Алгебраїчне доповнення елемента aij. Мінори та алгебраїчні доповнення

МіноромM ijелемента a ij визначника n -го порядку називається визначник порядку ( n-1 ), Отриманий з даного визначника викреслюванням рядка і стовпця, в яких знаходиться цей елемент ( i -ої рядки і j -го стовпчика).

алгебраїчне доповненняелемента a ij задається виразом:

Визначники порядку n>3 обчислюються за допомогою теоремио розкладанні визначника за елементами рядка або стовпця:

Теорема.Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка або будь-якого стовпця на відповідні цим елементам алгебраїчні доповнення, тобто

Приклад.

Обчислити визначник, розклавши його по елементах рядка або стовпця:

Рішення

1. Якщо в якій-небудь одній рядку або одному стовпці присутній тільки один елемент, відмінний від нуля, то перетворювати визначник немає необхідності. В іншому випадку, перш ніж застосовувати теорему про розкладання визначника, перетворимо його, використовуючи наступне властивість: якщо до елементів рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільний множник, то значення визначника не зміниться.

З елементів рядка 3 віднімаємо відповідні елементи рядка 2.

З елементів стовпця 4 віднімаємо відповідні елементи стовпця 3, помножені на 2.

Розкладаємо визначник за елементами третього рядка

2. Отриманий визначник 3-го порядку можна обчислити за правилом трикутників або за правилом Саррюс (див вище). Однак елементи визначника є числами досить великими, тому розкладемо визначник, попередньо перетворивши його:

З елементів другого рядка віднімаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на 3.

З елементів першого рядка віднімаємо відповідні елементи третього рядка.

До елементів рядка 1 додаємо відповідні елементи рядка 2

Визначник з нульовою рядком дорівнює 0.

Отже, визначники порядку n>3 обчислюються:

· Перетворенням визначника до трикутного вигляду за допомогою властивостей визначників;

· Розкладанням визначника за елементами терміни або стовпці, тим самим знижуючи його порядок.

Ранг матриці.

Ранг матриці являє собою важливу числову характеристику. Найхарактернішою завданням, що вимагає знаходження рангу матриці, є перевірка спільності системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

візьмемо матрицю А порядку p x n . нехай k - деяке натуральне число, яке не перевищує найменшого з чисел p і n , тобто,

Мінором k-ого порядкуматриці А називається визначник квадратної матриці порядку k x k , Складеної з елементів матриці А , Які знаходяться в заздалегідь вибраних k рядках і k шпальтах, причому розташування елементів матриці А зберігається.

Розглянемо матрицю:

Запишемо кілька мінорів першого порядку цієї матриці. Наприклад, якщо ми виберемо третій рядок і другий стовпець матриці А , То нашим вибором відповідає мінор першого порядку det (-4) = - 4. Іншими словами, для отримання цього мінору ми викреслили першу і другу рядки, а також перший, третій і четвертий стовпчики з матриці А , А з залишився елемента склали визначник.

Таким чином, минорами першого порядку матриці є самі елементи матриці.

Покажемо кілька мінорів другого порядку. Вибираємо два рядки і два стовпці. Наприклад, візьмемо першу і другу рядки, і третій і четвертий стовпець. При такому виборі маємо мінор другого порядку
.

Іншим мінор другого порядку матриці Ає мінор

Аналогічно можуть бути знайдені мінори третього порядку матриці А . Так як в матриці Авсього три рядки, то обираємо їх все. Якщо до цих рядків вибрати три перших стовпчика, то отримаємо мінор третього порядку:

Іншим мінор третього порядку є:

Для даної матриці А миноров порядки вище третього не існує, так як

Скільки ж існує миноров k -огопорядку матриці Апорядку p x n ? Чимало!

Число миноров порядку kможе бути обчислено за формулою:

рангом матриціназивається найвищий порядок мінору матриці, відмінного від нуля.

Ранг матриці А позначають як rang (A). З визначень рангу матриці і мінору матриці можна зробити висновок, що ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ранг ненульовий матриці не менше одиниці.

Отже, першим методом знаходження рангу матриці є метод перебору миноров . Цей спосіб заснований на визначенні рангу матриці.

Нехай нам потрібно знайти ранг матриці А порядку p x n .

Якщо є хоча б один елемент матриці, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці (так як є мінор першого порядку, що не рівний нулю).

Далі перебираємо мінори другого порядку. Якщо все мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює одиниці. Якщо існує хоча б один ненульовий мінор другого порядку, то переходимо до перебору миноров третього порядку, а ранг матриці як мінімум дорівнює двом.

Аналогічно, якщо все мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом. Якщо існує хоча б один мінор третього порядку, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює трьом, а ми переступаємо до перебору миноров четвертого порядку.

Відзначимо, що ранг матриці не може перевищувати найменшого з чисел p і n .

Приклад.

Знайдіть ранг матриці
.

Рішення.

1. Так як матриця ненульова, то її ранг не менш одиниці.

2. Один з миноров другого порядку
відмінний від нуля, отже, ранг матриці А не менш двох.

3. мінор третього порядку

Все мінори третього порядку дорівнюють нулю. Тому, ранг матриці дорівнює двом.

rang (A) = 2.

Існують інші методи знаходження рангу матриці, які дозволяють отримати результат при меншій обчислювальної роботі.

Одним з таких методів є метод оздоблюють мінорів . При використанні цього методу обчислення кілька скорочуються, і все ж вони досить громіздкі.

Існують ще один спосіб знаходження рангу матриці - за допомогою елементарних перетворень(Метод Гаусса).

Наступні перетворення матриці називають елементарними :

· Перестановка місцями рядків (або стовпчиків) матриці;

· Множення всіх елементів якого-небудь рядка (стовпчика) матриці на довільне число k, Відмінне від нуля;

· Додаток до елементів якого-небудь рядка (стовпчика) відповідних елементів іншого рядка (стовпця) матриці, помножених на довільне число k.

Матриця В називається еквівалентної матриці А, якщо Вотримана з Аза допомогою кінцевого числа елементарних перетворень. Еквівалентність матриць позначається символом « ~ » , Тобто, записується A ~ B.

Знаходження рангу матриці за допомогою елементарних перетворень матриці засноване на затвердження: якщо матриця В отримана з матриці А допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то r ang (A) = rang (B) , Тобто ранги еквівалентних матриць рівні .

Суть методу елементарних перетворень полягає у приведенні матриці, ранг якої нам потрібно знайти, до трапецієподібної (в окремому випадку до верхньої трикутної) за допомогою елементарних перетворень.

Ранг матриць такого виду дуже легко знайти. Він дорівнює кількості рядків, що містять хоча б один ненульовий елемент. А так як ранг матриці при проведенні елементарних перетворень не змінюється, то отримане значення буде рангом вихідної матриці.

Приклад.

Методом елементарних перетворень знайдіть ранг матриці

.

Рішення.

1. Змінимо місцями першу і другу рядки матриці А , Так як елемент a 11 = 0, А елемент a 21відмінний від нуля:

~

В отриманій матриці елемент дорівнює одиниці. В іншому випадку потрібно було помножити елементи першого рядка на. Зробимо все елементи першого стовпчика, крім першого, нульовими. У другому рядку нуль вже є, до третьому рядку додамо першу, помножену на 2:

Елемент в отриманої матриці відмінний від нуля. Помножимо елементи другого рядка на

Другий стовпець отриманої матриці має потрібний вид, так як елемент вже дорівнює нулю.

Так як , а , То поміняємо місцями третій і четвертий стовпчики і помножимо третій рядок отриманої матриці на:

Вихідна матриця приведена до трапецієподібної, її ранг дорівнює кількості рядків, що містять хоча б один ненульовий елемент. Таких рядків три, отже ранг вихідної матриці дорівнює трьом. r ang (A) = 3.

Зворотна матриця.

Нехай маємо матрицю А .

Матрицею, зворотній матриці А , Називається матриця A -1 така, що A -1 A = A A -1 = E .

Зворотній матриця може існувати тільки для квадратної матриці. Причому сама є тією ж розмірності, що і вихідна матриця.

Для того, щоб квадратна матриця мала зворотний, вона повинна бути невироджених (тобто Δ ≠0 ). Ця умова є і достатнім для існування A -1 до матриці А . Отже, будь-яка невироджена матриця має зворотну, і, до того ж, єдину.

алгоритм знаходження оберненої матриціна прикладі матриці А :

1. Знаходимо визначник матриці. якщо Δ ≠0 , То матриця A -1 існує.

2. Складемо матрицю В алгебраїчних доповнень елементів вихідної матриці А . Тобто в матриці В елементом i - го рядка і j - го стовпця буде алгебраїчне доповнення A ij елемента a ij вихідної матриці.

3. Транспоніруем матрицю В і отримаємо B t .

4. Знайдемо обернену матрицю, помноживши отриману матрицю B t на число .

Приклад.

Для даної матриці знайти зворотну і виконати перевірку:

Рішення

Скористаємося раніше описаним алгоритмом знаходження оберненої матриці.

1. Для з'ясування існування зворотної матриці, необхідно обчислити визначник даної матриці. Скористаємося правилом трикутників:

Матриця є невироджених, отже, вона оборотна.

Знайдемо алгебраїчні доповнення всіх елементів матриці:

Із знайдених алгебраїчних доповнень складається матриця:

і транспонується

Розділивши кожен елемент отриманої матриці на визначник, отримаємо матрицю, зворотну до вихідної:

Перевірка здійснюється множенням отриманої матриці на вихідну. Якщо зворотна матриця знайдена правильно, в результаті множення вийде одинична матриця.

Для знаходження оберненої матриці для даної, можна скористатися методом Гаусса (звичайно, попередньо впевнившись, що матриця оборотна), розгляд якого залишаю для самостійної роботи.

Без перетворення матриці, визначник легко порахувати тільки для матриць розміром 2 × 2 і 3 × 3. Це робиться за формулами:

для матриці

визначник дорівнює:

для матриці

визначник дорівнює:

a11 * (a22 * a33-a23 * a32) -a12 * (a21 * a33-a23 * a31) + a13 * (a21 * a32-a22 * a31)

Розрахунки для матриць розміром 4 × 4 і вище скрутні, тому їх потрібно перетворювати відповідно до властивостей визначника. Потрібно прагнути отримати матрицю, в якій всі значення крім одного будь-якого стовпця або будь-якого рядка дорівнюють нулю. Приклад такої матриці:

Для неї визначник дорівнює:

A12 * (a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41))

Зверніть увагу, що

a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41)

це обчислення детермінанта матриці, отриманої вирахуванням рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться єдине не нульове ЧПУ рядки / стовпці, по якому ми розкладаємо матрицю:

І отримане значення ми множимо на те саме число, з "нульового" стовпчика / рядка, при цьому число може бути помножена на -1 (всі подробиці нижче).

Якщо привести матрицю до трикутного вигляду, то її визначник обчислюється як добуток цифр по діагоналі. Наприклад, для матриці

Визначник дорівнює:

Аналогічно слід чинити з матрицями 5 × 5, 6 × 6 і іншими великих розмірностей.

Перетворення матриць потрібно виконувати відповідно до властивостей визначника. Але перш ніж перейти до практики по обчисленню визначника для матриць 4 × 4, давайте повернемося до матриць 3 × 3 і детально розглянемо, як обчислюється визначник для них.

мінор

Визначник матриці не дуже простий для розуміння, оскільки в його понятті присутня рекурсія: визначник матриці складається з декількох елементів, в тому числі з визначника (інших) матриць.

Щоб не застрягти на цьому, давайте прямо зараз (тимчасово) приймемо, що визначник матриці

обчислюється так:

Ще розберемося в умовних позначенняі в таких поняттях як мінорі алгебраїчне доповнення.

Буквою i ми позначаємо порядковий номер стоки, буквою j - порядковий номер стовпчика.

a ij означає елемент матриці (цифру) на перетині рядка i та стовпця j.

Уявімо собі матрицю, яка отримана з вихідної видаленням рядка i та стовпця j. Визначник нової матриці, яка отримана з вихідної видаленням рядка i та стовпця j, називається мінор M ij елемента a ij.

Проілюструємо сказане. Припустимо, дана матриця

Тоді для визначення мінору M 11 елемента a 11 нам потрібно скласти нову матрицю, яка виходить з вихідної видаленням першого рядка і першого стовпця:

І обчислити для неї визначник: 2 * 1 - (-4) * 0 = 2

Для визначення мінору M 22 елемента a 22 нам потрібно скласти нову матрицю, яка виходить з вихідної видаленням другого рядка і другого шпальти:

І обчислити для неї визначник: 1 * 1 -3 * 3 = -8

алгебраїчне доповнення

Алгебраїчним доповненням А ij для елемента a ij називається мінор M ij цього елемента, взятий зі знаком «+», якщо сума індексів рядки і стовпці (i + j), на перетині яких стоїть цей елемент, парна, і зі знаком «-», якщо сума індексів непарна.

Таким чином,

Для матриці з попереднього прикладу

А 11 = (-1) (1 + 1) * (2 * 1 - (-4) * 0) = 2

А 22 = (-1) (2 + 2) * (1 * 1 -3 * 3) = -8

Обчислення визначника для матриць

Визначником порядку n, відповідним матриці А, називається число, що позначається det A і обчислюється за формулою:

У цій формулі нам все вже знайоме, давайте тепер порахуємо визначник матриці для

Який би не був номер рядка i = 1,2, ..., n або стовпця j = 1, 2, ..., n визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів цього рядка або цього стовпця на їх алгебраїчні доповнення, т. Е.

Тобто детермінант можна обчислити по будь-якому стовпцю або по будь-якому рядку.

Щоб переконатися в цьому, обчислимо визначник для матриці з останнього прикладу по дві колонки

Як бачимо, результат ідентичний і для цієї матриці визначник завжди буде -52 незалежно від того, по якому рядку або по якомусь колонки ми його будемо вважати.

Властивості визначника матриць

1. Рядки і стовпці визначника рівноправні, т. Е. Величина визначника не зміниться, якщо поміняти місцями його рядки і стовпці зі збереженням порядку їх слідування. Ця операція називається Транспонированием визначника. Відповідно до сформульованим властивістю det A = det AT.
2. При перестановці місцями двох рядків (або двох стовпців) визначник зберігає свою абсолютну величину, але змінює знак на протилежний.
3. Визначник з двома однаковими рядками (чи стовпчиками) дорівнює нулю.
4. Множення всіх елементів деякого рядка (або деякого стовпця) визначника на число λ рівносильно множенню визначника на число λ.
5. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (або будь-якого стовпчика) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.
6. Якщо елементи двох рядків (або двох стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
7. Якщо до елементів деякого рядка (або деякого стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (іншого шпальти), помножені на довільний множник λ, то величина визначника не зміниться.
8. Сума добутків елементів будь-якого рядка (будь-якого стовпчика) визначника на відповідні алгебраїчні доповнення елементів будь-якого іншого рядка (будь-якого іншого шпальти) дорівнює нулю.
9. Якщо всі елементи i-го рядкавизначника представлені у вигляді суми двох доданків a ij = b j + c j то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких всі рядки, крім i-й, такі ж, як і в заданому визначнику, i-й рядокв одному з доданків складається з елементів b j, а в іншому - з елементів c j. Аналогічне властивість справедливо і для стовпців визначника.
10. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників: det (А * В) = det A * det B.

Для обчислення визначника будь-якого порядку можна застосовувати метод послідовного зниження порядку визначника. Для цього користуються правилом розкладання визначника за елементами рядка або стовпця. Ще один спосіб обчислення визначників полягає в тому, щоб за допомогою елементарних перетворень з рядками (чи стовпчиками), перш за все відповідно до властивостей 4 і 7 визначників, привести визначник до виду, коли під головною діагоналлю визначника (яка визначається так само, як і для квадратних матриць) всі елементи дорівнюють нулю. Тоді визначник дорівнює добутку елементів, розташованих на головній діагоналі.

При обчисленні визначника послідовним зниженням порядку для зменшення обсягу обчислювальної роботи доцільно за допомогою властивості 7 визначників домогтися обнулення частини елементів якого-небудь рядка або будь-якого стовпчика визначника, що зменшить число обчислюваних алгебраїчних доповнень.

Приведення матриці до трикутного вигляду, перетворення матриці, що полегшує обчислення визначника

У поданих методи недоцільно використовувати для матриць 3 × 3, але я пропоную розглянути суть методів на простому прикладі. Скористаємося матрицею, для якої ми вже вважали визначник - нам буде простіше перевірити правильність обчислень:

Використовуючи 7-е властивість визначника, віднімемо з другого рядка третю, помножену на 2:

з третього рядка віднімемо відповідні елементи першого рядка визначника, помножені на 3:

Так як елементи визначника, розташовані під його головною діагоналлю, дорівнюють 0, то, отже, визначитеся дорівнює добутку елементів, розташованих на головній діагоналі:

1*2*(-26) = -52.

Як бачимо, відповідь збігся з отриманими раніше.

Давайте згадаємо формулу визначника матриці:

Детермінант - це сума алгебраїчних доповнень, помножена на члени однієї з рядків або одного з стовпців.

Якщо в результаті перетворень ми зробимо так, що одна з рядків (або стовпець) буде складатися повністю з нулів крім однієї позиції, то нам не потрібно буде вважати все алгебраїчні доповнення, оскільки вони свідомо будуть дорівнюють нулю. Як і попередній метод, цей доцільно застосовувати для матриць великих розмірів.

Покажемо приклад на тій же самій матриці:

Помічаємо, що другий стовпець визначника вже містить один нульовий елемент. Додаємо до елементів другого рядка елементи першого рядка, помножені на -1. отримаємо:

Обчислимо визначник по дві колонки. Нам потрібно порахувати тільки одне алгебраїчне доповнення, оскільки інші свідомо зводяться до нуля:

Обчислення визначника для матриць 4 × 4, 5 × 5 і великих розмірностей

Щоб уникнути занадто великих обчислень для матриць великих розмірів слід робити перетворення, описані вище. Наведемо кілька прикладів.

Обчислити визначитеся матриці

Р і ш е н і е. Використовуючи 7-е властивість визначника, віднімемо з другого рядка третю, з четвертої рядки - відповідні елементи першого рядка визначника, помножені відповідно на 3, 4, 5. Ці дії скорочено будемо позначати так: (2) - (1) * 3; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Отримаємо:

Виконаємо дії

визначника за елементами рядка або стовпця

Подальші властивості пов'язані з поняттями мінору та алгебраїчного доповнення

Визначення. мінором елемента називається визначник, складений з елементів, що залишилися після викреслюванняi-ої стоки іj-го стовпця, на перетині яких знаходиться цей елемент.Мінор елемента визначника n-го порядку має порядок ( n- 1). Будемо його позначати через.

Приклад 1.нехай , тоді .

Цей мінор виходить з A шляхом викреслювання другого рядка і третього стовпця.

Визначення. алгебраїчним доповненням елемента називається відповідний мінор, помножений нат.е , деi-номер рядка іj-столбца, на перетині яких знаходиться даний елемент.

VІІІ. (Розкладання визначника за елементами деякого рядка). Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

.

Приклад 2.Нехай, тоді

.

Приклад 3.Знайдемо визначник матриці, розклавши його по елементах першого рядка.

Формально ця теорема та інші властивості визначників застосовні поки тільки для визначників матриць не вище третього порядку, оскільки інші визначники ми не розглядали. Наступне визначення дозволить поширити ці властивості на визначники будь-якого порядку.

Визначення. визначником матриці A n-го порядку називається число, обчислене за допомогою послідовного застосування теореми про розкладання і інших властивостей визначників.

Можна перевірити, що результат обчислень не залежить від того, в якій послідовності і для яких рядків і стовпців застосовуються вищевказані властивості. Визначник за допомогою цього визначення знаходиться однозначно.

Хоча дане визначення і не містить явної формули для знаходження визначника, воно дозволяє знаходити його шляхом зведення до определителям матриць меншого порядку. Такі визначення називають рекурентними.

Приклад 4.Обчислити визначник:.

Хоча теорему про розкладання можна застосовувати до будь-якому рядку або стовпцю даної матриці, менше обчислень вийде при розкладанні їх повз колонку якомога більше нулів.

Оскільки у матриці немає нульових елементів, то отримаємо їх за допомогою властивості 7). Помножимо перший рядок послідовно на числа (-5), (-3) і (-2) і додамо її до 2-ой, 3-ої і 4-ої рядках і отримаємо:

Розкладемо вийшов визначник по першому стовпцю і отримаємо:

(Винесемо з 1-ої рядка (-4), з 2-ий - (-2), з 3-ої - (-1) відповідно до властивості 4)

(Так як визначник містить два пропорційних стовпчика).

§ 1.3. Деякі види матриць і їх визначники

Визначення.квадратна м атріца, у якій нижче або вище головної діагоналі стоять нульові елементи(= 0 при i j, або = 0 при i j) називаєтьсятрикутної .

Їх схематичне будова відповідно має вигляд: або .

Тут 0 - означає нульові елементи, а - довільні елементи.

теорема. Визначник квадратної трикутної матриці дорівнює добутку її елементів, що стоять на головній діагоналі, тобто

.

наприклад:

.

Визначення. Квадратна матриця, у якої поза головною діагоналі стоять нульові елементи, називаєтьсядіагональної .

Її схематичний вигляд:

Діагональна матриця, у якої на головній діагоналі стоять лише поодинокі елементи називається одиничної матрицею. Вона позначається через:

Визначник одиничної матриці дорівнює 1, тобто E = 1.

Завдання 1.

Для даного визначника

знайти мінори та алгебраїчні доповнення елементів α 12, α 32. обчислити визначник : А) розклавши його по елементах першого рядка і другого шпальти; б) отримавши попередньо нулі в першому рядку.

знаходимо:

М 12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

М 32 =
= –12+12–12–8 = –20.

Алгебраїчні доповнення елементів а 12 і а 32 відповідно рівні:

А 12 = (-1) 1 + 2 М 12 = - (- 18) = 18,

А 32 = (-1) 3 + 2 М 32 = - (- 20) = 20.

а) Обчислимо визначник, розклавши його по елементах першого рядка:

A 11 А 11 + a 12 А 12 + a 13 А 13 + a 14 А 14 = -3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Розкладемо визначник за елементами другого стовпця:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

б) Обчислимо, отримавши попередньо нулі в першому рядку. Використовуємо відповідне властивість визначників. Помножимо третій стовпець визначника на 3 та додамо до першого, потім помножимо на -2 і додамо до другого. Тоді в першому рядку всі елементи, крім одного, будуть нулями. Розкладемо отриманий таким чином визначник за елементами першого рядка і обчислимо його:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(В визначнику третього порядку отримали нулі в першому стовпчику по тому ж самому, що і вище властивості визначників.) ◄

Завдання 2.

Дана система лінійних неоднорідних рівнянь алгебри

Перевірити, сумісна ця система, і в разі спільності розв'язати цю проблему: а) за формулами Крамера; б) за допомогою оберненої матриці (матричним методом); в) методом Гаусса.

Спільність даної системи перевіримо по теоремі Кронекера - Капеллі. За допомогою елементарних перетворень знайдемо ранг матриці

А =

даної системи і ранг розширеної матриці

В =

.

Для цього помножимо перший рядок матриці В на -2 і складемо з другої, потім помножимо перший рядок на -3 і складемо з третьої, поміняємо місцями другий і третій стовпці. отримаємо

В =

~

~
.

Отже, rang А= rang В= 3 (т. Е. Кількістю невідомих). Значить, вихідна система сумісна і має єдиний розв'язок.

а) За формулами Крамера

x = x / , Y = y / , Z = z / ,

=
= – 16;

x =
= 64;

y =
= – 16;

z=
= 32,

знаходимо: x = 64/(– 16) = – 4, y = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

б) Для знаходження рішення системи за допомогою оберненої матриці запишемо систему рівнянь в матричної формі АХ = . Рішення системи в матричної формі має вигляд х = А –1 . За формулою знаходимо зворотну матрицю А –1 (Вона існує, так як = dеt A = – 16 ≠ 0):

A 11 =
= – 15, A 21 = –
= 16, A 31 =
= – 11,

A 12 = –
= – 3, A 22 =
= 0, A 32 = –
= 1,

A 13 =
= – 14, A 23 = –
= 16, A 33 =
= – 6,

A –1 =

.

Рішення системи:

X = =
=
=

.

Отже, x = –4, y = 1, z = –2;

в) Вирішимо систему методом Гаусса. виключимо xз другого і третього рівнянь. Для цього перше рівняння помножимо на 2 і віднімемо з другого, потім перше рівняння помножимо на 3 і віднімемо з третього:

З отриманої системи знаходимо x = – 4, y = 1, z = –2. ◄

Завдання 5.

Вершини піраміди знаходяться в точках А (2; 3; 4), В (4; 7; 3), С (1; 2; 2)і D (- 2; 0; - 1).Обчислити: а) площа грані ABC; б) площа перерізу, що проходить через середину ребер АВ, AC, AD; в) обсяг піраміди ABCD.

А) Відомо, що S ABC =
. знаходимо:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 i + 5 j + 2 k.

Остаточно маємо:

S ABC =
=
;

б) Середини ребер АВ, ВСі АDзнаходяться в точках К (3; 5; 3,5),

М (1,5; 2,5; 3),N (0; 1,5; 1,5) . Далі маємо:

S січ =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3,25i - 1,5j - 2,25k,

S січ =
=
;

в) Оскільки V бенкет =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, то V = 11/6 . ◄

завдання 6

сила F = (2; 3;– 5) прикладена до точки А (1; - 2; 2). Обчислити: а) роботу сили F в разі, коли точка її застосування, рухаючись прямолінійно, переміщається з положення Ав положення В (1; 4; 0); б) модуль моменту сили F щодо точки В.

А) Так як А =F · s , s =
= (0; 6; – 2) ,

то F · = 2 · 0 + 3 · 6 + (- 5) (- 2) = 28; А = 28;

б) Момент сили М =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 i + 4 j + 12 k .

отже, =
= 4
. ◄

Завдання 8.

відомі вершини О (0; 0),A(– 2; 0) паралелограма ОАСDі точка перетину його діагоналей В (2; -2). Записати рівняння сторін паралелограма.

рівняння боку ОАможна записати відразу: y = 0 . Далі, так як точка Вє серединою діагоналі AD(Рис. 1), то за формулами ділення відрізка навпіл можна обчислити координати вершини D(x; y) :

2 =
, –2 =
,

звідки x = 6 , y = –4 .

Тепер можна знайти рівняння всіх інших сторін. З огляду на паралельність сторін OA і CD, Складаємо рівняння сторони CD: y = –4 . рівняння боку ODскладається з двох відомих точок:

=
,

звідки y = – x, 2 x + 3 y = 0 .

Нарешті, знаходимо рівняння сторони AC, З огляду на той факт, що вона проходить через відому точку А (- 2; 0)паралельно відомої прямий OD:

y – 0 = – (x + 2) або 2 x + 3 y + 4 = 0 . ◄

Завдання 9.

Дано вершини трикутника ABC: A(4; 3), B(– 3; – 3), C(2; 7) . знайти:

а) рівняння сторони AB;

б) рівняння висоти CH;

в) рівняння медіани AM;

г) точку Nперетину медіани AMі висоти CH;

д) рівняння прямої, що проходить через вершину Cпаралельно стороні AB;

е) відстань від точки Cдо прямої AB.

А) Скориставшись рівнянням прямої, що проходить через дві точки, Отримаємо рівняння сторони AB:

=
,

звідки 6(x – 4) = 7(y – 3) або 6 x – 7 y – 3 = 0 ;

б) Відповідно до рівняння

y = kx + b (k = tg α ) ,

кутовий коефіцієнт прямої AB k 1 =6/7 . З урахуванням умови перпендикулярності прямих ABі CHкутовий коефіцієнт висоти CH k 2 = –7/6 (k 1∙ k 2 = –1). за точці C(2; 7) і кутовому коефіцієнту k 2 = –7/6 складаємо рівняння висоти CH: (y – y 0 = k(x – x 0 ) )

y – 7 = – (x – 2) або 7 x + 6 y – 56 = 0 ;

в) За відомими формулами знаходимо координати x, yсередини Mвідрізка BC:

x = (– 3 + 2)/2 = –1/2, y = (– 3 + 7)/2 = 2.

Тепер по двом відомим точкам Aі Mскладаємо рівняння медіани AM:

=
або 2 x – 9 y + 19 = 0 ;

г) Для знаходження координат точки Nперетину медіани AMі висоти CHскладаємо систему рівнянь

Вирішуючи її, отримуємо N (26/5; 49/15) ;

д) Так як пряма, що проходить через вершину C, Паралельна стороні AB, То їх кутові коефіцієнти рівні k 1 =6/7 . Тоді, відповідно до рівняння:

y – y 0 = k(x – x 0 ) , По якій точці Cі кутовому коефіцієнту k 1 складаємо рівняння прямої CD:

y – 7 = (x – 2) або 6 x – 7 y + 37 = 0 ;

е) Відстань від точки Cдо прямої ABобчислюють за відомою формулою:

d = | CH| =

Рішення даного завдання проілюстровано на рис. 2 ◄

Завдання 10.

Дано чотири точки A 1 (4, 7, 8), A 2 (- 1; 13; 0), A 3 (2; 4; 9), A 4 (1; 8; 9) . Скласти рівняння:

а) площині A 1 A 2 A 3 ; б) прямий A 1 A 2 ;

в) прямий A 4 M, Перпендикулярної до площини A 1 A 2 A 3 ;

г) прямий A 4 N, Паралельної прямої A 1 A 2 .

обчислити:

д) синус кута між прямою A 1 A 4 і площиною A 1 A 2 A 3 ;

е) косинус кута між координатною площиною Проxyі площиною А 1 А 2 А 3 .

А) Використовуючи формулу рівняння площини по трьом точкам, Складаємо рівняння площини А 1 А 2 А 3 :

звідки 6х - 7у - 9z + 97 = 0;

б) З огляду на рівняння прямої, що проходить через дві точки, Рівняння прямої А 1 А 2 можна записати у вигляді

=
=
;

в) З умови перпендикулярності прямої А 4 М і площини А 1 А 2 А 3 випливає, що в якості направляючого вектора прямої sможна взяти нормальний вектор n = (6; – 7; – 9) площині А 1 А 2 А 3 . Тоді рівняння прямий А 4 Мз урахуванням канонічнихрівнянь прямої запишеться у вигляді

=
=
;

г) Так як пряма A 4 Nпаралельна прямій А 1 А 2 , То їх направляють вектори s 1 і s 2 можна вважати співпадаючими: s 1 =s 2 = (5; – 6; 8) . Отже, рівняння прямої A 4 Nмає вигляд

=
=
;

д) За формулою знаходження величини кута між прямою і площиною

sin φ =

е) Відповідно до формули знаходження величини кута між площинами

cos φ =
=
◄

Завдання 11.

Скласти рівняння площини, що проходить через точки M(4; 3; 1) і

N(– 2; 0; – 1) паралельно прямий, проведеної через точки A(1; 1; – 1) і

B(– 3; 1; 0).

Відповідно до формули рівняння прямої в просторі, Що проходить через дві точки, рівняння прямої ABмає вигляд

=
=
.

Якщо площина проходить через точку M(4; 3; 1) , То її рівняння можна записати у вигляді A(x – 4) + B(y – 3) + C(z – 1) = 0 . Так як ця площина проходить і через точку N(– 2; 0; – 1) , То виконується умова

A (- 2 - 4) + B (0 - 3) + C (- 1 - 1) = 0або 6A + 3B + 2C = 0.

Оскільки шукана площина паралельна знайденої прямої AB, То з урахуванням формул умови паралельності прямої і площинимаємо:

–4A + 0B + 1C = 0або 4A - C = 0.

вирішуючи систему

знаходимо, що C = 4 A, B = – A. Підставимо отримані значення Зі Bв рівняння шуканої площини, маємо

A (x - 4) - A (y - 3) + 4A (z - 1) = 0.

Так як A ≠ 0 , То отримане рівняння еквівалентно рівнянню

3 (x - 4) - 14 (y - 3) + 12 (z - 1) = 0. ◄

Завдання 12.

знайти координати x 2 , y 2 , z 2 точки M 2 , Симетричною точці M 1 (6; – 4; – 2) відносно площини x + y + z – 3 = 0 .

Запишемо параметричні рівняння прямої M 1 M 2 , Перпендикулярної до даної площини: x = 6 + t, y = – 4 + t, z = – 2 + t. Вирішивши їх спільно з рівнянням даної площини, знайдемо t = 1 і, отже, точку Mперетину прямої M 1 M 2 з даної площиною: M (7; – 3; – 1) . Так як точка Mє серединою відрізка M 1 M 2 , То вірні рівності .; в) параболи, що має директрису b

Елементи лінійної алгебри вданий розділ включені основні типи завдань, які розглядаються в темі «Лінійна алгебра»: обчислення визначників, дії н

документ

квадратної матриці знайтиа) мінор елемента; б) алгебраїчне доповнення елемента; в) ... знайтиа) мінор елемента; б) алгебраїчне доповнення елемента; в) її визначник, отримавши попередньо нулі в першому рядку. Рішення а) мінором елемента ...

І. елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії

документ

... елементуматриці ». Визначення. алгебраїчним доповненням елементаАіК матриці А називається мінорМік цієї матриці, помножений на (-1) і + до: алгебраїчне доповнення елемента... методу. Приклад 1. Задана матриця знайти det A. Рішення. Перетворимо ...

Рішення: при складанні двох матриць до кожного елементу першої матриці потрібно додати елемент другої матр

Рішення

Го шпальти; називають мінор елемента. Тоді за визначенням вважається (1) - алгебраїчне доповнення елемента, Тоді (2) ... Лінійні операції над матрицями Завдання. знайтисуму матриць і і твір ... сумісна, то потрібно знайтиїї спільне рішення. ...

Методичні рекомендації щодо виконання позаурочної самостійної роботи студента Дисципліна «Математика» для спеціальності

Методичні рекомендації

Такий визначник називається мінор елемента aij. позначається мінор- Mij. приклад: знайти мінор елементаА12 визначника Для ... на одиницю нижче і мінордорівнює: алгебраїчним доповненням елементавизначника називається його мінорвзятий зі своїм ...

алгебраїчне доповнення- поняття матричної алгебри; стосовно елементу aij квадратної матриці А утворюється шляхом множення мінору елемента aij на (1) i + j; позначається Аij: Aij = (1) i + jMij, де Mij мінор елемента aij матриці A =, тобто визначник ... ... Економіко-математичний словник

алгебраїчне доповнення- Поняття матричної алгебри; стосовно елементу aij квадратної матриці А утворюється шляхом множення мінору елемента aij на (1) i + j; позначається Аij: Aij = (1) i + jMij, де Mij мінор елемента aij матриці A =, тобто визначник матриці, ... ... Довідник технічного перекладача

Див. В ст. Визначник ... Велика Радянська Енциклопедія

Для мінору М число, рівне де М мінор порядку k, розташований в рядках з номерами і шпальтах з номерами деякої квадратної матриці Апорядка п; визначник матриці порядку n k, отриманої з матриці Авичерківаніем рядків і стовпців мінору М; ... ... математична енциклопедія

У Вікісловнику є стаття «додаток» Доповнення може означати ... Вікіпедія

Операція, до раю ставить у відповідність подмножеству Мданного безлічі Xдругое підмножина так, що якщо відомі Мі N, то тим чи іншим способом може бути відновлено безліч X. Залежно від того, якою структурою наділене безліч X, ... ... математична енциклопедія

Або детермінант, в математиці запис чисел у вигляді квадратної таблиці, у відповідність з якою ставиться інше число (значення визначника). Дуже часто під поняттям визначник мають на увазі як значення визначника, так і форму його записи. ... ... Енциклопедія Кольєра

Про теорему з теорії ймовірностей див. Статтю Локальна теорема Муавра Лапласа. Теорема Лапласа одна з теорем лінійної алгебри. Названа на честь французького математика П'єра Симона Лапласа (1749 1827), якому приписують формулювання ... ... Вікіпедія

- (Laplacian matrix) одну з вистав графа за допомогою матриці. Матриця Кірхгофа використовується для підрахунку остовних дерев даного графа (матрична теорема про дерева), а також використовується в спектральної теорії графів. Зміст 1 ... ... Вікіпедія

Рівнянням називається математичне співвідношення, що виражає рівність двох виразів алгебри. Якщо рівність справедливо для будь-яких допустимих значень назв невідомих, то воно називається тотожністю; наприклад, співвідношення виду ... ... Енциклопедія Кольєра

книги

• Дискретна математика, А. В. Чашкин. 352 стр. Підручник складається з 17 глав з основних розділів дискретної математики: Комбінаторному аналізу, теорії графів, булевих функцій, складності обчислення і теорії кодування. Містить ...