hej

Qindra matrica përmasash. Kombinim linear i qindra matricave të quhet matricë-stovpets, në të njëjtën kohë - akte veprimi ose numra komplekse, të quajtura nga koeficientët e kombinimit të vijës... Ashtu si në kombinimin e linjës për marrjen e të gjithë performancës të barabartë me zero, atëherë kombinimi i linjës i matricave zero paraprake është i barabartë me zero.

Quhen qindra matrica i pavarur në mënyrë lineare Nëse të gjitha funksionet e kombinimit të linjës do të jenë zero, nëse të gjitha funksionet e kombinimit të rreshtave do të jenë zero. Quhen qindra matrica ugar linear , Yakshcho іsnu grup numrash, i mesëm dëshiron të jetë një nga zero dhe kombinimi i rreshtave të qindra numrave me një numër koeficientësh në zero

Po kështu, mund të ketë të dhëna për vlerën e zvarritjes lineare dhe dhëmbëzimit linear të rreshtave në matricë. Të gjitha teoremat janë formuluar për njëqind matrica.

Teorema 5

Ndërsa mesi i matricës është zero, atëherë e qindta e matricës është lineare.

Dorëzuar. Është e lehtë për të kuptuar kombinimin e linjës, në të gjithë performancën do të kthehet në zero për të gjitha bulonat jo zero dhe një për zero qind për qind. Ka zero dhe mesi i funksioneve të kombinimit të linjës shfaqet si zero. Otzhe, njëqind matrica të djersës lineare.

Teorema 6

yaksho 100% e matricave lіnіyno ugar, pastaj të gjithë 100% e matricave të depozitave lineare.

Dorëzuar. Ne do të jemi për vlerën e respektit, për njëqindën e parë të matricës ugar linear. Sipas vlerave të vijës së zvarritjes, ekziston një grup i vogël numrash, ai i mesëm do të donte të ishte një nga zero, dhe kombinimi i linjës prej njëqind për qind të numrit të koeficientëve në zero.

Magazina për një kombinim linear të të gjitha njëqind matricave, duke përfshirë në të njëqind për qind me koeficientë zero

Ale. Megjithatë, të gjitha qindra matricat janë në mënyrë lineare ugar.

vazhdimësi... Në mes të matricave të pavarura lineare, qofshin ato të pavarura lineare. (Kjo mund të bëhet lehtësisht duke e kundërshtuar atë.)

Teorema 7

Në mënyrë që njëqind matrica të piqen on line, është e nevojshme dhe e mjaftueshme, nëse dëshironi njëqind matrica. kombinim linjashіnshih.

Dorëzuar.

Domosdoshmëri. Mos keni njëqind matrica të djersës lineare, në mënyrë që të ketë një grup të thjeshtë numrash, ai i mesëm dëshiron të jetë një nga zero dhe një kombinim linear prej njëqind pikash nga numri i parametrave në zero

E pranueshme për vlerën, karrierës. Todi tobto është qind për qind e parë e kombinimit të linjës së të parit.

bollëk... Nekhai do të donte të kishte njëqind matrica në një kombinim linear numrash, për shembull, numra vendimtarë.

Kjo do të thotë, në mënyrë që kombinimi i rreshtave të jetë zero, dhe mesi i numrave të kombinimit të rreshtit do të jetë një (nëse) shfaqet si zero.

Gjeni gradën e matricës. Kini kujdes nga zero në rendin e vogël për t'u thirrur bazë ... Rreshtat і qindraptsі, në parakalimet e të cilave qëndron minorja bazë, quhen bazë .

Në matricën A të madhësive (m; n), zgjidhni k rreshta dhe k 100% (k ≤ min (m; n)). Elementet e matricës, të cilët qëndrojnë në rreshta vibrues të alternuar dhe 100%, krijojnë një matricë katrore të rendit k, emri i së cilës quhet rendi i vogël M kk k y ose rendi i vogël k-të i matricës A.

Renditja e një matrice është rendi maksimal r i minoreve të minoreve zero në matricën A, dhe nëse një minor është i rendit r, minorja është minorja bazë. Emërtimi: rang A = r. Nëse rangu A = rangu B dhe madhësia e matricave A dhe B përputhen, atëherë matricat A dhe B quhen ekuivalente. Përcaktimi: A ~ B.

Metodat kryesore për llogaritjen e renditjes së matricës janë metoda për të përmirësuar pakicën dhe metoda.

Metoda e të miturve të shëndetshëm

Thelbi i metodës është që të miturit e fushës të jenë të shëndetshëm në sulm. Gjeni në matricë të njëjtat vlera të rendit të vogël k, vlerën zero. Fëmijët e vegjël shikohen vetëm nëse janë të mitur në rendin k + 1, siç janë në të tyren (d.m.th., oblyamovuyut) në rendin minork, siç shihet nga zero. Nëse të gjitha erërat vijnë deri në zero, atëherë renditja e matricës është k, në mes të mesit minorja është (k + 1) - rend, do të ketë një tregues të zeros dhe e gjithë procedura është të përsëritura.

Lineariteti i rreshtave (100%) të matricës

Kuptimi i renditjes së matricës është i lidhur qartë me kuptimin e pavarësisë lineare dhe numrin e rreshtave (100%).

Rreshtat e matricës:

ato quhen të ndara në mënyrë lineare, kur numra të tillë njihen si λ 1, λ 2, λ k, por barazia është e vërtetë:

Rreshtat e matricave A quhen linearisht të pavarura, nëse numri i rreshtave është më i vogël se i barabartë, nëse të gjithë numrat janë λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0

Një renditje analoge është linja e zbehjes dhe papërcaktueshmërisë së të qindtave të matricës A.

Ashtu si një rresht (a l) i një matrice A (de (a l) = (a l1, a l2, ..., a ln)) mund të përfaqësohet në një pamje

Një gradë analoge i jepet dishepullit të kombinimit të linjës së stufave. Teorema për minorën bazë është e vlefshme.

Rreshtat bazë dhe rreshtat bazë. Nëse ka një rresht (ose një cung) të një matrice A є një kombinim linear i rreshtave bazë (ndalon), d.m.th. E. Rreshtat (ndalon), të cilat kalojnë minorin bazë. Kështu, renditja e matricës A: renditja A = k është e përshtatshme për numrin maksimal të rreshtave linearisht të pavarur (njëqind për qind) të matricës A.

Pra, rangu i matricës është madhësia e matricës më të madhe katrore në mes të kësaj matrice, për të cilën është e nevojshme të vlerësohet renditja, për të cilën projektuesi nuk është zero. Nëse një matricë nuk është katrore, sepse është katrore, por madhësia e matricës është zero, atëherë për matricat katrore të rendit më të vogël, zgjidhen rreshtat dhe 100%.

Me anë të matricës, rangu i matricës mund të përcaktohet nga numri i rreshtave linearisht të pavarur, por në vend të numrit të matricave. Ka disa nga rreshtat më të zakonshëm të rreshtave, por jo shumë nga ato që pasojnë nga ai që është më pak. Për shembull, nëse matrica ka 3 rreshta linearë të pavarur dhe 5 rreshta linearë të pavarur, atëherë renditja e dytë është tre.

Zbatoni rangun e njohur të matricës

Përdorimi i metodës së përmirësimit të të miturve për të njohur gradën e matricës

P і w e n і e. Të vogla të një rendi të ndryshëm

minorja kufitare është M 2, e njohur edhe si zero. Megjithatë, duke fyer të miturën e rendit të katërt, shëro M 3.

kthehen në zero. Për këtë, rangu i matricës A është më parë 3, dhe minorja bazë është, për shembull, paraqitjet e minorit M 3.

Metoda e ripërpunimit elementar të bazës për faktin se ripërpunimi elementar i matricës nuk ndryshon gradën e saj. Vikoristovuchi dhe riaktualizimi, ju mund të sillni matricën në pamje, nëse të gjithë elementët, crim një 11, një 22, ..., një rr (r ≤min (m, n)), shtoni zero. Tse padyshim do të thotë se rangu A = r. Çuditërisht, nëse matrica e rendit të n-të mund të shihet nga matrica e sipërme e triciteve, pra Matrica, për të gjithë elementët nga diagonalja e kokës në zero, atëherë duhet të siguroheni që të ketë më shumë elementë për kokën. Çmimi i fuqisë mund të jetë fitimtar kur rangu i matricës llogaritet me metodën e pajtimit elementar: është gjithashtu e nevojshme ta çoni matricën në një trekëndësh, nëse keni parë një burim të vetëm, ju e dini zero, por rangu i matricës së tjetrit

Përdorimi i metodës së rikalibrimit elementar për të njohur rangun e matricës

P і w e n і e. I rëndësishëm rreshti i i-të të matricës A me simbolin α i. Në fazën e parë të ripërshtatjes elementare të vikonit

Në një fazë tjetër të transformimit viconmo

Si rezultat, otrimaєmo

Algjebra vijore

Teoria e Slough-it

1. Matricë, me matrica, matricë e mbështjellë. Matrica Rivnyannya dhe іkh Rіshennya.

matricë- një tabelë me vijë të drejtë me numra të rëndësishëm, roztasvanih sipas rendit të këndimit, madhësia m * n (rreshta në 100). Identifikohen elementët e matricës, de i është numri i rreshtit dhe j është numri i qindtë.

shtesa (vidnimannya) matricat janë vetëm për matricat me një dimension. Shuma (diferenca) e matricës është një matricë, elementët e së cilës є sipas shumës (ndryshimit) të elementeve të matricave dalëse.

Shumëzimi (rospodil)nga numri- shumëfish (shpërndarja) e elementit të lëkurës së matricës në një numër të plotë.

Shumëzimi i matricave caktohet vetëm për matricat, numri i njëqind i të parës së të njëjtit numër rreshtash në tjetrin.

matrica të shumta- matrica, elementet e së cilës jepen me formula:

transpozimi i matricës- një matricë e tillë B, rreshta (njëqind për qind) nga të cilat є njëqind për qind (rreshta) në matricën kryesore A. nënkuptojnë

matricë unazore

matricë rivnyannya- Rivnyannya vіda A * X = B є tvir matricat;

1. Fallueshmëria lineare dhe papërcaktueshmëria e qindra (rreshtave) të matricës. Kriteri i depozitimit linear, depozitimi i mjaftueshëm dhe linear i 100% (rreshtave) të matricës.

Sistemi i rreshtave (100%) quhet katror linear, Meqenëse kombinimi i linjës është i parëndësishëm (barazia tregohet vetëm për a1 ... n = 0), ku A1 ... n janë njëqind (rreshta), aa1 ... n është një kapacitet ruajtës.

kriter: Në mënyrë që sistemi i vektorëve të jetë i varur në mënyrë lineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme, nëse dëshironi që një nga vektorët e sistemit të rrjedhë linearisht nëpër vektorët e sistemit.

pasuria e umov:

1. Kartat e biznesit për matricat dhe fuqinë

Shablloni i matricës (përcaktues)- i njëjti numër si për një matricë katrore A mund të llogaritet për elementët e matricës sipas formulës:

, De - element i vogël dodatkovy

fuqia:

1. Matrica Zvorotn_y, algoritmi për llogaritjen e matricës zvorotn_y.

matricë unazore- një matricë katrore e tillë X, si përveç matricës katrore A të të njëjtit rend, plotëson përkufizimin:, ku E është një matricë e vetme, e të njëjtit rend dhe іA. Nëse është një matricë katrore me një matricë, jo e barabartë me zero, por 1 matricë rrotulluese. Të jeni të vetëdijshëm për metodën ndihmëse të rikrijimit elementar dhe formulën ndihmëse:

Kuptoni rangun e matricës. Teorema bazë e vogël. Kriteri i barazisë me zero të matricës së matricës. Transformimi elementar i matricave. Llogaritur me metodën e shndërrimeve elementare. Llogaritja e matricës së mbështjellë me metodën e transformimit elementar.

Renditja e matricës - rendi bazë i vogël (rg A)

E vogla themelore - Urdhri i vogël r jo në zero, kështu që të gjithë të miturit të renditin r + 1 dhe më shumë për të renditur zero ose jo.

Teorema rreth minorit bazë - Në pjesën më të madhe të matricës A stovpez lëkure (rresht) є në kombinimin e linjës së furrave (rreshtave), në disa ri-qepje, minorja bazë.

Dorëzuar: Gjeni në matricën e madhësive m * n minorin bazë të shtresave në r rreshtat e parë dhe lidhjet r të para. Është e lehtë të kuptohet forma, e cila përkthehet si minorja bazë e matricës A të elementëve të mësipërm. rreshti s-tëі të shekullit k-të.

Natyrisht, nëse ka ndonjë, mbajtësi i kartës do të shkojë në zero. Nëse, atëherë, përcaktori duhet të zëvendësojë dy rreshta të njëjtë ose dy të të njëjtit rresht. Po ashtu, atëherë pllaka e emrit D çon në zero, ashtu siç është rendi minor (r + λ) -ro. Raznkladayuchi viznachnik në rreshtin e fundit, do të njohim:, elemente shtesë dealgjebrike të rreshtit të fundit. Çuditërisht, mirë, është si një minoren bazë. Tom, de Shkruani bilancin për, otrimuєmo , Tobto k-të njëqind(Në çdo rast) є kombinim i linjës prej 100% të minorit bazë, që duhet sjellë.

kriteri detA = 0- Mbajtës i kartëvizitës për zero todi dhe vetëm todi, nëse rreshtat (100) janë të veshura me ugar.

rizhvillimi elementar:

1) shumë rreshta nga një numër, jo nga zero;

2) shtimi i elementeve të një rreshti të elementeve të rreshtit të parë;

3) rirregullimi i rreshtave;

4) marrja e një prej të njëjtave rreshta (100%);

5) transpozimi;

Llogaritur në renditje - Me teoremat për pakicën bazë, rangu i matricës A është i përshtatshëm për numrin maksimal të rreshtave linearë të pavarur (100% në matricë), nga parazgjedhja e konvertimeve elementare për të njohur të gjitha rreshtat lineare të pavarura.

vlerësuar matricë e mbështjellë ­ - Rizbatimi mund të zbatohet në shumëfisha në matricën A të së njëjtës matricë T, pasi është një plotësues i matricave elementare të mëposhtme: TA = E.

Tse rіvnyannya do të thotë që matrica e transformimit T është një matricë vorbullash për matricën. Atëherë, tani,

Një rresht lëkure matricash А, me kuptim e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (për shembull,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) etj.). Lëkura e tyre është një rresht matricë, i cili mund të shumëzohet me numrin e një palosje në një rresht pas rregullave zagalnike për matricat.

kombinim linjash rreshtat e l, e 2, ... e k emërtojnë shumën e krijesave të këtyre rreshtave në shumicën e datave:
e = l l e l + l 2 e 2 + ... + l k e k, de l l, l 2, ..., l k - shumica e numrave (koeficientët e kombinimit linear).

Rreshtat e matricës e l, e 2, ... e m quhen ugar linear, Sa herë që ka numra të tillë l l, l 2, ..., l m, jo ​​menjëherë zero, por kombinimi i rreshtave në matricë shkon në zero me radhë:
l l e l + l 2 e 2 + ... + l m e m = 0, de 0 = (0 0 ... 0).

Akumulimi linear i rreshtave në matricë do të thotë që një rresht i matricës është i nevojshëm në një kombinim linear të tyre. Gjithsesi, nuk e di për vlerën e rendimentit të mbetur l m ¹ 0. Todi, pasi ka ndarë pjesët fyese të barazisë me l m, mund të përdoret për rreshtin e fundit, si një kombinim linear i rreshtave të tjerë:
e m = (l l / l m) e l + (l 2 / l m) e 2 + ... + (l m-1 / l m) e m-1.

Sapo të ketë një kombinim rreshtash të rreshtave në rrugën drejt zeros, atëherë rreshtat thirren i pavarur në mënyrë lineare.

Teorema e renditjes së matricës... Renditja e matricës është e përshtatshme për numrin maksimal të rreshtave të pavarura nga rreshti, por jo të gjitha, përmes të cilave mund të shfaqen të gjitha rreshtat e tjerë.

Le të vërtetojmë teoremën. Gjeni matricën A Madhësia m х n maє rank r (r (A) £ min (m; n)). Gjithashtu, ai tregohet në formën e zeros në minor të rendit të r-të. Çdo i mitur i tillë do të jetë nazivat bazë... Hajde për vlerën e tse minorit

Nazivat do të jenë edhe rreshtat e të miturës bazë.

Ju solli se të njëjtat rreshta të matricës e l, e 2, ... e r në mënyrë lineare katrore. Supozoni se ekziston një udhëzues, që është një nga një seri rreshtash, për shembull, r-të, në një kombinim linear të atyre: er = llel + l 2 e 2 + ... + l r-1 e r- 1 = 0. elementi r-th rreshtat e elementeve të rreshtit të parë, shumëzuar me l l, elementët e rreshtit të dytë, shumëzuar me l 2, etj., nareshty, elementët e rreshtit (r-1) -të, shumëzuar me l r-1, pastaj rreshti r-të bëhen zero. Në prani të autoriteteve të vizitorit të vishchenavisë, vizitori nuk është fajtor për ndryshimin, dhe në rastin e një shume të madhe parash, është zero. Fërkim Otrimano, është sjellë dhëmbëzimi i rreshtave.

Tani është e qartë se nëse ka (r + 1) rreshta në matricë, ka zvarritje lineare, kështu që nëse një rresht mund të shkelet përmes vijës bazë.

Në mënyrë të favorshme, një rresht (i-të) dhe një e qindta (j-të) ishin më parë të vogla. Si rezultat, njihet rendi minor (r + 1) -të, i cili për gradën e dhënë është zero.

Kuptimi i renditjes së matricës është i lidhur qartë me të kuptuarit e linjës (të pavarur) dhe numrin e rreshtave, për shembull. Nadal do të jetë një material për rreshta, për qindra viclades është i ngjashëm.

Matricë A kuptimisht її rreshtat e rangut sulmues:

Dy rreshta të matricës quhen të barabarta, Yaksho rіvnі іх llojet e artikujve :, yakshо ,.

Operacionet aritmetike në rreshtat e matricës (shumë rreshta nga një numër, rreshta shtesë) futen si operacione, të cilat kryhen element pas elementi:

rresht e të quhet një kombinim rreshtash..., matricat, nëse keni një numër të madh krijimesh në të njëjtën seri në shumicën e numrave:

Rreshtat e matricës quhen ugar linear Nëse ka numra të tillë, jo të barabartë me zero menjëherë, por kombinimi i rreshtave të rreshtave në matricë shkon në zero me radhë:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Teorema 3.3Rreshtat e matricave janë të veshura me djersë, nëse dëshironi një rresht matricash në një kombinim linear të të parës.

□ Dіysno, nuk e di për vlerën e formulës (3.3), sot

Në një renditje të tillë, një rresht është një linjë e kombinimeve të rreshtave të tjerë. ■

Nëse ka një kombinim rreshtash të rreshtave (3.3), atëherë rreshtat quhen rresht pas rreshti.

Teorema 3.4.(Rreth renditjes së matricës) Renditja e matricës është e përshtatshme për numrin maksimal të rreshtave të pavarur nga rreshti, por të gjitha rreshtat (njëqind) rrotullohen përmes tyre.

□ Ejani në matricë A madhësia m n gradë maє r(r min). Tse do të thotë, që isnu vidminny nga zero minor r rendi i th. Çdo i vogël jo-nul r Rendi i th do të quhet i vogël bazë.

Nokhay për vlerën e minores bazë є provinny abo kutoviy minoren. Të njëjtat rreshta të matricës janë linearisht të pavarur. Pa dyshim, një udhëzues, për një nga këto rreshta, për shembull, është një kombinim linear i tyre. Shihni artikujt r- rreshti i parë i elementeve të rreshtit të parë, i shumëzuar me, në vend të elementeve të rreshtit të 2-të, i shumëzuar me, ... dhe elementet ( r - 1) - rreshti i parë, shumëzuar me. Në krye të qeverisë 8, me një rizbatim të tillë të matricës, projektuesi D nuk ndryshon, megjithëse kaq jak. r- Rreshti I tani do të paloset nga një zero, pastaj D = 0 - fërkim. Otzhe, pripuschennya jonë ka të bëjë me ato rreshta matricash që janë linearisht të zbehta, jo në të vërtetë.

rreshtat e emërtuar bazë... Do të tregohet se ka (r + 1) rreshta në matricën e djersës lineare, kështu që nëse një rresht rrotullohet përmes vijës bazë.

Minor (r +1) - rendi i parë, i cili është i dukshëm kur minori shtohet me më shumë se një rresht elementësh iі stovptsі j... Tsei minor është derë më derë në zero, pra si renditja e matricës r Për këtë, bëhu si një i mitur në mënyrë që të rendit zero.

Duke shtrirë yogo për elementët e pjesës tjetër (dodany) stovpchik, i fiksuar

Moduli i pjesës së mbetur shtesë algjebrike dal nga minorja bazë D dhe duket se është nga zero, në atë është 0.

3. Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A.

4. Ilyin V.A., Poznyak E.G. Algjebra Linin.- M.: "Shkenca", 1978.- 304s.