Що таке фільтр батерворта, розрахунок та схема. Курсова робота: Фільтр верхніх частот Баттерворта Формула амплітудно частотної характеристики фільтра батерворта

У фільтрах розрахунок зазвичай починають із завдання параметрів фільтра, найголовнішим є АЧХ. Як ми вже обговорювали у статті, спочатку здійснюється приведення вимог заданого фільтра до вимог ФНЧ-прототипу. Приклад вимог до амплітудно-частотної характеристики ФНЧ-прототипу фільтра проектованого наведено на малюнку 1.

На даному графіку наведено залежність коефіцієнта передачі фільтра до нормованої частоти ξ , де ξ = f/fв

На наведеному малюнку 1 графіку видно, що у смузі пропускання задається допустима нерівномірність коефіцієнта передачі. У смузі непропускання задається мінімальний коефіцієнт придушення сигналу, що заважає. Реальна фільтр може мати будь-яку форму. Головне, щоб вона не перетинала межі заданих вимог.

Досить тривалий час розрахунок фільтра вели методом підбору амплітудно-частотної характеристики за допомогою стандартних ланок (m-ланка або k-ланка). Подібний метод називався методом аплікації. Він був досить складний і не давав оптимального співвідношенняякості розробленого фільтра та кількості ланок. Тому було розроблено математичні методи апроксимації амплітудно-частотної характеристики із заданими характеристиками.

Апроксимацією в математиці називають уявлення складної залежності деякою відомою функцією. Зазвичай ця функція досить проста. У разі розробки фільтра важливо, щоб апроксимуюча функція легко могла бути реалізована схемотехнічно. І тому функції реалізуються з допомогою нулів і полюсів коефіцієнта передачі четырехполюсника, у разі фільтра. Вони легко реалізуються за допомогою LC-контурів або зі зворотними зв'язками.

Найбільш поширеним видом апроксимації АЧХ фільтра є апроксимація за Баттервортом. Подібні фільтри отримали назву фільтри Баттерворт.

Фільтри Баттерворта

Відмінною особливістю амплітудно-частотної характеристики фільтра Баттерворта є відсутність мінімумів та максимумів у смузі пропускання та затримування. Спад АЧХ межі смуги пропускання цих фільтрів дорівнює 3 дБ. Якщо від фільтра потрібно менше значення нерівномірності у смузі пропускання, то повертаючи частота фільтра fвибирається вище заданої верхньої частоти смуги пропускання. Функція апроксимації АЧХ для ФНЧ-прототипу фільтра Баттерворта виглядає так:

де ξ - Нормована частота;
n- Порядок фільтра.

При цьому реальну амплітудно-частотну характеристику фільтра можна отримати, помноживши нормовану частоту ξ частоту зрізу фільтра. Для фільтра Баттерворта нижніх частот функція апроксимації АЧХ виглядатиме так:

Зараз звернемо увагу, що при розрахунку фільтрів широко використовується поняття комплексної s-площини, на якій по осі ординат відкладено кругову частоту. jω, а по осі абсцис - величина, обернена добротності. Таким чином, можна визначити основні параметри LC-контурів, які входять до складу схеми фільтра: частоту налаштування (резонансну частоту) і добротність. Перехід у s-площину здійснюється за допомогою .

Детальний висновок положення полюсів фільтра Баттерворта на комплексній s-площині наведено в . Для нас головне, що полюси цього фільтра розташовані на одиничному колі на рівній відстані один від одного. Кількість полюсів визначається порядком фільтра.

На малюнку 2 наведено розташування полюсів для фільтра Баттерворт першого порядку. Поруч показана АЧХ, що відповідає даному розташуванню полюсів на комплексній s-площині.

На малюнку 2 видно, що для фільтра першого порядку полюс повинен бути налаштований на нульову частоту і його добротність повинна дорівнювати одиниці. На графіку АЧХ видно, що частота налаштування полюса дійсно дорівнює нулю, а добротність полюса така, що на частоті зрізу нормованого фільтра Баттерворта, що дорівнює одиниці, коефіцієнт передачі дорівнює −3дБ.

Так само визначаються полюси для фільтра Баттерворта другого порядку. Цього разу частота налаштування полюса вибирається на перетині одиничного кола з прямою, що проходить через центр кола під кутом 45°.

У разі резонансна частота полюса розташована неподалік частоти зрізу нормованого фільтра. Вона дорівнює 0,707. Добротність полюса за графіком розташування полюсів у корінь з двох разів вища за добротність полюса фільтра Баттерворта першого порядку, тому крутість спаду амплітудно-частотної характеристики виходить більше. (Зверніть увагу на цифри у правій частині графіка. При відбудові за частотою, що дорівнює 2, пригнічення дорівнює вже 13 дБ) Ліва частина амплітудно-частотної характеристики полюса виходить плоскою. Це з впливом полюса, що у зоні негативних частот.

Розташування полюсів та амплітудно-частотна характеристика фільтра Баттерворта третього порядку показано малюнку 4.

Як видно з графіків, показаних на малюнках 2 ... 5, при збільшенні порядку фільтра Баттерворт збільшується крутість спаду амплітудно-частотної характеристики і зростає потрібна добротність ланцюга другого порядку (контуру), що реалізує полюс характеристики передачі фільтра. Саме зростанням потрібної добротності обмежується максимальний порядок фільтра, який вдається реалізувати. Нині вдається реалізувати фільтри Баттерворта до восьмого — десятого порядку.

Фільтри Чебишева

У фільтрах Чебишева апроксимація амплітудно-частотної характеристики проводиться наступним чином:

При цьому амплітудно-частотну характеристику реального фільтра Чебишева так само як і у фільтрі Баттерворта можна отримати, помноживши нормовану частоту ξ на частоту зрізу фільтра, що розробляється. Для фільтра Чебишева нижніх частот амплітудно-частотну характеристику можна визначити так:

Амплітудно-частотна характеристика фільтра Чебишева низьких частотхарактеризується більш крутим спадом в області частот вище за верхню частоту пропускання. Цей виграш досягається за рахунок появи нерівномірності АЧХ у смузі пропускання. Нерівномірність функції апроксимації АЧХ фільтра Чебишева викликається більшою добротністю полюсів.

Детальний висновок положення полюсів апроксимуючої функції фільтра Чебишева на s-площині наведено в . Для нас важливим є те, що полюси фільтра Чебишева розташовані на еліпсі, велика вісь якого збігається з віссю нормованих частот. На цій осі еліпс проходить через точку частоти зрізу нижнього фільтра частот.

У нормованому варіанті ця точка дорівнює одиниці. Друга вісь визначається нерівномірністю функції апроксимації АЧХ у смузі пропускання. Чим більша допустима нерівномірність у смузі пропускання, тим менша ця вісь. Відбувається хіба що " сплющивание " одиничного кола фільтра Баттерворта. Полюси наближаються до осі частот. Це відповідає зростанню добротності полюсів фільтра. Чим більша нерівномірність у смузі пропускання, тим більша добротність полюсів, тим більша швидкість зростання загасання у смузі непропускання фільтра Чебишева. Кількість полюсів функції апроксимації АЧХ визначається порядком фільтра Чебишева.

Слід зазначити, що фільтра Чебишева першого порядку немає. Розташування полюсів і АЧХ фільтра Чебишева другого порядку наведено малюнку 5. Характеристика фільтра Чебишева цікава тим, що у ній чітко видно частоти полюсів. Вони відповідають максимумам АЧХ у смузі пропускання. У фільтра другого порядку частота полюса відповідає ξ =0.707.

1 Визначимо порядок фільтра. Порядок фільтра це число реактивних елементів ФНЧ і ФВЧ.

де
- функція Баттерворта, що відповідає допустимій частоті .

- Допустиме згасання.

2 Рисуємо схему фільтра отриманого порядку. При практичній реалізації переважні схеми з меншою кількістю індуктивностей.

3 Розраховуємо постійні перетворення фільтра.

, мГн

, нФ

4 Для ідеального фільтра з опором генератора 1 Ом, опір навантаження 1 Ом,
складено таблицю нормованих коефіцієнтів фільтра Баттерворта. У кожному рядку таблиці коефіцієнти симетричні, до середини збільшуються, а потім зменшуються.

5 Щоб знайти елементи схеми, необхідно постійні перетворення помножити на коефіцієнт таблиці.

Розрахувати параметри фільтра низьких частот Баттерворта, якщо ПП=0,15 кГц, =25 кГц, =30 дБ,
=75 Ом. Знайти
для трьох точок.

29.3 ФВЧ Баттерворт.

Фільтри ФВЧ - це чотириполюсники, у яких в діапазоні (
) згасання мало, а в діапазоні (
) – велике, тобто фільтр повинен пропускати в навантаження струму верхніх частот.

Так як ФВЧ повинен пропускати струми високих частот, то на шляху струму, що йде в навантаження, повинен стояти частотно залежний елемент, який добре пропускає струми високих частот і погано струми низьких частот. Таким елементом є конденсатор.

Ф
ВЧ Т-подібний

ФВЧ П-подібний

Конденсатор ставлять послідовно з навантаженням, оскільки
та зі зростанням частоти
зменшується, отже струми високих частот легко проходять у навантаження через конденсатор. Котушку індуктивності ставлять паралельно навантаженню, оскільки
і зі збільшенням частоти збільшується
тому струми низьких частот замикаються через індуктивності і не потраплять у навантаження.

Розрахунок ФВЧ Баттерворта аналогічний розрахунку ФНЧ Баттерворта, проводиться за тими ж формулами, тільки

.

Розрахувати фільтр верхніх частот ФВЧ Баттерворта, якщо
Ом,
кГц,
дБ,
кГц. Знайти:
.

Тема заняття 30: Смужні та режекторні фільтри Баттерворта.

Сторінка 1 з 2

Визначимо порядок фільтра виходячи з необхідних умов за графіком для загасання в смузі затримки в книзі Г.Лем «Аналогові та цифрові фільтри» гл.8.1 стор.215.

Зрозуміло, що для необхідного згасання достатньо фільтру 4 порядку. Графік наведено для випадку, коли w з =1 рад/с, а відповідно частота, на якій потрібно необхідне згасання – 2 рад/с (відповідно 4 та 8 кГц). Загальний графік для передачі фільтра Баттерворта:

Визначаємо схемну реалізацію фільтра:

активний фільтр нижніх частот четвертого порядку зі складним негативним зворотним зв'язком:

Щоб бажана схема мала бажану амплітудно-частотну характеристику, елементи, що входять до неї, можуть бути підібрані з не дуже високою точністю, що є плюсом даної схеми.

активний фільтр нижніх частот четвертого порядку з позитивним зворотним зв'язком:

У цій схемі коефіцієнт посилення операційного підсилювача повинен мати строго певне значення, а коефіцієнт передачі цієї схеми буде не більше 3. Тому цю схему можна відкинути.

активний фільтр нижніх частот четвертого порядку з омічним негативним зворотним зв'язком

Даний фільтр побудований на чотирьох операційниках, що збільшує перешкоди та складність розрахунку цієї схеми, тому її ми також відкидаємо.

З розглянутих схем ми вибираємо фільтр зі складним негативним зворотним зв'язком.

Розрахунок фільтра

Визначення передавальної функції

Записуємо табличні значеннякоефіцієнтів для фільтра Баттерворта четвертого порядку:

a 1 = 1.8478 b 1 = 1

a 2 = 0.7654 b 2 = 1

(див. У.Тітце, К.Шенк «Напівпровідникова схемотехніка» табл.13.6 стор. 195)

Загальне вираження передавальної функції ФНЧ четвертого порядку:

(див. У.Тітце, К.Шенк «Напівпровідникова схемотехніка» табл.13.2 стор. 190 та форм. 13.4 стор. 186).

Передатна функція першої ланки має вигляд:

Передатна функція другої ланки має вигляд:

де w з - кругова частота зрізу фільтра, w з = 2pf c.

Розрахунок номіналів деталей

Прирівнявши коефіцієнти виразів (2) та (3) коефіцієнтам виразу (1) отримаємо:

Коефіцієнти передачі постійного сигналудля каскадів, їх добуток А 0 має дорівнювати 10 за завданням. Вони негативні, оскільки дані каскади є інвертуючими, проте їх добуток дає позитивний коефіцієнт передачі.

Для розрахунку схеми краще задатися ємностями конденсаторів, при цьому для того, щоб значення R 2 було дійсним, має виконуватися умова

і відповідно

З цих умов вибирається З 1 =З 3 =1 нФ, З 2 =10 нФ, З 4 =33 нФ.

Розраховуємо значення опорів для першого каскаду:

Значення опорів другого каскаду:

Вибір ОУ

При виборі ОУ необхідно враховувати діапазон частот фільтра: частота одиничного посилення ОУ (на якій коефіцієнт підсилення дорівнює одиниці) має бути більшим за добуток частоти зрізу і коефіцієнта посилення фільтра K у.

Оскільки максимальний коефіцієнт посилення дорівнює 3.33 а частота зрізу 4 кГц, то цій умові задовольняють майже всі існуючі ОУ.

Іншим важливим параметромОУ є його вхідний опір. Воно має бути більшим за десятикратний максимальний опір резистора схеми.

Максимальний опір у схемі дорівнює 99.6 кОм, отже вхідний опір ОУ має бути не менше ніж 996 кОм.

Також необхідно враховувати здатність навантаження ОУ. Для сучасних ОУ мінімальний опір навантаження становить 2 кому. Враховуючи, що опір R1 і R4 рівні відповідно 33.2 і 3.09 кОм, вихідний струм операційного підсилювача буде свідомо менше максимально допустимого.

Відповідно до вищенаведених вимог обираємо ОУ К140УД601 з наступними паспортними даними (характеристиками):

До у. min = 50000

R вх = 1 МОм

У цій статті ми поговоримо про фільтр Баттерворта, розглянемо порядки фільтрів, декади та октави, детально розберемо фільтр низьких частот третього порядку з розрахунком і схемою.

Вступ

У пристроях, які використовують фільтри для формування частотного спектрусигналу, наприклад, в системах зв'язку або управління, форма або ширина спаду, також звана «смугою переходу», для простого фільтра першого порядку може бути занадто довгою або необхідні широкі та активні фільтри, розроблені з більш ніж одним «замовленням». Ці типи фільтрів зазвичай відомі як фільтри "високого порядку" або "n-го порядку".

Порядок фільтрів

Складність або тип фільтра визначається "порядком" фільтрів і залежить від кількості реактивних компонентів, таких як конденсатори або котушки індуктивності його конструкції. Ми також знаємо, що швидкість спаду і, отже, ширина смуги переходу залежить від порядкового номера фільтра і що для простого фільтра першого порядку він має стандартну швидкість спаду 20 дБ/декаду або 6 дБ/октаву.

Тоді для фільтра, що має n-й порядковий номер, він матиме наступну швидкість спаду 20n дБ/декаду або 6n дБ/октаву. Таким чином:

• фільтр першого порядкумає швидкість спаду 20 дБ/декаду (6 дБ/октава)
• фільтр другого порядкумає швидкість спаду 40 дБ/декаду (12 дБ/октава)
• фільтр четвертого порядкумає частоту спаду 80 дБ/декада (24 дБ/октава) тощо.

Фільтри високого порядку, такі як третій, четвертий та п'ятий, зазвичай формуються шляхом каскадного об'єднання одиночних фільтрів першого та другого порядку.

Наприклад, два фільтри нижніх частот другого порядку можуть бути каскадно з'єднані для отримання фільтра нижніх частот четвертого порядку і так далі. Незважаючи на те, що порядок фільтру, який може бути сформований, не обмежений, при збільшенні порядку збільшуються його розмір та вартість, а також знижується його точність.

Декади та октави

Останній коментар про Декадахі Октавах. За шкалою частот декада- Це десятикратне збільшення (множення на 10) або десятикратне зменшення (розподіл на 10). Наприклад, від 2 до 20 Гц становлять одну декаду, тоді як від 50 до 5000 Гц становлять дві декади (від 50 до 500 Гц, а потім від 500 до 5000 Гц).

Октава- це подвоєння (помножити на 2) або зменшення вдвічі (розподіл на 2) за шкалою частот. Наприклад, від 10 до 20 Гц представляє одну октаву, а від 2 до 16 Гц - це три октави (від 2 до 4, від 4 до 8 і, нарешті, від 8 до 16 Гц), щоразу подвоюючи частоту. В будь-якому випадку, логарифмічнішкали широко використовуються в частотній області для позначення значення частоти під час роботи з підсилювачами та фільтрами, тому важливо розуміти їх.

Оскільки резистори, що визначають частоту, всі рівні, як і конденсатори, що визначають частоту, відсікання або кутова частота (C) для першого, другого, третього або навіть для фільтра четвертого порядку також повинні бути рівні і знайдені, використовуючи знайоме рівняння:

Як і у випадку фільтрів першого та другого порядку, фільтри верхніх частот третього та четвертого порядку формуються простим взаємним обміном положень визначальних частоту компонентів (резисторів та конденсаторів) в еквівалентному фільтрі нижніх частот. Фільтри високого порядку можна спроектувати, дотримуючись процедур, які ми бачили раніше в посібниках з фільтру нижніх частот та фільтрів верхніх частот. Однак загальний коефіцієнт посилення фільтрів високого порядку є фіксованим,оскільки всі компоненти, що визначають частоту, однакові.

Апроксимації фільтра

Досі ми розглядали низькочастотні та високочастотні схеми фільтра першого порядку, їх результуючі частотні та фазові характеристики. Ідеальний фільтр дав би нам специфікації максимального посилення смуги пропускання та площинності, мінімального загасання смуги пропускання, а також дуже крутої смуги пропускання, щоб зупинити спад смуги (смуга переходу), і тому очевидно, що велика кількістьмережевих відгуків задовольнятиме ці вимоги.

Не дивно, що в лінійному дизайні аналогових фільтрів є ряд аппроксимаційних функцій, в яких використовується математичний підхід для найкращого наближення передавальної функції, яка потрібна нам для проектування фільтрів.

Такі конструкції відомі як Еліптичний, Баттерворт, Чебишів, Бессіль, Кауері багато інших. З цих п'яти «класичних» функцій апроксимації лінійного аналогового фільтра тільки фільтр Баттервортаі особливо конструкція фільтра Баттерворта нижніх частотбудуть розглядатися тут як його функція, що найчастіше використовується.

Низькочастотний фільтр Баттерворта

Частотна характеристика апроксимаційної функції фільтра Баттервортатакож часто називається «максимально плоскою» (без пульсацій) характеристикою, оскільки смуга пропускання спроектована так, щоб мати частотну характеристику, яка є настільки плоскою, наскільки це математично можливо від 0 Гц (DC) до частоти зрізу -3 дБ без пульсацій. Більше високі частотиза межами точки відсічення знижуються до нуля в смузі зупинки на рівні 20 дБ/декада або 6 дБ/октава. Це тому, що він має фактор якості, Q всього 0,707.

Однак одним з основних недоліків фільтра Баттерворт є те, що він досягає цієї площинності смуги пропускання за рахунок широкої смуги переходу, коли фільтр змінюється від смуги пропускання до смуги зупинки. Він також має погані фазові характеристики. Ідеальна частотна характеристика, яка називається фільтром «цегляної стіни», та стандартні апроксимації Баттерворта для різних порядків фільтра наведені нижче.

Зверніть увагу, що чим вище порядок фільтра Баттерворта, тим більша кількість каскадних сходів у конструкції фільтра і тим ближче фільтр підходить до ідеального відгуку «цегляної стіни».

Однак на практиці ідеальна частотна характеристика Баттерворта недосяжна, оскільки вона викликає надмірну пульсацію смуги пропускання.

Де узагальнене рівняння, що представляє фільтр Баттерворта "n-го" порядку, частотна характеристика дається як:

Де: n представляє порядок фільтра, ω дорівнює 2πƒ, а ε - максимальне посилення смуги пропускання (A max).

Якщо A max визначено на частоті, що дорівнює кутовій точці відсічки -3 дБ (c), тоді ε дорівнюватиме одиниці і, отже, ε 2 також дорівнюватиме одиниці. Однак, якщо ви тепер хочете визначити A max при іншому значенні посилення по напрузі, наприклад, 1 дБ або 1.1220 (1 дБ = 20 * logA max), тоді нове значення ε знаходиться за формулою:

Підставляючи дані до рівнянь, отримуємо:

Частотна характеристикафільтра може бути визначена математично його передавальної функціїзі стандартом передачі напруги Функція H (jω) і записується у вигляді:

Примітка: (jω) також можна записати як (s) для позначення S-області.та результуюча передатна функція для фільтра нижніх частот другого порядку задається як:

Нормалізовані поліноми фільтра Баттерворт низьких частот

Щоб допомогти у розробці своїх фільтрів нижніх частот, Баттерворт створив стандартні таблиці нормалізованих поліномів нижніх частот другого порядку з урахуванням значень коефіцієнта, які відповідають частоті відсікання кута 1 радіан/с.

Розрахунок та схема фільтра Баттерворта низьких частот

Знайти порядок активного фільтра Баттерворта нижніх частот, чиї характеристики наведені як: A макс = 0,5 дБ на частоті смуги пропускання (ωp) 200 радіан/сек (31.8 гЦ), та A min = -20 дБ на частоті смуги зупинки (ωs ) 800 радіан/сек. Також розробте відповідну схему фільтра Баттерворта, що відповідає цим вимогам.

По-перше, максимальне посилення смуги пропускання A max = 0,5 дБ, яке дорівнює посиленню 1,0593 , Пам'ятайте, що: 0,5 дБ = 20 * log (A) на частоті (ωp) 200 рад / с, тому значення епсілон ε знаходиться по:

По-друге, мінімальне посилення смуги зупинки A min = -20 дБ, яке дорівнює посиленню 10 (-20 дБ = 20*log(A)) на частоті смуги зупинки (ωs) 800 рад/с або 127,3 Гц.

Підстановка значень у загальне рівняннядля частотної характеристики фільтрів Баттерворта дає нам таке:

Так як n завжди має бути цілим числом, то наступним найвищим значенням 2,42 буде n = 3 тому «потрібний фільтр третього порядку»,та для створення фільтра Баттервортатретього порядку, щаблі фільтра другого порядку потрібно каскадне з'єднання з ступенем фільтра першого порядку.

З наведеної вище таблиці нормалізованих поліномів Баттерворта низьких частот коефіцієнт фільтра третього порядку дається як (1 + s) (1 + s + s 2), і це дає нам посилення 3-A = 1 або A = 2 . В А = 1 + (Rf / R1), вибираючи значення як для резистора зворотнього зв'язку Rf і резистора R1 дає нам значення 1 кОм та 1 кОм, відповідно, як: (1 кОм / 1 кОм) + 1 = 2 .

Ми знаємо, що кутова частота відсікання, точка -3 дБ (ω o) може бути знайдена за допомогою формули 1 / CR , але нам потрібно знайти ω o за частотою смуги пропускання ω p ,

Таким чином, частота відсікання кута задається як 284 рад/с або 45,2 Гц (284/2π), і, використовуючи знайому формулу 1/RC, ми можемо знайти значення резисторів та конденсаторів для нашої схеми третього порядку.

Зверніть увагу, що найближче перевага до 0,352 мкФ буде 0,36 мкФ або 360 нФ.

І, нарешті, наша схема низькочастотного фільтра Баттерворттретього порядку з кутовою частотою зрізу 284 рад/с або 45,2 Гц, максимальним посиленням смуги пропускання 0,5 дБ та мінімальним посиленням смуги зупинки 20 дБ будується наступним чином.

Таким чином, для нашого фільтра низьких частот Баттерворта 3-го порядку з кутовою частотою 45,2 Гц, C = 360 нФ та R = 10 кОм

Значна частина теорії розрахунку цифрових БІХ-фільтрів (тобто фільтрів із нескінченною імпульсною характеристикою) потребує розуміння методів розрахунку фільтрів безперервного часу. Тому в даному розділібудуть наведені розрахункові формули для кількох стандартних типів аналогових фільтрів, включаючи фільтри Баттерворта, Бесселя та Чебишева типу І та ІІ. Детальний аналіз переваг та недоліків способів апроксимації заданих характеристик, відповідних цим фільтрам, можна знайти в ряді робіт, присвячених методам розрахунку аналогових фільтрів, тому нижче будуть лише коротко перераховані основні властивості фільтрів кожного типу та наведені розрахункові співвідношення, необхідні для отримання коефіцієнтів аналогових фільтрів.

Нехай потрібно розрахувати нормований фільтр нижніх частот із частотою зрізу, що дорівнює Ω = 1 рад/с. Як апроксимована функція, як правило, використовуватиметься квадрат амплітудної характеристики (виключенням є фільтр Бесселя). Будемо вважати, що передатна функція аналогового фільтра є раціональною змінною функцією S наступного виду:

Фільтри Баттерворта нижніх частот характеризуються тим, що мають максимально гладку амплітудну характеристику на початку координат у s-площині. Це означає, що всі існуючі похідні від амплітудної характеристики початку координат дорівнюють нулю. Квадрат амплітудної характеристики нормованого (тобто має частоту зрізу 1 рад/с) фільтра Баттерворта дорівнює:

де n - Порядок фільтра. Аналітично продовжуючи функцію (14.2) на всю S-площину, отримаємо

Усі полюси (14.3) знаходяться на одиничному колі на однаковій відстані один від одного в S-площини . Виразимо передатну функцію Н(s) через полюси, що розташовуються в лівій напівплощині S :

Де (14.4)

Де k =1,2…..n (14.5)

а k 0 - Константа нормування. Використовуючи формули (14.2) та (14.5), можна сформулювати кілька властивостей фільтрів Баттерворта нижніх частот.

Властивості фільтрів Баттерворта нижніх частот:

1. Фільтри Баттерворта мають лише полюси (всі нулі передавальних функцій цих фільтрів розташовані на нескінченності).

2. На частоті Ω=1 рад/с коефіцієнт передачі фільтрів Баттерворта дорівнює (тобто. на частоті зрізу їхня амплітудна характеристика спадає на 3 дБ).

3. Порядок фільтру n повністю визначає весь фільтр. Насправді порядок фільтра Баттерворта зазвичай розраховують з умови забезпечення певного ослаблення па деякої заданої частоті Ω t > 1. Порядок фільтра, що забезпечує частоті Ω= Ω t< уровень амплитудной характеристики, равный 1/А, можно найти из соотношения

Мал. 14.1. Розташування полюсів аналогового фільтра Баттерворт нижніх частот.

Мал. 14.2- Амплітудна та фазова характеристики, а також характеристика групової затримки аналогового фільтра Баттерворта нижніх частот.

Нехай, наприклад, потрібно на частоті Ω t = 2 рад/сзабезпечити ослаблення, що дорівнює А = 100. Тоді

Округливши n у велику сторону до цілого числа, знайдемо, що задане ослаблення забезпечить фільтр Баттерворт 7-го порядку.

Рішення. Використовуючи як розрахункові характеристики 1/A == 0,0005 (що відповідає ослабленню на 66 дБ) і Ω t = 2, отримаємо n== 10,97. Округлення дає n = 11. На рис. 14.1 показано розташування полюсів розрахованого фільтра Баттерворта s-площини. Амплітудна (в логарифмічному масштабі) та фазова характеристики, а також характеристика групової затримки цього фільтра представлені на рис. 14.2.