Elementa aij algebriskā pievienošana. Minori un algebriskās piedevas

MinoromM ij elements a ij apmeklētājs n -kārtību sauc par pasūtījuma apzīmējumu ( n-1 ). i -y rindas i j stovpchik).

algebriskā papildu elements a ij pajautā Virazam:

Vizītkaršu pasūtīšana n>3 jāaprēķina saskaņā ar izklājlapas papildu teorēmu rindas elementiem, ja nav:

Teorēma. Uzņēmuma vadītājs jebkuras rindas vai jebkura simta papildu elementu summai, pamatojoties uz algebriskiem papildu elementiem, tobto

Muca.

Aprēķiniet viznachnik, paplašinot to atbilstoši rindas elementiem, atturoties:

Lēmums

1. Ja kādā vienā rindā vai simts un viens elements ir redzams tikai viens elements no nulles, tad nav nepieciešams atkārtoti izveidot formas apzīmējumu. Pirmkārt, pirmo reizi uzstādot teorēmu par uzņēmuma īpašnieka izplatību, turklāt uzvarētājam nav spēka: pat pirms rindas elementiem (simts procenti) pievienot skaitli no jaunās rindas elementiem)

3. rindā ir 3 elementi no tāda paša veida 2. rindas elementiem.

No priekšmetiem, kas ir simts četras reizes, katrs no simts trīs vienumiem, kas reizināts ar 2.

Mazumtirdzniecības kaste trešās rindas elementiem

2. Otrimaniy viznachnik no 3. kārtas var aprēķināt pēc trikutņikiva vai pēc Sarrus (dievišķā) likuma. Tomēr apmeklētāja elementi є jāaizpilda ar lielu skaitu, lai apmeklētāju varētu izplatīt, viņa priekšā pārrakstot jogu:

No citas rindas elementiem var redzēt pirmās rindas elementus, kas reizināti ar 3.

No pirmās rindas elementiem var redzēt trešās rindas elementus.

Līdz 1. rindas elementiem līdz tāda paša veida 2. rindas elementiem

Vizītkaršu turētājs ar nulles ceļu rindu 0.

Otzhe, viznachniki pasūtījums n>3 aprēķināts:

· Perevorenniyam viznachnik to tricut viglyadu par palīdzību iestādēm viznachnikiv;

· Razkladannyam viznachnik termina abo stovptsi elementiem, paši par sevi samazinot pasūtījumu.

Matricas rangs.

Matricas rangs ir svarīgs skaitlisks raksturlielums. Naycharacteristicheshuyu zavdannyam, tāpēc vimagaє zināt matricas rangu, є lineāro algebrisko ekvivalentu sistēmas garīguma pārskatīšanu.

pēc matricas A pasūtījums lpp x n ... čau k - tas ir naturāls skaitlis, jo es nesagrozu mazākos z skaitļus lpp і n , tobto,

Neliela k-tā kārtība matricas A secībā sauc par kvadrātmatricu k x k , Salocīts ar matricas elementiem A Es zinu, ka esmu tālās vibrācijās k rindas i k bultskrūves, turklāt elementu rozetēšana matricā A zberіgaєtsya.

Matrica ir redzama:

Matricas pirmajā secībā varam ierakstīt nelielu skaitu nepilngadīgo. Piemēram, vibrējošā trešā rinda un citas matricas A Tad pēc mūsu izvēles pēc mūsu izvēles tika ieteikta pirmā secība det (-4) = - 4. A , Un par stihijas pazaudēšanu viņi ielika visnatņiku.

Šis rangs, matricas pirmās kārtas minori, ir paši matricas elementi.

Tajā ir parādīts neliels nepilngadīgo skaits citā secībā. Vibrē divas rindas vai divi simti. Piemēram, es asari un viens otru rindas, un trešo un ceturto no simts. Ar šādu vibrāciju ir citas kārtas minors
.

Neliela cita matricas secība Aє nepilngadīga

Tāpat jūs varat zināt matricas trešo secību A ... Tātad jaks matricā A visas trīs rindas, tad viss tiek savākts. Tiklīdz pirms tsikh rindām, vibrējiet trīs pirmos podus, tad mēs varam ņemt trešās kārtas nepilngadīgo:

Trešās kārtas nepilngadīgais є:

Dotai matricai A nepilngadīgie, trešā pasūtījumi nav atrasti, tātad jaks

Skіlіk i ісnu nepilngadīgajiem k - Oho matricas secība A pasūtījums lpp x n ? Chimalo!

Pasūtījuma nepilngadīgo skaits k var aprēķināt pēc formulas:

matricas rangs labāko secību sauc par matricas minoru, nulles veidu.

Matricas rangs A nozīmē jaks zvanīja (A). Matricas rangam un matricas minorai ir iespējams izveidot modeļus, bet nulles matricas rangs pārsvarā ir nulle, un nulles matricas rangs nav mazāks par vienu.

Arī ar pirmo matricas ranga noteikšanas metodi є nepilngadīgo uzskaite ... Visa metode, kā piešķirt matricas piešķirtajam rangam.

Paziņojiet mums matricas rangu A pasūtījums lpp x n .

Ja ir viens matricas elements, kas norādīts kā nulle, tad matricas rangs ir tikpat minimāls kā pirmais (tātad tas ir pirmais pirmajā secībā, bet ne vienāds ar nulli).

Dāls iziet cauri citas kārtas nepilngadīgajiem. Ja visas nepilngadīgās personas dažādās secībās iet uz nulli, tad matricas rangs pārsvarā ir viens. Ja vēlamies, lai mums būtu viens citas kārtas nepilngadīgais, tad pārejam uz trešās kārtas nepilngadīgo meklēšanu, un matricas rangs ir kā minimums divi.

Tāpat, ja visi trešās kārtas nepilngadīgie ir nulle, tad matricas rangs ir divi. Ja es vēlos b vienu trešās kārtas nepilngadīgo, kas dots no nulles, tad matricas rangs kā minimums ir trīs, un mēs pastiprinām ceturtās kārtas nepilngadīgo uzskaitījumu.

Acīmredzot matricas rangu nevar apmainīt ar mazāko skaitli lpp і n .

Muca.

Zināt matricas rangu
.

Lēmums.

1. Tā kā matrica ir nulle, tad rangs nav mazāks par vienu.

2. Viens s nepilngadīgie citā kārtībā
no nulles, no tā paša, matricas ranga A nevis mensh divi.

3.trešās kārtas nepilngadīgais

Visi trešās kārtas nepilngadīgie tiek novesti uz nulli. Šim nolūkam matricas rangs ir divi.

zvanīja (A) = 2.

Uzziniet par matricas ranga noteikšanas metodēm, kas ļauj labot rezultātu ar mazāku aprēķina robotu skaitu.

Viena no šīm metodēm veselu nepilngadīgo metode ... Izmantojot uzvarošo aprēķinu metodi, smaile paātrināsies, un vienalga, smaka beigsies ar pērkona negaisiem.

Ir vēl viens veids, kā uzzināt matricas rangu - papildu palīdzība elementāra pārtaisīšana(Gausa metode).

Tiek saukta gaidāmā matricas transformācija elementārs :

· Matricu rindu (vai aizbāžņu) permutācija ar pelēm;

Matricas noteiktas rindas (kaudzītes) visu elementu reizināšana ar lielu skaitli k, Skats no nulles;

Matricas pirmās rindas (simts) noteiktu elementu pievienošana noteiktas rindas (kaudzītes) elementiem, reizināta ar lielu skaitu k.

Matricu B sauc par ekvivalento matricu A, yaksho V otriman s A par papildu skaitu pārskatīšanas elementu. Matricu līdzvērtību apzīmē ar simbolu « ~ » , Tobto, pieraksties A ~ B.

Zinot matricas rangu aiz matricas elementārās transformācijas pievienošanas, pamatojas uz sacietējušo: kas ir matrica V apgriezts no matricas A papildus elementāro reklāmguvumu beigu skaitam, tad r ang (A) = zvana (B) , Tobto līdzvērtīgu matricu rindās .

Polaritātes elementārās pārveidošanas metodes būtība dotajā matricā, kuras rangs mums jāzina, uz trapecveida (pa to laiku uz augšējo trīsstūri) papildu elementārpārveidošanai.

Šāda veida matricu rangu ir ļoti viegli uzzināt. Rindu rindas ir vairākas, bet atriebties būtu vēlams viens elements, kas nav nulle. Un tā kā matricas rangs nemainās, veicot elementāru pārveidošanu, tad vērtība tiks noraidīta kā matricas rangs.

Muca.

Izmantojot elementārās konvertēšanas metodi, lai uzzinātu matricas rangu

.

Lēmums.

1. Ātri uzmetot viena otrai matricu rindas A Tātad jaku elements a 11 = 0, Elements a 21 nulles skats:

~

Atveidotajā matricā elements ir vienots. Pirmajā rindā bija nepieciešams reizināt pirmās rindas elementus ar. Zrobimo visi pirmā stovpčika elementi, krim pirmais, nulle. Otrajā rindā tajā pašā є ir nulle, līdz trešajai rindai dodamo, reiziniet ar 2:

Elements apgrieztajā matricā tiek parādīts kā nulle. Reiziniet citas rindas elementus ar

Vēl simts procenti no apgrieztās matricas ir noderīga tipa, jo elements jau ir dārgs līdz nullei.

Tātad jaku , a To atceras skursteņu trešajā un ceturtajā ceturksnī, un apgrieztās matricas trešā rinda tiek reizināta ar:

Dotā matrica tiek atdota līdz trapecveida formai un iepriekšējā rindu skaita rangam, lai būtu vēlams viens elements, kas nav nulle. Ir trīs šādas rindas, un vecākmatricas rangs ir trīs. r ang (A) = 3.

Zvorotna matrica.

Lean maєmo matrica A .

Matrica, gredzena matrica A , Saukta par matricu A -1 taka, scho A -1 A = A A -1 = E .

Zvorotny matricu var izmantot tikai kvadrātveida matricai. Turklāt tas ir pats.

Lai kvadrātveida matrica būtu maza zorotny, tā ir vainīga ne-jaunava (tobto Δ ≠0 ). Qia umova un pietiekami A -1 uz matricu A ... Otzhe, ja matrica nav virulenta, es pagriezīšos un pirms tam būšu viens.

zināšanu algoritms iesaiņota matrica uz dibena matricas A :

1. Mēs zinām matricas veidni. yaksho Δ ≠0 , Tad matrica A -1 isnu.

2. Salokāms ar matricu Algebriskajā ievades matricas papildu elementos A ... Tobto matricā V elements i - pirmā rinda i j - gadsimts būs algebrisks papildus A ij elements a ij gatavā matrica.

3. Transponē matricu V і іtrimaєmo B t .

4. Ir zināms, ka matricu var pagriezt, reizinot izslēgto matricu B t pēc numura .

Muca.

Dotajai matricai ziniet rotējošo un vikonati inversiju:

Lēmums

Mēs to ātri aprakstīsim ar iesaiņotās matricas izzināšanas algoritmu.

1. Zvana matricas definēšanai nepieciešams aprēķināt dotās matricas izmēru. Skoristaєmosya pēc trikutņikivas likuma:

Matrix є nav jaunava, jā, tas ir vilkacis.

Mēs zinām visu matricas elementu algebrisko pievienošanu:

No zināmajām algebriskajām piedevām saskaitiet matricu:

es transponēju

Ja uz formas turētāja esat izaudzējis apgrieztās matricas ādas elementu, varat izmantot matricu, lai tā izskatītos šādi:

Saites rekonstrukcija uz daudzām dažādām sarakstā esošajām matricām. Ikreiz, kad rotācijas matrica ir pareizi zināma, vairāku skatījumu rezultātā matrica ir viena.

Lai uzzinātu par iesaiņoto matricu dotajam, ir iespējams paātrināt Gausa metodi (čīkst, priekšā, dzied, matrica ir apgriezta), es paskatīšos uz to, ko es meklēju neatkarīgs robots.

Bez matricas pārrakstīšanas veidni ir viegli izmantot tikai matricām, kuru izmērs ir 2 × 2 un 3 × 3. Mēģiniet ievērot formulas:

matricai

failu dizainers:

matricai

failu dizainers:

a11 * (a22 * a33-a23 * a32) -a12 * (a21 * a33-a23 * a31) + a13 * (a21 * a32-a22 * a31)

Rozrakhunki matricām ar izmēru 4 × 4 un ir savītas, tāpēc ir nepieciešams to pārstrādāt saskaņā ar dizainera pilnvarām. Ir jālabo matrica, kurā visas simtprocentīgās malas vērtības vai jebkura rinda jāpievieno nullei. Šādas matricas pielietojums:

Viņai dizainera vārds:

A12 * (a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41))

Brutalizēt cieņu, scho

a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41)

matricas determinanta aprēķins, pamatojoties uz rindu skaitu un rindu skaitu, uz kurām tikai nav nulles CNC rindu / rindu, saskaņā ar kurām matrica ir izklāstīta:

Es novārtā atstātās vērtības var reizināt ar to pašu skaitli no "nulles" kaudzes / rindas, kurai skaitli var reizināt ar -1 (visas detaļas ir zemākas).

Ja matricu parādīsit triku skatītājam, datu plāksnīte tiks skaitīta kā ciparu skaits pēc diagonāles. Piemēram, matricām

Vizītkaršu turētājs:

Līdzīgi, remonts ar matricām 5 × 5, 6 × 6 un lieliem izmēriem.

Matricas atkārtota izveide ir jānosaka saskaņā ar apmeklētāja pilnvarām. Ale persh nіzh dodieties uz praksi, kā aprēķināt dizaina karti 4 × 4 matricām, pievērsīsimies 3 × 3 matricām, un ir detalizēti skaidrs, kā tām aprēķināt dizaina karti.

nepilngadīgais

Matricas dizainers nav pat vienkāršāks inteliģencei, atspoguļojums rekursijas klātbūtnes izpratnē: matricas dizainers tiek glabāts no uzlīmes elementiem, ieskaitot dizaineru (-u) matricas.

Neieslīgstiet pie datora, pieņemsim tikai pieņemamā laikā (laiks pēc stundas),

aprēķina šādi:

Mēs joprojām gatavojamies gudrsі tādās izpratnēs jaks nepilngadīgaisі algebriskā papildu.

Burts i apzīmē notekas kārtas numuru, burts j apzīmē veikala kārtas numuru.

a ij apzīmē matricas elementu (ciparu) rindas i šķērslīnijā, kas ir simtā j.

Acīmredzot tā ir matrica, jo tā ir iegūta no i rindas izvades skatiem un tāda paša skaita j. Jaunās matricas veidni, kas iegūta no tāda paša j skaita rindas i skatu saraksta, sauc par elementa a ij minoro M ij.

Ilustratīvi teikts. Domājams, ka dota matrica

Lai piešķirtu mazajam M 11 elementam 11, mums ir jāievieto jauna matrica, lai ievadītu no pirmās rindas un pirmā simta vizuālajiem materiāliem:

Es saskaitu viņas vārdu: 2 * 1 - (-4) * 0 = 2

Lai mazajiem M 22 elementiem piešķirtu 22, jāievieto jauna matrica, lai mēs varētu ievadīt no citas rindas un citas saites skata:

Es rēķinos pēc viņas vārda: 1 * 1 -3 * 3 = -8

algebriskā papildus

Algebriskos papildinājumus A ij elementam a ij sauc par elementa mazo M ij, kas ņemts ar zīmi "+", kā indeksu summu rindās і 100% (i + j), apgāšanās gadījumā, kas ir ir pazīstami elementi, pāris, pāris, arī indeksu summa ir nesapārota.

Tādā rangā,

Matricai no priekšējās dibena

A 11 = (-1) (1 + 1) * (2 * 1 - (-4) * 0) = 2

A 22 = (-1) (2 + 2) * (1 * 1 -3 * 3) = -8

Matricas aprēķins matricām

Numurētā secība n, ko norāda matrica A, ir skaitlis, ko apzīmē ar det A un aprēķina pēc formulas:

Mēs visi zinām vienas un tās pašas formulas, tagad gūsim labu priekšstatu par matricu

Jebkurš bi nav rindas numurs i = 1, 2, ..., n, bet tikai j = 1, 2, ..., n n-tas kārtības marķieris rindas elementu papildu vienumiem.

Tobto determinantu var aprēķināt ar jebkuru simtu vai jebkuru rindu.

Schob ir apgriezts kopumā, ir iespējams aprēķināt matricas izmēru matricai no pārējās mucas uz divām kolonnām

Jak Bachimo, rezultāts ir identisks, un visai matricai apzīmējums, iespējams, būs -52 neatkarīgi no tā, jebkurā rindā vai kolonnā mēs to izmantosim.

Matricas dizainera autoritāte

1. Apzīmētāja rindas un simtdaļas ir vienādas, t.i. Šo darbību sauc par apmeklētāja transponēšanu. Atkarībā no formulētās jaudas det A = det AT.
2. Pārkārtojot divas rindas (vai divsimt procentus) ar pelēm, marķieris iegūst absolūto vērtību, bet maina zīmi uz pretējo.
3. Kartes turētājs ar divām identiskām rindām (tīri) līdz nullei.
4. Visu apzīmētāja rindas skaitļa (vai simtu skaitļa) elementu reizinājums ar skaitli λ ir vienāds ar apzīmējuma reizinājumu ar skaitli λ.
5. Ja visiem kartes turētāja noteiktas rindas elementiem (vai tā būtu noliktava) ir jāatgriežas uz nulli, tad pašam kartes turētājam ir jāatgriežas uz nulli.
6. Ja elementi ir divas formatēšanas rīka rindas (vai divi simti), tad formatēšanas rīks ir paredzēts nullei.
7. Pat pirms rindas elementiem (vai noteiktai simtdaļai) kartes turētāja pievienot vienu elementu rindu (pirmā kaklasaite), kas reizināta ar nozīmīgu koeficientu λ, tad kartes turētāja izmērs nemainās.
8. Kartes turētāja jebkuras rindas (neatkarīgi no tā, vai tā ir štāpeļšķiedrām) papildu elementu summa visiem jebkuras rindas algebriskajiem papildu elementiem (neatkarīgi no tā, vai tā ir pirmā neizšķirtā) tiks pieskaitīta nullei.
9. Visi elementi i-tā rinda Dizainers ir pārstāvēts viglyad sumi divi doodanks a ij = b j + c j tad dizainers atrodas dvokh sumi, visās rindās, izņemot i-to, kā arī dotajā dizainā, i-tā rinda vienā no veikaliem uzglabāt b j elementus, bet otrā - c j elementus. Līdzīgs spēks ir arī simts apmeklētāja pārstāvjiem.
10. Grāmatzīme pievieno divas kvadrātveida matricas, lai pievienotu vēl vienu kvadrātveida matricu: det (A * B) = det A * det B.

Vizītkartes turētāja aprēķiniem, vai tas būtu jebkurā secībā, varat izmantot vizītkartes turētāja pasūtījuma pēcnolaišanas metodi. Par tsyogo pakļauties noteikumam izplatīt viznachnika rindas elementiem nenormāli. Vēl viens veids, kā uzskaitīt apmeklētāju laukā, ir tas, ka papildu elementārai pārstrādei ar rindām (tīri), vispirms par visu līdz iestādēm 4 un 7 apmeklētājs, vediet apmeklētāju uz formu, kvadrātveida matricām) elementi tiek atgriezti uz nulli. Todi ir dizainers dokumentus papildu priekšmetus, kas ir roztasvanih uz galvas diagonāli.

Kad skaitļa skaitļa skaitļa skaitļa numurs numura skaitļa numura skaitļa numura skaitļa numura skaitļa numura skaitļa skaitļa numurs numura skaitļa numurs papildu

Matricas reducēšana līdz triku skatītājam, matricas reinkarnācija

Piedāvātās metodes nav gluži uzvarošas 3 × 3 matricām, bet es vienkāršā lietojumā izskaidrošu metožu būtību. Ātri kā matrica, par kuru jau esam cienījuši apmeklētāju - mums būs vienkāršāk pārskatīt aprēķina pareizību:

Vikoristovuchi ir vizītkartes turētāja 7. pakāpe, no citas rindas trešā, reizināta ar 2:

no trešās rindas var redzēt kartes turētāja pirmās rindas elementus, kas reizināti ar 3:

Tātad, tāpat kā dizainera elementi, roztashovani no galvas diagonāles līdz 0, pēc tam no tā paša pievienojiet papildu elementus, roztashovani uz galvas diagonāles:

1*2*(-26) = -52.

Yak Bachimo, es domāju par cilvēkiem, kuri iepriekš bija zaudējuši drosmi.

Uzminēsim matricas formāta formulu:

Determinants - visa algebrisko piedevu summa, kas reizināta ar vienas un tās pašas sērijas dalībniekiem vai vienu no simtdaļām.

Ja rezultātā pasaules atjaunošana ir tik vienkārša, ka viens pēc kārtas (vai pat simts procenti) vienā pozīcijā sastādīs nulli, tad mums nebūs jāievēro visi algebriskie papildinājumi, lai atskatīties ceļā. Jak un alternatīva metode, tsey dosovuvati lieliskas attīstības matricām.

Muca ir parādīta tajā pašā matricā:

Tāpat vēl simts procenti apmeklētāja var arī atriebties vienam nulles elementam. Dodamo uz citas pirmās rindas elementu rindas elementiem, kas reizināti ar -1. otrimaєmo:

Skaitlis divām kolonnām. Mums ir nepieciešams tikai viens algebriskais papildinājums, dažus no tiem var samazināt līdz nullei:

Formatēšanas rīka aprēķins 4 × 4, 5 × 5 matricām un lieliem izmēriem

Schob uniknuti zanadto lieliski skaitļi matricām liela razmіrіv blakus darbu no jauna radīšanas, kas aprakstīts vishche. Vadoties pēc dibena.

Aprēķināt un novērtēt matricas

R і wen і f. Kartes turētāja 7. jauda, ​​no otras rindas trešā, no ceturtās rindas - kartes turētāja pirmās rindas elementu veids, reizināts ar 3, 4, 5 (tiklīdz iespējams). - (13; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Otrimaєmo:

Vikonaєmo dei

rindas elementu apmeklētājs atturas

Cildenie spēki ir saistīti ar nepilngadīgajiem un algebriskajiem papildinājumiem

Viznachennya. nepilngadīgais elementu sauc par viznachnik, elementu krokas, kuras ir pārslogotasi-oї akcijas ijOtrajā simtdaļā uz pārejām ir vesels elements. Mazsvarīgs elements viznachnik n-kārtība ir kārtība ( n- 1). Sāksim cauri.

1. dibens.čau , todі .

Tsei minor iet cauri A ceļam uz nākamo rindu un trešo simtu.

Viznachennya. algebriskie papildinājumi elementu sauc par minora veidu, reizinājumiem nat. , dei- rindas numurs ij-kolonna, uz krustojumiem, kas ir elementa nosaukumi.

VІІІ. (Viznačnikas sadalījums aiz dejaku rindas elementiem). Vizītkaršu turētājs vienas rindas papildu preču summai, pamatojoties uz papildu algebru.

.

2. dibens. Nāc, Todi

.

3. dibens. Mēs zinām matricas formatētāju, to atvērot ar pirmās rindas elementiem.

Formāli teorēma, ka apzīmējumu autoritatitāte nav trešajā kārtā, nav paredzēta dizaina matricām; Nākamais solis ir ļaut paplašināt pilnvaras jebkura pasūtījuma vizītkaršu īpašniekiem.

Viznachennya. apmeklētājs matricas A n-tā kārta ir skaitlis, kas aprēķināts pēc pēdējās teorēmas par vārda pirmo pakāpju sadalījumu.

Var pārdomāt, ka aprēķina rezultāts nav saistīts ar to, ka pēdējā un rindā un simtdaļās tas būs nemainīgs. Vizītkartes turētājs atrodas unikālā vietā, lai saņemtu palīdzību.

Ja es gribu dot vērtību, nevis tieši atriebties par apmeklētāja vērtības formulām, ir pilnīgi iespējams zināt šo veidu, kā samazināt mazākas kārtas matricu noteicošos faktorus. Šie ir nosaukumi atkārtojas.

4. dibens. Skaitīt žetonu:.

Ja vēlaties teoriju par izplatīšanu, varat to iestatīt uz jebkuru dotās matricas rindu, mazāk skaitot, kad tā tiek izkliedēta no kolonnas, kuras lielums pārsniedz nulli.

Svārstības nulles elementu matricā, tad varam tās atpazīt papildu jaudai 7). Reiziniet pirmo rindu pēdējo ar cipariem (-5), (-3) і (-2) і dodamo її līdz 2., 3. un 4. rindai, un і var izveidot:

Izplatīšana vyshov viznachnik pirmajam simtam un otrimaєmo:

(Vinesemo no 1. rindas (-4), no 2. - (-2), no 3. - (-1), atkarībā no 4 jaudas)

(Tātad tas ir kā dizainers atriebties diviem proporcionāliem veikaliem).

1.3. §. Deyaki vidi matrica un viznachniki

Viznachennya. kvadrātveida m Atrise, galvas apakšā ir nulle elementu(= 0 par i j, abo = 0 par i j) tiec sauktstrikutnoy .

Їх shematiski budova vidpovіdno maє viglyad: abo .

Šeit 0 apzīmē nulli vienumu un lielāko daļu vienumu.

teorēma. Karšu turētājs kvadrātveida trikotāžas matricai priekš durvīm, lai stāvētu uz galvas diagonāli, tobto

.

piemēram:

.

Viznachennya. Tiek saukta kvadrātveida matrica, kurā galvas diagonālei jāstāv ar nulles elementiemdiagonāli .

Її shematisks skatītājs:

Diagonālā matrica, pie kuras uz galvas diagonālo statīvu nav nepieciešams izsaukt vientuļš matrica. Vons tiek atpazīts, izmantojot:

Vienas matricas formatēšanas rīks ir 1, lai E = 1.

Zavdaņa 1.

Šim vizītkartes īpašniekam

zināt minoritāšu un algebras papildelementus α 12, α 32. : A) atver to pēc pirmās rindas elementiem un vēl vienu kaklasaiti; b) noskalojot priekšējās nulles pirmajā rindā.

tas ir zināms:

M 12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

M 32 =
= –12+12–12–8 = –20.

Elementu algebriskie papildinājumi 12 un 32 atbilstoši:

A 12 = (-1) 1 + 2 M 12 = - (- 18) = 18,

A 32 = (-1) 3 + 2 M 32 =- (- 20) = 20.

a) Numurējams viznachnik, izplatot to atbilstoši pirmās rindas elementiem:

A 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 = -3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Apmeklētāju liksim aiz cita veikala elementiem:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

b) Daudzas, apgriežot priekšējās nulles pirmajā rindā. Vikoristovuєmo іdpovіdnі spēku viznachnikіv. Reiziniet apmeklētāja trešo simtdaļu ar 3, kas dodamo līdz pirmajam, pēc tam reiziniet ar -2 і dodamo citam. Todi visu elementu pirmajā rindā, izņemot vienu, būs nulles. Šādu rangu var izmantot pirmās rindas elementu un saskaitāmā skaitļa apzīmēšanai:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(Trešās kārtas apmeklētājam pirmajā tika noraidītas nulles par to pašu, Višņičņikova apmeklētājs.) ◄

Zavdaņa 2.

Ir dota lineāru nevienmērīgu algebrisko vienādojumu sistēma

Pārdomāt grezno sistēmu un garīguma kontekstā atrisināt problēmu: a) Krāmera formulām; b) aiz papildu iesaiņotās matricas (matricas metode); c) Gausa metode.

Dotās sistēmas raksturs ir atgriezenisks saskaņā ar Kronekera - Kapellas teorēmu. Aiz elementāru reklāmguvumu pievienošanas mēs zinām matricas rangu

A =

dotā sistēma un paplašinātās matricas rangs

V =

.

Visam matricas B pirmo rindu reiziniet ar -2 un salokiet otru, pēc tam pirmo rindu reiziniet ar -3 un salokiet trešo, atceroties otru un trešo simtu. otrimaєmo

V =

~

~
.

Otz, zvanīja A= zvanīja V= 3 (t.i. Tas nozīmē, ka vadības sistēma ir viegla un jaudīga.

a) Aiz Krēmera formulām

x = x / , Y = y / , Z = z / ,

=
= – 16;

x =
= 64;

y =
= – 16;

z=
= 32,

tas ir zināms: x = 64/(– 16) = – 4, y = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

b) Sistēmas risinājuma jēgai un aiz papildus ietītās matricas ekvivalentu sistēmu var ierakstīt matricas formā AX = ... Sistēmas risinājumi matricas formā x = A –1 . Formula ir zināma rotācijas matricai A –1 (Vona isnuє, tātad jaks = dеt A = – 16 ≠ 0):

A 11 =
= – 15, A 21 = –
= 16, A 31 =
= – 11,

A 12 = –
= – 3, A 22 =
= 0, A 32 = –
= 1,

A 13 =
= – 14, A 23 = –
= 16, A 33 =
= – 6,

A –1 =

.

Sistēmas risinājumi:

X = =
=
=

.

Oce, x = –4, y = 1, z = –2;

c) Virišimo sistēma, izmantojot Gausa metodi. ļauni x no otras un trešās vienādas. Pirmo reizi tas tiek reizināts ar 2 un biežāk no otra, tad pirmo reizi tas tiek reizināts ar 3 un no trešā:

No tiesību sistēmas un tas ir zināms x = – 4, y = 1, z = –2. ◄

Zavdaņa 5.

Pіramіdi virsotnes atrodas punktos A (2; 3; 4), B (4; 7; 3), C (1; 2; 2)і D ( - 2; 0; - 1). Skaitīt: a) sejas zonas ABC; b) laukums ir pārsists, scho iziet cauri ribu vidum AB, AC, AD; c) obsyag pіramіdi ABCD.

A) Vidomo, scho S ABC =
... tas ir zināms:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 i + 5 j + 2 k.

Atlikusī nauda:

S ABC =
=
;

b) ribu vidusdaļa AB, Sauleі AD būt punktos K (3; 5; 3,5),

M (1,5; 2,5; 3),N (0; 1,5; 1,5) ... Dali maєmo:

S sich =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3,25i - 1,5j - 2,25k,

S sich =
=
;

c) Oskilki V bankets =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, tad V = 11/6 . ◄

zavdannya 6

spēku F = (2; 3;– 5) attiecas uz punktu A (1; - 2; 2)... Uzskaitiet: a) robotu spēku F reizēm, ja punkts ir stāze, sabrukt taisni, izkustēties no pozīcijas Aīstajā vietā B (1; 4; 0); b) spēka momenta modulis F shodo punkti V.

A) Tātad jaks A =F · s , s =
= (0; 6; – 2) ,

tad F · = 2 · 0 + 3 · 6 + (- 5) (- 2) = 28; A = 28;

b) Spēka moments M =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 i + 4 j + 12 k .

jau, =
= 4
. ◄

Zavdaņa 8.

redzēt augstumus O (0; 0),A(– 2; 0) paralelograms SLADі diagonāļu pārplūdes punkts B (2; -2)... Pierakstiet paralelograma pusi rivnyannya.

rivnyannya pusē OA uzreiz var pierakstīt: y = 0 ... Dalī, tik jaka punkts Vє diagonāles vidusdaļa AD(1. att.), Tad pēc navp ilguma formulām ir iespējams aprēķināt virsotnes koordinātas D(x; y) :

2 =
, –2 =
,

zvaigznes x = 6 , y = –4 .

Tagad jūs varat zināt visu pārējo pušu ryvnyannya. Es paskatīšos uz sānu paralēlismu OA і CD, Noliktava Rivnyannya Sides CD: y = –4 ... rivnyannya pusē OD veikals no diviem dažādiem punktiem:

=
,

zvaigznes y = – x, 2 x + 3 y = 0 .

Nareshty, ir zināms, ka puses AC, es apskatīšu to, ka tu ej cauri punktam A (- 2; 0) paralēli mājai OD:

y – 0 = – (x + 2) abo 2 x + 3 y + 4 = 0 . ◄

Zavdaņa 9.

Ņemot vērā trikutnika augšdaļu ABC: A(4; 3), B(– 3; – 3), C(2; 7) ... zināt:

a) vienlīdzīgas puses AB;

b) vienādi visoti CH;

c) vienlīdzīgi mediji AM;

d) punkts N overretinu mediji AM un ja CH;

e) taisni uz priekšu, iet caur augšu C paralēli sāniem AB;

f) skats uz punktu C taisni AB.

A) tiek atdzīvināts ar vienādu taisni, ejiet cauri diviem punktiem, Otrimaєmo rіvnyannya ballītes AB:

=
,

zvaigznes 6(x – 4) = 7(y – 3) abo 6 x – 7 y – 3 = 0 ;

b) pēc iespējas ātrāk

y = kx + b (k = tg α ) ,

kutoviy kofіtsієnt taisni AB k 1 =6/7 ... Par urahuvannyam nomazgājiet perpendikulārus taisni ABі CH kutovy kofіtsієnt visoti CH k 2 = –7/6 (k 1∙ k 2 = –1). par punktu C(2; 7) un pilnīga konference k 2 = –7/6 noliktava CH: (y – y 0 = k(x – x 0 ) )

y – 7 = – (x – 2) abo 7 x + 6 y – 56 = 0 ;

c) Formulām mēs zinām koordinātas x, y vidū M vidrizka BC:

x = (– 3 + 2)/2 = –1/2, y = (– 3 + 7)/2 = 2.

Tagad apskatīsim divus punktus Aі M noliktavas mediji AM:

=
abo 2 x – 9 y + 19 = 0 ;

d) Punkta zināmajām koordinātām N overretinu mediji AM un ja CH noliktavas sistēma rivnyan

Virishuchi її, otrimuєmo N (26/5; 49/15) ;

e) Tātad jaks ir taisns, tāpēc ejiet pāri augšai C, Paralēli sāniem AB, Ka їх kutovі kofіtsієanti рівні k 1 =6/7 ... Todi, saskaņā ar periodu:

y – y 0 = k(x – x 0 ) , Pēc yak_y punkta C un pilnīga konference k 1 noliktava taisni CD:

y – 7 = (x – 2) abo 6 x – 7 y + 37 = 0 ;

f) Skats no punkta C taisni AB Aprēķiniet šādu formulu:

d = | CH| =

Šīs rūpnīcas lēmums ir parādīts attēlā. 2 ◄

Zavdaņa 10.

Doti chotiri punkti A 1 (4, 7, 8), A 2 (- 1; 13; 0), A 3 (2; 4; 9), A 4 (1; 8; 9) ... Rivnyannya:

a) apgabals A 1 A 2 A 3 ; b) taisni A 1 A 2 ;

c) taisni A 4 M, Perpendikulāri laukumam A 1 A 2 A 3 ;

d) taisni A 4 N Paralēli taisni A 1 A 2 .

skaits:

e) sinusa kuta mіzh taisni A 1 A 4 і apgabals A 1 A 2 A 3 ;

f) kosinusa kuta mіzh koordinātu apgabals Parxyі apgabals A 1 A 2 A 3 .

A) Vikoristovuchi formula Rivnyannya apgabalā trīs punktu pārsvars, Noliktava Rivnyannya A 1 A 2 A 3 :

zvaigznes 6x - 7y - 9z + 97 = 0;

b) Es paskatīšos taisna līnija, iet cauri diviem punktiem, Rivnyannya taisni A 1 A 2 jūs varat rakstīt pie viglyadі

=
=
;

c) Z mazgājiet perpendikulāri taisni A 4 M un jomas A 1 A 2 A 3 viplyє, virzošā vektora stāvoklī s mēs varam ņemt parasto vektoru n = (6; – 7; – 9) apgabalā A 1 A 2 A 3 ... Todi rivnyannya taisni A 4 M ar urahuvannyam kanonisks rivnyan tieši pierakstīties ar viglyad

=
=
;

d) Tātad jaks ir taisns A 4 N paralēli taisnai A 1 A 2 , Pēc tam їх virziet vektoru s 1 і s 2 var izmantot ar: s 1 =s 2 = (5; – 6; 8) ... Otzhe, taisni A 4 N ma viglyad

=
=
;

e) Zināšanu formulai izmērs kuta mіzh taisni un laukumu

grēks φ =

f) Kas attiecas uz zināšanu formulu kuta lielums starp apgabaliem

cos φ =
=
◄

Zavdaņa 11.

Rivnyannya jomā, scho iet caur punktiem M(4; 3; 1) і

N(– 2; 0; – 1) caur punktiem novilkta paralēla taisna līnija A(1; 1; – 1) і

B(– 3; 1; 0).

Pēc formulas vienkāršs telpā, Iet cauri diviem punktiem, taisni AB ma viglyad

=
=
.

Kur līdzenums iet caur punktu M(4; 3; 1) , Ka її її її івняння var ierakstīt viglyadі A(x – 4) + B(y – 3) + C(z – 1) = 0 ... Tātad jak qya apgabals iet caur punktu N(– 2; 0; – 1) , Tad apmeklējiet umovu

A (-2-4) + B (0-3) + C (-1-1) = 0 abo 6A + 3B + 2C = 0.

Shukan's lūžņi apgabals ir paralēls zināmajam taisnei AB, Tās ​​ir urahuvannyam formulas ņemiet vērā taisnes un kvadrāta paralēlismu mamma:

–4A + 0B + 1C = 0 abo 4A - C = 0.

virishuchi sistēma

Es zinu, scho C = 4 A, B = – A... Jāatzīst, ka nozīme Zі B ciematā shukanoy apgabalā, maєmo

A (x - 4) - A (y-3) + 4A (z-1) = 0.

Tātad jaku A ≠ 0 , Tas tiek noraidīts vienāds ar vienāds ar vienāds

3 (x - 4) - 14 (y - 3) + 12 (z - 1) = 0. ◄

Zavdaņa 12.

zināt koordinātas x 2 , y 2 , z 2 punktus M 2 , Simetrisks punkts M 1 (6; – 4; – 2) labi apgabals x + y + z – 3 = 0 .

Vienkārši rakstāms parametrisks M 1 M 2 , Perpendikulāri dotajam laukumam: x = 6 + t, y = – 4 + t, z = – 2 + t... Mēs zinām, ka viesojāmies sociāli no šīs teritorijas zemes īpašniekiem t = 1 es, no tā paša, punkta M pārplūst taisni M 1 M 2 dotā platība: M (7; – 3; – 1) ... Tātad jaku punkts Mє vidū M 1 M 2 , Lai vіrnі іvnostі .; c) paraboli, scho maє Directrix b

Līniju algebra elementi ir iekļauti galvenajos darbu veidos, kurus var redzēt tēmā "Līniju algebra": formu skaits, diy

dokuments

kvadrātveida matrica zināt a) nepilngadīgais elements; b) algebrisks palielināšana elements; v) ... zināt a) nepilngadīgais elements; b) algebrisks palielināšana elements; c) її viznachnik, pirmajā rindā apgriežot priekšējās nulles. Lēmums a) nepilngadīgais elements ...

І. Lineārās algebras un analītiskās ģeometrijas elementi

dokuments

... elements matricas". Viznachennya. algebrisks papildinājumiem elementsАіК matrica А jāsauc nepilngadīgais Mіk cієї matricas, reizināšana ar (-1) і + līdz: algebrisks palielināšana elements... metode. Pielietojums 1. Matrica ir iestatīta zināt det A. Lēmums. Nevar izdarīt...

Risinājums: ja divas matricas ir salocītas pirmās matricas ādas elementam, ir jāpievieno cita paklāja elements

Lēmums

Iet shpalti; vārds nepilngadīgais elements... Todi for viznachennyam iesaisties (1) - algebrisks palielināšana elements, Todi (2) ... Līnijas operācijas uz matricām Zavdannya. zināt matricas summa un tvir ... summa, tad tā ir nepieciešama zinātїї spіlne rіshennya. ...

Metodiskie ieteikumi disciplīnas "Matemātika" studentiem specialitātēm

Metodiskie ieteikumi

Tādu vizītkaršu turētāju sauc nepilngadīgais elements aij. apzīmēt nepilngadīgais- Mij. muca: zināt nepilngadīgais elementsА12 karšu turētājs Paredzēts ... uz vienas apakšējās i nepilngadīgais durvis: algebrisks papildinājumiem elements apmeklētāju, ko saukt par jogu nepilngadīgaisņemot no savējiem...

algebriskā papildu- izpratne par matricu algebru; simtprocentīgi no kvadrātmatricas A elementa aij, uzdodas par elementa aij minora reizinājumu ar (1) i + j; Aij: Aij = (1) i + jMij, de Mij ir matricas A = elementa aij minors, lai projektētājs ... ... Ekonomikas un matemātikas leksika

algebriskā papildu- Izpratne par matricu algebru; simtprocentīgi no kvadrātmatricas A elementa aij, uzdodas par elementa aij minora reizinājumu ar (1) i + j; Aij: Aij = (1) i + jMij, de Mij ir matricas A = elementa aij minorais, lai matricas matrica, ... ... Dovidnik tehniskā nodošana

Div. Art. Vizīt karte ... Velyka Radianska enciklopēdija

Mazajam M – šuves skaitlis, kas vienāds ar de M minoru secībā k, šuves rindas ar cipariem un iekavās ar kārtas n deyakoi kvadrātmatricas cipariem; Matricas rakstītājs secībā n k, apgriezts no matricas ar Avicherkivaniyam rindām un 100% uz mazāko M; ... ... matemātiskā enciklopēdija

Vіkіlovnik є statty "papildinājums" Papildu var nozīmēt ... Vіkіpedіya

Darbība, pirms paradīzes ievietot bezdatu X apakškopu, citas lietas ir tā, it kā tās būtu Mi N, tad tādā pašā veidā jūs varat ieviest vāju X struktūru. matemātiskā enciklopēdija

Noteiktājam skaitļu rakstīšanas matemātikā kvadrātveida tabulas skatā, kuras formā tiek ievietots vienāds skaitlis (apzīmējuma vērtība). Biežāk apmeklētājam var lūgt saprast apmeklētāja nozīmi, kā arī viņa apzīmējuma formu. ... ... Enciklopēdija Kol'ra

Par dīvu imoviju teorijas teorēmu. Statūts Moivras lokālā teorēma - Laplass. Laplasa teorēma ir viena no lineārās algebras teorēmām. Nosaukts franču matemātiķa Pūra Simona Laplasa (1749 1827) vārdā, kuram tiek piešķirta formula ... ...

- (Laplasijas matrica) viena grafika svilpošana aiz papildu matricas. Kirhofa matrica tiek izmantota dotā grafa aptverošo koku struktūrai (matricas teorēma par koku), kā arī grafu spektrālās teorijas veidošanai. Зміст 1 ... ... Vіkіpedіya

Ekvivalentu sauc par matemātisko komunikāciju, kas pārvērš divu algebrisko variāciju vienādību. Ja paritāte attiecas uz jebkuru bezpajumtnieka vārda pieļaujamo nozīmi, tad to sauc par to pašu; piemēram, atsaucoties uz prātu ...... Enciklopēdija Kol'ra

grāmatas

• Diskrētā matemātika, A.V. Čaškins. 352 lappuses diskrētā matemātika: Kombinatoriskā analīze, grafiku teorija, Būla funkcijas, locīšanas un kodēšanas teorija. Lai atriebtos...