Piedošanas viglyad matrica. Matricas samazināšana līdz acs solim

Tajā pašā laikā matricas izpratne ir skaidra, un matricas skats ir redzams. Tātad, tā kā terminu tajā pašā laikā ir mazāk, tad es iedošu īsu izmaiņu, un es būšu vienkāršāks ar materiāliem.

Matricas un elementa vērtība. Apzīmējums.

Matrica- Tabula ar $ m $ rindām un $ n $ simts. Matricas elementi var būt absolūti daudzpusīgi: skaitļi, maināmi skaitļi, piemēram, citas matricas. Piemēram, matrica $ \ left (\ begin (masīvs) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ end (masīvs) \ right) $ aizstāt 3 rindas і 2 stovptsі; Veselā skaitļa elementi. Matrica $ \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cccc) a & a ^ 9 + 2 & 9 & \ sin x \ -9 & 3t ^ 2-4 & ut & 8 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ atriebība 2 rindas, ka 4 simti.

Atrodiet veidus, kā rakstīt matricas: parādīt / parādīt

Matricu var rakstīt gan apaļā, gan kvadrātā, gan apakštaisnās arkās. Pati matrica ir norādīta zemāk. dažādas formas Es pierakstīšu:

$$ \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ end (masīvs) \ pa labi); \; \; \ pa kreisi [\ sākums (masīvs) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ beigas (masīvs) \ tiesības]; \; \; \ left \ Vert \ begin (masīvs) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (masīvs) \ right \ Vert $$

Tvir $ m \ reizes n $ nosaukums izmēru matrica... Piemēram, ja matricā ir 5 rindas un 3 simtdaļas, tad runājiet par matricas izmēru $ 5 \ x 3 $. Matrica $ \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ ma izmērs $ 3 \ reizes 2 $.

Nosaukums matricas ir pazīstamas kā lielie latīņu alfabēta burti: $ A $, $ B $, $ C $ un arī. Piemēram, $ B = \ kreisi (\ sākums (masīvs) (ccc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $. Rindu numerācija no augšas uz leju; Stovpts_v - Zl_va pa labi. Piemēram, $ B $ matricas pirmajā rindā ir jāaizstāj elementi 5 un 3, bet pārējā simtā jāaizstāj elementi 3, -87, 0.

Matricas elementus sauc par dažādiem burtiem. Piemēram, $ A $ matricas elementus sauc par $ a_ (ij) $. Apakšindekss $ ij $ Atklāj informāciju par elementa pozīciju matricā. Skaitlis $ i $ ir rindas kārtas numurs, un skaitlis $ j $ ir simtdaļu skaits, uz kurām atrodas elements $ a_ (ij) $. Piemēram, uz citas rindas krusta un matricu piektā simta $ A = \ pa kreisi (\ begin (masīvs) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \ 1 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ izšūšanas elements $ a_ (25) = 59 $:

Tātad pirmās rindas pirmajā rindā un pirmajā simtā ir elements $ a_ (11) = 51 $; uz trešās rindas krusta un otra simta - elements $ a_ (32) = - 15 $ tikko. Es tevi cienīšu, ja tu rakstīsi $ a_ (32) $ tur rakstīts jaks "a trīs divi", ale nevis "bet trīsdesmit divi".

Ātrās vērtības matricai $ A $, kuras izmērs ir $ m \ reiz n $, ierakstiet $ A_ (m \ reiz n) $. Nav viegli izvēlēties un uzrakstīt šādu ierakstu:

$$ A_ (m \ reizes (n)) = (a_ (ij)) $$

Šeit $ (a_ (ij)) $ secina par matricas $ A $ elementu vērtībām, tas ir. lai noteiktu, kur matricas $ A $ elementus sauc par $ a_ (ij) $. Atvērtajā skatā matricu $ A_ (m \ reiz n) = (a_ (ij)) $ var uzrakstīt šādi:

$$ A_ (m \ reizes n) = \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ lpunkti & a_ (2n) \\ \ lpunkti & \ lpunkti & \ lpunkti & \ lpunkti \\ a_ (m1) & a_ (m2) & \ lpunkti & a_ (mn) \ beigas (masīvs) \ labi) $$

Ievadiet vēl vienu terminu - vairāk matricu.

Tiek izsauktas divas vienāda izmēra matricas $ A_ (m \ reiz n) = (a_ (ij)) $ і $ B_ (m \ reiz n) = (b_ (ij)) $ rivnim, kā arī visi elementi rivn, tobto. $ a_ (ij) = b_ (ij) $ visiem $ i = \ overline (1, m) $ і $ j = \ overline (1, n) $.

Paskaidrots pirms rakstīšanas $ i = \ overline (1, m) $: parādīt \ iegūt to

Apzīmējums "$ i = \ overline (1, m) $" nozīmē, ka parametrs $ i $ mainās no 1 uz m. Piemēram, ierakstiet $ i = \ overline (1,5) $, lai runātu par tiem, kur parametrs $ i $ tiek pieņemts kā 1, 2, 3, 4, 5.

Otzhe, lai nodrošinātu matricu vienlīdzību, ir jāparāda divi prāti: izmaiņu skaits un dažādu elementu paritāte. Piemēram, matrica $ A = \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ nedārgas matricas $ B = \ pa kreisi (\ sākums ( masīvs) (cc) 8 & -9 \\ 0 & -87 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $, matricas $ A $ izmērs $ 3 \ reizes 2 $, un matricas izmērs $ B $ kļūst par $ 2 \ reizes 2 $... Arī matrica $ A $ nav dārgas matricas $ C = \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cc) 5 & 3 \ 98 & -87 \\ 8 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $, oskilki $ a_ (21) \ neq c_ (21) $ (tobto $ 0 \ neq 98 $). Un ass matricām $ F = \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ var viegli uzrakstīt $ A = F $ , un tiek pievienoti tie paši matricu $ A $ un $ F $ elementi.

Muca numurs 1

Redzamās izmēru matricas $ A = \ left (\ begin (masīvs) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\\ beigas (masīvs) \ pa labi) $. Norādiet, kuri vienumi ir $ a_ (12) $, $ a_ (33) $, $ a_ (43) $.

Ņemot vērā matricu, lai aizstātu 5 rindas un 3 simtus, izmērs ir 5 $ reiz 3 $. Vairākām matricām uzvaroša var būt arī vērtība $ A_ (5 \ reiz 3) $.

Elements $ a_ (12) $ atrodas pirmās rindas pirmajā rindā un vēl simts, tas ir, $ a_ (12) = - 2 $. Elements $ a_ (33) $ atrodas uz trešās rindas un trešā simta krusta, tātad $ a_ (33) = 23 $. Elements $ a_ (43) $ atrodas uz ceturtās un trešās rindas krusta, tātad $ a_ (43) = - 5 $.

Skatīt: $ a_ (12) = - 2 $, $ a_ (33) = 23 $, $ a_ (43) = - 5 $.

Jūs varat redzēt matricu visdziļākajā formā. Galva ir diagonāles puse. Slaidu matricas.

Hei, jums tiek dota piemērota matrica $ A_ (m \ reiz n) $. Ja $ m = 1 $ (matrica tiek pievienota vienā rindā), tad dotā matrica tiek saukta rindu matrica... Ja $ n = 1 $ (matrica tiek pievienota simtprocentīgi), tad šādu matricu sauc matricas-stoovpets... Piemēram, $ \ left (\ begin (masīvs) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \ end (masīvs) \ right) $ ir rindas matrica, un $ \ left (\ begin (masīvs) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ - matrica-simts.

Tā kā matricām $ A_ (m \ reiz n) $ $ m \ neq n $ ir pareiza (lai rindu skaits nebūtu dārgs), tad mēdz teikt, ka $ A $ ir taisna matrica. Piemēram, matrica $ \ left (\ begin (masīvs) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \ end (masīvs) \ right) $ ma izmērs $ 2 \ reizes 4 $, tobto. vieta 2 rindas un 4 simti. Tātad, tā kā rindu skaits nav dārgs, matrica ir taisna.

Tā kā matricām $ A_ (m \ reiz n) $ pareizā vērtība ir $ m = n $ (tas ir, ceļā ir vairākas rindas), tad šķiet, ka $ A $ ir secības kvadrātveida matrica $ n $. Piemēram, $ \ left (\ begin (masīvs) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \ end (masīvs) \ right) $ ir dažādas secības kvadrātveida matrica; $ \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \ end (masīvs) \ right) $ ir trešās kārtas kvadrātveida matrica . Kvadrātmatricu $ A_ (n \ reiz n) $ var uzrakstīt šādi:

$$ A_ (n \ reizes n) = \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \ beigas (masīvs) \ labi) $$

Šķiet, ka elementi $ a_ (11) $, $ a_ (22) $, $ \ ldots $, $ a_ (nn) $ atrodas galvas diagonāli matricas $ A_ (n \ reizes n) $. Elementus sauc galvas diagonālie elementi(kas ir vienkārši diagonāli elementi). Elementi $ a_ (1n) $, $ a_ (2 \; n-1) $, $ \ ldots $, $ a_ (n1) $ atrodas blakus (cita rinda) diagonāli; їх zvanu blakus esošie diagonālie elementi... Piemēram, matricām $ C = \ left (\ begin (masīvs) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 5 & 9 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ maєmo:

Elementi $ c_ (11) = 2 $, $ c_ (22) = 9 $, $ c_ (33) = 4 $, $ c_ (44) = 6 $ є galvas diagonālie elementi; elementi $ c_ (14) = 1 $, $ c_ (23) = 8 $, $ c_ (32) = 0 $, $ c_ (41) = - 4 $ - sekundārie diagonālie elementi.

Tiek saukta galvas diagonālo elementu summa nākamā matrica es esmu $ \ Tr A $ (vai $ \ Sp A $):

$$ \ Tr A = a_ (11) + a_ (22) + \ ldots + a_ (nn) $$

Piemēram, matricām $ C = \ left (\ sākums (masīvs) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \ -9 & 5 & 6 \ end (masīvs) \ right) $ maєmo:

$$ \ Tr C = 2 + 9 + 4 + 6 = 21. $$

Diagonālo elementu izpratni var saprast arī matricām, kas nav kvadrātveida. Piemēram, matricām $ B = \ left (\ begin (masīvs) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \ beigas (masīvs) \ labi) $ head diagonālie elementi būs $ b_ (11) = 2 $, $ b_ (22) = - 9 $, $ b_ (33) = 4 $.

Jūs varat redzēt matricu elementu vērtību dziļumos.

Ja visi matricu $ A_ (m \ x n) $ elementi atgriežas uz nulli, tad šādu matricu sauc nulles un sauc to par burtu $ O $. Piemēram, $ \ left (\ begin (masīvs) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end (masīvs) \ right) $, $ \ left (\ begin (masīvs) (ccc) 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ ir nulles matricas.

Nulles matricu rinda $ A $ ir saprotama, tāpēc. Šāda rinda, kurai vēlos vienu elementu, tiek parādīta kā nulle. Providny elements rindas, kas nav nulle, sauc par pirmo (rakhuyuchi ļaunums pa labi) elementu, kas nav nulle. Lietojumprogrammai mēs varam redzēt šādu matricu:

$$ W = \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cccc) 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ 0 & -9 & 5 & 9 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ $

Citā rindā mums būs ceturkšņa elements, tobto. $ w_ (24) = 12 $, un trešajā rindā būs vēl viens elements, tobto. $ w_ (32) = - 9 $.

Matrica $ A_ (m \ reiz n) = \ pa kreisi (a_ (ij) \ pa labi) $ tiks izsaukta bieži, ciktāl divi prāti ir apmierināti:

1. Nulles rindas, piemēram, smaka є, izplatās zem visām rindām, kas nav nulles.
2. Nenulles rindu vadošo elementu skaitļi tiek iestatīti pēdējie, bet stingri augoši, lai. ja $ a_ (1k_1) $, $ a_ (2k_2) $, ..., $ a_ (rk_r) $ ir nulles rindu stieples elementi matricās $ A $, tad $ k_1 \ lt (k_2) \ lt \ ldots \ lt ( k_r) $.

Pievienojiet soļu matricas:

$$ \ left (\ begin (masīvs) (cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi); \; \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cccc) 5 & -2 & 2 & -8 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -10 \ end (masīvs) \ right). $$

Patvaļīgai matricai: matrica $ Q = \ left (\ begin (masīvs) (ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \\ 0 & -5 & 0 & 10 & 6 \ beigas (masīvs) \ tiesības) $ nav bieži, tāpēc matricas norādītajā posmā ir iznīcināts cits prāts. Veiciet vienumus citā un trešajā rindā $ q_ (24) = 7 $ і $ q_ (32) = 10 $ Maija cipari $ k_2 = 4 $ і $ k_3 = 2 $. Kopējai maє buti matricai vikonāns umov ir $ k_2 \ lt (k_3) $, kas šajā gadījumā ir bojāts. Es domāju, ja mēs atceramies otru un trešo rindu ar dažiem vārdiem, tad pirmais solis ir matrica: $ \ left (\ begin (masīvs) (ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $.

Tiek saukta soļu matrica trapece abo trapecveida, arī stiepļu elementiem $ a_ (1k_1) $, $ a_ (2k_2) $, ..., $ a_ (rk_r) $ mazgāšana $ k_1 = 1 $, $ k_2 = 2 $, ..., $ k_r = r $, tobto. Nodrošiniet є diagonālos elementus. Dedzīgā vigliādā trapecveida matricu var uzrakstīt šādi:

$$ A_ (m \ reizes (n)) = \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cccccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1r) & \ ldots & a_ (1n) \\ 0 & a_ (22) & \ ldots & a_ (2r) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ 0 & 0 & \ ldots a_ (rr) & \ ldots & a_ (rn) \\ 0 & 0 & \ ldots & 0 & \ ldots & 0 \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ 0 & 0 & \ ldots & 0 & \ ldots & 0 \ end (masīvs) \ pa labi) $$

Novietojiet trapecveida matricas:

$$ \ left (\ begin (masīvs) (cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi); \; \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cccc) 5 & -2 & 2 & -8 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -10 \ end (masīvs) \ right). $$

Šī ir kvadrātveida matricu vērtība. Ja visi kvadrātveida matricas elementi tiek noņemti no galvas diagonāles, tie atgriežas uz nulli, tad viņi sauc šo matricu augšējā trikūta matrica... Piemēram, $ \ left (\ begin (masīvs) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ — augšējā trīsstūrveida matrica. Respekts, bet augšējās trīsstūrveida matricas apzīmējums neko neizsaka par elementu nozīmi, kas šūpo pāri galvas diagonāli vai pa diagonāli. Smaka var būt nulle chi nі - tse nesutvo. Piemēram, $ \ left (\ begin (masīvs) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (masīvs) \ right) $ ir arī augšējā trīsstūrveida matrica.

Ja visi kvadrātveida matricas elementi, roztasvani virs galvas diagonāles, ir līdz nullei, tad matricu sauc par apakšējā triku matrica... Piemēram, $ \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end ( masīvs) \ right) $ - apakšējā triku matrica. Zvērīga cieņa, bet apakšējās trīsstūrveida matricas apzīmējums neko nepasaka par to elementu nozīmi, kas sakņojas galvas diagonālē vai uz tās. Smaka var būt nulle chi ni - tse nav cieņa. Piemēram, $ \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ i $ \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ - arī apakšējās trīskāršās matricas.

Tiek saukta kvadrātveida matrica diagonāli kā arī visus matricas elementus, bet negulēt uz galvas diagonāli, novest to uz nulli. Lietojumprogramma: $ \ left (\ begin (masīvs) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $. Galvas diagonāles elementi var būt labi (vienāds ar nulli) - tā nav taisnība.

Tiek saukta diagonālā matrica vientuļš, kā arī visi matricas elementi, roztasovany uz galvas diagonāles, atpakaļ uz 1. Piemēram, $ \ left (\ begin (masīvs) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $ ir viena ceturtās kārtas matrica; $ \ left (\ begin (masīvs) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (masīvs) \ right) $ ir atsevišķa matrica citā secībā.

Šobs paceļ matricu ēnaina viglyad(1.4. att.), Viconati ir nepieciešams to izdarīt.

1. Pie pirmā simt piecdesmit vibrācijas elementa displejs ir no nulles ( providny elements ). Rinda ar diriģentu ( stiepļu rinda ), ja tas nav noturīgs, pārkārtojiet to pirmās rindas pirmajā rindā (pārskatīšana uz I veidu). Tā kā pirmajā gadsimtā nav vadošā (visi elementi ir nolikti līdz nullei), tad ir veiksmīgs, un matricas daļā tiek zaudēts svina elementa pārsteidzošais troksnis. Atkārtota izveide beigsies, ja tiks iekļauti visi simti, vai tajā matricas daļā, kuras trūkst, visi elementi ir nulles.

2. Paceliet visus stiepļu rindas elementus stieples elementam (pārdomājot uz II tipu). Tiklīdz rinda paliks aiz muguras, tad kopumā jūs to pabeigsit.

3. Līdz ādas rindai, roztashovany zemāka par vadošo, lai dotu stieples rindu, reizinot pēc viena un tā paša skaitļa, elementi, kas stāv pirms vadošā, tika pievienoti nullei (pārtaisīšana III tipa).

4. Kad no skata ir parādījusies rinda un simts cilvēku, uz kura pārpildes ir stieples elements, pārejiet uz 1. soli, kurā visi apraksti sastings daļai matricas, kas ir pārpildīta.

Teorēma par visnacnik piešķiršanu aiz rindas elementiem.

Teorēma par vizītkartes izplatīšanu rindas elementiem ir tīri pieļaujama, lai aprēķinātu vizītkartes aprēķinu - kārtībā () pirms veidlapas aprēķināšanas pasūtījumā .

Tiklīdz dizainers varēs izmantot nulles elementus, viņš varēs izkārtot dizaineru uz šīs rindas elementiem, ja vēlaties ņemt lielāko nulles skaitu.

Vikoristovuyuyu spēks - Lai visi vienas rindas elementi, papildus vienam, būtu vienādi ar nulli. Ar šādu rangu apmeklētāja numurs - kārtībā, ja veidlapa ņemta no nulles, tā jāievada pirms viena apmeklētāja aprēķina - iet pēc pasūtījuma.

Zavdaņa 3.1. Skaitīt žetonu

Lēmums. Pirmo pievienojot citai rindai, trešajai - pirmajai, reizināšana ar 2, ceturtajai - pirmajai, reizināšana ar -5,

Veidlapas izkārtojums pirmā gadsimta elementiem, maєmo

.

Trešās kārtas viznachniku ​​lopiskā nane ir pirmā simta elements, pirmais. Citai rindai vispirms dodamo, reizināšana ar (-1), līdz trešajai, reizināšana ar 5, dodamo vispirms, reizināšana ar 8. Tātad, ja trešā rinda tika reizināta ar 5, tad (lai apmeklētājs nemainītos ) reizināts ar... Maєmo

Otrimaniy viznachnik var novietot aiz pirmā gadsimta elementiem:

Laplasa teorēma (1). Teorēma par svešzemju papildinājumiem (2)

1) Vizītkaršu turētājs jebkuras rindas elementu izveidei ar papildus algebru.

2) Elementu izveidošanas summa, neatkarīgi no tā, vai rinda ir formas rezervētāja pirmās rindas algebras papildinājumiem, līdz nullei (teorēma par algebras reizināšanu svešā algebrā).

Lai tas būtu punkts apgabalā ar vibrāna koordinātu sistēmām, tam jābūt tā koordinātu pārim (α, β); Arī skaitļi α un β var atšķirties no rādiusa vektora koordinātām ar punkta beigām. Līdzīgi triju (α, β, γ) telpā sākumpunkts ir punkts vai vektors ar koordinātām α, β, γ. Pati par tsomu runtutsya labu vіdoma іtachevі ģeometrisko sistēmu interpretāciju lіnіynykh rіvnyany divi vai trīs nav pieejami. Tātad, vienā sistēmā divu linu rіvnyans, no divām ģimenēm nav pieejami

a 1 x + b 1 y = c 1

a 2 x + b 2 y = s 2

Āda ir izlīdzināta taisni uz laukuma (div. 26. att.), un risinājums (α, β) ir pārpildes taisnu līniju punkts jeb vektors ar koordinātām aip (attēlā tiks parādīts vypadku, ja sistēmai ir viens risinājums).

Mazs. 26

Līdzīgi ir iespējams izveidot ar lineāru dzīvokļu sistēmu ar trim neizbēgamām, interpretējot ādas garšas kā lauku apvidu tuvu atklātai telpai.

Matemātikā un progresīvajos bērnos (zokrem, kodēšanas teorijā) mātes ir jāatved pa labi no lineāro bērnu sistēmām, lai tās varētu atriebties vairāk nekā trim neiesaistītiem cilvēkiem. Lineāro pamatiedzīvotāju sistēmu no n nepieejamām x 1, x 2, ..., x n sauc par sugas pārākumu

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

de a ij un b i - diezgan labi skaitļi. Cilvēku skaits sistēmā var būt atšķirīgs un nav saistīts ar svešzemju cilvēku skaitu. Koeficienti nepieejamām personām ij var būt pakārtoti numerācijai: pirmais rādītājs i norāda ģimenes numuru, otrs indekss j ir neaicinātās personas numurs, ja izmaksas ir norādītas pēc skaitļa.

Neatkarīgi no tā, vai tas ir sistēmas risinājums un ir saprātīgs, skaits svešzemju (α 1 , α 2 , ..., α n ), aptiniet ādu ar pareizo paritāti.

Ja es gribu perfekti ģeometrisku sistēmu (1) n> 3, tas nav žēl, tas ir pilnīgi iespējams, un bagātu gadījumā tie var manuāli paplašināt n lielas ģeometriskas telpas veidu divas vai trīs reizes. Tsіy meti un є konkrētam apzīmējumam.

n patvaļīgu skaitļu kopas ādas secības (α 1 , α 2 , ..., α n ) sauc par n-virtuālo aritmētisko vektoru, un skaitļus α 1 , α 2 , ..., α n - visa vektora koordinātas.

Vektoru vērtībām jābūt uzvarošām, parasti treknrakstā i vektoram ar koordinātām α 1, α 2, ..., α n, jāņem noteikta forma, es rakstīšu:

а = (α 1, α 2, ..., α n).

Pēc analoģijas ar lielu laukumu, daudzi no visiem n-pasaules vektoriem, kas ir apmierināti ar lineāro ryvnyannyu ar n neizbēgamiem, tiek saukti par laukumu n-pasaules telpā. Ar šādu apzīmējumu, visi risinājumi sistēmas (1) nav ļoti svarīgi, jo tie nav peretyn decilkoh hyperslochin.

N-dimensiju vektoru skaita pievienošana ir balstīta uz pašiem noteikumiem, bet visspecifiskākajiem vektoriem. Un tas pats, jakšo

а = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Divi n-dimensiju vektori, tad vektoru sauc par summu

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2 ..., α n + β n). (3)

Vektora papildinājums ar skaitli λ ir vektors

λа = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Bez visiem n-virtuālajiem aritmētiskajiem vektoriem ar vektoru locīšanas operācijām un vektora reizināšanu ar skaitli, to sauc par aritmētisko n-virtuālo vektoru telpu L n.

Uzvaroši ieviestas operācijas, iespējams saskatīt diezgan daudz vairāku vektoru līniju kombinācijas, lai tās izskatītos savādāk

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

de i - dizaina numuri. Piemēram, lineāra vektoru kombinācija (2) ar koeficientiem λ і μ - tse vektors

λа + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Vektoru triviālajā telpā īpašu lomu spēlē trīs vektori i, j, k (koordināta orti), kas var būt vektors a:

a = xi + yj + zk,

de x, y, z - projektēšanas skaitļi (vektora a koordinātes).

N-vimir tipam ir arī vizualizācijas loma, vektoru sistēma virzās uz priekšu:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

n = (0, 0, 0, ..., 1).

Jebkurš vektors є, protams, ir lineāra vektoru kombinācija е 1, e 2, ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n (6)

turklāt izpildījums 1, 2, ..., n balstās uz vektora a koordinātām.

Apzīmēsim vektoru līdz 0, kura visas koordinātas ir nulle (īsi sakot, nulles vektors), mēs ieviešam šādu svarīgāku vērtību:

Vektoru sistēmu a 1, a 2, ..., a k sauc par līniju atmatu, ja tā ir vienāda ar līniju kombinācijas nulles vektoru.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

Katrā gadījumā viens no parametriem h 1, 2, ..., λ k no nulles. Turklāt sistēmu sauc par lineāri kvadrātu.

Tātad vektors

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1), a 3 = (2, 2, 2, 2)

līniju atmatā, oskilki

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Lineārā atbaidīšana, ko var redzēt no vērtības, ir vienāda (ja k ≥ 2) ar to, ja vēlaties vienu no sistēmā esošajiem vektoriem līniju kombinācijā.

Ja sistēma ir divi vektori a 1, a 2, tad sistēmas līnija nozīmē, ka vektori ir proporcionāli vienam, teiksim, a 1 = λa 2; triviālajā tipā vektoru skaits a 1 un 2 ir nepārprotami nozīmīgs. Tātad pati sistēmas I līnija no trim vektoriem plašajā plašumā nozīmē šo vektoru līdzplanaritāti. Izprotot papuves izcelsmi є šādā pakāpē, dabiski cilvēki saprot kolinearitāti un līdzplanaritāti.

Nav svarīgi, vai vektors e 1, e 2, ..., e n і no sistēmas (5) ir lineāri neatkarīgs. Jau tagad n-telpā pastāv n lineāru neatkarīgu vektoru sistēma. Jūs varat parādīt, ka sistēma z vairāk atmatu līnijas vektors.

Ja sistēma ir 1, a 2, ... un n no n lineāri neatkarīgiem vektoriem n telpā L n sauc par tās bāzi.

Lai tas būtu vektors uz telpu L n, lai paplašinātu, un turklāt ar tādu pašu pakāpi aiz vektoriem, kas vienādi ar bāzi a 1, a 2, ..., a n:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Šo faktu var viegli noteikt, pamatojoties uz pamatu.

Turpinot analoģiju ar triviālu telpu, tas ir iespējams n-režīmā, bet gan skalārajos tvir a b vektoros, vazhayuchi

a b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

Šādai vērtībai tiek saglabātas visas triviālo vektoru skalārās izveides galvenās pilnvaras. Vektorus a un b sauc par ortogonāliem, jo ​​skalārais papildinājums ir nulle:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Teorētiski lineārie kodi ir svarīgāki par izpratni – telpas izpratni. Atstarpi V uz telpu L n sauc par atstarpi atstarpei uz telpu, kad

1) jebkuram vektoram a, b jābūt V, їхnya summa a + b var būt arī ar V;

2) jebkuram vektoram a, kur var atrast V, un jebkuram dotajam skaitlim λ, vektoru λa var atrast arī V.

Piemēram, bez visām vektoru e 1, e 2 lineārajām kombinācijām no sistēmām (5), būs daudz vietas L n.

Lineārajā algebrā var saprast, ka jebkurai telpai V ir tāda lineāra vektoru sistēma a 1, a 2, ..., a k, ka telpai un lineārai vektoru kombinācijai ir pieejams ādas vektors:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.

Vektoru sistēma tiek saukta par bāzi telpā V.

Tā kā telpa un telpa bez vidus, atstarpe L n є ir komutatīva grupa locīšanas vektoru darbībai, un, ja tā ir tāda pati atstarpe V grupas grupai. Tajā pašā laikā ir iespējams, piemēram, aplūkot vasarīgo klasi telpā L n pie telpas V.

Dienas beigās ir pieņemams, ka n-pasaules aritmētiskās telpas teorija ir jāaizstāj ar reāliem skaitļiem (tāpat kā reālo skaitļu lauka elementi), lai aplūkotu pirmslauka F elementus, visi vērtības un fakti, lai rosinātu spēku, tos izglāba.

Teorētiski svarīga nozīme ir kodēšanai, ja lauks F atrodas laukā Z p, jaks, kā zināms, prātīgi. Tajā pašā laikā vispārējā n-platuma telpa ir arī jutīga un atriebīga, jo tas nav svarīgi, p n elementi.

Izpratne par plašumu, tāpat kā izpratne par grupu un apli, arī ir aksiomātiska. Lai iegūtu sīkāku informāciju, mēs redzam Zhivitel līdz jebkuram lineārās algebras kursam.

Līniju kombinācija. Lineāra papuve un neatkarīgas sistēmas un vektori.

інійна vektoru kombinācija

Vektoru līniju kombinācija vārda vektors

de - Līniju kombinācijas koeficienti. Jakšo kombināciju sauc par triviālu, kā arī par netriviālu.

Papuves linearitāte un vektoru neatkarība

Sistēma lineārā papuve

Sistēma lineāri kvadrātveida

Vektoru lineārās sastopamības kritērijs

Schob vektors (r> 1) būs papuves rinda, tas ir nepieciešams un pietiekams, ja vēlaties kādu no šiem vektoriem līniju kombinācijā.

Lineāra telpa

Līnijas telpa V tiec saukts n-mirnim (ma razmirnist n), kā jaunajā:

1) isnu n lineāri neatkarīgi vektori;

2) be-yaka sistēma n+1 atmatu līnijas vektors.

Apzīmējums: n= blāvs V;.

Vektoru sistēmu sauc līnija atmatā, yakscho isnu nenovājīgs skaitļu kopa, piemēram, līniju kombinācija

Vektoru sistēmu sauc lineārs kvadrāts, kā arī nulles līniju kombinācija

slīdēja vienāds ar nulli visi kofіtsієntіv

Ēdiens par ciltsraksts vektori vypadku tiek izveidoti līdz nulles atrisinājuma piegādei lineāro vienādojumu sistēmā ar koeficientiem, kas vienādi ar doto vektoru dotajām koordinātām.

Lai laipni apgūtu jēdzienu "izcelsme", sistēmu un vektoru "ciltsraksts", ir svarīgi izstrādāt aizskarošu veidu:

Lineārā papuve I un II lineārās papuves kritēriji.

Vektoru sistēma tas ir lineāri samazinājies, ja tikai viens no vektoriem sistēmā ir sistēmas vektoru lineāra kombinācija.

Dovedennya... Ļaujiet vektoru sistēmai є lineārai papuvei. Todi isnu tāds funkciju kopums , Scho, un es vēlētos, lai būtu viena funkcija no nulles. Pieņemami, scho. Todi

būt citu sistēmas vektoru lineārai kombinācijai.

Nav neviena no vektoriem sistēmā lineārā vektoru kombinācijā. Tas ir labi, tas ir vektors, tobto ... Acīmredzot. Mēs likvidējām vektoru līniju kombināciju sistēmās un uz nulli, turklāt viens no efektivitātes rādītājiem ir no nulles (vienāds).

Priekšlikums10 . 7 Kamēr vektoru sistēma ir saskaņā ar noplicināto apakšsistēmu, visa sistēma ir noplicināta.

Dovedennya.

Piedziņas sistēmas ,, є lіnіyno papuve, tobto, і Es gribu vienu izejas funkciju no nulles. Todi var uzglabāt saskaņā ar kombināciju. Acīmredzot visa kombinācijas rinda ir nulle, un priekšnesuma vidusdaļa nav nulle.

Vektoru sistēmu bāze, її ir galvenā jauda.

Nenulles vektoru sistēmas bāzi sauc par ekvivalentu lineāri neatkarīgu apakšsistēmu. Nulles bāzes sistēma ir izslēgta.

Jauda 1: Bāzes līnija neatkarīga sistēma būt kopā ar viņu.

Muca: Lineāru neatkarīgu vektoru sistēmu, dažādu vektoru attēlus no vektoriem nevar lineāri pārkāpt caur іnshi.

2. jauda: (pamata kritērijs) Visas sistēmas apakšsistēma ir lineāri neatkarīga, ja tā ir maksimāli lineāri neatkarīga.

Piegādāts: Dota sistēma Nepieciešamība Nāc uz bāzi. Tas ir, vērtības dēļ, jo sistēma ir lineāri samazinājusies, tāpēc tā iet cauri lineāri un ir arī pēc iespējas lineāra. Pietiekamība Neiet cik vien iespējams lineāri neatkarīga pid sistēma, de. Lineāri aizmiguši Lineāri caur sistēmas pamatni.

3. jauda: (bāzes pamatjauda) Sistēmas ādas vektors tiek pārkāpts caur bāzi ar vienu rangu.

DovedennyaĻaujiet vektoru pārkāpt caur bāzi divos veidos, lai: uz

Sistēmu un vektoru rangs.

Lai zinātu sistēmu un vektoru rangu, ir nepieciešams izmantot Gausa metodi, lai sistēmu izveidotu trīsstūrveida vai trapecveida formā.

Ekvivalentas sistēmas un vektori.

Muca:

Vektordati tiek pārrakstīti uz matricas nozīmes bāzei. Otrimaєmo:

Tagad, izmantojot Gausa metodi, matrica tiek pārveidota par trapecveida skatu:

1) Mūsu galvenajā matricā mēs atcelsim visas pirmās rindas pirmās simts pirmās rindas no otras, es reizināšu to ar šo rindu, kā trešo reizināšu ar šo rindu, dorіvnyuє līdz nullei. Otrima matrica: 2) Tagad pie matricas, ņemot vērā mazos skaitļus, 2., 3. un 4. rindas risinājuma vienkāršības labad uz tāfeles ir tikai viena vienība. Var atcerēties ceturtdaļas rindu, lai aizstātu otru, otru, lai aizstātu trešo un trešo pie otrās ceturtās. Otrima matrica: 3) Matricā visi elementi tiek anulēti ar elementu. Oskіlki Es zinu mūsu matrača elementu dorіvnyuє līdz nullei, vismaz nav redzams no ceturtās rindas, bet līdz trešajai, pirms kārtējā reizināšanas ar. Otrima matrica: 4) Es to zinu 3. un 4. rindas matricā. Otrima matrica: 5) Dodamo matricā līdz tārpa trešajai rindai, kas reizināta ar 5. Otrimaєmo matrica, yaka matime ir viltīga viglyad:

Sistēmas, їх rangi tiek sarindoti no iestādēm līdz rangam un іх ranga dorіvnyuє ranga rangs

Cieņa: 1) Pamatojoties uz tradicionālo Gausa metodi, tā kā matricas rindā visi elementi atšķiras ar vienu un to pašu skaitli, tiesības paātrināt matricas rindu ir saistītas ar matricas jaudu. Ja vēlaties paātrināt viena skaitļa rindu, varat paātrināt visu skaitļa matricu. 2) Pie vipadku, ja mēs varam uzņemt rindu, tad gulēt rindā, mēs varam to iegūt no mūsu matricas un aizstāt to ar nulles rindu. Muca: Uzreiz var redzēt, ka caur pirmo rindu griežas cita rinda, kas pirmo rindu var reizināt ar 2. Tajā pašā laikā visu otru rindu var aizstāt ar nulli. Otrimaєmo: Rezultātā, uzpotējot matricu vai nu uz tricut, vai uz trapecveida skatu, tajā nav daudz lineāri kritušo vektoru, visi matricas nulles vektori būs matricas bāze, bet daļa no ranga.

Ass ir tātad sistēmas dibens un vektoru jaku grafiks: Ņemot vērā sistēmu de,, i. Dotās sistēmas bāze acīmredzot būs vektors і, vektori caur tiem rotē. Sistēma tiek dota grafikai viglyad matim viglyad:

Elementāra atkārtota ieviešana. Pēdas sistēma.

Matricas elementārā transformācija- matricas transformācijas cena, kas nodrošina matricu ekvivalenci. Šādā rangā elementārā re-implementācija nemaina lineāro algebrisko sistēmu neefektīvo risinājumu, kas tiek attēlots ar matricu.

Elementāra vikoristovuyutsya atkārtota ieviešana pēc Gausa metodes matricas samazināšanai līdz tricut vai soli pa solim.

Elementāras rindu transformācijas zvanīt:

Dažos lineārās algebras kursos rindu permutācijas matricās nevar redzēt elementāras atkārtotas ieviešanas tuvumā, izmantojot tos, kuros var atveidot divu matricu rindu permutāciju; reizinot ar konstanti.

Līdzīgi sāciet elementāra simtpciv atjaunošana.

Elementāra transformācija vilkači.

Apzīmēta gadījumā, ja matricu var apgriezt ar elementāras pārstrādes ceļu (vai navpaki).

Lai matrica nonāktu līdz biežam skatītājam (1.4. att.), tas ir jāparāda.

1. Pie pirmā simt piecdesmit vibrācijas elementa displejs ir no nulles ( providny elements ). Rinda ar diriģentu ( stiepļu rinda ), ja tas nav noturīgs, pārkārtojiet to pirmās rindas pirmajā rindā (pārskatīšana uz I veidu). Tā kā pirmajā gadsimtā nav vadošā (visi elementi ir nolikti līdz nullei), tad ir veiksmīgs, un matricas daļā tiek zaudēts svina elementa pārsteidzošais troksnis. Atkārtota izveide beigsies, ja tiks iekļauti visi simti, vai tajā matricas daļā, kuras trūkst, visi elementi ir nulles.

2. Paceliet visus stiepļu rindas elementus stieples elementam (pārdomājot uz II tipu). Tiklīdz rinda paliks aiz muguras, tad kopumā jūs to pabeigsit.

3. Līdz ādas rindai, roztashovany zemāka par vadošo, lai dotu stieples rindu, reizinot pēc viena un tā paša skaitļa, elementi, kas stāv pirms vadošā, tika pievienoti nullei (pārtaisīšana III tipa).

4. Kad no skata ir parādījusies rinda un simts cilvēku, uz kura pārpildes ir stieples elements, pārejiet uz 1. soli, kurā visi apraksti sastings daļai matricas, kas ir pārpildīta.

Teorēma par visnacnik piešķiršanu aiz rindas elementiem.

Teorēma par vizītkartes izplatīšanu rindas elementiem ir tīri pieļaujama, lai aprēķinātu vizītkartes aprēķinu - kārtībā () pirms veidlapas aprēķināšanas pasūtījumā .

Tiklīdz dizainers varēs izmantot nulles elementus, viņš varēs izkārtot dizaineru uz šīs rindas elementiem, ja vēlaties ņemt lielāko nulles skaitu.

Vikoristovuyuyu spēks - Lai visi vienas rindas elementi, papildus vienam, būtu vienādi ar nulli. Ar šādu rangu apmeklētāja numurs - kārtībā, ja veidlapa ņemta no nulles, tā jāievada pirms viena apmeklētāja aprēķina - iet pēc pasūtījuma.

Zavdaņa 3.1. Skaitīt žetonu

Lēmums. Pirmo pievienojot citai rindai, trešajai - pirmajai, reizināšana ar 2, ceturtajai - pirmajai, reizināšana ar -5,

Veidlapas izkārtojums pirmā gadsimta elementiem, maєmo

.

Trešās kārtas viznachniku ​​lopiskā nane ir pirmā simta elements, pirmais. Citai rindai vispirms dodamo, reizināšana ar (-1), līdz trešajai, reizināšana ar 5, dodamo vispirms, reizināšana ar 8. Tātad, ja trešā rinda tika reizināta ar 5, tad (lai apmeklētājs nemainītos ) reizināts ar... Maєmo

Otrimaniy viznachnik var novietot aiz pirmā gadsimta elementiem:

Laplasa teorēma (1). Teorēma par svešzemju papildinājumiem (2)

1) Vizītkartes turētājs jebkuras rindas elementu veidojumu summai algebriskajā pielikumā.

2) Elementu izveidošanas summa, vai rinda dizainera uz pirmās rindas algebriskajiem papildu elementiem, līdz nullei (teorēma par algebrisko saskaitījumu reizināšanu citiem).

Lai tas būtu punkts apgabalā ar vibrāna koordinātu sistēmām, tam jābūt tā koordinātu pārim (α, β); Arī skaitļi α un β var atšķirties no rādiusa vektora koordinātām ar punkta beigām. Līdzīgi triju (α, β, γ) telpā sākumpunkts ir punkts vai vektors ar koordinātām α, β, γ. Pati par visu runtutsya labi mājā lasīšanas ģeometrisko interpretāciju lineāro rіvnyans sistēmas no diviem vai trim nav pieejami. Tātad, vienā sistēmā divu linu rіvnyans, no divām ģimenēm nav pieejami

a 1 x + b 1 y = c 1

a 2 x + b 2 y = s 2

Āda ir izlīdzināta taisni uz laukuma (div. 26. att.), un risinājums (α, β) ir pārpildes taisnu līniju punkts jeb vektors ar koordinātām aip (attēlā tiks parādīts vypadku, ja sistēmai ir viens risinājums).

Mazs. 26

Līdzīgi ir iespējams izveidot ar lineāru dzīvokļu sistēmu ar trim neizbēgamām, interpretējot ādas garšas kā lauku apvidu tuvu atklātai telpai.

Matemātikā un progresīvajos bērnos (zokrem, kodēšanas teorijā) mātes ir jāatved pa labi no lineāro bērnu sistēmām, lai tās varētu atriebties vairāk nekā trim neiesaistītiem cilvēkiem. Lineāro pamatiedzīvotāju sistēmu no n nepieejamām x 1, x 2, ..., x n sauc par sugas pārākumu

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

de a ij un b i - diezgan labi skaitļi. Cilvēku skaits sistēmā var būt atšķirīgs un nav saistīts ar svešzemju cilvēku skaitu. Koeficienti nepieejamām personām ij var būt pakārtoti numerācijai: pirmais rādītājs i norāda ģimenes numuru, otrs indekss j ir neaicinātās personas numurs, ja izmaksas ir norādītas pēc skaitļa. Neatkarīgi no tā, vai tas ir sistēmas risinājums, tas ir kā noteikta (darbības) vērtība nedominējošam (α 1, α 2, ..., α n), kā ietīt ādu pareizā līmenī.

Ja es gribu perfekti ģeometrisku sistēmu (1) n> 3, tas nav žēl, tas ir pilnīgi iespējams, un bagātu gadījumā tie var manuāli paplašināt n lielas ģeometriskas telpas veidu divas vai trīs reizes. Tsіy meti un є konkrētam apzīmējumam.

N skaitļu kopas ādas secības (α 1, α 2, ..., α n) sauc par n-virtuālo aritmētisko vektoru, un paši skaitļi α 1, α 2, ..., α n ir vektora koordinātas.

Vektoru vērtībām jābūt uzvarošām, parasti treknrakstā i vektoram ar koordinātām α 1, α 2, ..., α n, jāņem noteikta forma, es rakstīšu:

а = (α 1, α 2, ..., α n).

Pēc analoģijas ar lielu laukumu, daudzi no visiem n-pasaules vektoriem, kas ir apmierināti ar lineāro ryvnyannyu ar n neizbēgamiem, tiek saukti par laukumu n-pasaules telpā. Ar šādu apzīmējumu, visi risinājumi sistēmas (1) nav ļoti svarīgi, jo tie nav peretyn decilkoh hyperslochin.

N-dimensiju vektoru skaita pievienošana ir balstīta uz pašiem noteikumiem, bet visspecifiskākajiem vektoriem. Un tas pats, jakšo

а = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Divi n-dimensiju vektori, tad vektoru sauc par summu

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2 ..., α n + β n). (3)

Vektora papildinājums ar skaitli λ ir vektors

λа = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Bez visiem n-virtuālajiem aritmētiskajiem vektoriem ar vektoru locīšanas operācijām un vektora reizināšanu ar skaitli, to sauc par aritmētisko n-virtuālo vektoru telpu L n.

Uzvaroši ieviestas operācijas, iespējams saskatīt diezgan daudz vairāku vektoru līniju kombinācijas, lai tās izskatītos savādāk

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

de i - dizaina numuri. Piemēram, lineāra vektoru kombinācija (2) ar koeficientiem λ і μ - tse vektors

λа + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Vektoru triviālajā telpā īpašu lomu spēlē trīs vektori i, j, k (koordināta orti), kas var būt vektors a:

a = xi + yj + zk,

de x, y, z - projektēšanas skaitļi (vektora a koordinātes).

N-vimir tipam ir arī vizualizācijas loma, vektoru sistēma virzās uz priekšu:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

n = (0, 0, 0, ..., 1).

Jebkurš vektors є, protams, ir lineāra vektoru kombinācija е 1, e 2, ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n (6)

turklāt izpildījums 1, 2, ..., n balstās uz vektora a koordinātām.

Apzīmēsim vektoru līdz 0, kura visas koordinātas ir nulle (īsi sakot, nulles vektors), mēs ieviešam šādu svarīgāku vērtību:

Vektoru sistēmu a 1, a 2, ..., a k sauc par līniju atmatu, ja tā ir vienāda ar līniju kombinācijas nulles vektoru.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

Katrā gadījumā viens no parametriem h 1, 2, ..., λ k no nulles. Turklāt sistēmu sauc par lineāri kvadrātu.

Tātad vektors

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1), a 3 = (2, 2, 2, 2)

līniju atmatā, oskilki

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Lineārā atbaidīšana, ko var redzēt no vērtības, ir vienāda (ja k ≥ 2) ar to, ja vēlaties vienu no sistēmā esošajiem vektoriem līniju kombinācijā.

Ja sistēma ir divi vektori a 1, a 2, tad sistēmas līnija nozīmē, ka vektori ir proporcionāli vienam, teiksim, a 1 = λa 2; triviālajā tipā vektoru skaits a 1 un 2 ir nepārprotami nozīmīgs. Tātad pati sistēmas I līnija no trim vektoriem plašajā plašumā nozīmē šo vektoru līdzplanaritāti. Izprotot papuves izcelsmi є šādā pakāpē, dabiski cilvēki saprot kolinearitāti un līdzplanaritāti.

Nav svarīgi, vai vektors e 1, e 2, ..., e n і no sistēmas (5) ir lineāri neatkarīgs. Jau tagad n-telpā pastāv n lineāru neatkarīgu vektoru sistēma. Ir iespējams parādīt, kā sistēma ar lielu vektoru skaitu atrodas rindā.

Ja sistēma ir 1, a 2, ... un n no n lineāri neatkarīgiem vektoriem n telpā L n sauc par tās bāzi.

Lai tas būtu vektors uz telpu L n, lai paplašinātu, un turklāt ar tādu pašu pakāpi aiz vektoriem, kas vienādi ar bāzi a 1, a 2, ..., a n:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Šo faktu var viegli noteikt, pamatojoties uz pamatu.

Turpinot analoģiju ar triviālu telpu, tas ir iespējams n-režīmā, bet gan skalārajos tvir a b vektoros, vazhayuchi

a b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

Šādai vērtībai tiek saglabātas visas triviālo vektoru skalārās izveides galvenās pilnvaras. Vektorus a un b sauc par ortogonāliem, jo ​​skalārais papildinājums ir nulle:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Teorētiski lineārie kodi ir svarīgāki par izpratni – telpas izpratni. Atstarpi V uz telpu L n sauc par atstarpi atstarpei uz telpu, kad

1) jebkuram vektoram a, b jābūt V, їхnya summa a + b var būt arī ar V;

2) jebkuram vektoram a, kur var atrast V, un jebkuram dotajam skaitlim λ, vektoru λa var atrast arī V.

Piemēram, bez visām vektoru e 1, e 2 lineārajām kombinācijām no sistēmām (5), būs daudz vietas L n.

Lineārajā algebrā var saprast, ka jebkurai telpai V ir tāda lineāra vektoru sistēma a 1, a 2, ..., a k, ka telpai un lineārai vektoru kombinācijai ir pieejams ādas vektors:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.

Vektoru sistēma tiek saukta par bāzi telpā V.

Tā kā telpa un telpa bez vidus, atstarpe L n є ir komutatīva grupa locīšanas vektoru darbībai, un, ja tā ir tāda pati atstarpe V grupas grupai. Tajā pašā laikā ir iespējams, piemēram, aplūkot vasarīgo klasi telpā L n pie telpas V.

Dienas beigās ir pieņemams, ka n-pasaules aritmētiskās telpas teorija ir jāaizstāj ar reāliem skaitļiem (tāpat kā reālo skaitļu lauka elementi), lai aplūkotu pirmslauka F elementus, visi vērtības un fakti, lai rosinātu spēku, tos izglāba.

Teorētiski svarīga nozīme ir kodēšanai, ja lauks F atrodas laukā Z p, jaks, kā zināms, prātīgi. Tajā pašā laikā vispārējā n-platuma telpa ir arī jutīga un atriebīga, jo tas nav svarīgi, p n elementi.

Izpratne par plašumu, tāpat kā izpratne par grupu un apli, arī ir aksiomātiska. Lai iegūtu sīkāku informāciju, mēs redzam Zhivitel līdz jebkuram lineārās algebras kursam.

Līniju kombinācija. Lineāra papuve un neatkarīgas sistēmas un vektori.

інійна vektoru kombinācija

Vektoru līniju kombinācija vārda vektors

de - Līniju kombinācijas koeficienti. Jakšo kombināciju sauc par triviālu, kā arī par netriviālu.

Papuves linearitāte un vektoru neatkarība

Sistēma lineārā papuve

Sistēma lineāri kvadrātveida

Vektoru lineārās sastopamības kritērijs

Schob vektors (r> 1) būs papuves rinda, tas ir nepieciešams un pietiekams, ja vēlaties kādu no šiem vektoriem līniju kombinācijā.

Lineāra telpa

Līnijas telpa V tiec saukts n-mirnim (ma razmirnist n), kā jaunajā:

1) isnu n lineāri neatkarīgi vektori;

2) be-yaka sistēma n+1 atmatu līnijas vektors.

Apzīmējums: n= blāvs V;.

Vektoru sistēmu sauc līnija atmatā, yakscho isnu nenovājīgs skaitļu kopa, piemēram, līniju kombinācija

Vektoru sistēmu sauc lineārs kvadrāts, kā arī nulles līniju kombinācija

slīdēja vienāds ar nulli visi kofіtsієntіv

Lineāro atkritumu vektoru barošana rudenī tiek paaugstināta līdz nulles atrisinājuma piegādei vienrindas lineāro nosacījumu sistēmā ar koeficientiem, kas vienādi ar šo vektoru dotajām koordinātām.

Lai laipni apgūtu jēdzienu "izcelsme", sistēmu un vektoru "ciltsraksts", ir svarīgi izstrādāt aizskarošu veidu:

Lineārā papuve I un II lineārās papuves kritēriji.

Vektoru sistēma tas ir lineāri samazinājies, ja tikai viens no vektoriem sistēmā ir sistēmas vektoru lineāra kombinācija.

Dovedennya... Ļaujiet vektoru sistēmai є lineārai papuvei. Todi isnu tāds funkciju kopums , Scho, un es vēlētos, lai būtu viena funkcija no nulles. Pieņemami, scho. Todi

būt citu sistēmas vektoru lineārai kombinācijai.

Nav neviena no vektoriem sistēmā lineārā vektoru kombinācijā. Tas ir labi, tas ir vektors, tobto ... Acīmredzot. Mēs likvidējām vektoru līniju kombināciju sistēmās un uz nulli, turklāt viens no efektivitātes rādītājiem ir no nulles (vienāds).

Priekšlikums10 . 7 Kamēr vektoru sistēma ir saskaņā ar noplicināto apakšsistēmu, visa sistēma ir noplicināta.

Dovedennya.

Piedziņas sistēmas ,, є lіnіyno papuve, tobto, і Es gribu vienu izejas funkciju no nulles. Todi var uzglabāt saskaņā ar kombināciju. Acīmredzot visa kombinācijas rinda ir nulle, un priekšnesuma vidusdaļa nav nulle.

Vektoru sistēmu bāze, її ir galvenā jauda.

Nenulles vektoru sistēmas bāzi sauc par ekvivalentu lineāri neatkarīgu apakšsistēmu. Nulles bāzes sistēma ir izslēgta.

Jauda 1: Lineārās neatkarīgās sistēmas pamats un izaug no tās pašas.

Muca: Lineāru neatkarīgu vektoru sistēmu, dažādu vektoru attēlus no vektoriem nevar lineāri pārkāpt caur іnshi.

2. jauda: (pamata kritērijs) Visas sistēmas apakšsistēma ir lineāri neatkarīga, ja tā ir maksimāli lineāri neatkarīga.

Piegādāts: Dota sistēma Nepieciešamība Nāc uz bāzi. Tas ir, vērtības dēļ, jo sistēma ir lineāri samazinājusies, tāpēc tā iet cauri lineāri un ir arī pēc iespējas lineāra. Pietiekamība Neiet cik vien iespējams lineāri neatkarīga pid sistēma, de. Lineāri aizmiguši Lineāri caur sistēmas pamatni.

3. jauda: (bāzes pamatjauda) Sistēmas ādas vektors tiek pārkāpts caur bāzi ar vienu rangu.

DovedennyaĻaujiet vektoru pārkāpt caur bāzi divos veidos, lai: uz

Sistēmu un vektoru rangs.

Lai zinātu sistēmu un vektoru rangu, ir nepieciešams izmantot Gausa metodi, lai sistēmu izveidotu trīsstūrveida vai trapecveida formā.

Ekvivalentas sistēmas un vektori.

Muca:

Vektordati tiek pārrakstīti uz matricas nozīmes bāzei. Otrimaєmo:

Tagad, izmantojot Gausa metodi, matrica tiek pārveidota par trapecveida skatu:

1) Mūsu galvenajā matricā mēs atcelsim visas pirmās rindas pirmās simts pirmās rindas no otras, es reizināšu to ar šo rindu, kā trešo reizināšu ar šo rindu, dorіvnyuє līdz nullei. Otrima matrica: 2) Tagad pie matricas, ņemot vērā mazos skaitļus, 2., 3. un 4. rindas risinājuma vienkāršības labad uz tāfeles ir tikai viena vienība. Var atcerēties ceturtdaļas rindu, lai aizstātu otru, otru, lai aizstātu trešo un trešo pie otrās ceturtās. Otrima matrica: 3) Matricā visi elementi tiek anulēti ar elementu. Oskіlki Es zinu mūsu matrača elementu dorіvnyuє līdz nullei, vismaz nav redzams no ceturtās rindas, bet līdz trešajai, pirms kārtējā reizināšanas ar. Otrima matrica: 4) Es to zinu 3. un 4. rindas matricā. Otrima matrica: 5) Dodamo matricā līdz tārpa trešajai rindai, kas reizināta ar 5. Otrimaєmo matrica, yaka matime ir viltīga viglyad:

Sistēmas, їх rangi tiek sarindoti no iestādēm līdz rangam un іх ranga dorіvnyuє ranga rangs

Cieņa: 1) Pamatojoties uz tradicionālo Gausa metodi, tā kā matricas rindā visi elementi atšķiras ar vienu un to pašu skaitli, tiesības paātrināt matricas rindu ir saistītas ar matricas jaudu. Ja vēlaties paātrināt viena skaitļa rindu, varat paātrināt visu skaitļa matricu. 2) Pie vipadku, ja mēs varam uzņemt rindu, tad gulēt rindā, mēs varam to iegūt no mūsu matricas un aizstāt to ar nulles rindu. Muca: Uzreiz var redzēt, ka caur pirmo rindu griežas cita rinda, kas pirmo rindu var reizināt ar 2. Tajā pašā laikā visu otru rindu var aizstāt ar nulli. Otrimaєmo: Rezultātā, uzpotējot matricu vai nu uz tricut, vai uz trapecveida skatu, tajā nav daudz lineāri kritušo vektoru, visi matricas nulles vektori būs matricas bāze, bet daļa no ranga.

Ass ir tātad sistēmas dibens un vektoru jaku grafiks: Ņemot vērā sistēmu de,, i. Dotās sistēmas bāze acīmredzot būs vektors і, vektori caur tiem rotē. Sistēma tiek dota grafikai viglyad matim viglyad:

Elementāra atkārtota ieviešana. Pēdas sistēma.

Matricas elementārā transformācija- matricas transformācijas cena, kas nodrošina matricu ekvivalenci. Šādā rangā elementārā re-implementācija nemaina lineāro algebrisko sistēmu neefektīvo risinājumu, kas tiek attēlots ar matricu.

Elementāra vikoristovuyutsya atkārtota ieviešana pēc Gausa metodes matricas samazināšanai līdz tricut vai soli pa solim.

Elementāras rindu transformācijas zvanīt:

Dažos lineārās algebras kursos rindu permutācijas matricās nevar redzēt elementāras atkārtotas ieviešanas tuvumā, izmantojot tos, kuros var atveidot divu matricu rindu permutāciju; reizinot ar konstanti.

Līdzīgi sāciet elementāra simtpciv atjaunošana.

Elementāra transformācija vilkači.

Apzīmēta gadījumā, ja matricu var apgriezt ar elementāras pārstrādes ceļu (vai navpaki).

Viznachennya. Skatuves Mēs nosauksim matricu, kad es nākšu pie varas:

1) jakšo i-tā rinda ir nulle, tad (I + 1) rinda arī ir nulle,

2) ja pirmais nav nulle i-tās elements(I + 1) -tā rozešu rinda simtiem skaitļu k un R, piemēram, tad k< R.

Umova 2) vimag saistīšanās palielinājuma nulles ziliv pārejas laikā no i-tā rinda uz (I + 1) rindu. Piemēram, matricas

А 1 =, А 2 =
, A 3 =

є soļi un matricas

Y 1 = , Y 2 = , B 3 =

Daļēji ne є.

Teorēma 5.1. It kā ar matricu var veikt dažas papildu elementāras matricas rindu transformācijas.

Es ilustrēšu teorēmu no mucas.

A =

Matrica, kas iznāca, ir solis.

Viznachennya. Pēc matricas ranga Ir zināms arī to rindu skaits, kas nav nulles matricas pakāpju frekvences skatā.

Piemēram, matricas A pakāpe līdz priekšējam sadurceļam 3.

6. lekcija

Uzņēmēji, autoritātes. Zvorotna matrica un aprēķins.

Vizītkartes ir citā secībā.

Var redzēt dažādas kārtas kvadrātveida matricu

A =

Viznachennya. cita pasūtījuma uzņēmuma vadītājs, ar matricu A mēs saucam skaitli, kuru var aprēķināt pēc formulas

│А│ = = .

Tiek saukti elementi a ij dizaina elementi│A│, tiek piemēroti elementi a 11, a 22 galvas diagonāli, un elements 12 a 21 ─ Es tevi pārspēšu.

dibens. = -28 + 6 = -22

Trešā pasūtījuma vizītkaršu turētāji.

Skaidrs, ka trešās kārtas kvadrātveida matrica

A =

Viznachennya. Trešā pasūtījuma kartes īpašnieks, ar matricu A mēs saucam skaitli, kuru var aprēķināt pēc formulas

│А│ = =

Lai atcerētos, kā jums klājas jūsu vienlīdzības labajā pusē, kam seko brāļi ar plus zīmi un jums ─ ar mīnus zīmi, trīsriteņu noteikums.

= ─

Pieteikties:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) = 1, tobto. │Е 3 │ = 1.

Ir viena metode, kā aprēķināt trešās kārtas apmeklētāju.

Viznachennya. Mazsvarīgs elements a ij Apmeklētājs tiek saukts par Apmeklētāju, dotā i-tās rindas un j-tā simtnieka krēsla kopija. Algebriskie papildinājumi Zīmes elementa a ij A ij sauc par tveru ar zīmi (-1) i + j th minor M ij.

dibens. Skaitliski mazsvarīgi М 23 і papildu algebra A 23 elementi а 23 matricā

A =

Skaitliski mazsvarīgs М 23:

M 23 = = = - 6 + 4 = -2

A 23 = (-1) 2 + 3 M 23 = 2

1. teorēma. Trešās kārtas vizītkaršu turētājs jebkuras rindas (simts) elementu izveidei ar papildus algebru.

Doc. Par viznachennyam

= (1)

Piemēram, Viberemo cita rinda, kas papildina algebru A 21, A 22, A 23:

A 21 = (-1) 2 + 1 = -() =

A 22 = (-1) 2 + 2 =

A 23 = (-1) 2 + 3 = - () =

Dekorēšanas formula (1)

│А│ = ( ) + () + () = A 21 + A 22 + A 23

│А│ = А 21 + А 22 + А 23

tiec saukts apmeklētāja sadalei│А│ aiz citas rindas elementiem. Līdzīgi izkārtojumu var pielāgot pirmo rindu elementiem vai citam.

dibens.

= (citu simtu elementiem) = 1 × (-1) 1 + 2 + 2 × (-1) 2 + 2 +

+ (-1)(-1) 3+2 = - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. N-tā pasūtījuma kartes turētājs (n N).

Viznachennya. N-kārtas viznachnik, pēc n-tās kārtas matricām

A =

Skaitli sauc par skaitli, kas ir jebkuras rindas elementu izveidošanas summa (100) ar papildu algebru, lai.

│A│ = А i1 + A i2 +… + A in = А 1j + A 2j +… + A nj

Nav svarīgi pieminēt, n = 2 ir formula apmeklētāja aprēķināšanai citā secībā.

dibens. = (aiz 4. rindas elementiem) = 3 × (-1) 4 + 2 +

2 × (-1) 4 + 4 = 3 (-6 + 20 - 2 - 32) +2 (-6 +16 +60 +2) = 3 (-20) +2 × 72 = -60 +144 = 84.

Lieliski, ja apmeklētājam ir visi jebkuras rindas elementi (simts), izņemot vienu, tā būs nulle, tad, kad apmeklētājs tiks aprēķināts, viņš manuāli sadalīs to pa rindas elementiem (simts procenti) .

dibens.

│Е n │ = = 1 × │E n -1 │ =… = │E 3 │ = 1

Iestāde viznačņikovs.

Viznachennya. Matricas prāts

abo

sauksim to triku matrica.

Jauda 1. Vizītkarte trikotāžas matricām, lai pievienotu papildu elementus galvas diagonālei, tobto.

= =

Jauda 2. Matricas formāts ar nulles rindām vai nulle ar nulles rindām.

Jauda 3.. Matricas transponderis nemainās stundu, tobto.

│А│ = │А t │.

Jauda 4. Ja matrica iet no matricas A uz tās pašas rindas ādas elementa daudzkārtņiem ar skaitli k, tad

│В│ = k│А│

Jauda 5.

= =

Jauda 6. Ja matrica iziet no matricas A ar divu rindu permutāciju, tad │В│ = −│А│.

Jauda 7. Matricas veidne ar proporcionālām rindām līdz nullei, no nulles līdz nullei līdz matricām divās identiskās rindās.

Jauda 8. Matricas turētājs nemainās, pat līdz vienas rindas elementiem, lai pievienotu matricas pirmās rindas elementu, reizinot skaitli ar skaitli.

Cieņa. Tātad, kas attiecas uz 3. matricas kvalitāti, matrica nemainās transponēšanas laikā, visa jauda par matricas rindām ir pareiza un simtdaļām.

Jauda 9. Ja A un B ir n kārtas kvadrātveida matricas, tad │АВ│ = │А││В│.

Zvorotna matrica.

Viznachennya. Tiek izsaukta n kārtas kvadrātmatrica A zvorotn_y, kur matrica ir tāda, ka AB = BA = E n. Matricu sauc uz matricu Un un ir pazīstams kā A-1.

2. teorēma. Tie ir tikai šādi:

1) ja matrica A ir apgriezta, tad ir tieši viena gredzena matrica;

2) matrica ir apgriezta;

3) ja A un B ir apgrieztas n kārtas matricas, tad matrica AB ir apgriezta un (AB) -1 =

B -1 × A -1 .

Piegādāts.

1) Hey B un C matricas, virpuļi uz matricu A, tobto. AB = BA = E n і AC = CA = E n. Todi B = BE n = B (AC) = (VA) C = E n C = C.

2) Matrica A ir pretēja. Todi isnuє matrica A-1, їy zorotna, turklāt

Yak_styu 9 apmeklētājam │АА -1 │ = │А││А -1 │. Todi │А││А -1 │ = │Е n │, zvaigznes

│А││А -1 │ = 1.

Oce, │А│¹ 0.

3) godīgi,

(AB) (B -1 A -1) = (A (BB -1)) A -1 = (AE n) A -1 = AA -1 = E n.

(B -1 A -1) (AB) = (B -1 (A -1 A)) B = (B -1 E n) B = B -1 B = E n.

Otzhe, AB ir apgrieztā matrica, un (AB) -1 = B -1 A -1.

Nākamā teorēma ir dot vokālās matricas definīcijas un aprēķina kritēriju.

3. teorēma. Kvadrātveida matrica A ir apgriezta vai citādi, ja apzīmējums tiek parādīts kā nulle. Jakšo │А│¹ 0, tad

A -1 = =

dibens. Zināt matricu, kas ietīta matricai А =

Lēmums.│А = = 6 + 1 = 7.

Oskilki │А│¹ 0, іsnu gredzena matrica

A -1 = =

Aprēķināts A11 = 3, A12 = 1, A21 = -1, A22 = 2.

A -1 = .

lekcija 7.

Lineāro sistēmu sistēmas. Izcelšanās sistēmu izliešanas kritērijs. Gausa metode lineāro sistēmu atvasināšanai. Krāmera noteikums ir matricas metode lineāro vienādojumu sistēmu atvasināšanai.

Lineārās sistēmas.

Prāta pārākums

(1)

tiec saukts m sastāvu sistēma no n nav pieejama x 1, x 2, ..., x n. Tiek saukti skaitļi a ij sistēmas funkcijas, un skaitļi b i ─ vilny biedri.

Sistēmu risinājumi (1) Mēs saucam skaitļu skaitu z 1, z 2, ..., z n, kad tie ir uzstādīti sistēmā (1), nomainiet x 1, x 2, ..., x n, mēs varam pieņemt pareizo ekvivalentu skaitu.

Vīrišķības sistēma─ tas nozīmē zināt visus iespējamos risinājumus, tas ir stulbi. Sistēmu sauc spіlnoї, iakscho uzvarēja maє hocha b vienu risinājumu, ka traks ciktāl tas attiecas uz risinājumu.

Matrica, sakrauta ar sistēmas veiktspēju

A =

To sauc par sistēmas matricu (1). Pat pirms sistēmas matricas un dažādu terminu skaita, tad matrica

B =
,

zvani Yaku paplašinātās sistēmas matrica (1).

Jakšo jēgpilns

X =, C =, tad sistēmu (1) var uzrakstīt kā matricu, kas vienāda ar AX = C.