Baza e zvarritjes lineare Madhësia e bazës zëvendësohet me bazën. Përmirësimi i bazës së hapësirës vektoriale Përmirësimi i sistemit të pavarur linear në bazë

Eja V hapësirë ​​vektoriale mbi fushë R, S- një sistem vektorësh V.

Vlera 1. Baza e sistemeve të vektorëve S të quhet pidsistem i pavarur linearisht i renditur kështu B 1, B 2, ..., B R sistemeve Sçfarë vektori sistemi S kombinimi i vijës së vektorëve B 1, B 2, ..., B R.

Vlera 2. Rangu i sistemeve dhe vektorëve S numri i vektorëve në bazën e sistemit S... Rangu i sistemeve dhe vektorëve S simbol R= zilja S.

Yaksho S = ( 0 ), atëherë sistemi nuk mund të transferohet në bazë, por rang S= 0.

stok 1. Le të jepet sistemi i vektorëve A 1 = (1,2), A 2 = (2,3), A 3 = (3,5), A 4 = (1.3). Vektor A 1 , A 2 vendosin bazën e sistemit të dhënë, disa aroma të nezalezhnit linear (div. Prapa 3.1) që A 3 = A 1 + A 2 , A 4 = 3A 1 - A 2. Rangu i sistemit të vektorëve në rrugë është dy.

Teorema 1(Teorema e bazës). Sistemi i vektorëve Nekhai S - Kintsev z V, S ≠{0 }. Todi është thjesht i vendosur.

1 ° Nëse është linearisht i pavarur, nënsistemi i sistemit S mund të përmirësohet në bazë.

2 ° Sistemi S është një bazë bazë.

2 ° Nëse ka dy baza të sistemit dhe S, ka të njëjtin numër vektorësh, kështu që rangu i sistemit nuk qëndron në bazën e vibrimit.

4 ° Yaksho R= zilja S, qofshin ata r vektorë të pavarur linearisht që vendosin bazën e sistemit S.

5 ° Yaksho R= zilja S, Bëhuni të ngjashëm me vektorët k> r në sistemin S vijojnë në mënyrë lineare.

6 ° Bëhu si vektor A€ S Një rang për të rrotulluar në mënyrë lineare përmes vektorit në bazë, tobto, B 1, B 2, ..., B R është një bazë e sistemit S, pra

A = A1 B 1 + A2 B 2 +...+ ARB R; A1 , A2 , ..., AN€ P,(1)

І taka vistava dina.

Në bazë të 5 °, baza Sa më shumë që të jetë e mundur pidsistem i pavarur në mënyrë lineare sistemeve S, dhe rangun e sistemit S numri i vektorëve në një nënsistem të tillë.

Paraqitja vektoriale A në viglyadі (1) quhen Shpërndarja e vektorëve sipas vektorëve në bazë, Dhe numrat a1, a2 , ..., ar quhen Koordinatat vektoriale A Në të njëjtën bazë.

Dorëzuar. 1 ° Nekhai B 1, B 2, ..., B K- pidsistemi linear i pavarur i sistemit S... Sistemet vektoriale Yaksho kozen S Rrotulloni në mënyrë lineare përmes vektorit të nënsistemit tonë, pastaj për vlerën e fituar - bazën e sistemit S.

Yaksho është vektori i sistemit S, i cili nuk rrotullohet në mënyrë lineare përmes vektorit B 1, B 2, ..., B K, pastaj kaloni kuptimisht B K+1. Sistemet Todi B 1, B 2, ..., B K, B K+1 - katror në mënyrë lineare. Sistemet vektoriale Yaksho kozen S Rrotulloni në mënyrë lineare përmes vektorit të sistemit qendror, pastaj bazës së sistemit S.

Yaksho është vektori i sistemit S, e cila rresht nuk kalon B 1, B 2, ..., B K, B K+1, atëherë mirkuvannya është e përsëritshme. Duke nxitur procese, ose do të vijmë në bazën e sistemit S, për numrin e vektorëve në sistemet lineare të pavarura rritet për njësi. Bo në sistem S numri i vektorëve, atëherë alternativa tjetër nuk mund të vazhdohet pafundësisht, dhe baza e sistemit S.

2 ° Nekhai S kintsev sistemi i vektorëve S ≠{0 ). Todi në sistem Sє vektor B 1 ≠ 0, i cili do të krijojë një sistem linear të pavarur S... Sipas pjesës së parë të tij, është e mundur të përmirësohet në bazën e sistemit S... Në një rang të tillë, sistemi S bazë maє.

3 ° Është e pranueshme që sistemi është S përbëhet nga dy baza:

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

Bazuar në bazë, sistemi i vektorëve (2) është linearisht i pavarur dhe (2) Í S... Duke pasur parasysh bazën e vektorit të lëkurës së sistemit (2) kombinimi i linjës së vektorëve në sistemin (3). Todi duke ndjekur teoremën kryesore për dy sisteme vektorësh R £ S... Në mënyrë të ngjashme, duhet të jetë S £ R... Tre tsikh me dy zëra të gjallërisë R = S.

4 ° Nekhai R= zilja S, A 1, A 2, ..., A R- pidsistemi linear i pavarur S... Do të tregohet se është një bazë e sistemeve S... Nëse nuk është një bazë, atëherë sipas pjesës së parë të її është e mundur të shtohet në bazë dhe baza është e pranueshme A 1, A 2, ..., A R, A R+1,..., A R+T, scho te marre hak bilsh nizh R

5 ° Yaksho K vektoriale A 1, A 2, ..., A K (K > R) sistemet S- linearisht i pavarur, atëherë, sipas pjesës së parë, sistemi i vektorëve mund t'i shtohet bazës dhe baza është e njohur. A 1, A 2, ..., A K, A K+1,..., A K+T, scho te marre hak bilsh nizh R vektoriale Tse super-kundërshtojnë të përfunduarit në pjesën e tretë.

6 ° Nekhai B 1, B 2, ..., B R bazën e sistemit S... Për bazën, jini një vektor A € Sє kombinimi i vijës së vektorëve në bazë:

A = a1 B 1 + a2 B 2 + ... + ar B R.

Sjellja e identitetit të një manifestimi të tillë është fare e papranueshme, por më shumë se një manifestim:

A = b1 B 1 + b2 B 2 + ... + br B R.

Dihet nga koha kur dihet

0 = (a1 - b1) B 1 + (a2 - b2) B 2 + ... + (ar - br) B R.

Baza Oskilki B 1, B 2, ..., B R sistem i pavarur linear, i gjithë performanca ai - bi = 0; Unë = 1, 2, ..., R... Gjithashtu, ai = bi; Unë = 1, 2, ..., R se uniteti është sjellë.

V.V. Golovizin Ligjërata për algjebër dhe gjeometri. 5

Ligjërata për algjebër dhe gjeometri. Semestri 2

Leksioni 23. Baza e hapësirës vektoriale.

Një ndryshim i shkurtër: kriteri i linjës së sistemeve dhe vektorëve jozero, nënsistemeve të sistemeve dhe vektorëve; bazë.

pika 1. Kriteri i depozitimit linear të një sistemi vektorësh jozero.

Teorema. Sistemi i vektorëve jozero është linearisht i ndenjur vetëm nëse ekziston një vektor i sistemit, por ai rrotullohet në mënyrë lineare përmes vektorit të përparmë të sistemit.

Dorëzuar. Mos lejoni që sistemi të ruhet nga vektorë jozero dhe është linearisht i ndenjur. Sistemi mund të shihet nga një vektor:
... Sepse
, pastaj sistemi
- Sheshi Linear. Vektor ... Sistemi është hequr
është linearisht katror, ​​atëherë vektori i përparmë është gjithmonë i pranishëm: ... І etj. prodovzhuєmo doti, doke jo otrimamo rreshtim Unë do të hedh sistemin
de. Ky numër është i njohur për obov'yazkovo. sistemi në dalje
є lіnіyno ugar pas mendjes.

Otzhe, për nxitje, sistemi u rreshtua në një rresht.
, për më tepër, sistemi
є Sheshi Linear.

Sistemi
që përfaqëson një vektor zero është joparëndësishëm, pra. ekziston një grup i tillë jozero skalarësh
, karrierës

de skalar
.

Spravdy, inakshe, yaksho
, atëherë mi mali b në mënyrë jo triviale manifestimi i një vektori zero nga një sistem linear i pavarur
, është për të ardhur keq.

Bilanci i rritur për një skalar jo zero
, ne mund të shohim vektorin :

,

Fortësia Oskіlki zvorotne është më e dukshme, teorema është përfunduar.

pika 2. Pidsistemet dhe hapësira vektoriale.

Viznachennya. Të jetë jo bosh nën shumësinë e sistemeve dhe vektorëve
të quhet një nënsistem i një zinxhiri sistemesh dhe vektorësh.

prapanicë. Eja
- Sistemi prej 10 vektorësh. Sistemet dhe vektorët Todi:
;
,
- Sistemet pid të zinxhirit të sistemeve dhe vektorëve.

Teorema. Nëse sistemi vektorial është në linjë me nënsistemin e varfëruar, atëherë sistemi vektorial është gjithashtu i shkretë.

Dorëzuar. Le të jepet sistemi i vektorëve
mos u interesoni për vlerën e nënsistemit
, de
є vija ugar. Todi won përfaqëson një vektor zero në mënyrë jo të parëndësishme:

de mes kofіtsієntіv
є Do të doja të kisha një jo të barabartë me zero. Alle todі është dukuri fyese jo e parëndësishme e barazisë së vektorit zero:

shenjat, për shkak të viznachennyam, vyplyaє varfërimit të linjës së sistemit
, Ch.d.

Teorema është përfunduar.

Slidstvo. Nëse nënsistemi është sisteme linearisht i pavarur dhe vektorët janë linearisht të pavarur.

Dorëzuar. E pranueshme e papërshtatshme. Mos u hahet pasi nënsistemi i sistemit është i veshur me ugar. Todi me teoremat e vijës rrjedhëse shterimi i sistemit të sistemit, si të mbikëqyren mendjet.

Slidstvo solli.

f. 3. Sistemi i traversave vektoriale aritmetike deri në pafundësinë e traversave.

Nga rezultatet e seksionit të mësipërm, si shembull i temës, ne po ndjekim teoremën.

1) Sistemi i ndalimeve є rresht pas rreshti, nëse vetëm njëqind janë në sistem, kush dëshiron të rreshtohet përmes njëqind të tjerëve të sistemit.

2) Sistemi është njëqind për qind rresht në rresht, dhe nëse një është njëqind për qind e sistemit dhe nuk rrotullohet në mënyrë lineare përmes njëqind për qind të sistemit.

3) Sistemi i stovpts_v, karrierës për t'u hakmarrë një zero stovpets, є lin_yno ugar.

4) Sistemi i ndalesave, i cili duhet të zëvendësojë dy soba të barabarta në një rresht të tokës djerrë.

5) Sistemi i stovpts_v, scho për të vendosur dy stovptsi proporcionale є lyn_yno ugar.

6) Sistemi i ndalesave, i cili duhet të vendosë një nënsistemin e linjës së djersës dhe një linjë të ugarit.

7) Të jetë i ngjashëm me një sistem pids të një sistemi stacionesh të pavarur nga linja є i pavarur nga linja.

Vetëm, karrierës, është e mundur, këtu është e nevojshme të sqarohet kuptimi i stufave proporcionale.

Viznachennya. Dy të qindtat jo zero
quhet proporcional, kur ka një skalar
, i tillë, karrierës
abo

,
, …,
.

prapanicë. Sistemi
є Ugar linear, rreth dyqind përmasa.

Respekt. Ne tashmë e dimë (div. Leksioni 21), se projektuesi është kthyer në zero, pasi sistemi i njëqind për qind (rreshti) є është rënë në mënyrë lineare. Nadal do të informohet se është e vërtetë dhe e besueshme: nëse përcaktimi është afër zeros, atëherë sistemi i njëqind për qind dhe sistemi i një rreshti është i veshur me ugar.

pika 4. Baza e hapësirës vektoriale.

Viznachennya. Sistemi vektorial
hapësira vektoriale mbi fushë quhet një sistem i përgjithshëm (konfiguruar) i vektorëve në hapësirën vektoriale, nëse përfaqësoni ndonjë vektor, tobto. ekziston një grup i tillë skalarësh
karrierës.

Viznachennya. Sistemi i vektorëve në hapësirën vektoriale quhet një sistem minimal, i cili krijohet, pasi kur shihet nga i gjithë sistemi, asnjë vektor nuk do të pushojë së qeni një sistem i qenësishëm.

Respekt. Nga pikëpamja e sistemit të vektorëve, i cili nuk është minimal, atëherë do të dëshironim të kishim një vektor të sistemit, me cilindo nga sistemet e parë, sistemin e vektorëve, i cili është bërë i tepërt, sapo të të gjenerohet.

Lemë.

Nëse, në një linjë të sistemeve të vektorëve djerrë dhe shkëmb-juvenile, njëri prej vektorëve rrotullohet në mënyrë lineare përmes njëri-tjetrit, atëherë ai mund të shihet nga sistemi dhe sistemi i vektorëve, i cili është bërë i tepërt, nëse do të krijohet .

Dorëzuar. Hajde sistemi
Ai është rrëzuar dhe i shkretë, dhe lëreni një nga vektorët të rrotullohet në mënyrë lineare nëpër vektorët e të gjithë sistemit.

Për vlerë, për thjeshtësi, do ta shkruaj

Pra jak
- Nëse sistemi është i rrënjosur, atëherë
ekziston një grup i tillë skalarësh
, karrierës

.

Zvidsi otrimumo,

tobto. të jetë një vektor x rrotullohen në mënyrë lineare nëpër vektorët e sistemit
, dhe tse do të thotë, wona є nga sistemi, scho roozhuє, ch.t.d.

Naslidok 1. I rënë në mënyrë lineare, ky sistem shkëmbor-juvenil i vektorëve nuk është minimal.

Dorëzuar. Menjëherë, avullimi nga lema dhe përcaktimi i sistemit dhe vektorëve minimalë, gjë që është e zakonshme.

Naslіdok 2. Sistemi minimal i vektorëve, i cili është i zakonshëm, є në mënyrë lineare katrore.

Dorëzuar. Duke pranuar papërshtatshmërinë, vjen deri te mbinatyrshmëria me pasardhje 1.

Viznachennya. p align = "justify"> Sistemi i vektorëve në hapësirën vektoriale quhet sistemi maksimal linear i pavarur, edhe kur sistemi i ndonjë vektori i është shtuar të gjithë sistemit, ai bëhet linearisht i varfër.

Respekt. Nga pikëpamja e radhës, që sistemi është linearisht i pavarur, por në maksimum, atëherë ekziston një vektor, kur i shtohet sistemit, sistemi është linearisht i pavarur.

Viznachennya. Baza e një hapësire vektoriale mbi një fushë K është një sistem i renditur vektorësh, të cilët përfaqësojnë një vektor të një hapësire vektoriale në një mënyrë.

Me fjalë të tjera, duket se sistemi i vektorëve
hapësira vektoriale V mbi fushën K quhet baza e saj, e cila
isnu grup i vetëm skalarësh
, i tillë, karrierës.

Teorema. (Rreth chotiri është i barabartë me bazën.)

Eja
- Urdhëroi një sistem vektorësh në hapësirën vektoriale. Todi janë mjaft të fortë:

1. Sistemi
є bazë.

2. Sistemi
є Sistemi linear katror i vektorëve, i rrënjosur.

3. Sistemi
є sistemi maksimal linear katror i vektorëve.

4. Sistemi
є sistemi minimal i vektorëve

Dorëzuar.

Hajde sistemi vektorial
є bazë. Në bazë të bazës menjëherë, ne duhet ta sjellim sistemin e vektorëve në sistemin e vektorëve në hapësirën vektoriale, kështu që ne duhet ta sjellim atë në vijën e pavarësisë.

Mirë, edukatë duke pasur parasysh sistemin vektori i vijes ugar. Todi janë dy manifestime të një vektori zero - i parëndësishëm dhe jo i parëndësishëm, por që duhet të zëvendësohet nga baza.

Hajde sistemi vektorial
є Sheshi linear që ka rrënjë. Duhet të sigurohemi që sistemi të jetë linearisht i pavarur є sa më shumë që të jetë e mundur.

E pranueshme e papërshtatshme. Le të mos jetë sistemi i vektorëve maksimal në mënyrë lineare. Todi, përmes këndvështrimit të respektit, ekziston një vektor që mund t'i shtohet të gjithë sistemit dhe sistemi i vektorëve është paraqitur në formë katrore. Megjithatë, nga ana tjetër, shtesat në sistem dhe vektor mund të përfaqësohen nga shikuesi kombinim linjash sisteme dhe vektorë jashtë rendit përmes atyre që janë në sistem që janë në thelb.

Nuk mund ta kuptoj që në një sistem të ri, të zgjeruar vektorësh, njëri prej vektorëve rrotullohet në mënyrë lineare përmes vektorëve të tjerë të sistemit. Një sistem i tillë vektorësh është djersitje lineare. Kemi bërë një rrëmujë.

Hajde sistemi vektorial
hapësira vektoriale є katrori linear maksimal. Me sa duket, është një sistem minimal, është një racë.

a) Spatku e ka sjellë, tash, sistemi, meqë ra fjala.

Është e mrekullueshme, përmes linjës së pavarësisë, sistemi
mos u hakmerrni ndaj vektorit null. Le të marrim një vektor të mirë jo zero. Dodamo yogo për sistemet dhe vektorët e dhënë:
... Sistemi i vektorëve jozero, i cili ka mbërritur, është linearisht i varfër, sepse Sistemi i daljes së vektorëve është maksimalisht i pavarur në mënyrë lineare. Kjo do të thotë që i gjithë sistemi ka një vektor, por ai kthehet në mënyrë lineare përmes pjesës së përparme. Në sistemet periferike të pavarura nga linja
Sidoqoftë, nuk është e mundur të rrotullohet përmes pjesës së përparme, e njëjta, të kthehet në mënyrë lineare përmes pjesës së përparme të vektorit x. Në një rang të tillë, sistemi
imagjinoni një vektor jo zero. Respekt i zgjatur, mirë, sistemi, zoosuly, që përfaqëson një vektor zero, tobto. sistemi
є për një të mitur.

b) Tani po flasim për minimalizmin. E pranueshme e papërshtatshme. Edhe një nga vektorët në sistem dhe mund të ketë vizione nga sistemi dhe sistemi i vektorëve, i cili ka humbur, siç dhe më parë do të ishte një lloj sistemi i të miturve, dhe, gjithashtu, distanca nga sistemi, dhe vektori gjithashtu mund të rrotullohet në mënyrë lineare përmes sistemit vektorial të sistemit, por jo më i miri

Hajde sistemi vektorial
hapësira vektoriale є sistem minimal, scho roozhuє. Todi vona përfaqëson një vektor vektor për pafundësinë. Duhet të sjellim unitetin e manifestimit.

E pranueshme e papërshtatshme. Lëreni një vektor të caktuar x të rrotullohet në mënyrë lineare nëpër vektorët e sistemit të caktuar në dy mënyra të ndryshme:

Duke pasur të njëjtën vlerë, ne do të njohim:

Vnaslіdok slіdstva 2, sistemi
є Sheshi Linear, Tobto. Përfaqësimi i një vektori zero është vetëm i parëndësishëm, kështu që të gjitha funksionet e kombinimit linear janë për shkak të zeros:

Në një renditje të tillë, qoftë një vektor x që të rrotullohet në mënyrë lineare nëpër vektorët e një sistemi të caktuar në një mënyrë, etj.

Teorema është përfunduar.

f. 5. Madhësia e vektorit është e gjerë.

Teorema 1. (Rreth numrit të vektorëve në sistemet lineare të pavarura të vektorëve.) Numri i vektorëve në çdo sistem linear të vektorëve nuk e ndryshon numrin e vektorëve në asnjë sistem vektorësh dhe hapësirë ​​vektoriale.

Dorëzuar. Eja
një sistem mjaft linear vektorësh,
- sistemi është mjaft i mirë. E pranueshme, e shkëlqyer.

Sepse
sistemi, i cili është një burim jete, atëherë ka një vektor në hapësirë, duke përfshirë një vektor ... Bëhet fjalë për të gjithë sistemin. Unë do të njoh prejardhjen e sistemit shkëmbor të të miturve të vektorëve:
... Todi ju e dini vektor
sistemi i sistemeve, i cili në mënyrë lineare rrotullohet nëpër vektorin e përparmë të sistemit, dhe kjo, për shkak të lemit, mund të shihet nga sistemi, për më tepër, sistemi i vektorëve, i cili është lënë në hije, siç është gjeneruar më parë.

... Sepse sistemi qia i roju, atëherë fitoi përfaqësonє vektor
dhe, duke e bashkuar këtë sistem me të gjithë sistemin, do të di të rreshtoj sistemin e të miturve:.

Lëreni gjithçka të përsëritet. Ekziston një vektor në të gjithë sistemin, i cili rrotullohet në mënyrë lineare në pjesën e përparme, dhe vektori nuk mund të jetë që nga viti sistemi në dalje
vektor linear katror mos lëvizni në mënyrë lineare përmes vektorit
... Kjo do të thotë se vetëm një nga vektorët
... Unë mund ta shoh nga sistemi, do të njihet, nëse do të rinumërohet, sistemi do të gjenerohet nga sistemi. Duke nxitur procesin, përmes crocs, ne mund të bëjmë një sistem vektorësh
që nga viti për pripuschennya tonë. Otzhe, sistemi tsya, si të shumohet, përfaqëson një vektor, si të mbikëqyrni mendjet e pavarësisë lineare të sistemit
.

Teorema 1 plotësohet.

Teorema 2. (Rreth numrit të vektorëve në bazë.) Në bazën e lëkurës së hapësirës vektoriale ka një numër të njëjtë vektorësh.

Dorëzuar. Eja
і
- dy baza të mira të hapësirës vektoriale. Bëhu si një bazë є sistemi linear i pavarur vektorësh, scho gjeneron.

Sepse Nëse sistemi është linearisht i pavarur dhe nëse tjetri është në rregull, atëherë, sipas Teoremës 1,
.

Në mënyrë të ngjashme, sistemi tjetër është linearisht i pavarur, dhe persha është shumë e zakonshme, atëherë. Zvidsi më pas
, Ch.d.

Teorema 2 është plotësuar.

Teorema Qia ju lejon të vendosni të njëjtën vlerë.

Viznachennya. Madhësia e një hapësire vektoriale V mbi një fushë K është numri i vektorëve në bazën e saj.

Përcaktimi:
abo
.

fq.6. Marrja e bazës së hapësirës vektoriale.

Viznachennya. Hapësira vektoriale quhet Kintsev, siç është në sistemin e vektorëve Volodya Kintsevo, i cili është shumë i zakonshëm.

Respekt. Mi vivchatimo privon hapësirën vektoriale kintsev. E parëndësishme për ata që tashmë dinë shumë për bazën e hapësirës së pafundme vektoriale, ne nuk kemi asnjë mënyrë të mendojmë, por baza e një hapësire të tillë është në sfond. Përpjekjet më herët për të refuzuar fuqinë e ngacmuesit janë refuzuar nga të parandaluarit, që është baza e isnu-së. Teorema e reduktimit të ushqimit po afrohet.

Teorema. (Rreth bazës së hapësirës vektoriale të pafund.) Të jetë një lloj hapësire vektoriale pafund është një bazë.

Dorëzuar. Pas fundosjes është sistemi kintsev i vektorëve në hapësirën e dhënë vektoriale kintsevo V:
.

Në mënyrë mbresëlënëse menjëherë, se sistemi i vektorëve është bosh, tobto. mos u hakmerrni për vektorin zhodnogo, për vlerën e vvazhayut, por vektori nuk është hapësira є zero, tobto.
... Në të njëjtën kohë, baza e hapësirës vektoriale zero është një bazë boshe dhe madhësia e bazës është zero.

Hajde, hapësirë ​​vektoriale jo zero
Sistemi Kintseva, i cili gjeneron vektorë jo-nul. Yakshcho vona është linearisht i pavarur, gjithçka është ngritur, tk. Linearisht i pavarur është sistemi juvenil i vektorëve në bazën vektoriale. Nëse një sistem vektorësh jepet në linjë me zgarë, atëherë njëri nga vektorët e të gjithë sistemit do të rrotullohet në mënyrë lineare nëpër atë sistem, por është e mundur të shihet nga sistemi, dhe sistemi i vektorëve, i cili do të përdoret tepër, për shkak të Lemit nr.5, do të më shpejt.

Ne ri-numërojmë sistemin e vektorëve, i cili ka humbur:
... Dalі mіrkuvannya përsëritet. Duke qenë se sistemi është linearisht i pavarur, ai është baza. Epo, atëherë e di që ka një vektor në sistem, i cili mund të shihet, dhe sistemi, i cili është vjetëruar, do të jetë i mitur.

Me një proces të përsëritur, ne mund të heqim qafe sistemin bosh vektorial, sepse në mosmarrëveshje ekstreme, vijmë te sistemi, i cili krijohet, nga një vektor jozero, i cili është linearisht katror, ​​por, gjithashtu, një bazë. Për këtë, të paktën, bëhet fjalë për sistemet e vektorëve të pavarur nga linja, të cilat janë shumë të zakonshme, tobto. në bazë.

Teorema është përfunduar.

Lemë. Eja. Todi:

1. Sistemi vektorial Be-yaka є lyn_yno ugar.

2. Nëse sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur si bazë.

Dorëzuar. 1). Në fakt, numri i vektorëve në bazë është edhe vetë baza edhe sistemi, kështu që numri i vektorëve në çdo sistem të pavarur linear nuk mund të anashkalohet.

2). Për sa i përket të arsyetuarit, nëse sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur në maksimum, por edhe nga baza.

Lema ka përfunduar.

Teorema (Rreth shtimit të bazës) Nëse sistemi i vektorëve në hapësirën vektoriale është linearisht i pavarur, ai mund të shtrihet në bazën e hapësirës së gjerë.

Dorëzuar. Lëreni hapësirën vektoriale të madhësisë n atë
Sistemi linear katror deyaka i vektorëve yogo. Todi
.

Yaksho
, Që është përballë lemit të përparmë, sistemi është bazë dhe nuk sjell asgjë.

Yaksho
Sistemi Todi tsya nuk është një sistem i pavarur linear maksimal (іnakhe fitoi Bula b si bazë, nuk është për të ardhur keq, sepse). Epo, e dini, ekziston një vektor
, i tillë, sistemi i shkollës
- katror në mënyrë lineare.

Yaksho, tani, pastaj sistemi
є bazë.

Yaksho
, çdo gjë do të përsëritet. Procesi i përditësimit të sistemit nuk mund të vazhdojë pafundësisht, sepse Në lëkurë, sistemi i vektorëve në hapësirën e hapur mund të njihet në mënyrë lineare, dhe pas parakrahit, numri i vektorëve në sisteme të tilla nuk mund të tejkalojë hapësirën në hapësirë. Otzhe, të paktën në detajet më të vogla, do të vijmë në bazën e pafundësisë.

Teorema është përfunduar.

f. 7. prapanicë.

1. Nekhai K është një fushë e mjaftueshme, është një hapësirë ​​vektoriale aritmetike prej 100%. Todi. Për të vërtetuar se është e mundur të hapet sistemi i splinave për një hapësirë ​​të gjerë.

Viznachennya. Sistemi i elementeve xh ..., xch hapësira e linjës V quhet pasardhës i linjës, për sa kohë që numrat a ", ..., otq njihen, jo të gjithë janë të barabartë me zero, dhe kështu, nëse barazia (1) shfaqet vetëm për a] = ... = aq = 0, pastaj sistemi i elementeve xj ,. .., x9 quhen katrore lineare. Këto janë vetëm gjëra. Teorema 1. Sistemi i elementeve X \, ..., xq (q ^ 2) është linearisht i ndenjur në shumë raste nëse dëshironi që një nga këta elementë të jetë i mundur në një kombinim linear të të tjerëve. Është e pranueshme që sistemi i elementeve xb ..., xq është linearisht i ndenjur. Në mënyrë të dukshme për vlerën, për barazinë (1) vlera e vlerës shfaqet si a9. Transferoni të gjitha shtesat, përveç pjesës tjetër, në të djathtë të pjesës, duke i dërguar në otq F Otrim, i cili element xq është një kombinim linear i elementeve xi, ..., xq: Prapa, si një element i transferimit të lіvu pjesë, іnіnіyu lіnіynu combіnаtsіy në yakіy є vіdmіnnі nga efikasiteti zero (-1 F 0). Otzhe, sistemi i elementeve Xi, _____ xq është i rënë në mënyrë lineare. Teorema 2. Mos u shqetësoni, sistemi i elementeve X |, ..., X9 është linearisht i pavarur і у = a \ X \ +. + Aqxq. Todi kofitsinti ori, ..., aq bazohen në elementin e të njëjtit rang. m Nekhai Todi Depozita lineare Baza Rosemir Zëvendësoni bazën e yllit. Nga linja e elementeve X |, ..., xq viplivє, por a (i, nga e njëjta, një Teoremë 3. Sistemi i elementeve, si të lokalizohet një nënsistem i rënë në mënyrë lineare, është i rënë në mënyrë lineare. " xg + l, ..., хт lіnіyno olezhnі.Todi ekziston një kombinim lіnіyna i elementeve cich të tillë, por jo të gjitha funksionet vijnë ", ..., aq për të sjellë në zero. e gjithë linja e hapësirës, ​​si elementet në |, ... , linja në linjë dhe elementi lëkure nga V mund të përfaqësohen në pamjen e kombinimit të vijës. v! ... en) - bazë për hapësirën V. Todi për çdo element xs V ka një grup numrash ..., Z të tillë, por në bazë të Teoremës 2 numrat, ..., З janë koordinatat e elementit x në bazë - vlera është unike. Jemi të lumtur të shohim koordinatat e elementeve me veprimet më të thjeshta me to. Mos, për asnjë numër, por në një renditje të tillë, kur elementet janë palosur, koordinatat ruhen dhe kur elementi shumëzohet me numrin e të gjithë koordinatës, shumëzohet me numrin e plotë. Koordinatat e një elementi shpesh regjistrohen manualisht. Për shembull, n është vlera koordinative e elementit në bazë. Sistemi i elementeve X |, ..., x mund të ruhet sipas bazës së s, dhe koordinatat e elementeve të X |, ..., x9 janë qartë të dukshme në bazë të sa vijon: Teorema 4. Sistemi i elementeve x \, ..., xq bie në mënyrë lineare nëse vetëm sistemi i stacioneve të koordinatave është në linjë me vijën bazë. * Mos u shqetësoni, pse dëshironi që një nga funksionet A * të ndryshojë nga zero. Regjistruar gjatë raportit të Zvidsy nga njëshmëria e rregullimit të elementit në bazë të viplivay, niveli i linjës së linjës bazë. ?). Tse do të thotë se sistemi i koordinatave është linearisht i rënë. Sapo dikush vëzhgon barazinë (2), atëherë, kur kryhet paqe në rendin e vorbullës, formula (1) është e fiksuar. Tim vetë, duke u kthyer në zero deyakoi jo-parëndësishëm (dua që një nga faktorët të vijë nga zero) të kombinimit linear të elementeve në hapësirën lineare, e cila nuk është e parëndësishme për kombinimin e koordinatave Teorema 5. Le të ndërtohet baza e hapësirës lineare V nga n elementë. Todi çdo sistem elementësh, de t> n, është linearisht i ndenjur. Sepse, mirë, ndoshta, * Do të shikoj teoremën 3 për të përfunduar listën e vipadokëve Nekhai Xj, ..., xn + | - elemente të mjaftueshme për hapësirën V. Paraqitja e elementit të lëkurës në bazë të koordinatave të shkruara të elementeve ........... si matrica, në të njëjtin numër koordinatash të elementit. Matrica Otrimanimo me rreshta n + 1 stovptsiv - Për ato ku rangu i matricës K nuk e ndryshon numrin e n rreshtave, njëqind matrica K (їx n + 1) janë linearisht djerrë. Oskіlki tse bashkërendon elementet stovptsі, pastaj, sipas teoremës 4, sistemi i elementeve X | ..... х „+ | është gjithashtu në mënyrë lineare ugar. Slidstvo. Përpjekjet e bazës së hapësirës lineare V ruhen nga i njëjti numër elementesh. Le të ruhet baza në n elementë dhe baza në n elemente. Meqë ra fjala, me teoremat mund të dallojmë se n ^ n ". Tim, n = n. .., nuk është linearisht i pavarur: është i njohur për arsye të mirë, që do të thotë, përveç kësaj, qoftë element E, = ... s R "mund të shkruhet në pamjen e kombinimit linear të elementeve Tim nga vetja, madhësia e hapësirës R. Sistemi i linjës njëkahëshe është një zgjidhje jo zero, është një sistem zgjidhjeje themelore (FSR ). FSR є baza e hapësirës lineare të zgjidhjes së sistemit të njëanshëm. Madhësia e të gjithë linjës së hapësirës për rrugën deri në numrin e elementeve të FSR, tobto. n - p de g është rangu i matricës së koeficientëve të sistemit me një rresht, an është numri i atyre jo-shtëpiake. Shtojca 3. Madhësia e vijës në hapësirë ​​Mn të hapit të madh nuk është aq e mirë sa është në rrugën n + 1. 4 Oskilki çdo polinom / * (() hap nuk është në vëzhgim, atëherë është mjafton për të treguar vijën në katror të elementit t =. 0, mund të njihet, scho "o = 0. 5 Zak. 750 Prodifferentsiiєmo pariteti (3) për t: Duke ditur POZICIONIN t = 0, mund të njihet, scho 0 | = 0. Duke vazhduar procesin, bëhet ndryshimi i fundit në atë, scho oo =" I = ... = a „= 0. Ce. do të thotë se sistemi i elementeve y | = 1, ..., en4 ) = * është linearisht i pavarur. Otzhe, shukana madhësia e dyerve n + 1. Kënaqësi. Larg shumë hapësirës për t'u përfshirë kudo, dhe atëherë është e paimagjinueshme që pafundësia e linjës në hapësirë ​​V është shumë larg. Është e qartë se nëse W është një hapësirë ​​e hapësirës lineare n-vimir V, atëherë dim W ^ n. Do të tregohet se në një hapësirë ​​lineare n-vimir V është një hapësirë ​​lineare, qoftë ajo çfarëdo madhësie hapësire deri në ^ n. Është e lehtë të kthehet në faktin se guaska është e vogël deri në. Bazuar në vlerën Teorema b (në bazë të një baze të re). Lëreni sistemin e elementeve në hapësirën lineare V në hapësirën dhe në hapësirën lineare brenda. Todi në hapësirën V mund të gjendet edhe në elementet a * + 1, ..., por sistemi a është baza. V. bie në mënyrë lineare, atëherë si në një kombinim linear jo të parëndësishëm ... do të ketë një kombinim funksionesh në rastin e një pavarësie lineare të sistemit, dhe është e mundur të shkruhet për çdo element | s vlera . Ale përmes mendjes është i keq-këshilluar. Përveç kësaj, ekziston një element a * + i € V i tillë që sistemi ai, ..., ab, a * + | do të jetë në mënyrë lineare katrore. Kur deri në + 1 = n, sistemi është baza për hapësirën V. Kur deri në + 1, atëherë sistemi një përsëritje tjetër përballë botës. Në këtë mënyrë, be-yaku i dhënë një sistem të pavarur linear elementësh mund të shtohet në bazën e të gjithë hapësirës V. Butt. Shtoni dy vektorë në sistemin | = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) hapësira R4 në hapësirën bazë. Megjithatë, në hapësirën e R4 vektori aj = (dhe do të tregohet se sistemi i vektorëve ai.aj.aj, a4 është baza e R4. , gjithashtu, і vektorët në ag.az, а ^ lіnіyno nezalezhnі> Një nëngrup i lіnіyno nezalezhnі> Një mënyrë për t'u dukur me titrat në një vypad të zellshëm: çfarë t'i shtohet sistemi elementeve lіnііnі nezalezhnye në bazën e hapësirës, ​​forma e matricës Lіnіostіnі Baselіvіtіm, kështu që renditja e matricës së fituar është "suitable" për artikullin. Vetëm se është vendosur fort Teorema 7. Nekhai është vija e hapësirës lineare të V, Todi. nga baza e fshatit Maєmo ci, e cila është shkruar në bazën e matricës. (si. në Teoremën 4) elementët e "i ..., e" nuk janë për shkak të faktit se ata nuk janë aq thellë të rënë. ., і ..., janë koordinatat e elementit x në bazat me і c "me sa duket , pastaj _ Ne do të njohim se Zvidsi për shkak të veçantisë së renditjes së elementit sipas bazës së maєmo I Duke shkuar në matricë do të shkruaj vlerat e barazive, duke ndryshuar nga drejtësia e cilësisë 2. 3. S- 1 - matrica e kalimit nga baza me në bazën me.

Quhet Kintsevomirnim, pasi është një sistem vektorësh Kintsev, i cili është një burim zhvillimi.

Respekt. Mi vivchatimo privon hapësirën vektoriale kintsev. E parëndësishme për ata që tashmë dinë shumë për bazën e hapësirës së pafundme vektoriale, ne nuk kemi shumë ide për një hapësirë ​​të tillë. Përpjekjet më herët i hodhëm poshtë boulet që kishim hequr nga poza, por baza është e qartë. Ushqimi po mbyllet.

Teorema. (Rreth bazës së hapësirës së pafundme vektoriale.)

Të jetë një hapësirë ​​vektoriale kintsevy është një bazë.

Dorëzuar. Pas mendjes është sistemi Kintsev, i cili është origjina e hapësirës vektoriale të dhënë Kintsevomir V:.

Në mënyrë mbresëlënëse menjëherë, se sistemi i vektorëve është bosh, tobto. mos u hakmerrni për vektorin zhodnogo, për vlerën e vvazhayut, por vektori nuk është hapësira є zero, tobto. ... Në të njëjtën kohë, baza e hapësirës vektoriale zero është një bazë boshe dhe vlera e vlerës është e barabartë me zero.

Epo, sistemi është katror, ​​gjithçka është bërë, tk. Linearisht i pavarur është sistemi juvenil i vektorëve në bazën vektoriale.

Nëse një sistem vektorësh jepet në përputhje me zgarën, atëherë një nga vektorët e të gjithë sistemit do të rrotullohet në mënyrë lineare nëpër atë sistem dhe është e mundur të shihet nga sistemi dhe sistemi i vektorëve, i cili do të humbasë. , do të gjenerohet më herët.

Ne rinumëruam sistemin e vektorëve, i cili ishte në hije:. Dalі mіrkuvannya përsëritet.

Ndërsa sistemi është linearisht i pavarur, ai është baza. Epo, atëherë e di që ka një vektor në sistem, i cili mund të shihet, dhe sistemi, i cili është vjetëruar, do të bëhet i mitur.

Me një proces të përsëritur, ne mund të heqim qafe sistemin bosh vektorial, sepse në mosmarrëveshje ekstreme, vijmë te sistemi, i cili krijohet, nga një vektor jozero, i cili është linearisht katror, ​​por, gjithashtu, një bazë. Për këtë, të paktën, bëhet fjalë për sistemin e vektorëve të pavarur nga linja, i cili është një burim, tobto. në bazë, p.t.d.

Teorema është përfunduar.

Lemë. (Rreth sistemeve të vektorëve në hapësirën vektoriale n-dimensionale.)

Eja. Todi:

1. Sistemi vektorial Be-yaka є lyn_yno ugar.

2. Nëse sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur si bazë.

Dorëzuar. 1). Në fakt, numri i vektorëve në bazë dhe bazë është një lloj sistemi, kështu që numri i vektorëve në çdo sistem të pavarur linear është i papërshtatshëm për ndryshim, kështu që. qoftë një sistem për t'u hakmarrë ndaj vektorit, є linіyno ugar.

2). Për sa i përket të arsyetuarit, nëse sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur në maksimum, por edhe nga baza.

Lema ka përfunduar.

Teorema (Rreth shtimit të bazës) Nëse sistemi i vektorëve në hapësirën vektoriale është linearisht i pavarur, ai mund të shtrihet në bazën e hapësirës së gjerë.

Dorëzuar. Të mos ketë një hapësirë ​​vektoriale me dimensione n që sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur. Todi.

Yaksho, atëherë nga përpara, sistemi është baza dhe nuk sjell asgjë.

Gjithashtu, ky sistem nuk është një sistem katror maksimal (baza, që është për të ardhur keq, sepse). Otzhe, znaydetsya vektor, një sistem i tillë - katror në mënyrë lineare.

Yaksho, tani, pastaj sistemi є bazë.

Epo, gjithçka do të përsëritet. Procesi i përditësimit të sistemit nuk mund të vazhdojë pafundësisht, sepse Në lëkurë, sistemi i vektorëve në hapësirën e hapur mund të njihet në mënyrë lineare, dhe pas parakrahit, numri i vektorëve në sisteme të tilla nuk mund të tejkalojë hapësirën në hapësirë. Otzhe, nga ana tjetër, në bazë të hapësirës së dhënë., Ch.t.d.

Viznachennya. Baza

Hapësira vektoriale aritmetike prej njëqind n quhet kanonike dhe natyrore.