Matricas izveidošana pakāpeniskā risinājumā. matricas

Lai panāktu matricas pakāpienu izskatu (1.4. att.), nepieciešams vikonēt pakāpeniski.

1. Pirmajā kolonnā atlasiet elementu, ievadiet nulli ( garāmejošs elements ). Rinda ar vadošu elementu ( vadu rinda ); Ja pirmajā kolonnā nav neviena vadošā elementa (visu elementu summa ir nulle), tad mēs izslēdzam šo kolonnu un turpinām meklēt vadošo elementu matricas risinājumā. Transformācija beidzas tā, ka visi elementi tiek izslēgti, vai arī matricas daļā visi elementi ir nulle.

2. Sadaliet visus stiepļu rindas elementus stieples elementā (II tipa pārveidošana). It kā atlikušo rindu veic, tad kam transformācija jāpabeidz.

3. Ādas rindai, kas sašūta zem stieples, pievienojiet stieples rindu, kas reizināta ar šādu skaitli, lai elementi, piemēram, stāvot zem stieples, būtu vienādi ar nulli (III tipa transformācija).

4. Izslēdzot rindu un plītis, uz kurām ir vadošais elements, dodieties uz 1. punktu, kurā jāpabeidz visi apraksti, līdz matrica ir atrisināta.

Teorēma par mainīgā sadalījumu pēc rindas elementiem.

Teorēma par šķīrējtiesneša sadalījumu rindas elementiem, vai arī tā ļauj aprēķināt šķīrējtiesneša aprēķinu - pirmās kārtas () uz aprēķinu priekšniekiem kārtībā .

Ja līderis ir vienāds ar nulles elementiem, tad labāk visiem līdera izkārtojumiem ir to abostovptsі rindu elementi, kas atriebs lielāko nulles skaitu.

Vykoristuyuchi jauda vyznachnikiv, jūs varat pārtaisīt vyznachnik - th secībā, lai visi pēdējās abostovptsya rindas elementi, izņemot vienu, būtu vienādi ar nulli. Šajā rangā vyznachnik skaitīšana - pirmajā secībā, kā likums, vin vіdminniy vіd nulle, zvedetsya līdz viena vznachnik aprēķinam - kārtībā.

Uzdevums 3.1. aprēķināt šķīrējtiesnesi

Risinājums. Asaru pievienošana citai rindai, trešajai - asari, reizināta ar 2, ceturtajai - asari, reizināta ar -5, ņem

Iespējams, ka ierēdņa nolikšana aiz pirmā soļa elementiem

.

3. kārtas otrimanomu vyznachnik visi pirmā posma elementi, pirmkārt, ir noregulēti uz nulli. Lai to izdarītu, nākamajai rindai pievienoju pirmo rindu, kas reizināta ar (-1), trešajai, reizinātai ar 5, otro rindu reizina ar 8. . var būt

Otrimaniy vyznachnik ir izkārtots aiz pirmās kolonnas elementiem:

Laplasa teorēma (1). Citplanētiešu teorēma PAPILDINĀJUMS (2)

1) Kādas rindas elementu vienādās summas determinants algebriskajos saskaitījumos.

2) Kādas apzīmētāja rindas elementa reizinājuma summa nākamās rindas otrā elementa algebriskajā papildinājumā ir vienāda ar nulli (teorēma par reizināšanu uz svešiem algebriskajiem komplementiem).

Vai punktu plaknē, izvēloties koordinātu sistēmu, uzrāda tā koordinātu pāris (α, β); skaitļus α un β var saprast arī kā rādiusa vektora koordinātas ar galu tsіy punktā. Tāpat telpā trīskāršs (α, β, γ) piešķir punktu vai vektoru ar koordinātām α, β, γ. Pati par sevi, pamatojoties uz labu zemējumu lasītava ir ģeometriskā interpretācija sistēmu lineāro izlīdzināšanu no diviem vai trim nevidomimi. Tātad divu lineāru līniju sistēmas laikā ar diviem nevidomimi

a 1 x + b 1 g \u003d c 1,

a 2 x + b 2 g \u003d h 2

āda plaknē ir taisna (div. 26. att.), un atrisinājums (α, β) ir kā līniju krustošanās punkts vai kā vektors ar koordinātām аїр (figūra ir apgriezta, ja sistēmai ir viens risinājums).

Mal. 26

Līdzīgi ir iespējams izveidot lineāro izlīdzinājumu sistēmu ar nevidomimi tripletiem, interpretējot ādas izlīdzinājumu kā izlīdzināšanas laukumu telpā.

Matemātikā un citos її papildinājumos (zocrema, kodēšanas teorijā) māte tiek virzīta pa labi ar lineāro vienādību sistēmām, lai vairāk nekā trīs nevidomiki varētu atriebties. Lineāro izlīdzinājumu sistēma ar n ir nepieciešama x 1, x 2, ..., x n

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n \u003d b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n \u003d b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

de a ij і b i - pilnas dienas skaitļi. Vienādu skaits sistēmā var būt vienāds un nekādā veidā nav saistīts ar nezināmo skaitu. Koeficientus nezināmajiem un ij var iedalīt numerācijā: pirmais indekss i norāda vienādo skaitli, otrs indekss j - nezināmā, ar varto dans koeficientu. Lai tas būtu kā sistēmas risinājums, tiks saprasts, kā iegūt nezināmu (α 1, α 2, ..., α n) (reālas) nozīmes, kas ādas ekvivalenci pārvērš pareizajā ekvivalenci.

Ja vēlaties bezperedētu sistēmas (1) ģeometrisku apduļķošanos uz n> 3, tas jau nav iespējams, taču tas ir pilnīgi iespējams, un bagātīgos konteineros jūs varat manuāli paplašināt telpu diezgan n ģeometriskai telpai no diviem vai trim no tiem. Tsіy metі і kalpo tālāk.

Jebkuru n reālu skaitļu kopas secību (α 1, α 2, ..., α n) sauc par n-pasaules aritmētisko vektoru, un paši skaitļi α 1, α 2, ..., α n ir vektora koordinātas.

Vektoru atpazīšanai parasti tiek izmantots treknraksts i vektoram a ar koordinātām α 1, α 2, ..., α n, tiek ņemta sākotnējā forma:

a = (α 1, α 2, ..., α n).

Pēc analoģijas ar lielu plakni visu n-pasaules vektoru bezpersonisko plakni, kas apmierina n nevidomima lineāro izlīdzināšanu, sauc par hiperplakni n-pasaules telpā. Ar šādu bezpersonisku apzīmējumu visi sistēmas (1) risinājumi ir nekas vairāk kā dažas hiperplaknes.

N-pasaules vektoru saskaitīšanu un reizināšanu nosaka tie paši noteikumi kā lielākajiem vektoriem. Un sev, piemēram

a = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Divi n-pasaules vektori, tad to summa ir vektors

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)

Vektora a izveide pēc skaitļa λ ir vektors

λа = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Visu n-pasaules aritmētisko vektoru anonimitāti ar vektora pievienošanas un vektora reizināšanas ar skaitli darbībām sauc par aritmētisko n-pasaules vektortelpu L n.

Ieviešot operācijas, var redzēt diezgan lineāras uzlīmes vektoru kombinācijas, t.i.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

de λ i - faktiskie skaitļi. Piemēram, lineāra vektoru kombinācija (2) ar koeficientiem λ un μ - ce vektors

λа + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Vektoru triviālajā telpā īpašu lomu spēlē vektoru i, j, k trīsvienība (koordinātu vektori), pēc kuras tiek izkārtots vektors a:

a = xi + yj + zk,

de x, y, z - reālie skaitļi (vektora a koordinātes).

n-pasaules scenārijā tādu pašu lomu spēlē vektoru sistēma:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Jebkurš vektors a є acīmredzami ir vektoru e 1, e 2, ..., e n lineāra kombinācija:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n, (6)

turklāt koeficienti α 1, α 2, ..., α n ņemti no vektora a koordinātām.

Apzīmējot vektoru līdz 0, kura visas koordinātas ir vienādas ar nulli (īsi sakot, nulles vektors), mēs ieviešam svarīgu uzdevumu:

Vektoru sistēmu a 1, a 2, ..., a k sauc par lineāri papuvi, jo tā ir vienāda ar nulles vektoru lineāro kombināciju

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

es vēlos, lai viens no koeficientiem h 1, λ 2, ..., λ k atšķirtos no nulles. Citā veidā sistēmu sauc par lineāri neatkarīgu.

Jā, vektors

un 1 = (1, 0, 1, 1) un 2 = (1, 2, 1, 1) un 3 = (2, 2, 2, 2)

lineārās nogulsnes, lauskas

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Lineārais noguldījums, kā redzams no apzīmējuma, ir vienāds (ja k ≥ 2) ar to, ka sistēmā gribas kādu no vektoriem lineāra kombinācija citi.

Ja sistēma sastāv no diviem vektoriem a 1 un 2, tad sistēmas linearitāte nozīmē, ka viens no vektoriem ir proporcionāls otram, teiksim, a 1 = λа 2; trivimetriskā veidā tas ir vienāds ar vektoru a 1 un a 2 kolinearitāti. Tādā pašā veidā sistēmas I lineāra parādīšanās ar trim vektoriem zvaigžņu telpā nozīmē šo vektoru koplanaritāti. Lineārās papuves jēdziens ir, tādā rangā, dabisks zagalnennyam, lai saprastu kolinearitāti un līdzplanaritāti.

Nav nozīmes tam, ka sistēmas (5) vektori e 1, e 2, ..., e n z ir lineāri neatkarīgi. Tāpat n-pasaules telpā tiek izstrādātas n lineāri neatkarīgu vektoru sistēmas. Vai varat parādīt, kāda veida sistēma s lielāks skaits vectorіv lineāri papuve.

To, vai sistēma ir 1, a 2, ..., a n z n lineāri neatkarīgi vektori n-pasaules telpā L n, sauc par jogo bāzi.

Be-vektors a telpā L n tiek paplašināts, i pirms tā paša ranga, pa pietiekama pamata vektoriem a 1, a 2, ..., a n:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Šo faktu var viegli noteikt, pamatojoties uz noteiktu pamatu.

Turpinot analoģiju ar trivum telpu, ir iespējams apzīmēt skalārās virsotnes a b vektoru n-virtuālajā skalā, atkarībā no

a b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

Ar šādu apzīmējumu tiek saglabātas visas triviālo vektoru skalārās izveides galvenās pilnvaras. Vektorus a un b sauc par ortogonāliem, jo ​​to skalārā saskaitīšana ir vienāda ar nulli:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Lineāro kodu teorijā ir vēl viena svarīga izpratne - izpratne par apakštelpu. V telpas L n apakškopu sauc par šīs telpas apakštelpu, t.i.

1) jebkuriem vektoriem a, b, kas atrodas V robežās, їx summa a + b arī atrodas V robežās;

2) jebkuram vektoram a, kas pieder pie V, i jebkuram reālam skaitlim λ, vektors λa arī pieder pie V.

Piemēram, visu vektoru e 1, e 2 lineāro kombināciju bezpersonāls no sistēmas (5) būs telpas L n apakštelpa.

Lineārā algebra parāda, ka katrai apakštelpai V ir tik lineāri neatkarīga vektoru sistēma a 1, a 2, ..., a k, ka katrs apakštelpas vektors ir šo vektoru lineāra kombinācija:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.

Piešķirto vektoru sistēmu sauc par apakštelpas V bāzi.

Z tiek piešķirta telpai un apakštelpai bez vidustelpas, ka telpa L n є ir komutatīva grupa vektoru saskaitīšanas darbībai un vai tā ir jogas apakštelpa V ir grupas apakšgrupa. Ar šo sajūtu, piemēram, var aplūkot telpas L n klašu summu virs apakštelpas V.

Beigās ir svarīgi, lai n-pasaules aritmētiskās telpas teorijā reālo skaitļu (ti, reālo skaitļu lauka elementu) aizstāšana aplūkotu pietiekama lauka F elementus, pēc tam visus apzīmējumus. un fakti, norādot uz vairāk, taupītu spēku.

Kodēšanas teorijā svarīga loma ir vipadokam, ja lauks F ir Z p lauks, kā zināms, tas ir lieliski. Tādā veidā n-mierīgais plašums ir arī zīmīgi un atriebība, lai cik slikti bačiti, p n elementi.

Izpratne par telpu, piemēram, izpratne par grupu un kiltsya, ļaujot to pašu aksiomātisku apzīmējumu. Lai iegūtu sīkāku informāciju, mums ir dzīvību sniedzošs ceļvedis jebkuram lineārās algebras kursam.

Lineāra kombinācija. Lineāra papuve un neatkarīgas vektoru sistēmas.

vektoru lineāra kombinācija

Lineāra vektoru kombinācija nosauc vektoru

de - lineārās kombinācijas koeficienti. jakscho kombināciju sauc par triviālu, jakšo-nontriviālu.

Lineāra papuve un vektora neatkarība

sistēma lineāri atkarīgi

sistēma lineāri neatkarīgs

Vektoru lineārās sastopamības kritērijs

Lai vektorētu (r > 1) Ir lineāri noguldījumi, tas ir nepieciešams un pietiekams, ja vēlaties vienu no šiem vektoriem un citu lineāru kombināciju.

Lineārās telpas atvērtība

lineārā telpa V sauca n-mierīgs (maє razmirnіst n), Tāpat kā jaunpienācējā:

1) іsnuє n lineāri neatkarīgi vektori;

2) lai tā būtu sistēma n+1 vectorіv lineāri papuve.

zīme: n= blāvs V;.

Vektoru sistēmu sauc lineārā papuve, kā ir taisnība kas nav nulle komplekts

Vektoru sistēmu sauc lineāri neatkarīgs, yakscho z vienāds ar nulli lineāro kombināciju

nākamais vienāds ar nulli visi koeficienti

Uztura pro lineārā papuve vektorus globālā veidā, lai iegūtu risinājumu, kas nav nulle, viendabīgai lineāru izlīdzinājumu sistēmai ar koeficientiem, kas vienādi ar šo vektoru līdzīgām koordinātām.

Lai labāk izprastu vektoru sistēmas "lineārās papuves", "lineārās neatkarības" jēdzienu, pareizi uzdodiet uzbrūkošā tipa uzdevumu:

Lineārā papuve.I un II Lineārās papuves kritēriji.

vektoru sistēma lineāri atmatā pat un tikai tad, ja viens no sistēmas vektoriem ir citu sistēmas vektoru lineāra kombinācija.

Atnešana. Ļaujiet vektoru sistēmai būt lineāri atmatā. Pēc tam izmantojiet šādu koeficientu kopu , Scho, turklāt es gribētu vienu koeficientu vіdminny vіd nulle. Teiksim ko. arī

tā ir citu sistēmas vektoru lineāra kombinācija.

Lai viens no sistēmas vektoriem būtu citu vektoru lineāra kombinācija. Ir pieņemams, ka tas ir vektors, tas . Skaidrs, ko. Tika ņemts vērā, ka lineārā vektoru kombinācija sistēmā ir vienāda ar nulli, turklāt viens no ievades koeficientiem ir vienāds ar nulli (uzlabots).

priekšlikums10 . 7 Ja vektoru sistēma atriebjas par lineāri papuves apakšsistēmu, tad visa sistēma ir lineāri atmatā.

Atnešana.

Dosimies uz sistēmas vector_v apakšsistēmu . Tad mēs uzglabāsim lineāru kombināciju. Ir skaidrs, ka šī lineārā kombinācija ir tuvāk nullei un ka vidējie koeficienti nav nulle.

Vektoru sistēmas pamats, tās galvenā jauda.

Nenulles vektoru sistēmas bāzi sauc par līdzvērtīgu un lineāri neatkarīgu apakšsistēmu. Nulles bāzes sistēma nevar būt.

Jauda 1: bāzes līnija neatkarīga sistēma bēgt no viņas.

muca: Viena un tā paša vektora lineāri neatkarīgu vektoru sistēmu nevar lineāri izteikt ar citiem vektoriem.

Dominion 2: (Bazi kritērijs) Dotās sistēmas apakšsistēma ir lineāri neatkarīga kā bāze pat un tikai tad, ja tā ir maksimāli lineāri neatkarīga.

Pabeigts: dotā sistēma nepieciešamība Nāc uz bāzi. Todi par tikšanos і, piemēram, de, sistēma ir lineāri atmatā, tāpēc tā lineāri virzās cauri, kā arī ir pēc iespējas lineāri neatkarīga. pietiekamībaĻaujiet apakšsistēmai būt pēc iespējas lineāri neatkarīgai, vai arī tā. lineāri papuve lineāri griežas caur to pašu sistēmas pamatni.

Dominion 3: (Pamata Dominion) Sistēmas ādas vektors griežas caur pamatni vienā secībā.

AtnešanaĻaujiet vektoram griezties caur pamatni divos veidos, tad:, tad

Vektoru sistēmas rangs.

Lai noteiktu vektoru sistēmas rangu, ir nepieciešams izmantot Gausa metodi, lai sistēmu izveidotu trīsstūrveida vai trapecveida formā.

Ekvivalentas vektoru sistēmas.

muca:

Vektordatu pārvēršana bāzes vērtības matricā. ņemt:

Tagad, izmantojot Gausa metodi, mēs pārveidosim matricu uz trapecveida vazі:

1) Mūsu galvenajā matricā mēs atcelsim visu pirmās rindas sārtuma pirmo kolonnu, otrā redzēsim pirmo, kas reizināta ar, trešajā redzēsim pirmo, reizinātu ar, un ceturtajā nekas netiks uzskatīts kā ceturtās rindas pirmais elements, rindas, kas ved uz nulli. Noņemiet matricu: 2) Tagad matricā risinājuma vienkāršības labad atceramies 2., 3. un 4. rindu, tāpēc elementa laukā būtu viena. Mēs atceramies ceturto rindu, lai aizstātu otru, aizstātu trešo un trešo ceturtajā vietā. Noņemiet matricu: 3) Matricā mēs atceļam visus elementus zem elementa. Oskіlki atjauno mūsu matricas elementu līdz nullei, mēs neko neņemam no ceturtās rindas, bet uz trešo mēs pievienosim draugam, kas reizināts ar. Noņemiet matricu: 4) Atkal atceros 3. un 4. rindu matricā. Noņemiet matricu: 5) Matricā ceturtajai rindai pievienojam trešo, reizinot ar 5. Noņemam matricu, it kā mātei būtu trikotāžas izskats:

Sistēmas, їх ierindojas zbіgayutsya ranga spēka dēļ un їх ierindojas vairāk ranga ranga

cieņu: 1) Pamatojoties uz tradicionālo Gausa metodi, tā kā matricas rindā visi elementi ir dalīti ar vienu skaitli, mums nav tiesību saīsināt rindu matricas dominēšanas dēļ. Ja vēlaties paātrināt viena skaitļa rindu, varat paātrināt visu matricu par veselu skaitli. 2) Reizēm, kad mēs uzņemam lineāri papuves rindu, mēs varam її sakārtot no savas matricas un aizstāt to ar nulles rindu. muca: Uzreiz var redzēt, ka otra rinda griežas cauri pirmajai rindai, tāpēc pirmo rindu reiziniet ar 2. Šajā gadījumā visu otru rindu var aizstāt ar nulli. ņemt: Apakšmaisā, uzpotējot matricu vai uz trikotāžas, vai uz trapecveida, kur tai nav lineāri papuves vektoru, visi matricas i vektori, kas nav nulles, būs matricas bāze, un to skaits būs rangs.

Ass ir tikai vektoru sistēmas dibens, skatoties uz grafiku: Sistēma ir dota de,, i. Šīs sistēmas pamatā acīmredzot būs vektors i, skaidiņas caur tiem ir vektori. Sistēma ir sniegta grafiskā veidā, lai to aplūkotu:

Elementāra transformācija. Pakāpeniskas prāta sistēmas.

Matricas elementārā transformācija- tse tādas matricas transformācijas, kuru rezultātā tiek ņemta matricu ekvivalence. Tādā veidā elementārās transformācijas nemaina lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas bezpersonisko risinājumu, jo tiek attēlota matrica.

Elementārās transformācijas tiek veiktas ar Gausa metodi, lai samazinātu matricu līdz trikotāžai vai pakāpeniski.

Elementāras rindu transformācijas nosaukums:

Dažos lineārās algebras kursos matricas rindu permutācija nav redzama elementārās transformācijas kontekstā, jo var atņemt jebkuru divu matricas rindu masīvu permutāciju, uzvarošā reizināšana. jebkuras matricas rindas ar konstanti un pievienošanu jebkurai matricas rindai , reizinot ar konstanti,.

līdzīgi iecelts elementāra pārveidošana stāvptsiv.

elementāra transformācija vilkači.

Apzīmējums norāda uz tiem, ka matricu var noņemt no elementāru transformāciju (vai navpaki) ceļa.

Vadošie elementi є pirmajā rindā -, otrā rindā - , ceturtajā rindā . Ar cieņu, rindā vadošais elements ir nevis goiteris un adījums, bet tas pats (div. Cita rinda).

Teorēma. Neatkarīgi no tā, vai tā ir matrica ar rindas pēdējā skaita elementāro pārveidojumu ceļu, to var virzīt uz prātu.

Atnešana.

Ļaujiet matricai izskatīties

Inducētās matricas piešķiršanas paātrināšana.

Tā kā pirmā rinda ir nulle, mēs pārejam uz citu un tā tālāk, līdz zinām rindu, kas nav nulle. Rindā, kas nav nulle (lai tā būtu rinda), mēs atlasām elementu, kas nav nulle (lai tas būtu elements).

Zrobimo pār gaidāmās elementārās transformācijas matricu:

Acīmredzot pēc tam, kad visi kolonnas elementi, sārtais elements, kļūst par nulli. Tad atlasīsim rindu, kas nav nulle, tajā elementu, kas nav nulle, un būs iespējams līdzīgi pārveidot matricas rindas. Pēdējam krokiv skaitam mēs uzskaitām visas rindas, kas nav nulles, pēc kurām mēs ņemam matricu, kā tas tiks norādīts šim nolūkam.

Krājums 14. Nāc . Pārvietosim matricu uz inducēto formu.

Risinājums.

Ņemsim to par vadošo elementu (vadošie elementi tiks uzskatīti par apaļām arkām), un mēs apzīmēsim transformāciju:

Uzbrūkošā krotsі tiek uzņemta vadošā elementa kvalitātē, kā rezultātā tiek iecelta transformācija, un rezultātā tā tiek uzņemta.

Matrica, skatīt matricas, darīt pāri matricām.

Skatīt matricu:

1. taisnstūrveida: mі n- diezgan pozitīvi skaitļi

2. Kvadrāts: m = n

3. matricas rinda: m = 1. Piemēram, (1 3 5 7) - pie bagatioh praktiski uzdevumišādu matricu sauc par vektoru

4. matrica: n=1. piemēram

5. diagonālā matrica: m = nі a ij = 0, patīk i ≠ j. piemēram

6. viena matrica: m = nі

7. nulles matrica: a ij = 0, i = 1,2, ..., m

j = 1,2, ..., n

8. trikotāžas matrica: visi elementi zem galvas diagonāles ir vienādi ar 0.

9. simetriskā matrica:m = nі a ij = a ji(Tātad uz simetriskas galvas diagonāles stāv vienādi elementi), un arī A" = A

piemēram,

10. šķībi-simetriska matrica: m = nі a ij = -a ji(Tāpēc uz simetriskām vizionāru galvas diagonālēm ir protilēna elementi). Arī uz galvas diagonāli stāv nulles (jo ar i = j var būt a ii = -a ii)

Dії virs matricām:

1. dodavannya

2. vіdnіmannya matrica - elementāri darbība

3. tvir, dobutok matrica pēc skaitļa - elementa pēc elementa darbība

4. daudzskaitlis A*B matrica pēc likuma rinda uz augšu(Matricas A kolonnu skaits var būt vienāds ar rindu skaitu matricā B)

Amk * Bkn = Cmn kāpēc ādas elements h ij matricas Cmn saskaita matricas A i-tās rindas papildu elementu summu uz matricas B j-tās kolonnas otrajiem elementiem, tad

Piemērā parādīsim matricu reizināšanas darbību

5. Matricas transponēšana A. Transponētā matrica ir A T vai A "

, piemēram

Rindas un kolonnas tika pieminētas ar pavadoņiem

Operāciju dominēšana matricās:

(A + B) + C = A + (B + C)

λ(A + B) = λA + λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB) = (λA) B = A (λB)

A(BC)=(AB)C

(ΛA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. Citas un trešās kārtas apzīmētāji (pamata izpratne, sv-va, aprēķins)

Jauda 1. Transponējot apzīmētājs nemainās, tātad

Atnešana.

Cieņa. Priekšnieku virzieni pie varas tiks formulēti tikai pakāpēm. Ar visu jaudu 1 vyplivaє, scho w jauda būs vodity un stovptsі.

jauda 2. Reizinot vyznachnika rindas elementus uz deka, visa vyznachnik skaits tiek reizināts ar veselo skaitli, tāpēc

.

Atnešana.

Jauda 3. Vyznachnik, kas var būt nulles rinda, dorovnyu 0.

Spēka dominēšanas pierādījums ir redzams no 2 jaudas pie k = 0.

Jauda 4. Vyznachnik, kas var būt divas vienādas rindas, dorivnyu 0.

Atnešana.

jauda 5. Vyznachnik, divas kaut kādas proporcionālas rindas, labs 0.

Pierādījums ir skaidrs no 2. un 4. pakāpēm.

jauda 6. Permutējot divas mainīgā rindas, vin tiek reizināts ar -1.

Atnešana.

Jauda 7.

Spēka pierādīšanu var veikt patstāvīgi, izlīdzinot līdzsvara kreisās un labās daļas nozīmes, kas zināmas ar iecelšanas palīdzību 1.5.

Jauda 8. Mainīgā vērtība nemainās, tāpēc vienas rindas elementiem pievieno nākamās rindas otrās rindas elementus, kas reizināti ar to pašu skaitli.

Nepilngadīga. algebriskais paplašinājums. Laplasa teorēma.

Metode, kā panākt trikotāžas izskatu polagaє šādā dotā primāta transformācijā, ja visi jogas elementi, kas atrodas vienā pusē vienai no diagonālēm, kļūst vienādi ar nulli.

8. piemērs. aprēķināt šķīrējtiesnesi

Atvests uz trikutny izskatu.

Risinājums. Mēs varam redzēt pirmo vyznachnik rindu pārējām rindām. arī paņemts

.

Tsey vyznachnik ir dārgāks, lai pievienotu galvas diagonāles elementus. Šādā veidā, lūdzu

Cieņa. Visu, ko tu skaties, var minēt n-tajā kārtībā.

Soli pa solim matricas izskats. Elementāra rindu un kolonnu transformācija.

Matricas elementārās transformācijas tiek saukti par šo її transformāciju:

es Matricas divu kolonnu (rindu) permutācija.

II. Matricas vienas kolonnas (rindas) visu elementu reizinājums ar vienu un to pašu skaitli, kas nav vienāds ar nulli.

III. Papildinājums vienas kolonnas (rindas) elementiem no tiem pašiem nākamās kolonnas (rindas) elementiem, kas reizināts ar to pašu skaitli.

Matrica, otrimana z vihіdnoї matrixі kіntsemu skaits elementāru transformāciju, tiek saukta ekvivalents . Tse ir norādīts.

Elementāras pārvērtības būs zastosovuyutsya par matricu piedošanu, kas nākotnē uzvarēs jauno uzdevumu izpildē.

Lai panāktu matricas pakāpienu izskatu (1.4. att.), nepieciešams vikonēt pakāpeniski.

1. Pirmajā kolonnā atlasiet elementu, ievadiet nulli ( garāmejošs elements ). Rinda ar vadošu elementu ( vadu rinda ); Ja pirmajā kolonnā nav neviena vadošā elementa (visu elementu summa ir nulle), tad mēs izslēdzam šo kolonnu un turpinām meklēt vadošo elementu matricas risinājumā. Transformācija beidzas tā, ka visi elementi tiek izslēgti, vai arī matricas daļā visi elementi ir nulle.

2. Sadaliet visus stiepļu rindas elementus stieples elementā (II tipa pārveidošana). It kā atlikušo rindu veic, tad kam transformācija jāpabeidz.

3. Ādas rindai, kas sašūta zem stieples, pievienojiet stieples rindu, kas reizināta ar šādu skaitli, lai elementi, piemēram, stāvot zem stieples, būtu vienādi ar nulli (III tipa transformācija).

4. Izslēdzot rindu un plītis, uz kurām ir vadošais elements, dodieties uz 1. punktu, kurā jāpabeidz visi apraksti, līdz matrica ir atrisināta.

Krājums 1.29. Pārejiet uz matricu soli

Līdz 2020. gada beigām NASA uzsāk ekspedīciju uz Marsu. Nogādājiet kosmosa kuģi uz Marsu ar elektronisku nesēju, uz kura ir norādīti visu reģistrēto ekspedīcijas dalībnieku vārdi.

Balsošanas dalībnieku reģistrācija. Atņemiet savu biļeti uz Marsu, lai saņemtu svētības.

Patīk šim ierakstam, atrisinājis savu problēmu vai vienkārši būdams sevis cienīgs, dalies savos spēkos ar draugiem sociālajos tīklos.

Viena no koda opcijām ir jānokopē un jāielīmē jūsu tīmekļa lapas kodā starp tagiem і pretējā gadījumā es atvainojos par atzīmi . Pēc pirmās MathJax versijas tiek ielādēta arvien mazāka puse. Pēc tam cita opcija automātiski pārbauda un atjaunina jaunākās MathJax versijas. Ja ievietojat pirmo kodu, tas būs periodiski jāatjaunina. Ja ievietosiet citu kodu, tad sāni būs vairāk ieinteresēti, tāpēc jums nebūs pastāvīgi jāseko MathJax atjauninājumiem.

Iespējojiet MathJax visvienkāršākajā veidā pakalpojumā Blogger vai WordPress: vietnes vadības panelī pievienojiet logrīku, atribūtus trešās puses JavaScript koda ievietošanai, kopējiet pirmo vai citu iepriekš norādītā iesaistes koda versiju un mainiet logrīka izmērus tuvāk veidnes augšdaļā (pirms runas mums nav jāmaina 'Valodas ziņā, MathJax skripti tiek izsaukti asinhroni). No es visiem. Tagad pārbaudiet MathML, LaTeX un ASCIIMathML marķējuma sintaksi, un esat gatavs ielīmēt matemātiskās formulas jūsu vietnes tīmekļa pusē.

Čergovija pirms Ņūrokas ... sals un sniegputenis uz panorāmas ... Viss mani mudināja vēlreiz rakstīt par ... fraktāļiem un tiem, kas zina par Volframu Alfu. No pirmā piedziņas є tsіkava stattya, jo yakіy є sēžamvietas divdimensiju fraktāļu struktūras. Šeit mēs varam redzēt vairāk trivimēru fraktāļu salocīšanas piemēru.

Fraktālis var vizuāli izpausties (aprakstīts) kā ģeometriska figūra, it kā tas būtu ķermenis (slaucīšana pa virsmu, tas un tie, un іnshe є bezpersonisks, noteiktā virzienā, bezpersonisks punkts), detaļas, kurām var būt tāda pati forma kā pati figūra. Tas ir, struktūra ir sev līdzīga, skatoties uz detaļām tā, it kā tā būtu palielināta, mēs izveidosim to pašu formu, kas ir bez palielinājuma. Tāpat vipadku zvichaynoї ģeometriskā figūrā (NAV fraktālis) ar mazākām detaļām, piemēram, vienkāršāku formu, ir redzama pati apakšējā figūra. Piemēram, kad lielā elipses daļa izskatās kā taisns koks. Ar fraktāļiem tā nav: jebkura uzlabojuma gadījumā atkārtosim to pašu locīšanas formu, kā ar ādas uzlabojumiem, tā atkārtosies vēl un vēl.

Fraktāļu zinātnes pamatlicējs Benuā Mandelbrots savā rakstā Fraktāļi un noslēpumi zinātnes vārdā rakstīja: "Fraktāļi ir ģeometriskas formas, tāpat kā vienlīdzīgā pasaulē salokāmas savās detaļās, tāpat kā savā zagalniskajā formā. Tobto, ja daļa no fraktāļa tiks palielināta līdz veselumam, tas izskatīsies kā vesels vai precīzi, vai, iespējams, ar nelielu deformāciju.

Pieraksts

Tiek saukta kvadrātveida matrica diagonāli, Tāpat kā visi elementi, kas atrodas aiz galvas diagonāles, vienāda ar nulli.

Cieņa. Matricas diagonālie elementi (tas ir, elementi, kas atrodas uz galvas diagonāles) var būt arī vienādi ar nulli.

dibens

Pieraksts

skalārs tiek izsaukta diagonālā matrica, kurā visi diagonālie elementi ir vienādi savā starpā.

Cieņa. Ja nulles matrica ir kvadrātveida, tad tā ir arī skalāra.

dibens

Pieraksts

viena matrica sauc par kārtas skalāru matricu, kuras diagonālie elementi ir vienādi ar 1.

Cieņa.Īsam ierakstam atsevišķas matricas secību var izlaist, tad vienotā matrica tiek piešķirta vienkārši.

dibens

ir viena dažādas kārtas matrica.

2.10. Matricas nodošana diagonālā skatā

Normāla (zocrema simetriskā) matrica A var radīt diagonāli izskatīties kā transformācija -

A = TΛT −1

šeit Λ = Diag (λ 1, ..., λ N) - šī ir diagonālā matrica, kuras elementi ir matricas vērtības A, bet T- visa matrica, salocīta no augšējiem vektoriem matricā A, Tobto T = (v 1 ,...,v N).

piemēram,

Mal. 23 Samazinājums uz diagonālo skatu

soļu matrica

Pieraksts

pakāpeniski matricu sauc, jo tā apmierina šādus prātus:

Pieraksts

pakāpeniski tiek izsaukta matrica, lai rindas un pie pirmās diagonāles elementi nebūtu nulle, un elementi, kas atrodas zem diagonāles galvas diagonāles un atlikušo rindu elementi, ir vienādi ar nulli, tāpēc matrica izskatās šādi:

Pieraksts

galvas elements Matricas pirmo rindu sauc par pirmo elementu, kas nav nulle.

dibens

Pārvaldnieks. Norādiet matricas ādas rindas galvenos elementus

Risinājums. Pirmās rindas galvas elements ir pirmais th rindas elements, kas nav nulle, un tas ir rindas ar numuru 1 galvenais elements; līdzīgi - citas rindas galvas elements.

Pretējā gadījumā pakāpju matricas apzīmējums.

Pieraksts

sauc matricu pakāpeniski, Jakšo:

visas її nulles rindas stāv pēc nulles vienībām;

ādas nulles rindā, sākot no citas, її head elementu varto pa labi (kolonnā ar lielu skaitu) no priekšējās rindas galvas elementa.

Piešķiršanai soļu matricām mēs ieviesīsim nulles matricu, kā arī matricu, lai aizstātu vienu rindu.

dibens

Lietojiet līdzīgas matricas:

, , , ,

Uzklājiet matricu, jakі nav є stupіnchasti:

, ,

dibens

Pārvaldnieks. Z'yasuwati, chi ir matrica pakāpās.

Risinājums. Tikšanās prātu pārskatīšana:

Tiek dota arī matrica ar soļu frekvenci.