ). Рядок з провідним елементом ( провідна рядок ), Якщо вона не перша, переставити на місце першого рядка (перетворення I типу). Якщо в першому стовпці немає ведучого (всі елементи дорівнюють нулю), то виключаємо цей стовпець, і продовжуємо пошук провідного елементу в решти матриці. Перетворення закінчуються, якщо виключені всі стовпці або в частині матриці всі елементи нульові.

2. Розділити всі елементи провідного рядка на провідний елемент (перетворення II типу). Якщо провідна рядок остання, то на цьому перетворення слід закінчити.

3. До кожної рядку, розташованої нижче провідною, додати провідний рядок, помножену відповідно на таке число, щоб елементи, які стоять під провідним виявилися рівними нулю (перетворення III типу).

4. Виключивши з розгляду рядок і стовпець, на перетині яких стоїть провідний елемент, перейти до пункту 1, в якому всі описані дії застосовуються до решти матриці.

Теорема про розклад візначніка по елементів рядка.

Теорема про розкладання визначника за елементами рядка або стовпця дозволяє звести обчислення визначника - го порядку () до обчислення визначників порядку .

Якщо визначник має рівні нулю елементи, то зручніше за все розкладати визначник за елементами тієї рядки або стовпці, який містить найбільшу кількість нулів.

Використовуючи властивості визначників, можна перетворити визначник - го порядку так, щоб всі елементи деякого рядка або стовпця, крім одного, стали рівними нулю. Таким чином, обчислення визначника - го порядку, якщо він відмінний від нуля, зведеться до обчислення одного визначника - го порядку.

Завдання 3.1.обчислити визначник

Рішення.Додавши до другої рядку першу, до третьої - першу, помножену на 2, до четвертої - першу, помножену на -5, отримаємо

Розкладаючи визначник за елементами першого стовпчика, маємо

В отриманому визначнику 3-го порядку звернемо в нуль всі елементи першого стовпчика, крім першого. Для цього до другої рядку додамо першу, помножену на (-1), до третьої, помноженої на 5, додамо першу, помножену на 8. Так як множили третій рядок на 5, то (для того, щоб визначник не змінився) помножимо його на . маємо

Отриманий визначник розкладемо за елементами першого стовпця:

Теорема Лапласа (1). Теорема про чужі ДОПОВНЕННЯ (2)

1) Определітельравенсуммепроізведеній елементів якого-небудь рядка на іхалгебраіческіедополненія.

2) Суммапроізведенійелементовкакой-якого рядка визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого його рядки дорівнює нулю (теорема про примноження на чужі алгебраїчні доповнення).

Будь-яка точка на площині при вибраній системі координат задається парою (α, β) своїх координат; числа α і β можна розуміти також як координати радіуса-вектора з кінцем в цій точці. Аналогічно, в просторі трійка (α, β, γ) визначає точку або вектор з координатами α, β, γ. Саме на цьому грунтується добре відома читачеві геометрична інтерпретація систем лінійних рівнянь з двома або трьома невідомими. Так, в разі системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими

а 1 х + b 1 у = с 1,

а 2 х + b 2 у = з 2

кожне з рівнянь тлумачиться як пряма на площині (див. рис. 26), а рішення (α, β) - як точка перетину цих прямих або як вектор з координатами аїр (рисунок відповідає випадку, коли система має єдине рішення).

Мал. 26

Аналогічно можна вчинити з системою лінійних рівнянь з трьома невідомими, інтерпретуючи кожне рівняння як рівняння площини в просторі.

В математиці і різних її додатках (зокрема, в теорії кодування) доводиться мати справу з системами лінійних рівнянь, що містять більше трьох невідомих. Системою лінійних рівнянь з n невідомими x 1, х 2, ..., х n називається сукупність рівнянь виду

а 11 х 1 + а 12 х 2 + ... + а 1n х n = b 1,

а 21 х 1 + а 22 х 2 + ... + а 2n х n = b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

а m1 х 1 + а m2 х 2 + ... + а mn х n = b m,

де a ij і b i - довільні дійсні числа. Число рівнянь в системі може бути будь-яким і ніяк не пов'язане з числом невідомих. Коефіцієнти при невідомих а ij мають подвійну нумерацію: перший індекс i вказує номер рівняння, другий індекс j - номер невідомого, при якому варто даний коефіцієнт. Будь-яке рішення системи розуміється як набір (дійсних) значень невідомих (α 1, α 2, ..., α n), що звертають кожне рівняння в правильну рівність.

Хоча безпосереднє геометричне тлумачення системи (1) при n> 3 вже неможливо, однак цілком можливо і в багатьох відносинах зручно поширити на випадок довільного n геометричний мову простору двох або трьох вимірів. Цій меті і служать подальші визначення.

Всякий упорядкований набір з n дійсних чисел (α 1, α 2, ..., α n) називається n-мірним арифметичним вектором, а самі числа α 1, α 2, ..., α n - координатами цього вектора.

Для позначення векторів використовується, як правило, жирний шрифт і для вектора а з координатами α 1, α 2, ..., α n зберігається звичайна форма запису:

а = (α 1, α 2, ..., α n).

За аналогією зі звичайною площиною безліч всіх n-мірних векторів, що задовольняють лінійним рівнянням з n невідомими, називають гиперплоскостью в n-вимірному просторі. При такому визначенні безліч всіх рішень системи (1) є не що інше, як перетин кількох гіперплоскостей.

Додавання і множення n-мірних векторів визначаються за тими ж правилами, що і для звичайних векторів. А саме, якщо

а = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Два n-мірних вектора, то їх сумою називається вектор

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)

Твором вектора а на число λ називається вектор

λа = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Безліч всіх n-мірних арифметичних векторів з операціями додавання векторів і множення вектора на число називається арифметичним n-мірним векторних простором L n.

Використовуючи введені операції, можна розглядати довільні лінійні комбінації декількох векторів, т. Е. Вирази виду

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

де λ i - дійсні числа. Наприклад, лінійна комбінація векторів (2) з коефіцієнтами λ і μ - це вектор

λа + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

У тривимірному просторі векторів особливу роль відіграє трійка векторів i, j, k (координатні орти), за якими розкладається будь-який вектор а:

a = xi + yj + zk,

де х, у, z - дійсні числа (координати вектора а).

В n-вимірному випадку таку ж роль відіграє наступна система векторів:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Всякий вектор а є, очевидно, лінійна комбінація векторів е 1, e 2, ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n, (6)

причому коефіцієнти α 1, α 2, ..., α n збігаються з координатами вектора а.

Позначаючи через 0 вектор, всі координати якого дорівнюють нулю (коротко, нульовий вектор), введемо наступну важливу визначення:

Система векторів а 1, а 2, ..., а k називається лінійно залежною, якщо існує рівна нульового вектору лінійна комбінація

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

в якій хоча б один з коефіцієнтів h 1, λ 2, ..., λ k різниться від нуля. В іншому випадку система називається лінійно незалежною.

Так, вектори

а 1 = (1, 0, 1, 1), а 2 = (1, 2, 1, 1), а 3 = (2, 2, 2, 2)

лінійно залежні, оскільки

a 1 + a 2 - а 3 = 0.

Лінійна залежність, як видно з визначення, рівносильна (при k ≥ 2) того, що хоча б один з векторів системи є лінійною комбінацієюінших.

Якщо система складається з двох векторів a 1, а 2, то лінійна залежність системи означає, що один з векторів пропорційний іншому, скажімо, а 1 = λа 2; в тривимірному випадку це рівносильно коллинеарности векторів а 1 і а 2. Точно так же лінійна залежність системи I з трьох векторів в звичайному просторі означає компланарність цих векторів. Поняття лінійної залежності є, таким чином, природним узагальненням понять коллинеарности і компланарності.

Неважко переконатися, що вектори е 1, е 2, ..., е n з системи (5) лінійно незалежні. Отже, в n-вимірному просторі існують системи з n лінійно незалежних векторів. Можна показати, що будь-яка система з більшого числавекторів лінійно залежна.

Будь-яка система a 1, а 2, ..., а n з n лінійно незалежних векторів n-мірного простору L n називається його базисом.

Будь-вектор а простору L n розкладається, і до того ж єдиним чином, по векторах довільного базису a 1, а 2, ..., а n:

а = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Цей факт легко встановлюється на підставі визначення базису.

Продовжуючи аналогію з тривимірним простором, можна і в n-вимірному випадку визначити скалярний твір а · b векторів, вважаючи

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

При такому визначенні зберігаються всі основні властивості скалярного твори тривимірних векторів. Вектори а і b називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

В теорії лінійних кодів використовується ще одне важливе поняття - поняття підпростору. Підмножина V простору L n називається подпространством цього простору, якщо

1) для будь-яких векторів а, b, що належать V, їх сума а + b також належить V;

2) для будь-якого вектора а, що належить V, і для будь-якого дійсного числа λ вектор λа також належить V.

Наприклад, безліч всіх лінійних комбінацій векторів e 1, е 2 з системи (5) буде подпространством простору L n.

У лінійної алгебрі доводиться, що у всякому підпросторі V існує така лінійно незалежна система векторів a 1, a 2, ..., a k, що всякий вектор а підпростору є лінійною комбінацією цих векторів:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.

Зазначена система векторів називається базисом підпростору V.

З визначення простору і підпростори безпосередньо випливає, що простір L n є комутативна група щодо операції додавання векторів, а будь-яке його підпростір V є підгрупою цієї групи. У цьому сенсі можна, наприклад, розглядати суміжні класи простору L n по подпространству V.

На закінчення підкреслимо, що якщо в теорії n-мірного арифметичного простору замість дійсних чисел (т. Е. Елементів поля дійсних чисел) розглядати елементи довільного поля F, то все визначення і факти, наведені вище, зберегли б силу.

В теорії кодування важливу роль відіграє випадок, коли поле F поле відрахувань Z p, яке, як ми знаємо, звичайно. В цьому випадку відповідне n-мірний простір також звичайно і містить, як неважко бачити, р n елементів.

Поняття простору, як і поняття групи і кільця, допускає також і аксіоматичне визначення. За подробицями ми відсилаємо живильник до будь-якого курсу лінійної алгебри.

Лінійна комбінація. Лінійно залежні та незалежні системи векторів.

інейная комбінація векторів

Лінійною комбінацією векторів називають вектор

де - коефіцієнти лінійної комбінації. якщо комбінація називається тривіальною, якщо-нетривіальною.

Лінійна залежність і незалежність векторів

система лінійно завісімачто

система лінійно незалежна

Критерій лінійної залежності векторів

Для того щоб вектори (r> 1) Були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб хоча б один з цих векторів був лінійною комбінацією інших.

Розмірність лінійного простору

лінійне простір Vназивається n-мірним (має розмірність n), Якщо в ньому:

1) існує nлінійно незалежних векторів;

2) будь-яка система n + 1векторів лінійно залежна.

позначення: n= dim V;.

Система векторів називається лінійно залежною,якщо існує ненульовийнаборчіселтакіх, що лінійна комбінація

Система векторів називається лінійно незалежної,якщо з рівності нулю лінійної комбінації

слід рівність нулю всіхкоефіцієнтів

Питання про лінійної залежностівекторів в загальному випадку зводиться до питання про існування ненульового рішення у однорідної системи лінійних рівнянь з коефіцієнтами, рівними відповідним координатам даних векторів.

Для того щоб добре засвоїти поняття «лінійна залежність», «лінійна незалежність» системи векторів, корисно вирішити завдання наступного типу:

Лінійна залежність.І і ІІ Критерії лінійної залежності.

система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли один з векторів системи є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Доведення. Нехай система векторів лінійно залежна. Тоді існує такий набір коефіцієнтів , Що, причому хоча б один коефіцієнт відмінний від нуля. Припустимо, що . тоді

тобто є лінійною комбінацією інших векторів системи.

Нехай один з векторів системи є лінійною комбінацією інших векторів. Припустимо, що це вектор, тобто . Очевидно, що . Отримали, що лінійна комбінація векторів системи дорівнює нулю, причому один з коефіцієнтів відмінний від нуля (дорівнює).

Пропозиція10 . 7 Якщо система векторів містить лінійно залежну підсистему, то вся система лінійно залежна.

Доведення.

Нехай в системі векторів підсистема ,, Є лінійно залежною, тобто, і хоча б один коефіцієнт відмінний від нуля. Тоді складемо лінійну комбінацію. Очевидно, що ця лінійна комбінація дорівнює нулю, і що серед коефіцієнтів є ненульовий.

База системи векторів, ее Основна властівість.

Базою ненульовий системи векторів називається еквівалентна їй лінійно незалежна підсистема. Нульова система бази не має.

Властивість 1:база лінійної незалежної системизбігається з нею самою.

приклад:Система лінійно незалежних векторів оскільки жоден з векторів не може бути лінійно вирожен через інші.

Властивість 2: (Критерій Бази)Лінійно незалежна підсистема даної системи є її базою тоді і тільки тоді, коли вона максимально лінійно незалежна.

Доведення:дана система необхідністьНехай база. Тоді за визначенням і, якщо, де, система лінійно залежна, так як лінійно вирожается через, отже максимально лінійно незалежна. достатністьНехай максимально лінійно незалежна підсистема, тоді де. лінійно залежна лінійно вирожается через отже база системи.

Властивість 3: (Основна властивість бази)Кожен вектор системи вирожается через базу єдиним чином.

ДоведенняНехай вектор вирожается через базу двома способами, тоді:, тоді

Ранг системи векторів.

визначення:Рангом ненульовий системи векторів лінійного простору називається число векторів її бази. Ранг нульової системи за визначенням дорівнює нулю.

Властивості рангу: 1) Ранг лінійно незалежної системи збігається з числом її векторів. 2) Ранг лінійно залежною системи менше числа її векторів. 3) Ранги еквівалентних систем збігаються -rankrank. 4) Ранг під системи менше або дорівнює рангу системи. 5) Есліі rankrank, тогдаіімеют загальну базу. 6) Ранг системи не змінити, якщо в неї додати вектор, який є лінійною комбінацією інших векторів системи. 7) Ранг системи не змінити, якщо з неї видалити вектор, який є лінійною комбінацією інших векторів.

Для знаходження рангу системи векторів, потрібно використовувати метод Гауссаі привести систему до трикутної або трапецієподібної формі.

Еквівалентні системи векторів.

приклад:

Перетворимо дані вектора в матрицю для знаходження бази. отримаємо:

Тепер за допомогою методу Гаусса будемо преобразоивавать матрицю до трапецеидальному увазі:

1) У нашій основний матриці, будемо анулювати весь перший стовпець крім першого рядка від другої віднімаючи першу помножену на, від третьої віднімаючи першу помножену на, а від четвётой ми нічого не будемо віднімати так як перший елемент четвертої рядки, тобто перетин першого шпальти і четвертої рядки, дорівнює нулю. Отримаємо матрицю: 2) Тепер в матриці, поміняємо місцями рядки 2, 3 і 4 для простоти рішення, що б на місці елемента була одиниця. Четверту рядок поміняємо поставимо замість другої, другу замість третьої і третю на місце четвертої. Отримаємо матрицю: 3) В матриці ануліруем всі елементи під елементом. Оскільки знову елемент нашої матреці дорівнює нулю, ми нічого не забираємо від четвертої рядки, а до третьої додамо другу помножену на. Отримаємо матрицю: 4) Знову поміняємо в матриці рядка 3 і 4 місцями. Отримаємо матрицю: 5) В матріцепрібавім до червётрой рядку третю, помножену на 5. Отримаємо матрицю, яка буде мати трикутний вигляд:

Системи, їх ранги збігаються в силу властивостей рангу і їх ранг дорівнює rank rank

зауваження: 1) На відміну від традиційного методу Гаусса, якщо в рядку матриці всі елементи діляться на певне число, ми не маємо право скорочувати її рядок в силу дії властивостей матриці. Якщо ми захочемо скоротити рядок на певне число, доведеться скорочувати всю матрицю на це число. 2) В разі, якщо ми отримаємо лінійно залежну рядок, ми можемо її прибрати з нашого матриці і замінити на нульову рядок. приклад: Відразу видно що другий рядок виражається через першу, якщо помножити першу на 2. В Тіаком випадку можемо замінити всю другий рядок на нульову. отримаємо: У підсумку, привівши матрицю, або до трикутного, або до трапецеидальному увазі, де у неї немає лінійно залежних векторів, все не нульові вектори матриці і будуть базою матриці, а їх кількість рангом.

Ось так само приклад системи векторів у вигляді графіка: Дана система де,, і. Базою даної системи очевидно буду вектора і, оскільки через них виражаються вектори. Дана система в графічному вигляді буде мати вигляд:

Елементарні превращение. Системи ступінчатого виду.

Елементарні перетворення матриці- це такі перетворення матриці, в результаті яких зберігається еквівалентність матриць. Таким чином, елементарні перетворення не змінюють безліч рішень системи лінійних алгебраїчних рівнянь, яку представляє ця матриця.

Елементарні перетворення використовуються в методі Гаусса для приведення матриці до трикутного або ступенчатому увазі.

Елементарними перетвореннями рядківназивають:

У деяких курсах лінійної алгебри перестановка рядків матриці не виділяється в окреме елементарне перетворення в силу того, що перестановку місцями будь-яких двох рядків матриці можна отримати, використовуючи множення будь-якого рядка матриці на константу, і додаток до будь-якому рядку матриці іншого рядка, помноженої на константу,.

аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.

елементарні перетворення оборотні.

Позначення вказує на те, що матриця може бути отримана з шляхом елементарних перетворень (або навпаки).

Провідними елементами є в першому рядку -, у другому рядку - , В четвертому рядку . Зауважимо, що ведучий елемент в рядку не зобов'язаний бути єдиним (див. Другий рядок).

Теорема. Будь-яка матриця шляхом кінцевого числа елементарних перетворень рядків може бути зведена до наведеного виду.

Доведення.

Нехай матриця має вигляд

Скористаємося визначенням наведеної матриці.

Якщо перший рядок нульова, переходимо до другої і т.д., поки не знайдемо ненулевую рядок. У ненульовий рядку (нехай це буде -я рядок) вибираємо ненульовий елемент (нехай це буде елемент).

Зробимо над матрицею наступні елементарні перетворення:

...

Очевидно, після цього всі елементи -го стовпчика, крім елемента, стануть нульовими. Потім вибираємо наступну ненулевую рядок, в ній ненульовий елемент і виробляємо аналогічні перетворення з рядками матриці. За кінцеве число кроків переберемо все ненульові рядки, після чого отримуємо матрицю, яка за визначенням буде наведеної.

Приклад 14. Нехай . Зведемо матрицю до наведеного виду.

Рішення.

Візьмемо в якості ведучого елемент (провідні елементи будемо виділяти круглими дужками) і виконаємо зазначені перетворення:

На наступному кроці в якості ведучого візьмемо елемент, виконаємо зазначені перетворення і в результаті отримаємо.

Матриця, види матриць, дії над матрицями.

Види матриць:

1. прямокутні: mі n- довільні позитивні цілі числа

2. Квадратні: m = n

3. матриця рядок: m = 1. Наприклад, (1 3 5 7) - у багатьох практичних завданняхтака матриця називається вектором

4. матриця стовпець: n = 1. наприклад

5. діагональна матриця: m = nі a ij = 0, якщо i ≠ j. наприклад

6. Одинична матриця: m = nі

7. нульова матриця: a ij = 0, i = 1,2, ..., m

j = 1,2, ..., n

8. трикутна матриця: Всі елементи нижче головної діагоналі рівні 0.

9. симетрична матриця:m = nі a ij = a ji(Тобто на симетричних відносно головної діагоналі місцях стоять рівні елементи), а отже A "= A

наприклад,

10. кососімметріческіх матриця: m = nі a ij = -a ji(Тобто на симетричних відносно головної діагоналі місцях стоять протилежні елементи). Отже, на головній діагоналі стоять нулі (тому що при i = jмаємо a ii = -a ii)

Дії над матрицями:

1. додавання

2. відніманняматриць - поелементно операція

3. твір, добутокматриці на число - поелементно операція

4. множення A * Bматриць за правилом рядок на стовпець(Число стовпців матриці А має дорівнювати числу рядків матриці B)

A mk * B kn = C mnпричому кожен елемент з ijматриці C mnдорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елемеенти j-го стовпця матриці B, тобто

Покажемо операцію множення матриць на прикладі

5. Транспонування матриці А. транспоновану матрицю позначають A T або A "

, наприклад

Рядки і стовпці помінялися місцями

Властивості операцій над матрицями:

(A + B) + C = A + (B + C)

λ (A + B) = λA + λB

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

λ (AB) = (λA) B = A (λB)

A (BC) = (AB) C

(ΛA) "= λ (A)"

(A + B) "= A" + B "

(AB) "= B" A "

2. Визначники другого і третього порядку (основні поняття, св-ва, обчислення)

Властивість 1.Визначник не змінюється при транспонировании, тобто

Доведення.

Зауваження. Наступні властивості визначників будуть формулюватися тільки для рядків. При цьому з властивості 1 випливає, що ті ж властивості будуть володіти і стовпці.

властивість 2. При множенні елементів рядка визначника на деяке число весь визначник множиться на це число, тобто

Доведення.

Властивість 3.Визначник, який має нульову рядок, дорівнює 0.

Доказ цієї властивості випливає з властивості 2 при k = 0.

Властивість 4.Визначник, який має дві рівні рядки, дорівнює 0.

Доведення.

властивість 5. Визначник, два рядки якого пропорційні, дорівнює 0.

Доказ випливає з властивостей 2 і 4.

властивість 6. При перестановці двох рядків визначника він множиться на -1.

Доведення.

Властивість 7.

Доказ цієї властивості можна провести самостійно, порівнявши значення лівої і правої частин рівності, знайдені за допомогою визначення 1.5.

Властивість 8.Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число.

Мінор. алгебраїчне доповнення. Теорема Лапласа.

Метод приведення до трикутного виглядуполягає в такому перетворенні даного визначника, коли всі елементи його, що лежать по одну сторону однієї з його діагоналей, стають рівними нулю.

Приклад 8.обчислити визначник

Приведенням до трикутного вигляду.

Рішення.Віднімемо перший рядок визначника з інших його рядків. тоді отримаємо

Цей визначник дорівнює добутку елементів головної діагоналі. Таким чином, маємо

Зауваження.Все розглянуте вище можна узагальнити для визначників n-го порядку.

Приведення матриці до ступінчастого вигляду. Елементарні перетворення рядків і стовпців.

Елементарними перетвореннями матриціназиваються такі її перетворення:

I. Перестановка двох стовпців (рядків) матриці.

II. Множення всіх елементів одного стовпця (рядка) матриці на одне і те ж число, відмінне від нуля.

III. Додаток до елементів одного стовпця (рядка) відповідних елементів іншого стовпця (рядка), помножених на одне і те ж число.

Матриця, отримана з вихідної матриці кінцевим числом елементарних перетворень, називається еквівалентної . Це позначається.

Елементарні перетворення застосовуються для спрощення матриць, що буде в подальшому використовуватися для вирішення різних завдань.

Щоб привести матрицю до ступінчастого вигляду (рис. 1.4), потрібно виконати наступні дії.

1. У першому стовпці вибрати елемент, відмінний від нуля ( провідний елемент ). Рядок з провідним елементом ( провідна рядок ), Якщо вона не перша, переставити на місце першого рядка (перетворення I типу). Якщо в першому стовпці немає ведучого (всі елементи дорівнюють нулю), то виключаємо цей стовпець, і продовжуємо пошук провідного елементу в решти матриці. Перетворення закінчуються, якщо виключені всі стовпці або в частині матриці всі елементи нульові.

Приклад 1.29.Привести до ступінчастому увазі матриці

У липні 2020 року NASA запускає експедицію на Марс. Космічний апарат доставить на Марс електронний носій з іменами всіх зареєстрованих учасників експедиції.

Реєстрація учасників відкрита. Отримайте свій квиток на Марс за цим посиланням.

Якщо цей пост вирішив вашу проблему або просто сподобався вам, поділіться посиланням на нього зі своїми друзями в соціальних мережах.

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-станиці, бажано між тегами іабо ж відразу після тега . За першим варіантом MathJax подгружается швидше і менше гальмує сторінку. Зате другий варіант автоматично відстежує і підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, то його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки будуть завантажуватися повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі управління сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант коду завантаження, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX і ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формулина веб-сторінки свого сайту.

Черговий напередодні Нового Року ... морозна погода і сніжинки на віконному склі ... Все це спонукало мене знову написати про ... фракталах, і про те, що знає про це Вольфрам Альфа. З цього приводу є цікава стаття, в якій є приклади двовимірних фрактальних структур. Тут же ми розглянемо більш складні приклади тривимірних фракталів.

Фрактал можна наочно уявити (описати), як геометричну фігуру або тіло (маючи на увазі, що і те і інше є безліч, в даному випадку, безліч точок), деталі якої мають таку ж форму, як і сама вихідна фігура. Тобто, це самоподібна структура, розглядаючи деталі якої при збільшенні, ми будемо бачити ту ж саму форму, що й без збільшення. Тоді як у випадку звичайної геометричної фігури (НЕ фрактала), при збільшенні ми побачимо деталі, які мають більш просту форму, ніж сама вихідна фігура. Наприклад, при досить великому збільшенні частина еліпса виглядає, як відрізок прямої. З фракталами такого не відбувається: при будь-якому їх збільшенні ми знову побачимо ту ж саму складну форму, яка з кожним збільшенням буде повторюватися знову і знову.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки про фрактали, в своїй статті Фрактали і мистецтво в ім'я науки написав: "Фрактали - це геометричні форми, які в рівній мірі складні в своїх деталях, як і в своїй загальній формі. Тобто, якщо частина фрактала буде збільшена до розміру цілого, вона буде виглядати, як ціле, або в точності, або, можливо, з невеликою деформацією ".

визначення

Квадратна матриця називається діагональної, Якщо всі її елементи, що стоять поза головною діагоналі, дорівнюють нулю.

Зауваження.Діагональні елементи матриці (тобто елементи, які стоять на головній діагоналі) можуть також дорівнювати нулю.

приклад

визначення

скалярноюназивається діагональна матриця, у якої все діагональні елементи рівні між собою.

Зауваження.Якщо нульова матриця є квадратної, то вона також є і скалярною.

приклад

визначення

одиничною матрицеюназивається скалярна матриця порядку, діагональні елементи якої рівні 1.

Зауваження.Для скорочення запису порядок одиничної матриці можна не писати, тоді одинична матриця позначається просто.

приклад

- одинична матриця другого порядку.

2.10. Приведення матриці до діагонального вигляду

Нормальну (зокрема симетричну) матрицю Aможна привести до діагонального вигляду перетворенням подібності -

A = TΛT −1

тут Λ = Diag (λ 1, ..., λ N) - це діагональна матриця, елементами якої є власні значення матриці A, а T- це матриця, складена з відповідних власних векторів матриці A, Тобто T = (v 1 ,...,v N).

наприклад,

Мал. 23 Приведення до діагонального вигляду

ступінчаста матриця

визначення

ступінчастоюназивається матриця, яка задовольняє таким умовам:

визначення

ступінчастоюназивається матриця, яка містить рядків і у якій перші діагональних елементів ненульові, а елементи, що лежать нижче головної діагоналі і елементи останніх рядків дорівнюють нулю, тобто це матриця виду:

визначення

головним елементомдеякою рядки матриці називається її перший ненульовий елемент.

приклад

Завдання.Визначити основні елементи кожного рядка матриці

Рішення.Головний елемент першого рядка - це перший ненульовий елемент цього рядка, а тому - головний елемент рядка під номером 1; аналогічно - головний елемент другого рядка.

Інше визначення ступінчастою матриці.

визначення

матриця називається ступінчастою, Якщо:

всі її нульові рядки стоять після ненульових;

в кожній ненульовий рядку, починаючи з другого, її головний елемент варто правіше (в стовпці з великим номером) головного елемента попереднього рядка.

За визначенням до ступінчастим матрицями будемо відносити нульову матрицю, а також матрицю, яка містить один рядок.

приклад

Приклади східчастих матриць:

, , , ,