čau

Simtiem izmēru matricas. Simtiem matricu lineāra kombinācija saukt par matricu-stovpez, tajā pašā laikā - darbības aktus vai kompleksos skaitļus, ko sauc pēc līniju kombinācijas koeficientiem... Tāpat kā līniju kombinācijā, kurā viss veiktspēja ir vienāda ar nulli, tad pirmsnulles matricu līniju kombinācija ir nulle.

Tiek izsauktas simtiem matricu lineāri neatkarīgs Ja visas līniju kombinācijas funkcijas būs nulle, ja visas līniju kombinācijas funkcijas būs nulle. Tiek izsauktas simtiem matricu lineārā papuve , Jakščo ir skaitļu kopa, vidējais vēlas būt viens no nulles un simtiem skaitļu rindas kombinācija ar vairākiem koeficientiem līdz nullei

Tāpat var būt dati par matricas rindu lineārās pamestības un lineārās atkāpes vērtību. Nadals visas teorēmas ir formulētas simts matricām.

5. teorēma

Kamēr matricas vidusdaļa ir nulle, tad matricas simtā daļa ir lineāri nokritusi.

Piegādāts. Līniju kombināciju ir viegli saprast, visās darbībās tā atgriezīsies uz nulli visām skrūvēm, kas nav nulles, un viens pret nulli simts procentiem. Būs nulle, un līniju kombinācijas funkciju vidus tiek parādīts kā nulle. Otzhe, simts lineāras papuves matricas.

6. teorēma

jakšo 100% matrica lineārā papuve, tad viss 100% no lineāro noguldījumu matricām.

Piegādāts. Mēs būsim par cieņas vērtību, par matricas pirmo simtu lineārā papuve. Atbilstoši izlaiduma līnijas vērtībām ir neliels skaitļu kopums, vidējais gribētu būt viens no nulles un rindu kombinācija simts procenti no koeficientu skaita līdz nullei.

Viegli lineāra visu 100 matricu kombinācija, ieskaitot simts procentus ar nulles veiktspēju

Ale. Otzhe, visas simtiem matricu ir lineāri atmatā.

pēctecība... Lineāru neatkarīgu matricu vidū, neatkarīgi no tā, vai tā ir lineāra neatkarīga. (To var viegli izdarīt, iebilstot pret to.)

7. teorēma

Lai simts matricas tiktu uzceptas uz līnijas, ir nepieciešams un pietiek, ja gribas, lai būtu simts matricu līniju kombinācijaіnshikh.

Piegādāts.

Nepieciešamība. Nav simts lineāras papuves matricas, lai būtu vienkārša skaitļu kopa, vidējais vēlas būt viens no nulles un simtiem faktoru lineāra kombinācija no parametru skaita līdz nullei.

Pieņemama vērtība, scho. Todi tobto ir pirmie simts procenti no pirmās rindas kombinācijas.

pietiekamība... Nekhai vēlētos, lai lineārā skaitļu kombinācijā būtu simts matricas, piemēram, izšķirošie skaitļi.

Tas ir, lai līniju kombinācija būtu nulle un rindu kombinācijas skaitļu vidus būtu viens (ja), kas parādīts kā nulle.

Atrodiet matricas rangu. Esiet informēts no nulles līdz mazākajai izsaukuma secībai pamata ... Tiek izsauktas rindas і simtptsі, kurām apgāžoties stāv pamata minors bāzes līnija .

Izmēru (m; n) matricā A atlasiet k rindas un k 100% (k ≤ min (m; n)). Matricas elementi, kas stāv uz mainīgām vibrāciju rindām un 100%, izveido kvadrātmatricu k kārtas, kuras nosaukums tiek saukts par mazo M kk secību k y vai mazo k-to matricas A kārtu.

Matricas rangs ir matricas A nulles nepilngadīgo nepilngadīgo maksimālā secība r, un, ja nepilngadīgais ir no kārtas r, nepilngadīgais ir pamata minors. Apzīmējums: zvana A = r. Ja rangs A = rangs B un matricu A un B izmēri sakrīt, tad matricas A un B sauc par ekvivalentām. Apzīmējums: A ~ B.

Galvenās metodes matricas ranga aprēķināšanai ir mazākuma uzlabošanas metode un metode.

Veselu nepilngadīgo metode

Metodes būtība ir padarīt laukuma nepilngadīgos veselus uzbrukumā. Atrodiet matricā tās pašas mazākās kārtas k vērtības, nulles vērtību. Mazi bērni izskatās ārpus k+1 nepilngadīgo kārtas, jo viņi atrodas savā (t.i., oblyamovuyut) mazajā secībā, skatoties no nulles. Ja visas smirdības atgriežas uz nulli, tad matricas rangs ir k, vidus vidū minors ir (k + 1) secībā, būs norāde uz nulli un visa procedūra tiek atkārtota.

Matricas rindu linearitāte (100%)

Matricas ranga izpratne ir skaidri saistīta ar izpratni par lineāro neatkarību un rindu skaitu (100).

Matricas rindas:

tos sauc par lineāri atmatām, kad šādi skaitļi ir zināmi kā λ 1, λ 2, λ k, bet vienādība ir patiesa:

Matricu A rindas sauc par lineāri neatkarīgām, jo ​​ir mazāk vienādību, ja visi skaitļi ir λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0

Analogs rangs ir matricas A simto daļu izlaiduma un nenoteiktības līnija.

Tāpat kā matricas A rindu (a l) (de (a l) = (a l1, a l2, ..., a ln)) var attēlot skatā

Analogs rangs tiek piešķirts stovptu lineārās kombinācijas māceklim. Teorēma par pamata minoru ir spēkā.

Pamatrindas un pamata rindas. Vai ir rinda (nav) matricai A є lineāra pamata rindu (stoppts) kombinācija, t.i., E. Rindas (stoppts), kas šķērso pamata minoru. Tādējādi matricas A rangs: rangs A = k ir piemērots maksimālajam matricas A lineāri neatkarīgo rindu skaitam (simts procenti).

Tātad matricas rangs ir lielākās kvadrātveida matricas lielums šīs matricas vidū, kuram ir jānovērtē rangs, kuram dizainers nav nulle. Ja redzamā matrica nav є kvadrāts, bet ja tā ir kvadrāta, bet matricas izmērs ir nulle, tad mazākas kārtas kvadrātveida matricām tiek atlasītas rindas un 100%.

Ar matricas palīdzību matricas rangu var noteikt pēc lineāri neatkarīgu rindu skaita, nevis pēc matricu skaita. Ir dažas no visizplatītākajām līniju rindām, bet no tā, kurš ir mazāks, vairs nav papuves. Piemēram, ja matricā ir 3 no rindas neatkarīgas rindas un 5 rindas neatkarīgas rindas, tad rangs ir trīs.

Lietojiet zināmo matricas rangu

Izmantojot nepilngadīgo uzlabošanas metodi, lai uzzinātu matricas rangu

P і w e n і e. Neliela atšķirīgā secībā

robežojošais nepilngadīgais ir M 2, kas pazīstams arī kā nulle. Tomēr, apvainojot ceturtās kārtas nepilngadīgo, izdziedināt M 3.

atgriezties uz nulli. Līdz ar to matricas A rangs iepriekš ir 3, un pamata minora ir, piemēram, minora M 3 attēlojums.

Bāzes elementārās transformācijas metode uz to, ka matricas elementārā transformācija nemaina tās rangu. Vikoristovuchi un atkārtotu ieviešanu, ir iespējams nogādāt matricu uz skatu, ja visi elementi, krimt a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), pievieno nulli. Tse acīmredzami nozīmē, ka zvanīja A = r. Jāatzīmē, ka, ja n-tās kārtas matricu var redzēt ar augšējo trīskāršu matricu, tas ir, Matricu, visiem elementiem zem galvas diagonāles tai jābūt nullei, tad jums jāpārliecinās, ka elementi ir vairāk par galvu. Jaudas cena var būt uzvaroša, ja matricas rangs tiek aprēķināts ar elementārās saskaņošanas metodi: ir nepieciešams arī novest matricu uz trīsstūrveida, jo jūs esat redzējis pirmo, jūs zināt nulli, bet otras matricas rangs

Izmantojot elementārās pārkalibrēšanas metodi, lai uzzinātu matricas rangu

P і w e n і e. Būtiski i-tā rinda matricu A ar simbolu α i. Viconmo elementārās pārskatīšanas pirmajā posmā

Citā vikonmo transformācijas posmā

Tā rezultātā otrimaєmo

Līniju algebra

Slough teorija

1. Matrica, ar matricām, matrica ietīta. Matrix rіvnyаnnya un іх risinājums.

matrica- taisnu līniju tabula ar nozīmīgiem skaitļiem, roztasvanih dziedāšanas secībā, izmērs m * n (rindas pie 100). Matricas elementi ir identificēti, de i ir rindas numurs, un j ir simtais skaitlis.

papildinājums (vidnimannya) matricas ir paredzētas tikai viendimensiju matricām. Matricas summa (starpība) ir matrica, kuras elementi є atbilstoši izejošo matricu elementu summai (starpībai).

Reizināšana (rospodils)pēc numura- matricas ādas elementa daudzkārtējs (izplatījums) ar vienu un to pašu numuru.

Matricu reizināšana ir paredzēta tikai matricām, simts no pirmās no tāda paša rindu skaita otrā.

vairākas matricas- matrica, kuras elementus nosaka ar formulām:

matricas transponēšana- tāda matrica B, no kurām rindas (100%) є 100% (rindas) pie izvades matricas A. apzīmēt

gredzena matrica

matrica rivnyannya- Rivnyannya vіda A * X = B є tvir matricas, kas parādītas dan іvnyannya є matrіtsaX, kas ir aiz papildu noteikumiem:

1. Matricas simtu (rindu) lineāra atbaidīšana un nenoteiktība. Lineārās nogulsnēšanās kritērijs, pietiekama un lineāra matricas nogulsnēšanās 100% (rindu).

Tiek saukta rindu (stovpts) sistēma lineārs kvadrāts, Tā kā līniju kombinācija ir triviāla (paritāte ir parādīta tikai a1 ... n = 0), kur A1 ... n ir simts (rindas), aa1 ... n ir sadalījuma efektivitāte.

kritērijs: Lai vektoru sistēma būtu lineāri atkarīga, ir nepieciešams un pietiek, ja vēlaties vienu no sistēmas vektoriem un lineāri plūst cauri sistēmas vektoriem.

umova bagātība:

1. Vizītkartes matricām un jaudai

Matricas veidne (determinants)- tādu pašu skaitli kā kvadrātmatricai A var aprēķināt matricas elementiem pēc formulas:

, De - dodatkovy minor elements

jauda:

1. Zvorotn_y matrica, zvorotn_y matricas aprēķināšanas algoritms.

gredzena matrica- šāda kvadrātveida matrica X, kā papildus tādas pašas kārtas kvadrātmatricai A, atbilst definīcijai:, kur E ir viena matrica, ar tādu pašu secību un іA. Vai tā ir kvadrātveida matrica ar matricu, kas nav vienāda ar nulli, bet 1 rotācijas matrica. Apzināties elementārās pārradīšanas palīgmetodi un palīgformulu:

Saprast matricas rangu. Mazā pamata teorēma. Matricas matricas vienādības ar nulli kritērijs. Matricu elementārā transformācija. Aprēķināts ar elementāro pārrēķinu metodi. Aplauztās matricas aprēķins ar elementārās transformācijas metodi.

Matricas rangs - pamata nelielais pasūtījums (rg A)

Pamata nepilngadīgais - mazā secība nav nulle, tātad visas mazās kārtas ir r + 1;

Mazā pamata teorēma - Lielākajā daļā matricas A ādas stovpez (rinda) є stāvptu (rindu) līniju kombinācijā, dažos pāršuvi, pamata minors.

Piegādāts: Atrodiet izmēru m * n matricā šuvju pamata minoru pirmajās r rindās un pirmajās r saitēs. Ir viegli saprast apzīmējumu, kas tiek atveidots attiecināts uz doto elementu matricas A bāzes minoru s-tā rinda k-tā gadsimta і.

Acīmredzot, ja tādi ir, kartes īpašnieks tiks pazemināts līdz nullei. Ja tad noteicošais faktors ir aizstāt divas no tām pašām rindām vai divas no vienas rindas. Ja tas pats, tad formatējums D ved uz nulli, tātad kā є minor (r + λ) -ro secībā. Razkladyuchi viznachnik pēdējā rindā mēs atpazīsim:, pēdējās rindas de-algebriskos papildu elementus. Apbrīnojami, nu, tā kā pamata nepilngadīgais. Toms, de Pierakstiet atlikumu, otrimuєmo , Tobto k-tais simts(Jebkurā gadījumā) є rindu kombinācija 100% no pamata minora, kas jāatnes.

d kritērijsetA = 0- Vizītkaršu turētājs nulles todi un tikai todi, ja rindas (100) ir izklāta ar papuvi.

elementāra pārbūve:

1) vairākas rindas ar skaitli, no nulles;

2) pirmās rindas elementu vienas rindas elementu pievienošana;

3) rindu pārkārtošana;

4) paņemt vienu no tām pašām rindām (100%);

5) transponēt;

Aprēķināts pēc ranga - Ar teorēmām par pamata minoritāti matricas A rangs ir piemērots maksimālajam lineāro neatkarīgo rindu skaitam (100% matricā), no elementāro pārveidojumu kopas, lai zinātu visas lineārās neatkarīgās rindas.

novērtēts iesaiņota matrica ­ - Atkārtotu ieviešanu var realizēt tās pašas matricas T matricas A daudzkārtnēs, jo tā ir šādu elementāru matricu papildinājums: TA = E.

Tse rіvnyannya nozīmē, ka transformācijas matrica T ir matricas virpuļmatrica. Tad, tagad,

Matricu ādas rinda А ir nozīmīgi e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (piemēram,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) utt.). To āda ir matricas rinda, kuru var reizināt ar krokas skaitu pēc kārtas, kas atrodas aiz matricu zagalny noteikumiem.

līniju kombinācija rindas e l, e 2, ... e k nosauciet šo rindu radījumu summu lielākajā daļā datumu:
e = l l e l + l 2 e 2 + ... + l k e k, de l l, l 2, ..., l k - lielākā daļa skaitļu (lineārās kombinācijas koeficienti).

Tiek izsauktas matricas rindas e l, e 2, ... e m lineārā papuve, Ikreiz, kad ir tādi skaitļi l l, l 2, ..., l m, nevis uzreiz nulle, bet rindu kombinācija matricā iet uz nulli pēc kārtas:
l l e l + l 2 e 2 + ... + l m e m = 0, de 0 = (0 0 ... 0).

Lineāra rindu uzkrāšana matricā nozīmē, ka matricu lineārā kombinācijā ir nepieciešama viena matricas rinda. Dіysno, nezinu atlikušās efektivitātes vērtību l m ¹ 0. Todi, sadalot vienādības pārkāpuma daļas ar l m, var izmantot pēdējai rindai, tāpat kā pārējo rindu lineāra kombinācija:
e m = (l l / l m) e l + (l 2 / l m) e 2 + ... + (l m-1 / l m) e m-1.

Tiklīdz ceļā uz nulli ir rindu kombinācija, tad rindas tiek izsauktas lineāri neatkarīgs.

Matricas rangu teorēma... Matricas rangs ir piemērots maksimālajam no rindas neatkarīgo rindu skaitam, bet ne visām, caur kurām var parādīt visas pārējās rindas.

Pierādīsim teorēmu. Atrodiet matricu A izmērs m x n maє rank r (r (A) £ min (m; n)). Otzhe, іsnu liek no nulles uz mazo r-to secību. Jebkurš šāds nepilngadīgais būs nazivats pamata... Nāc par tse minora vērtību

Arī nepilngadīgā rindas būs nazivat bāzes līnija.

Atnesa jums, ka vienas un tās pašas matricas rindas e l, e 2, ... e r lineāri kvadrātā. Domājams, ka ir ceļvedis, lai viena no šīm rindām, piemēram, r-th, būtu to lineāra kombinācija: er = llel + l 2 e 2 + ... + l r-1 e r-1 = 0. elements r-th 1. rindas elementu rindas, reizinātas ar l l, 2. rindas elementi, reizināts ar l 2 utt., nareshti, (r-1) rindas elementi, reizināts ar l r-1, tad rth rinda kļūt par nulli. Viščenavijas apmeklētāja varas iestāžu klātbūtnē apmeklētājs nav vainīgs pārmaiņās, un lielas naudas summas gadījumā tā ir nulle. Atvests Otrimano berzes, rindu ievilkums.

Tagad ir skaidrs, ka, ja matricā ir (r + 1) rindas, tad ir lineāras papuves, lai noteiktu, vai rindu var pagriezt caur bāzes līniju.

Izdevīgi viena rinda (i-tā) un viena simtā (j-tā) iepriekš bija maznozīmīga. Rezultātā tiek atpazīta mazā (r + 1) pakāpe, kas dotajam rangam ir nulle.

Matricas ranga izpratne ir skaidri saistīta ar izpratni par ciltsrakstu (neatkarīgu) un rindu vai pat vairāk. Nadals būs materiāls rindām, simtiem viklādu ir līdzīgi.

Matrica A jēgpilni її rindas pēc uzbrukuma pakāpes:

Divas matricas rindas sauc par vienādām, Yaksho rіvnі іх priekšmetu veidi :, yakshо ,.

Aritmētiskās darbības ar matricas rindām (vairākas rindas pēc skaitļa, papildu rindas) tiek ievadītas kā darbības, kuras veic pa elementam:

rinda e ko saukt par rindu kombināciju..., matricas, ja jums ir liels skaits veidojumu vienā un tajā pašā sērijā lielākajai daļai skaitļu:

Matricas rindas sauc lineārā papuve Ja šādi skaitļi uzreiz nav vienādi ar nulli, bet matricas rindu kombinācija pēc kārtas iet uz nulli:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Teorēma 3.3Matricu rindas ir lineāri atmatā, ja vēlaties, lai viena matricu rinda būtu pirmās lineārā kombinācijā.

□ Dіysno, nezinu formulas (3.3) vērtību, todі

Šādā rangā rinda ir citu rindu kombinācijas rinda. ■

Ja ir rindu kombinācija (3.3), tad rindas sauc pa rindiņām.

Teorēma 3.4.(Par matricas rangu) Matricas rangs ir piemērots maksimālajam no rindas neatkarīgo rindu skaitam, bet visas rindas (100) tiek pagrieztas pa katru rindu.

□ Nāc, matrica A izmērs m n maє rangs r(r min). Tse nozīmē, ka isnu vidminny no nulles minora r rīkojums. Jebkurš nepilngadīgais r kārtu sauks par pamata nepilngadīgo.

Nokhay par pamata minora vērtību є provinny abo kutoviy minor. Tās pašas matricas rindas ir lineāri neatkarīgas. Jāatzīst, ka ceļvedis, līdz vienai no rindu sērijām, piemēram, citu lineāra kombinācija. Skatiet preces r- pirmās rindas elementu pirmā rinda, kas reizināta ar, nevis 2. rindas elementi, reizināta ar ... un elementi ( r - 1) - pirmā rinda, reizināta ar. Valdības priekšgalā 8 ar tādu matricas atkārtotu ieviešanu dizainers D nemainās, lai gan tik jaks r- Es rindu tagad salocīšu no vienas nulles, tad D = 0 - berzēšana. Otzhe, mūsu pripuschennya ir par tām matricu rindām, kas ir lineāri atmatā, patiesībā ne.

rindas nosauktas bāzes līnija... Tiks parādīts, ka lineārās papuves matricā ir (r + 1) rindas, lai noteiktu, vai rinda ir savīta caur bāzes līniju.

Mazais (r +1) - pirmā secība, kas ir redzama, ja mazais ir pievienots ar vairāk nekā vienu elementu rindu iі stovptsі j... Tsey minor līdz nullei, tātad matricas rangs ir līdz r Tāpēc esiet kā nepilngadīgais, lai pasūtītu nulli.

Ieklāšana yogo par pārējo elementiem (dodany) stovpchik, apsēsts

De modulis atlikumu algebriskais papildinājums iziet no pamata minora D un šķiet, ka tas ir no nulles līdz 0.

3. Voevodins V.V., Kuzņecovs Yu.A.

4. Iļjins VA, Poznyak EG Linin algebra.- M.: "Zinātne", 1978.- 304s.