Matrica e faljes viglyad. Reduktimi i matricës në hapin e syrit

Zharoznizhuvalny për fëmijët njihet si pediatër. Dyshohet se ka situata të ndihmës së pavolitshme për gratë me ethe, nëse fëmijët kanë nevojë të japin pafajësisht. Babai Todi merr përsipër shkathtësinë dhe kapsllëkun e barnave për uljen e temperaturës. Si mund t'u jepni fëmijëve një gji? Si mund ta mposhtni temperaturën e fëmijëve më të mëdhenj? Cilat janë më të mirat?

Në të njëjtën kohë, kuptimi i matricës është i qartë, dhe pamja e matricës është e dukshme. Pra, duke qenë se ka më pak terma në të njëjtën kohë, atëherë do të bëj një ndryshim të shkurtër, dhe do të jem më i thjeshtë me materialet.

Vlera e matricës dhe elementit. Emërtimi.

Matricë- Një tabelë me $ m $ rreshta dhe $ n $ njëqind. Elementet e një matrice mund të kenë një natyrë absolutisht të gjithanshme: numra, numra të ndryshueshëm, për shembull, matrica të tjera. Për shembull, matrica $ \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ zëvendësoni 3 rreshta і 2 stovptsі; Elementet e numrit të plotë. Matrica $ \ majtas (\ fillojë (arriti) (cccc) a & a ^ 9 + 2 & 9 & \ sin x \ -9 & 3t ^ 2-4 & ut & 8 \ fund (vargu) \ djathtas) $ hakmarrje 2 rreshtat që 4qind.

Gjeni mënyra për të shkruar matricat: trego / trego

Matrica mund të shkruhet në rrumbullakët, në katror dhe në harqe nëndrejtë. Vetë matrica tregohet më poshtë. forma të ndryshme Unë do të shkruaj:

$$ \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas); \; \; \ majtas [\ fillojë (vargu) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas]; \; \ majtas \ Vert \ fillimi (arriti) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas \ Vert $$

Tvir $ m \ herë n $ emër matrica e madhësisë... Për shembull, nëse matrica ka 5 rreshta dhe 3 të qindtat, atëherë flisni për madhësinë e matricës 5 $ \ herë 3 $. Matrica $ \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ fundi (array) \ djathtas) $ ma madhësia $ 3 \ herë 2 $.

Emërtoni matricat që njihen si shkronjat e mëdha të alfabetit latin: $ A $, $ B $, $ C $ dhe gjithashtu. Për shembull, $ B = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $. Numërimi i rreshtave nga lart poshtë; Stovpts_v - Zl_va në të djathtë. Për shembull, rreshti i parë i matricës $ B $ është të zëvendësojë elementët 5 dhe 3, dhe njëqind tjetër për të zëvendësuar elementët 3, -87, 0.

Elementet e matricës quhen shkronja të ndryshme. Për shembull, elementët e matricës $ A $ quhen $ a_ (ij) $. Nënindeksi $ ij $ Zbuloni informacione për pozicionin e elementit në matricë. Numri $ i $ është numri i sekuencës së rreshtit, dhe numri $ j $ është numri i të qindtave në të cilat ndodhet elementi $ a_ (ij) $. Për shembull, në kryqin e një rreshti tjetër dhe qindëshin e pestë të matricave $ A = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \ 1 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ element qëndisje $ a_ (25) = 59 $:

Pra, në rreshtin e parë të rreshtit të parë dhe të njëqindës së parë, ekziston një element $ a_ (11) = 51 $; në kryqin e rreshtit të tretë dhe njëqind tjetër - elementi $ a_ (32) = - 15 $ vetëm. Unë do t'ju respektoj, nëse shkruani $ a_ (32) $ lexon jak "a tre dy", ale jo "por tridhjetë e dy".

Për një matricë me vlerë të shpejtë $ A $, madhësia e së cilës është $ m \ herë n $, shkruani $ A_ (m \ herë n) $. Nuk është e lehtë të zgjedhësh dhe të shkruash një regjistrim të tillë:

$$ A_ (m \ herë (n)) = (a_ (ij)) $$

Këtu $ (a_ (ij)) $ nxjerr për vlerat e elementeve të matricës $ A $, domethënë. për të përcaktuar se ku quhen elementet e matricës $ A $ $ a_ (ij) $. Në pamjen e hapur, matrica $ A_ (m \ herë n) = (a_ (ij)) $ mund të shkruhet si më poshtë:

$$ A_ (m \ herë n) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (m1) & a_ (m2) & \ ldots & a_ (mn) \ fundi (vargu) \ djathtas) $$

Prezantoni një term tjetër - më shumë matrica.

Dy matrica me të njëjtën madhësi $ A_ (m \ herë n) = (a_ (ij)) $ і $ B_ (m \ herë n) = (b_ (ij)) $ quhen rivnim, si dhe te gjitha elementet e rivn, tobto. $ a_ (ij) = b_ (ij) $ për të gjithë $ i = \ mbivendosje (1, m) $ і $ j = \ mbivendosje (1, n) $.

Shpjegohet para se të shkruani $ i = \ mbivendosje (1, m) $: trego \ merre atë

Shënimi "$ i = \ overline (1, m) $" do të thotë që parametri $ i $ ndryshon nga 1 në m. Për shembull, shkruani $ i = \ overline (1,5) $ për të folur për ato, ku parametri $ i $ pranohet si 1, 2, 3, 4, 5.

Otzhe, për barazinë e matricave, është e nevojshme të shfaqen dy mendje: numri i ndryshimeve dhe barazia e elementeve të ndryshëm. Për shembull, matrica $ A = \ majtas (\ fillojë (arriti) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ matrica jo të shtrenjta $ B = \ majtas (\ fillimi ( grupi) (cc) 8 & -9 \\ 0 & -87 \ fundi (vargu) \ djathtas) $, matrica $ A $ madhësia $ 3 \ herë 2 $, dhe madhësia e matricës $ B $ bëhet $ 2 \ herë 2 $... Gjithashtu matrica $ A $ nuk është matrica e shtrenjtë $ C = \ majtas (\ fillojë (array) (cc) 5 & 3 \ 98 & -87 \\ 8 & 0 \ fund (array) \ djathtas) $, oskilki $ a_ (21) \ neq c_ (21) $ (tobto $ 0 \ neq 98 $). Dhe boshti për matricat $ F = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ mund të shkruhet lehtësisht $ A = F $ , dhe shtohen të njëjtat elementë të matricave $ A $ dhe $ F $.

Të pasmet numër 1

Matricat e madhësisë së dukshme $ A = \ majtas (\ fillon (vargu) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\\ fundi (vargu) \ djathtas) $. Specifikoni se cilët artikuj janë $ a_ (12) $, $ a_ (33) $, $ a_ (43) $.

Duke pasur parasysh një matricë për të zëvendësuar 5 rreshta dhe 3 qindra, madhësia është 5 $ \ herë 3 $. Për një numër matricash, vlera $ A_ (5 \ herë 3) $ mund të jetë gjithashtu fituese.

Elementi $ a_ (12) $ ndodhet në rreshtin e parë të rreshtit të parë dhe njëqind tjetër, domethënë $ a_ (12) = - 2 $. Elementi $ a_ (33) $ ndodhet në kryqin e rreshtit të tretë dhe të njëqindës së tretë, pra $ a_ (33) = 23 $. Elementi $ a_ (43) $ ndodhet në kryqin e rreshtit të katërt dhe të tretë, kështu që $ a_ (43) = - 5 $.

Pamje: $ a_ (12) = - 2 $, $ a_ (33) = 23 $, $ a_ (43) = - 5 $.

Ju mund ta shihni matricën në formën më të thellë. Koka është ana e diagonales. Matricat e rrëshqitjes.

Hej, ju jepet një matricë e përshtatshme $ A_ (m \ herë n) $. Nëse $ m = 1 $ (matrica shtohet në një rresht), atëherë matrica e dhënë quhet matrica e rreshtave... Nëse $ n = 1 $ (matrica shtohet në njëqind për qind), atëherë një matricë e tillë quhet matricë-stoovpets... Për shembull, $ \ majtas (\ fillojë (array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \ fund (array) \ djathtas) $ është një matricë rreshti dhe $ \ majtas (\ fillojë (vargu ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \ fundi (array) \ djathtas) $ - matrica-hundredpets.

Meqenëse për matricat $ A_ (m \ herë n) $ $ m \ neq n $ është e saktë (në mënyrë që numri i rreshtave të mos jetë i shtrenjtë), atëherë shpesh thuhet se $ A $ është një matricë drejtkëndëshe. Për shembull, matrica $ \ majtas (\ fillojë (vargu) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \ fundi (vargu) \ djathtas) madhësia $ ma 2 \ herë 4 $, shumë. vendosni 2 rreshta dhe 4qind. Pra, duke qenë se numri i rreshtave nuk është i shtrenjtë, matrica është e drejtë.

Meqenëse për matricat $ A_ (m \ herë n) $ vlera e saktë është $ m = n $ (d.m.th., ka një numër rreshtash në rrugë), atëherë duket se $ A $ është një matricë katrore e rendit $ n $. Për shembull, $ \ majtas (\ fillojë (array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \ fund (array) \ djathtas) $ është një matricë katrore e një rendi tjetër; $ \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ është një matricë katrore e rendit të tretë . Një matricë katrore $ A_ (n \ herë n) $ mund të shkruhet si më poshtë:

$$ A_ (n \ herë n) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \ fundi (array) \ djathtas) $$

Duket se elementet $ a_ (11) $, $ a_ (22) $, $ \ ldots $, $ a_ (nn) $ janë të vendosura në kokë diagonale matricat $ A_ (n \ herë n) $. Elementet quhen elementet diagonale të kokës(që janë thjesht elementë diagonale). Elementi $ a_ (1n) $, $ a_ (2 \; n-1) $, $ \ ldots $, $ a_ (n1) $ i vendosur në krah për krah (rresht tjetër) diagonal; їх thirrje elementet diagonale krah për krah... Për shembull, për matricat $ C = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 5 & 9 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ maєmo:

Elementet $ c_ (11) = 2 $, $ c_ (22) = 9 $, $ c_ (33) = 4 $, $ c_ (44) = 6 $ є elemente diagonale të kokës; elementet $ c_ (14) = 1 $, $ c_ (23) = 8 $, $ c_ (32) = 0 $, $ c_ (41) = - 4 $ - elemente diagonale dytësore.

Shuma e elementeve diagonale të kokës quhet matricën e radhës unë qëndroj për $ \ Tr A $ (ose $ \ Sp A $):

$$ \ Tr A = a_ (11) + a_ (22) + \ ldots + a_ (nn) $$

Për shembull, për matricat $ C = \ majtas (\ fillojë (arriti) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \ -9 & 5 & 6 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ maєmo:

$$ \ Tr C = 2 + 9 + 4 + 6 = 21. $$

Kuptimi i elementeve diagonale mund të kuptohet edhe për matricat jo katrore. Për shembull, për matricat $ B = \ majtas (\ fillon (vargu) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \ fundi (vargu) \ djathtas) Elementet diagonale të kokës $ do të jenë $ b_ (11) = 2 $, $ b_ (22) = - 9 $, $ b_ (33) = 4 $.

Mund ta shihni matricën në thellësi të vlerave të elementeve.

Nëse të gjithë elementët e matricave $ A_ (m \ herë n) $ kthehen në zero, atëherë një matricë e tillë quhet i pavlefshëm dhe e quajmë shkronjën $ O $. Për shembull, $ \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $, $ \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ janë matrica zero.

Një rresht jozero i matricave $ A $ është i kuptueshëm, kështu që. Një rresht i tillë, për të cilin dua një element, shfaqet si zero. Elementi Providny i një rreshti jo zero quhet elementi i parë (e keqja rakhuyuchi në të djathtë) jo zero. Për aplikacionin, ne mund të shohim matricën e mëposhtme:

$$ W = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cccc) 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ 0 & -9 & 5 & 9 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ $

Në një rresht tjetër, do të kemi një element çerek, tobto. $ w_ (24) = 12 $, dhe rreshti i tretë do të ketë një element tjetër, tobto. $ w_ (32) = - 9 $.

Matrica $ A_ (m \ herë n) = \ majtas (a_ (ij) \ djathtas) $ quhet shpeshherë, për aq sa janë të kënaqur dy mendje:

Rreshtat zero, si një erë e keqe є, përhapen poshtë të gjitha rreshtave jo zero.
Numrat e elementëve kryesorë të rreshtave jo zero vendosen të fundit, por rreptësisht në rritje, në mënyrë që. nëse $ a_ (1k_1) $, $ a_ (2k_2) $, ..., $ a_ (rk_r) $ janë elementë teli të rreshtave jozero në matricat $ A $, atëherë $ k_1 \ lt (k_2) \ lt \ ldots \ lt (k_r) $.

Bashkangjit matricat e hapave:

$$ \ majtas (\ fillojë (vargu) (cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas); \ majtas (\ fillojë (vargu) (cccc) 5 & -2 & 2 & -8 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -10 \ fundi (vargu) \ djathtas). $$

Për një arbitrar: matrica $ Q = \ majtas (\ fillon (vargu) (ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \\ 0 & -5 & 0 & 10 & 6 \ fund (array) \ djathtas) $ nuk është i shpeshtë, kështu që një mendje tjetër është shkatërruar në fazën e caktuar të matricës. Kryeni artikujt në një rresht tjetër dhe të tretë $ q_ (24) = 7 $ і $ q_ (32) = 10 $ Numrat e majit $ k_2 = 4 $ і $ k_3 = 2 $. Për matricën e zakonshme të maє buti, viconan umov është $ k_2 \ lt (k_3) $, e cila në këtë rast është e prishur. Dua të them, nëse kujtojmë rreshtin tjetër dhe të tretën me disa fjalë, atëherë hapi i parë është matrica: $ \ majtas (\ fillojë (array) (ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \ fundi (vargu) \ djathtas) $.

Matrica e hapave quhet trapez abo trapezoidale, gjithashtu për elementet e telit $ a_ (1k_1) $, $ a_ (2k_2) $, ..., $ a_ (rk_r) $ larë $ k_1 = 1 $, $ k_2 = 2 $, ..., $ k_r = r $, tobto. Jepni є elemente diagonale. Në një viglyad të zellshëm, një matricë trapezoidale mund të shkruhet si më poshtë:

$$ A_ (m \ herë (n)) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cccccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1r) & \ ldots & a_ (1n) \\ 0 & a_ (22) & \ ldots & a_ (2r) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ 0 & 0 & \ ldots & a_ (rr) & \ ldots & a_ (rn) \\ 0 & 0 & \ ldots & 0 & \ ldots & 0 \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ 0 & 0 & \ ldots & 0 & \ ldots & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $$

Vendosni matricat trapezoidale:

$$ \ majtas (\ fillojë (grupi) (cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas); \ majtas (\ fillojë (vargu) (cccc) 5 & -2 & 2 & -8 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -10 \ fundi (vargu) \ djathtas). $$

Kjo është vlera për matricat katrore. Nëse të gjithë elementët e një matrice katrore hiqen nga diagonalja e kokës, ata kthehen në zero, atëherë ata e quajnë këtë matricë matrica e sipërme me tri prerje... Për shembull, $ \ majtas (\ fillojë (vargu) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ fundi (array) \ djathtas) $ - Matrica e sipërme trekëndore. Respekt, por emërtimi i matricës së sipërme trekëndore nuk thotë asgjë për kuptimin e elementeve, të cilët tunden mbi diagonale të kokës ose në diagonale të kokës. Erë e keqe mund të jetë zero chi nі - tse nesutvo. Për shembull, $ \ majtas (\ fillojë (array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ fund (array) \ djathtas) $ është gjithashtu një matricë e sipërme trekëndore.

Nëse të gjithë elementët e matricës katrore, roztasvani mbi kokën diagonale, në zero, atëherë matrica quhet matricë e poshtme me tri prerje... Për shembull, $ \ majtas (\ fillojë (vargu) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ fund ( vargu) \ djathtas) $ - matrica e poshtme e prerjes. Kafshore respekt, por përcaktimi i matricës trekëndore të poshtme nuk thotë asgjë për kuptimin e elementeve që janë të rrënjosura në ose në diagonale të kokës. Erë e keqe mund të jetë zero chi ni - tse nuk është e respektueshme. Për shembull, $ \ majtas (\ fillojë (grupi) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ i $ \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ - gjithashtu matricat e trefishta të poshtme.

Matrica katrore quhet diagonale si dhe të gjithë elementët e matricës, por jo të shtrihen në diagonale të kokës, për ta sjellë atë në zero. Aplikimi: $ \ majtas (\ fillojë (arriti) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ fundi (vargu) \ djathtas) $. Elementet në diagonalen e kokës mund të jenë të mira (të barabarta me zero) - nuk është e vërtetë.

Matrica diagonale quhet i vetmuar, si dhe të gjithë elementët e matricës, roztasovany në diagonale të kokës, kthehen në 1. Për shembull, $ \ majtas (\ fillojë (array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ është një matricë e vetme e rendit të katërt; $ \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ fund (array) \ djathtas) $ është një matricë e vetme me një renditje të ndryshme.

Schob sjell matricën lart viglyad me hije(Fig. 1.4), është e nevojshme që Vikonati ta bëjë këtë.

1. Në njëqind e pesëdhjetë elementin e parë të dridhjes, ekrani është nga zero ( element providny ). Një rresht me një dirigjent ( rreshti i telit ), nëse nuk është këmbëngulës, riorganizoje atë në rreshtin e parë të rreshtit të parë (rishikim në tipin I). Si në shekullin e parë nuk ka një kryesor (të gjithë elementët janë sjellë në zero), atëherë ka një fitimtar dhe zhurma e jashtëzakonshme e elementit të plumbit në një pjesë të matricës, e cila humbi. Rikrijimi do të përfundojë, nëse përfshihen të gjitha qindrat, ose në pjesën e matricës, e cila mungon, të gjithë elementët janë të pavlefshëm.

2. Ngrini të gjithë elementët e një rreshti teli për një element teli (duke riimagjinuar në tipin II). Sapo rreshti të lihet pas, atëherë në përgjithësi, ju do ta përfundoni atë.

3. Deri në rreshtin e lëkurës, roztashovany më i ulët se ai kryesor, për të dhënë rreshtin e telit, shumëzim sipas të njëjtit numër, por elementët, të cilët qëndrojnë përpara kryesuesit, u shtuan në zero (ribërja e tipit III).

4. Pasi të keni dalë një rresht dhe njëqind njerëz nga pamja, në tejmbushjen e të cilave ka një element teli, shkoni në hapin 1, në të cilin të gjitha përshkrimet do të ngecin në një pjesë të matricës, e cila është e tejmbushur.

Teorema për ndarjen e visnacnikut pas elementeve të një rreshti.

Teorema në lidhje me shpërndarjen e një kartevizitë për elementët e një rreshti është thjesht e lejueshme për të llogaritur llogaritjen e një kartevizitë - në mënyrë () përpara se të llogaritet formulari në urdhër .

Sapo projektuesi të mund të përdorë zero elementë, atëherë ai do të jetë në gjendje të shtrojë projektuesin sipas elementeve të atij rreshti, gjithsesi, gjë që do të heqë numrin më të madh të zerave.

Vikoristovuyuyu fuqinë e - Në mënyrë që të gjithë elementët e së njëjtës rresht, përveç një, të bëhen të barabartë me zero. Me një gradë të tillë, numri i vizitorit - në mënyrë që, nëse formulari është marrë nga zero, duhet të futet para llogaritjes së një vizitori - shkoni për të porositur.

Zavdannya 3.1. Numëroni distinktivin

Vendimi. Pasi të keni shtuar të parin në një rresht tjetër, të tretën - të parën, shumëzimet me 2, të katërt - të parën, shumëzimet me -5,

Shtrimi i një formulari për elementët e shekullit të parë, maєmo

Në viznaçnikën e rendit të tretë, nane bishës është elementi i parë i shekullit të parë, i pari. Për një rresht të vetëm në një rresht, shumëzoni me (-1), në të tretën, shumëzoni me 5, dodamo, shumëzoni me 8. Pra, nëse rreshti i tretë është shumëzuar me 5, atëherë (në mënyrë që vizitori të mos ndryshojë ) shumëzuar me ... Maєmo

Otrimaniy viznachnik mund të vendoset pas elementeve të shekullit të parë:

Teorema e Laplasit (1). Teorema rreth shtesave të huaja (2)

1) Mbajtës i kartëvizitës për krijimin e elementeve të çdo rreshti me algjebër shtesë.

2) Shuma e krijimit të elementeve, qoftë një rresht i një formulari për plotësimet e algjebrës së rreshtit të parë, në zero (teorema për shumëzimin e algjebrës në algjebër të huaj).

Qoftë një pikë në zonën me sisteme koordinative vibranium, duhet të jetë një çift (α, β) i koordinatave të tij; Numrat α dhe β mund të jenë gjithashtu të ndryshëm nga koordinatat e vektorit të rrezes me fundin e pikës. Në mënyrë të ngjashme, në hapësirën e tre (α, β, γ), origjina është një pikë ose një vektor me koordinata α, β, γ. Vetë në tsomu runtutsya vіdoma mirë іtachevі interpretimi gjeometrik i sistemeve lіnіynykh rіvnyany dy ose tre janë të padisponueshme. Pra, në një sistem prej dy rіvnyans prej liri, nga dy familje të padisponueshme

a 1 x + b 1 y = c 1

a 2 x + b 2 y = s 2

Lëkura është rrafshuar drejt në zonë (div. Fig. 26), dhe zgjidhja (α, β) është pika e tejmbushjes së linjave të drejta, ose vektori me koordinata aip (figura do të shfaqë një vypadku, nëse sistemi ka një zgjidhje e vetme).

I vogël. 26

Në mënyrë të ngjashme, është e mundur të ndërtohet me një sistem banesash lineare me tre shije të pashmangshme të lëkurës, duke interpretuar si një zonë rurale pranë hapësirës së hapur.

Në matematikë dhe fëmijët e avancuar (zokrema, në teorinë e kodifikimit), nënat sillen djathtas nga sistemet e fëmijëve linearë, në mënyrë që ata të mund të hakmerren ndaj më shumë se tre të papërfshirëve. Sistemi i popujve autoktonë linearë nga n i padisponueshëm x 1, x 2, ..., x n quhet epërsia e specieve

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

Qoftë zgjidhja e sistemit dhe të jetë e arsyeshme, numri i jovendës (α 1 , α 2 , ..., α n ), mbështilleni lëkurën me barazinë e duhur.

Nëse dua një sistem të përkryer gjeometrik (1) për n> 3, nuk është për të ardhur keq, është mjaft e mundur, dhe në rastin e bagateve, ato mund të zgjerohen manualisht në llojin e hapësirës së madhe n gjeometrike për dy ose tre herë. Tsіy meti dhe є për një përcaktim specifik.

Renditja e lëkurës së grupit të n numrave arbitrar (α 1 , α 2 , ..., α n ) quhet vektor aritmetik n-virtual, dhe numrat α 1 , α 2 , ..., α n - Koordinatat e të gjithë vektorit.

Për vlerat e vektorëve, duhet të jetë fitimtar, si rregull, tipi i guximshëm i për një vektor me koordinata α 1, α 2, ..., α n, të marrë një formë specifike, do të shkruaj:

а = (α 1, α 2, ..., α n).

Për analogjinë e një zone të madhe, shumë nga të gjithë vektorët n-botë, të cilët janë të kënaqur me ryvnyannyu lineare me n të pashmangshëm, quhen zona në hapësirën n-botë. Me një emërtim të tillë, të gjitha zgjidhjet e sistemit (1) nuk janë shumë të rëndësishme, pasi ato nuk peretyn decilkoh hyperslochin.

Shtimi i numrit të vektorëve n-dimensionale bazohet në vetë rregullat, por për vektorët më specifikë. Dhe e njëjta gjë, yaksho

а = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Dy vektorë n-dimensionale, atëherë një vektor quhet shumë

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2 ..., α n + β n). (3)

Një plotësues i një vektori me një numër λ është një vektor

la = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Pa të gjithë vektorët aritmetikë n-virtuale me veprimet e vektorëve të palosshëm dhe shumëzimin e një vektori me një numër, quhet një hapësirë vektoriale aritmetike n-virtuale L n.

Operacionet e prezantuara me fitore, është e mundur të shihen kombinime mjaft linjash të disa vektorëve, në mënyrë që ata të duken të ndryshëm

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

de i - numrat e projektimit. Për shembull, kombinimi linear i vektorëve (2) me koeficientët λ і μ - vektori tse

λα + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Në hapësirën e parëndësishme të vektorëve, një rol të veçantë luajnë tre vektorët i, j, k (koordinata orti), të cilët mund të jenë një vektor a:

a = xi + yj + zk,

de x, y, z - projektimi i numrave (koordinatat e vektorit a).

Lloji n-vimir ka edhe rolin e vizualizimit, sistemi i vektorëve po përparon:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

n = (0, 0, 0, ..., 1).

Çdo vektor є, padyshim, është një kombinim linear i vektorëve në е 1, e 2, ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n (6)

për më tepër, performanca 1, 2, ..., n bazohet në koordinatat e vektorit a.

Le të shënojmë një vektor përmes 0, të gjitha koordinatat e të cilit janë zero (shkurt, një vektor zero), ne prezantojmë vlerën e mëposhtme më të rëndësishme:

Sistemi i vektorëve a 1, a 2, ..., a k quhet linjë-fallow, nëse është i barabartë me vektorin zero të kombinimit të drejtëzave.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

Në çdo rast, dikush do të kishte një nga parametrat h 1, 2, ..., λ k nga zero. Përveç kësaj, sistemi quhet katror linear.

Pra vektor

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1), a 3 = (2, 2, 2, 2)

linja ugar, oskilki

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Fallueshmëria lineare, e cila mund të shihet nga vlera, është e fortë (për k ≥ 2) nëse dikush dëshiron një nga vektorët në sistem në një kombinim linear të të parit.

Nëse sistemi është me dy vektorë a 1, a 2, atëherë linja e sistemit do të thotë që vektorët janë proporcionalë me një, le të themi, dhe 1 = λa 2; në tipin e parëndësishëm, numri i vektorëve a 1 dhe 2 është pa mëdyshje i rëndësishëm. Pra, vetë linja e linjës së sistemit I nga tre vektorët në hapësirën e madhe nënkupton bashkëplanaritetin e këtyre vektorëve. Duke kuptuar prejardhjen e falshmërisë є në një rang të tillë, njerëzit natyrorë kuptojnë kolinearitetin dhe bashkëplanaritetin.

Nuk ka rëndësi nëse vektori e 1, e 2, ..., e n і nga sistemi (5) është linearisht i pavarur. Tashmë, në hapësirën n ekziston një sistem prej n vektorësh të pavarur linearë. Ju mund të tregoni se, qoftë ai, sistemi z më shumë vektori i vijes ugar.

Nëse sistemi është a 1, a 2, ... dhe n nga n vektorë linearisht të pavarur në n-hapësirën L n quhen bazë e tij.

Le të jetë një vektor në hapësirën L n për t'u zgjeruar, dhe, për më tepër, me të njëjtën rang, pas vektorëve të barabartë me bazën a 1, a 2, ..., a n:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Ky fakt mund të vërtetohet lehtësisht bazuar në bazë.

Duke vazhduar analogjinë me një hapësirë të parëndësishme, është e mundur në modalitetin n, por më tepër skalar TV a b vektorë, vazhayuchi

a b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

Për një vlerë të tillë, ruhen të gjitha fuqitë kryesore të krijimit skalar të vektorëve të parëndësishëm. Vektorët a dhe b quhen ortogonal, pasi shtesa skalare është zero:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Teorikisht, kodet lineare janë më të rëndësishme se një kuptim - një kuptim i hapësirës. Hapësira V në hapësirën L n quhet hapësirë për hapësirën në hapësirë, kur

1) për çdo vektor a, b, duhet të ketë V, їхnya shuma a + b gjithashtu mund të qëndrojë me V;

2) për çdo vektor a, ku mund të gjendet V, dhe për çdo numër të dhënë λ, vektori λa mund të gjendet gjithashtu V.

Për shembull, pa të gjitha kombinimet lineare të vektorëve e 1, e 2 nga sistemet (5), do të ketë shumë hapësirë për L n.

Në algjebër lineare, është e mundur të kuptohet se për çdo hapësirë të caktuar V ekziston një sistem i tillë linear i vektorëve a 1, a 2, ..., a k, saqë një vektor i lëkurës është i disponueshëm për hapësirë dhe një kombinim linear vektorësh:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.

Një sistem vektorësh është caktuar të quhet bazë në hapësirën V.

Për shkak të hapësirës dhe hapësirës pa mes, hapësira L n є është një grup komutativ për funksionimin e vektorëve të palosshëm, dhe nëse është e njëjta hapësirë V për grupin e grupit. Në të njëjtën kohë, është e mundur, për shembull, të shikohet klasa verore në hapësirën L n nga hapësira V.

Në fund të fundit, është e pranueshme që teoria e hapësirës aritmetike të botës n të zëvendësohet me numra realë (si elementët e fushës së numrave realë) për të parë elementët e fushës para-F, të gjitha vlerat dhe faktet, për të nxitur pushtetin, i shpëtoi.

Teorikisht, roli i kodimit është i rëndësishëm, nëse fusha F është në fushën Z p, yak, siç dihet, në mënyrë të arsyeshme. Në të njëjtën kohë, hapësira e përgjithshme me gjerësi n është gjithashtu e ndjeshme dhe hakmarrëse, pasi nuk ka rëndësi, p n elemente.

Të kuptuarit e hapësirës, si të kuptuarit e grupit dhe rrethit, pranimi është gjithashtu aksiomatik. Për detaje ne shohim Zhivitel deri në çdo kurs të algjebrës lineare.

Kombinimi i linjës. Sisteme dhe vektorë linearë djerrë dhe të pavarur.

kombinim i brendshëm i vektorëve

Kombinimi i vijës së vektorëve vektor i emrit

de - Koeficientët e kombinimit të vijës. Yaksho kombinimi quhet i parëndësishëm, si dhe jo i parëndësishëm.

Lineariteti i zvarritjes dhe pavarësia e vektorëve

Sistemi ugar linear

Sistemi në mënyrë lineare katrore

Kriteri i paraqitjes lineare të vektorëve

Vektori schob (r> 1) do të ketë një linjë tokash djerrë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme, nëse dëshironi një nga këta vektorë në një kombinim vijash.

Hapësirë lineare

Hapësira e linjës V të thirret n-mirnim (ma razmirnist n), si tek e reja:

1) isnu n vektorë të pavarur linearë;

2) sistemi be-yaka n + 1 vektori i vijes ugar.

Përcaktimi: n= zbehtë V;.

Sistemi i vektorëve quhet linja ugar, yakscho isnu jo novoy grup numrash si kombinimi i rreshtave

Sistemi i vektorëve quhet katror linear, si dhe kombinimi i linjës zero

rrëshqiti e barabartë me zero të gjitha kofіtsієntіv

Ushqimi rreth prejardhja vektorët në vypadku krijohen deri në furnizimin e një zgjidhjeje jozero në sistemin njëdrejtorësh të ekuacioneve lineare me koeficientë, të barabartë me koordinatat e dhëna të vektorëve të dhënë.

Për të mësuar me dashamirësi konceptin e "prejardhjes", "linjës" së sistemeve dhe vektorëve, është e rëndësishme të zhvilloni një lloj fyes:

Ushtrueshmëria lineare Kriteret I dhe II të zvarritjes lineare.

Sistemi vektorial është e rënë në mënyrë lineare, nëse vetëm njëri nga vektorët në sistem është një kombinim linear i vektorëve të sistemit.

Dovedennya... Lëreni sistemin e vektorëve є linear ugar. Todi është një grup i tillë funksionesh , Scho, dhe unë do të doja të kisha një funksion nga zero. E pranueshme, e shkëlqyer. Todi

të jetë një kombinim linear i vektorëve të tjerë të sistemit.

Mos keni një nga vektorët në sistem në një kombinim linear të vektorëve. Është në rregull, është një vektor, tobto ... Natyrisht. Ne e hoqëm kombinimin e linjës së vektorëve në sisteme dhe në zero, për më tepër, një nga efikasiteti është nga zero (e barabartë).

Propozim10 . 7 Ndërsa sistemi i vektorëve është në përputhje me nënsistemin e varfëruar, i gjithë sistemi është i varfëruar nga linja.

Dovedennya.

Sistemet e drejtimit ,, є lіnіyno ugar, tobto, і dua një funksion të prodhimit nga zero. Todi mund të ruhet në përputhje me kombinimin. Natyrisht, e gjithë linja e kombinimit është zero, dhe mesi i performancës nuk është zero.

Baza e sistemeve të vektorëve, її është fuqia kryesore.

Baza e një sistemi vektorësh jozero quhet një nënsistem ekuivalent linear i pavarur. Sistemi bazë null është i heshtur.

Fuqia 1: Linja bazë sistem i pavarur të jetë me të.

Prapa: Sistemi i vektorëve të pavarur linearë, imazhet e vektorëve të ndryshëm nga vektorët nuk mund të shkelen në mënyrë lineare përmes іnshi.

Fuqia 2: (Kriteri Basi) Nënsistemi i të gjithë sistemit është linearisht i pavarur, nëse është maksimalisht linearisht i pavarur.

Dorëzuar: Duke pasur parasysh një sistem Domosdoshmëri Ejani në bazë. Kjo do të thotë, për shkak të vlerës, sepse sistemi është i rënë në mënyrë lineare, kështu që ai kalon në mënyrë lineare, dhe gjithashtu është sa më linear të jetë e mundur. Mjaftueshmëria Mos shkoni sa më shumë që të jetë e mundur sistemi i pavarur linear pid, de. Linearly ra në gjumë Linearly përmes bazës së sistemit.

Fuqia 3: (Fuqia bazë e bazës) Vektori i lëkurës së sistemit shkelet përmes bazës me një rang të vetëm.

Dovedennya Le të shkelet vektori përmes bazës në dy mënyra, në: për

Rangu i sistemeve dhe vektorëve.

Viznachennya: Rangu i një sistemi vektorësh jozero në një hapësirë lineare është numri i vektorëve në bazë. Rangu i sistemit është zero dhe vlera është zero.

Rangu i fuqisë: 1) Renditja e një sistemi të pavarur nga linja bazohet në numrin e vektorëve. 2) Rangu i sistemit line-fallow është më i ulëti për numrin e vektorëve. 3) Renditjet e sistemeve ekuivalente renditen -rank. 4) Renditja e sistemit është më e vogël se grada e sistemit. 5) Renditja Yakshcho, kështu që do të kthehem në bazë. 6) Rangu i sistemit nuk ndryshon, derisa t'i jepet një vektor, por është një kombinim linear i vektorëve të sistemit. 7) Rangu i sistemit nuk ndryshon, pasi ai shihet si një vektor, por në një kombinim linear vektorësh.

Për të njohur rangun e sistemeve dhe vektorëve, është e nevojshme të përdoret metoda e Gausit për ta sjellë sistemin në një formë trekëndore ose trapezoidale.

Sistemet dhe vektorët ekuivalent.

Prapa:

Të dhënat vektoriale rishkruhen në matricë për bazën e kuptimit. Otrimaєmo:

Tani, me ndihmën e metodës Gaus, matrica shndërrohet në një pamje trapezoidale:

1) Në matricën tonë kryesore, ne do të anulojmë të gjithë rreshtin e parë njëqind të parë të rreshtit të parë nga tjetri, do ta shumëzoj me, si të tretën, do ta shumëzoj me këtë rresht, dorіvnyuє në zero. Matrica Otrimaєmo: 2) Tani, në matricë, në mendjen e numrave të vegjël, rreshtat 2, 3 dhe 4 për thjeshtësi të zgjidhjes, ka vetëm një njësi në tabelë. Një çerek rresht mund të mbahet mend për të zëvendësuar tjetrin, tjetri për të zëvendësuar të tretin dhe i treti në të dytin e të katërtit. Matrica Otrimaєmo: 3) Në matricë, të gjithë elementët anulohen nga një element. Oskіlki Unë e di elementin e matricave tona dorіvnyuє në zero, të paktën nuk shihet nga rreshti i katërt, por deri në të tretën, përpara një shumëzimi tjetër me. Matrica Otrimaєmo: 4) E di në matricën e rreshtave 3 dhe 4. Matrica Otrimaєmo: 5) Në matricën dodamo, deri në rreshtin e tretë të krimbit, shumëzuar me 5. Matrica Otrimaєmo, yaka matime është një viglyad e ndërlikuar:

Sistemet, gradat їх renditen nga autoritetet në rangun dhe renditja іх dorіvnyuє

Respekt: 1) Në bazë të metodës tradicionale të Gausit, pasi në rreshtin e matricës të gjithë elementët ndryshojnë me të njëjtin numër, e drejta për të shpejtuar rreshtin e matricës është për shkak të fuqisë së matricës. Nëse dëshironi të shpejtoni një rresht në një numër njëjës, mund të shpejtoni të gjithë matricën e një numri. 2) Në një vipadku, nëse mund të marrim një rresht, por shtrihemi në rresht, mund ta marrim atë nga matrica jonë dhe ta zëvendësojmë me një rresht zero. Prapa: Menjëherë mund të shihni se një rresht tjetër po rrotullohet në rreshtin e parë, i cili mund ta shumëzojë rreshtin e parë me 2. Në të njëjtën kohë, mund të zëvendësoni të gjithë rreshtin tjetër me zero. Otrimaєmo: Si rezultat, pasi të keni shartuar matricën, qoftë në një prerje, qoftë në një pamje trapezoidale, ajo nuk ka shumë vektorë të rënë në mënyrë lineare, të gjithë vektorët jo zero të matricës do të jenë baza e matricës, por një pjesë e renditjes.

Boshti është pra prapanicë e sistemit dhe vektorëve grafik jak: Jepet sistemi de,, i. Baza e sistemit të dhënë do të jetë padyshim vektori і, vektorët përmes tyre rrotullohen. Sistemi i jepet viglyad matim viglyad grafik:

Rizbatimi elementar. Sistemi i këmbës.

Transformimi elementar i matricës- çmimi i transformimit të matricës, të cilat sigurojnë ekuivalencën e matricave. Në një rang të tillë, rizbatimi elementar nuk ndryshon zgjidhjen joefektive të sistemeve algjebrike lineare, e cila përfaqësohet nga një matricë.

Ri-zbatimi elementar i vikoristovuyutsya në metodën e Gausit për zvogëlimin e matricës në një pamje tricut ose hap pas hapi.

Transformimet elementare të rreshtave telefononi:

Në disa kurse të algjebrës lineare, ndërrimi i rreshtave në matrica nuk mund të shihet në afërsi të ri-zbatimit elementar përmes atyre që mund të jepet ndërrimi i dy rreshtave të matricave; shumëzuar me një konstante.

Në mënyrë të ngjashme, filloni rikrijimi elementar i qindrapciv.

Transformimi elementar ujqër.

Përcaktuar në rastin e atyre që matrica mund të shkurtohet nga një shteg ripërpunimi elementar (ose navpaki).

Për ta sjellë matricën në një shikues të shpeshtë (Fig. 1.4), është e nevojshme të tregohet kjo.

2. Ngrini të gjithë elementët e një rreshti teli për një element teli (duke riimagjinuar në tipin II). Sapo rreshti të lihet pas, atëherë në përgjithësi, ju do ta përfundoni atë.

Teorema për ndarjen e visnacnikut pas elementeve të një rreshti.

Zavdannya 3.1. Numëroni distinktivin

Vendimi. Pasi të keni shtuar të parin në një rresht tjetër, të tretën - të parën, shumëzimet me 2, të katërt - të parën, shumëzimet me -5,

Shtrimi i një formulari për elementët e shekullit të parë, maєmo

Otrimaniy viznachnik mund të vendoset pas elementeve të shekullit të parë:

Teorema e Laplasit (1). Teorema rreth shtesave të huaja (2)

1) Mbajtës i kartëvizitës për shumën e krijimeve të elementeve të çdo rreshti në shtesat algjebrike.

2) Shuma e krijimit të elementeve, qoftë një rresht i një projektuesi mbi elementët shtesë algjebrikë të rreshtit të parë, në zero (teorema për shumëzimin e shtesave algjebrike me të tjerët).

Qoftë një pikë në zonën me sisteme koordinative vibranium, duhet të jetë një çift (α, β) i koordinatave të tij; Numrat α dhe β mund të jenë gjithashtu të ndryshëm nga koordinatat e vektorit të rrezes me fundin e pikës. Në mënyrë të ngjashme, në hapësirën e tre (α, β, γ), origjina është një pikë ose një vektor me koordinata α, β, γ. Vetë në përgjithësi runtutsya mirë në shtëpinë e leximit të interpretimit gjeometrik të sistemeve të rіvnyans lineare nga dy ose tre të padisponueshëm. Pra, në një sistem prej dy rіvnyans prej liri, nga dy familje të padisponueshme

a 1 x + b 1 y = c 1

a 2 x + b 2 y = s 2

I vogël. 26

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

de a ij dhe b i - numra mjaft të mirë. Numri i njerëzve në sistem mund të jetë i ndryshëm dhe jo i lidhur me numrin e njerëzve jo vendas. Koeficientët për personat e padisponueshëm ij mund të jenë në varësi të numërimit: indeksi i parë i do të japë numrin e familjes, indeksi tjetër j është numri i personit të paftuar, nëse kostoja jepet nga numri. Pavarësisht nëse është një zgjidhje për sistemin, është si një vlerë e caktuar (vepruese) e jo-dominuese (α 1, α 2, ..., α n), si ta mbështillni lëkurën në nivelin e duhur.

Renditjet e lëkurës së grupit të n numrave (α 1, α 2, ..., α n) quhen vektori aritmetik virtual n, dhe vetë numrat α 1, α 2, ..., α n janë koordinatat e vektorit.

Për vlerat e vektorëve, duhet të jetë fitimtar, si rregull, tipi i guximshëm i për një vektor me koordinata α 1, α 2, ..., α n, të marrë një formë specifike, do të shkruaj:

а = (α 1, α 2, ..., α n).

Shtimi i numrit të vektorëve n-dimensionale bazohet në vetë rregullat, por për vektorët më specifikë. Dhe e njëjta gjë, yaksho

а = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Dy vektorë n-dimensionale, atëherë një vektor quhet shumë

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2 ..., α n + β n). (3)

Një plotësues i një vektori me një numër λ është një vektor

la = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Pa të gjithë vektorët aritmetikë n-virtuale me veprimet e vektorëve të palosshëm dhe shumëzimin e një vektori me një numër, quhet një hapësirë vektoriale aritmetike n-virtuale L n.

Operacionet e prezantuara me fitore, është e mundur të shihen kombinime mjaft linjash të disa vektorëve, në mënyrë që ata të duken të ndryshëm

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

de i - numrat e projektimit. Për shembull, kombinimi linear i vektorëve (2) me koeficientët λ і μ - vektori tse

λα + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Në hapësirën e parëndësishme të vektorëve, një rol të veçantë luajnë tre vektorët i, j, k (koordinata orti), të cilët mund të jenë një vektor a:

a = xi + yj + zk,

de x, y, z - projektimi i numrave (koordinatat e vektorit a).

Lloji n-vimir ka edhe rolin e vizualizimit, sistemi i vektorëve po përparon:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

n = (0, 0, 0, ..., 1).

Çdo vektor є, padyshim, është një kombinim linear i vektorëve në е 1, e 2, ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n (6)

për më tepër, performanca 1, 2, ..., n bazohet në koordinatat e vektorit a.

Le të shënojmë një vektor përmes 0, të gjitha koordinatat e të cilit janë zero (shkurt, një vektor zero), ne prezantojmë vlerën e mëposhtme më të rëndësishme:

Sistemi i vektorëve a 1, a 2, ..., a k quhet linjë-fallow, nëse është i barabartë me vektorin zero të kombinimit të drejtëzave.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

Në çdo rast, dikush do të kishte një nga parametrat h 1, 2, ..., λ k nga zero. Përveç kësaj, sistemi quhet katror linear.

Pra vektor

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1), a 3 = (2, 2, 2, 2)

linja ugar, oskilki

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Fallueshmëria lineare, e cila mund të shihet nga vlera, është e fortë (për k ≥ 2) nëse dikush dëshiron një nga vektorët në sistem në një kombinim linear të të parit.

Nuk ka rëndësi nëse vektori e 1, e 2, ..., e n і nga sistemi (5) është linearisht i pavarur. Tashmë, në hapësirën n ekziston një sistem prej n vektorësh të pavarur linearë. Është e mundur të tregohet se si do të shtrihej në linjë një sistem me një numër të madh vektorësh.

Nëse sistemi është a 1, a 2, ... dhe n nga n vektorë linearisht të pavarur në n-hapësirën L n quhen bazë e tij.

Le të jetë një vektor në hapësirën L n për t'u zgjeruar, dhe, për më tepër, me të njëjtën rang, pas vektorëve të barabartë me bazën a 1, a 2, ..., a n:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Ky fakt mund të vërtetohet lehtësisht bazuar në bazë.

Duke vazhduar analogjinë me një hapësirë të parëndësishme, është e mundur në modalitetin n, por më tepër skalar TV a b vektorë, vazhayuchi

a b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

Për një vlerë të tillë, ruhen të gjitha fuqitë kryesore të krijimit skalar të vektorëve të parëndësishëm. Vektorët a dhe b quhen ortogonal, pasi shtesa skalare është zero:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Teorikisht, kodet lineare janë më të rëndësishme se një kuptim - një kuptim i hapësirës. Hapësira V në hapësirën L n quhet hapësirë për hapësirën në hapësirë, kur

1) për çdo vektor a, b, duhet të ketë V, їхnya shuma a + b gjithashtu mund të qëndrojë me V;

2) për çdo vektor a, ku mund të gjendet V, dhe për çdo numër të dhënë λ, vektori λa mund të gjendet gjithashtu V.

Për shembull, pa të gjitha kombinimet lineare të vektorëve e 1, e 2 nga sistemet (5), do të ketë shumë hapësirë për L n.

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.

Një sistem vektorësh është caktuar të quhet bazë në hapësirën V.

Të kuptuarit e hapësirës, si të kuptuarit e grupit dhe rrethit, pranimi është gjithashtu aksiomatik. Për detaje ne shohim Zhivitel deri në çdo kurs të algjebrës lineare.

Kombinimi i linjës. Sisteme dhe vektorë linearë djerrë dhe të pavarur.

kombinim i brendshëm i vektorëve

Kombinimi i vijës së vektorëve vektor i emrit

de - Koeficientët e kombinimit të vijës. Yaksho kombinimi quhet i parëndësishëm, si dhe jo i parëndësishëm.

Lineariteti i zvarritjes dhe pavarësia e vektorëve

Sistemi ugar linear

Sistemi në mënyrë lineare katrore

Kriteri i paraqitjes lineare të vektorëve

Vektori schob (r> 1) do të ketë një linjë tokash djerrë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme, nëse dëshironi një nga këta vektorë në një kombinim vijash.

Hapësirë lineare

Hapësira e linjës V të thirret n-mirnim (ma razmirnist n), si tek e reja:

1) isnu n vektorë të pavarur linearë;

2) sistemi be-yaka n + 1 vektori i vijes ugar.

Përcaktimi: n= zbehtë V;.

Sistemi i vektorëve quhet linja ugar, yakscho isnu jo novoy grup numrash si kombinimi i rreshtave

Sistemi i vektorëve quhet katror linear, si dhe kombinimi i linjës zero

rrëshqiti e barabartë me zero të gjitha kofіtsієntіv

Ushqyerja e vektorëve vijues linearë në vjeshtë rritet deri në furnizimin e një zgjidhjeje jozero në sistemin me një linjë të kushteve lineare me koeficientë, të barabartë me koordinatat e dhëna të këtyre vektorëve.

Për të mësuar me dashamirësi konceptin e "prejardhjes", "linjës" së sistemeve dhe vektorëve, është e rëndësishme të zhvilloni një lloj fyes:

Ushtrueshmëria lineare Kriteret I dhe II të zvarritjes lineare.

Sistemi vektorial është e rënë në mënyrë lineare, nëse vetëm njëri nga vektorët në sistem është një kombinim linear i vektorëve të sistemit.

të jetë një kombinim linear i vektorëve të tjerë të sistemit.

Propozim10 . 7 Ndërsa sistemi i vektorëve është në përputhje me nënsistemin e varfëruar, i gjithë sistemi është i varfëruar nga linja.

Dovedennya.

Baza e sistemeve të vektorëve, її është fuqia kryesore.

Baza e një sistemi vektorësh jozero quhet një nënsistem ekuivalent linear i pavarur. Sistemi bazë null është i heshtur.

Fuqia 1: Baza e sistemit të pavarur linear dhe rritet nga vetë ai.

Prapa: Sistemi i vektorëve të pavarur linearë, imazhet e vektorëve të ndryshëm nga vektorët nuk mund të shkelen në mënyrë lineare përmes іnshi.

Fuqia 2: (Kriteri Basi) Nënsistemi i të gjithë sistemit është linearisht i pavarur, nëse është maksimalisht linearisht i pavarur.

Fuqia 3: (Fuqia bazë e bazës) Vektori i lëkurës së sistemit shkelet përmes bazës me një rang të vetëm.

Dovedennya Le të shkelet vektori përmes bazës në dy mënyra, në: për

Rangu i sistemeve dhe vektorëve.

Viznachennya: Rangu i një sistemi vektorësh jozero në një hapësirë lineare është numri i vektorëve në bazë. Rangu i sistemit është zero dhe vlera është zero.

Për të njohur rangun e sistemeve dhe vektorëve, është e nevojshme të përdoret metoda e Gausit për ta sjellë sistemin në një formë trekëndore ose trapezoidale.

Sistemet dhe vektorët ekuivalent.

Prapa:

Të dhënat vektoriale rishkruhen në matricë për bazën e kuptimit. Otrimaєmo:

Tani, me ndihmën e metodës Gaus, matrica shndërrohet në një pamje trapezoidale:

Sistemet, gradat їх renditen nga autoritetet në rangun dhe renditja іх dorіvnyuє

Rizbatimi elementar. Sistemi i këmbës.

Ri-zbatimi elementar i vikoristovuyutsya në metodën e Gausit për zvogëlimin e matricës në një pamje tricut ose hap pas hapi.

Transformimet elementare të rreshtave telefononi:

Në mënyrë të ngjashme, filloni rikrijimi elementar i qindrapciv.

Transformimi elementar ujqër.

Përcaktuar në rastin e atyre që matrica mund të shkurtohet nga një shteg ripërpunimi elementar (ose navpaki).

Viznachennya. Fazë Ne do ta emërtojmë matricën, pasi po vij në pushtet:

1) yaksho rreshti i i-tëështë zero, atëherë rreshti i (I + 1) është gjithashtu zero,

2) nëse i pari nuk është i pavlefshëm elementi i i-të rreshti (I + 1) -të i rozetat në qindra numra k dhe R, për shembull, pastaj k< R.

Umova 2) vimag i një rritjeje detyruese prej zero ziliv gjatë kalimit nga rreshti i i-të në rreshtin e (I + 1). Për shembull, matricat

А 1 =, А 2 =
, A 3 =

є hapat dhe matricat

Y 1 = , Y 2 = , B 3 =

Pjesërisht jo є.

Teorema 5.1. Sikur matrica mund të përdoret për të bërë disa transformime elementare shtesë të rreshtave të matricës.

Unë do të ilustroj teoremën nga prapanica.

A =

Matrica që doli është një hap.

Viznachennya. Nga rangu i matricës Numri i rreshtave jozero në pamjen e frekuencës së hapit të matricës është gjithashtu i njohur.

Për shembull, renditja e matricës A në rrugën e përparme të prapanicës 3.

Leksioni 6

Biznesmenë, autoritete. Matrica e Zvorotna dhe llogaritja.

Kartat e biznesit janë të një rendi tjetër.

Mund të shihet një matricë katrore e një rendi të ndryshëm

A =

Viznachennya. Një menaxher biznesi i një rendi tjetër, me matricën A, ne e quajmë numrin që mund të llogaritet sipas formulës

│А│ = = .

Elementet a ij quhen elementet e projektimit│A│, zbatohen elementet a 11, a 22 kokë diagonale, dhe elementi 12 a 21 ─ Unë do të të rrah.

prapanicë. = -28 + 6 = -22

Mbajtës të kartëvizitave të rendit të tretë.

Qartë një matricë katrore e rendit të tretë

A =

Viznachennya. Mbajtësi i kartës së rendit të tretë, me matricën A, ne e quajmë numrin që mund të llogaritet sipas formulës

│А│ = =

Për të kujtuar, si ja kaloni në anën e djathtë të barazisë suaj, të ndjekur nga vëllezërit me shenjën plus dhe ju ─ me shenjën minus, rregulli me triçikletë.

= ─

Aplikoni:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) = 1, tobto. │Е 3 │ = 1.

Ekziston një metodë për të llogaritur një vizitor të rendit të tretë.

Viznachennya. Element i vogël një ij Vizitor quhet Vizitor, një kopje e karriges së dhënë të rreshtit të i-të dhe të qindës së j-së. Shtesat algjebrike Një ij e elementit a ij të shenjës quhet e vogla M ij e kapjeve me shenjën (-1) i + j.

prapanicë. Numerikisht i vogël М 23 і algjebër shtesë A 23 elementë а 23 në matricë

A =

Numerikisht i vogël М 23:

M 23 = = = - 6 + 4 = -2

A 23 = (-1) 2 + 3 M 23 = 2

Teorema 1. Një mbajtëse kartëvizitash të rendit të tretë për krijimin e elementeve të çdo rreshti (qindra) me algjebër shtesë.

Doc. Për viznachennyam

= (1)

Viberemo, për shembull, një rresht tjetër që dihet se plotëson algjebrën A 21, A 22, A 23:

A 21 = (-1) 2 + 1 = -() =

A 22 = (-1) 2 + 2 =

A 23 = (-1) 2 + 3 = - () =

Formula e ridekorimit (1)

│А│ = ( ) + () + () = A 21 + A 22 + A 23

│А│ = А 21 + А 22 + А 23

të thirret për shpërndarjen e vizitorit│А│ pas elementeve të një rreshti tjetër. Në mënyrë të ngjashme, faqosja mund të personalizohet për elementët e rreshtave të parë, ose çfarëdo.

prapanicë.

= (për elementë të njëqind tjetër) = 1 × (-1) 1 + 2 + 2 × (-1) 2 + 2 +

+ (-1)(-1) 3+2 = - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. Mbajtësi i kartës së rendit të n-të (n N).

Viznachennya. viznachnik i rendit N, nga matricat e rendit të n-të

A =

Një numër quhet një numër, i cili është shuma e krijimit të elementeve të çdo rreshti (100) me algjebër shtesë, në mënyrë që.

│A│ = А i1 + A i2 +… + A në = А 1j + A 2j +… + A nj

Nuk është e rëndësishme të përmendet, për n = 2 ekziston një formulë për llogaritjen e një vizitori në një mënyrë tjetër.

prapanicë. = (prapa elementeve të rreshtit të 4-të) = 3 × (-1) 4 + 2 +

2 × (-1) 4 + 4 = 3 (-6 + 20 - 2 - 32) +2 (-6 +16 +60 +2) = 3 (-20) +2 × 72 = -60 +144 = 84.

Është mirë që nëse vizitori i ka të gjithë elementët e çdo rreshti (njëqind), përveç njërit, do të jetë zero, atëherë kur të llogaritet vizitori, ai do ta shpërndajë manualisht mbi elementët e rreshtit (njëqind për qind) .

prapanicë.

│Е n │ = = 1 × │E n -1 │ =… = │E 3 │ = 1

Autoriteti viznachnikov.

Viznachennya. Mendje matrice

abo

le ta quajmë një matricë me tri prerje.

Fuqia 1. Kartëvizita për matricat triko për të shtuar elementë shtesë të diagonales së kokës, tobto.

= =

Fuqia 2. Formati i matricës me zero rreshta ose zero me zero rreshta.

Fuqia 3.. Transponderi i matricës nuk ndryshon për një orë, shumë.

│А│ = │А t │.

Fuqia 4. Nëse matrica shkon nga matrica A në shumëfishat e elementit të lëkurës të së njëjtës rresht me numrin k, atëherë

│В│ = k│А│

Fuqia 5.

= =

Fuqia 6. Nëse matrica shkon nga matrica A me ndërrim të dy rreshtave, atëherë │В│ = −│А│.

Fuqia 7. Shablloni i matricës me rreshta proporcionalë me zero, nga zero në zero në matrica në dy rreshta identikë.

Fuqia 8. Mbajtësi i matricës nuk ndryshon, madje deri në elementet e një rreshti për të shtuar elementin e rreshtit të parë të matricës, duke shumëzuar numrin me numrin.

Respekt. Pra, sa i përket cilësisë së matricës së tretë, matrica nuk ndryshon kur transpozohet, e gjithë fuqia rreth rreshtave të matricës është e saktë dhe për të qindtat.

Fuqia 9. Nëse A dhe B janë matrica katrore të rendit n, atëherë │АВ│ = │А││В│.

Matrica Zvorotna.

Viznachennya. Quhet një matricë katrore A e rendit n zvorotn_y, ku matrica është e tillë që AB = BA = E n. Matrica quhet te matrica Dhe dhe njihet si A-1.

Teorema 2. Këto janë vetëm sa vijon:

1) nëse matrica A është e kundërt, atëherë ka saktësisht një matricë unazore;

2) matrica është e rrotulluar;

3) nëse A dhe B janë matrica të përmbysura të rendit n, atëherë matrica AB është e kundërt, dhe (AB) -1 =

B -1 × A -1 .

Dorëzuar.

1) Matricat Hey B dhe C, vorbull në matricën A, tobto. AB = BA = E n і AC = CA = E n. Todi B = BE n = B (AC) = (VA) C = E n C = C.

2) Hajde matrica A është e kundërt. Todi isnuє matrica A-1, їy zorotna, për më tepër

Për yak_styu 9 vizitorë │АА -1 │ = │А││А -1 │. Todi │А││А -1 │ = │Е n │, yje

│А││А -1 │ = 1.

Otzhe, │А│¹ 0.

3) E drejtë,

(AB) (B -1 A -1) = (A (BB -1)) A -1 = (AE n) A -1 = AA -1 = E n.

(B -1 A -1) (AB) = (B -1 (A -1 A)) B = (B -1 E n) B = B -1 B = E n.

Otzhe, AB është një matricë e kundërt, dhe (AB) -1 = B -1 A -1.

Teorema tjetër është dhënia e kriterit për përcaktimin e matricës vokale dhe llogaritjen.

Teorema 3. Matrica katrore A është e kundërt sot ose ndryshe, nëse emëruesi shfaqet si zero. Yaksho │А│¹ 0, atëherë

A -1 = =

prapanicë. Njihni matricën, të mbështjellë për matricën А =

Vendimi.│А = = 6 + 1 = 7.

Oskilki │А│¹ 0, matrica unazore іsnu

A -1 = =

Llogaritur A11 = 3, A12 = 1, A21 = -1, A22 = 2.

A -1 = .

leksioni 7.

Sistemet e sistemeve lineare. Kriteri i derdhjes së sistemeve të prejardhjes. Metoda e Gausit për nxjerrjen e sistemeve lineare. Rregulli i Cramer-it është një metodë matrice për nxjerrjen e sistemeve të barazimeve lineare.

Sistemet lineare.

Supremacia e mendjes

(1)

të thirret sistemi i m rreshtave nga n i padisponueshëm x 1, x 2, ..., x n. Quhen numrat a ij veçoritë e sistemit, dhe numrat b i ─ anëtarët vilny.

Zgjidhjet e sistemeve (1) Ne e quajmë numrin e numrave z 1, z 2, ..., z n, kur ata janë të instaluar në sistemin (1), zëvendësoni x 1, x 2, ..., x n, mund të pranojmë numrin e saktë të ekuivalentëve.

Sistemi i virgjërisë─ do të thotë të dish të gjitha zgjidhjet për të sjellë, mirë, është memece. Sistemi quhet spіlnoї, iakscho fitoi maє hocha b një zgjidhje, atë i çmendur për sa i përket zgjidhjes.

Matricë, e mbushur me performancën e sistemit

A =