Hé

Több száz méretű mátrix. Több száz mátrix lineáris kombinációja mátrixnak nevezni-stovpets, ugyanakkor - cselekvések vagy komplex számok, úgynevezett a sorkombináció együtthatóival... Ahogy abban a sorkombinációban, amelyben az összes teljesítményt nullával egyenlőnek vesszük, úgy a korábbi nulla mátrixok sorkombinációja is egyenlő nullával.

Több száz mátrixot hívnak meg lineárisan független Ha a sorkombináció összes függvénye nulla lesz, ha a sorkombináció összes függvénye nulla lesz. Több száz mátrixot hívnak meg lineáris parlagon , A Jakscso egy számkészlet, a középső nullától egy akar lenni, és a több száz számból álló sorkombináció számos együtthatóval nullára megy

Ugyanígy lehetnek adatok a mátrixban lévő sorok lineáris ugarának és lineáris behúzásának értékéről. Minden tétel száz mátrixra van megfogalmazva.

5. tétel

Míg a mátrix közepe nulla, addig a mátrix századrésze lineáris.

Szállítva. Könnyű megérteni a vonalkombinációt, minden teljesítményben nullára áll vissza minden nem nulla csavarnál, és egyre nulla száz százaléknál. Van nulla, és a sorkombináció függvényeinek közepe nullaként jelenik meg. Otzhe, száz mátrix lineáris parlagról.

6. tétel

yaksho A mátrixok 100%-a lіnіyno parlagon, akkor minden A lineáris betétek mátrixainak 100%-a.

Szállítva. A tisztelet értékéért leszünk, a mátrix első százáért lineáris parlagon. A parlagon kívüli sor értékei szerint van egy kis számkészlet, a középső nullától egyet szeretne, az együtthatók számának száz százalékát nulláig tartó sorkombináció.

Raktár mind a száz mátrix lineáris kombinációjához, beleértve a száz százalékot nulla együtthatókkal

Ale. Otzhe, mind a száz mátrix lineárisan parlagon van.

utódlás... Lineáris független mátrixok közepette, legyen az lineáris független. (Ez könnyen megtehető, ha ellentmondunk neki.)

7. tétel

Ahhoz, hogy száz mátrixot lehessen sütni on-line, szükséges és elegendő, ha száz mátrixot akarunk. vonal kombinációіnshih.

Szállítva.

Szükségesség. Ne legyen száz mátrixa a lineáris parlagon, hogy legyen egy egyszerű számhalmaz, a középső nullától egy, és száz pont lineáris kombinációja a paraméterek számától nulláig

Értékben elfogadható, scho. A Todi tobto az első sorkombinációjának első száz százaléka.

bőség... Nekhai száz mátrixot szeretne a számok lineáris kombinációjában, például döntő számokban.

Vagyis úgy, hogy a sorkombináció nulla legyen, és a sorkombináció számainak közepe egy (ha) nullaként jelenjen meg.

Keresse meg a mátrix rangját! Legyen tisztában a nullától a kisebb sorrendig, amelyet hívni kell alapon ... A і százptsі sorokat, amelyek előzésein az alapmoll áll, hívják alapvonal .

A méretek (m; n) A mátrixában válassza ki a k ​​sort és a k 100%-ot (k ≤ min (m; n)). A váltakozó rezgéssorokon és 100%-ban álló mátrixelemek felállítanak egy k rendű négyzetmátrixot, amelynek a nevét az A mátrix kisrendű M kk rendjének vagy k-edik kisebb rendjének nevezzük.

A mátrix rangja az A mátrix nulla molljainak maximális r rendje, és ha egy moll r rendű, akkor a moll az alapmoll. Megnevezés: hang A = r. Ha A rang = rang B és az A és B mátrixok mérete egybeesik, akkor az A és B mátrixokat ekvivalensnek nevezzük. Megnevezés: A ~ B.

A mátrix rangjának kiszámításának fő módszerei a kisebbség javításának módszere és a módszer.

Egészséges kiskorúak módszere

A módszer lényege, hogy az offenzívában egészségessé tegyék a mezőny kiskorúit. Keresse meg a mátrixban a kisebb rendű k azonos értékeit, a nulla értékét. A kisgyermekeket csak akkor nézzük, ha kiskorúak k + 1 sorrendben, mivel a sajátjukban (azaz oblyamovuyut) kiskorúak sorrendben, nulláról nézve. Ha az összes bűz nullára ér fel, akkor a mátrix rangja k, a középső közepén a moll (k + 1) -edik rendű, akkor nulla jelzés lesz, és az egész eljárás megismételt.

A mátrix sorainak linearitása (100%)

A mátrix rangjának megértése egyértelműen összefügg a lineáris függetlenség és a sorok számának megértésével (100%).

Mátrix sorok:

Lineáris parlagonkénti állománynak nevezzük őket, amikor az ilyen számokat λ 1, λ 2, λ k néven ismerjük, de az egyenlőség igaz:

Az A mátrixok sorait lineárisan függetlennek nevezzük, ha a sorok száma kisebb, mint egyenlő, ha minden szám λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0

Hasonló rang az A mátrix századrészeinek ugarának és határozatlanságának vonala.

Mint egy A mátrix egy sora (a l) (de (a l) = (a l1, a l2, ..., a ln)) ábrázolható egy nézetben

Hasonló rangot kap a stovpts vonalkombináció tanítványa. Az alapmollról szóló tétel érvényes.

Alapsorok és alapsorok. Hogy van-e egy sor (vagy csonk) egy A mátrixnak є alapsorok (stopptok) lineáris kombinációja, azaz E. Sorok (stopptok), amelyek keresztezik az alapmollt. Így az A mátrix rangja: rang A = k az A mátrix lineárisan független sorainak maximális számára (száz százalékra) alkalmas.

Tehát a mátrix rangja a mátrix közepén lévő legnagyobb négyzetmátrix mérete, amelyhez a rangot kell értékelni, amelynél a tervező nem nulla. Ha egy mátrix nem négyzetes, mert négyzet, de a mátrix mérete nulla, akkor a kisebb sorrendű négyzetmátrixoknál a sorok és a 100% kerül kiválasztásra.

A mátrix segítségével a mátrix rangja a lineárisan független sorok számával határozható meg, nem pedig a mátrixok számával. Vannak a leggyakoribb sorok, de nem túl sok az elmaradt sorokból. Például, ha a mátrixnak 3 lineáris független sora és 5 független lineáris sora van, akkor a második rang három.

Alkalmazza a mátrix ismert rangját

A kiskorúak fejlesztésének módszerével ismerjük meg a mátrix rangját

P і w e n і e. Eltérő sorrendű minor

a határos moll az M 2, más néven nulla. A negyedrendű kiskorút sértve azonban gyógyítsa M 3-at.

vissza nullára. Ehhez az A mátrix rangja korábban 3, az alapmoll pedig például az M 3 moll reprezentációi.

Az alap elemi átdolgozásának módja azon a tényen, hogy a mátrix elemi átdolgozása nem változtat a rangján. Vikoristovuchi és újragondolva, akkor hozza a mátrixot a nézetbe, ha az összes elem, krim a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), adjunk hozzá nullát. A Tse nyilvánvalóan azt jelenti, hogy cseng A = r. Figyelemre méltó, hogy ha az n-edik rendű mátrix a felső tricita mátrixból, azaz a Mátrixból látható a fejátlótól a nulláig minden elemre, akkor ügyeljen arra, hogy a fejhez több elem legyen. A hatalom ára akkor lehet győztes, ha a mátrix rangját elemi egyeztetés módszerével számítjuk ki: a mátrixot háromszögűre is kell hozni, ha egyetlen forrást látott, akkor nullát ismer, de a másik mátrixának rangja

Az elemi újrakalibrálás módszerével a mátrix rangjának megismerése

P і w e n і e. Jelentős i-edik sor az A mátrixot az α i szimbólummal. A vikon elemi újraadaptációjának első szakaszában

A viconmo átalakulás újabb szakaszában

Ennek eredményeként otrimaєmo

Vonalalgebra

Slough elmélet

1. Mátrix, mátrixokkal, mátrix burkolt. Matrix Rivnyannya és іkh Rіshennya.

mátrix- egy egyenes vonalú táblázat jelentős számokat, roztasvanih éneklés sorrendben, mérete m * n (sorok 100). A mátrixelemek azonosítása, de i a sorszám, j pedig a századik szám.

kiegészítés (vidnimannya) A mátrixok csak egydimenziós mátrixokhoz használhatók. A mátrix összege (különbsége) egy mátrix, amelynek elemei є a kimenő mátrixok elemeinek összege (különbsége) szerint.

Szorzás (rospodil)szám szerint- a mátrix bőrelemének többszöröse (eloszlása) egész számon.

A mátrixok szorzása csak a mátrixokhoz van hozzárendelve, a másik azonos számú sorából az első százas száma.

több mátrix- mátrix, amelynek elemeit a következő képletekkel adjuk meg:

mátrix transzponálás- egy ilyen B mátrix, amelynek sorai (100 százaléka) є száz százaléka (sorok) az A fő mátrixnál. jelent

gyűrűmátrix

mátrix rivnyannya- Rivnyannya vіda A * X = B є tvir mátrixok, a dan іvnyannya є matrіtsaX-ben láthatók, ami további szabályok mögött áll:

1. A mátrix százainak (sorainak) lineáris parlagsága és határozatlansága. A lineáris lerakódás kritériuma, a mátrix 100%-ának (sorainak) elegendő és lineáris lerakása.

A sorrendszert (100%) ún lineáris négyzet, Mivel a sorkombináció triviális (a paritás csak a1 ... n = 0 esetén látható), ahol A1 ... n száz (sor), aa1 ... n egy tárolókapacitás.

kritérium: Ahhoz, hogy a vektorok rendszere lineárisan függő legyen, szükséges és elegendő, ha azt szeretnénk, hogy a rendszer valamelyik vektora lineárisan átfolyjon a rendszer vektorain.

umov vagyona:

1. Névjegykártyák mátrixokhoz és teljesítményhez

Mátrix sablon (determináns)- a mátrix elemeire ugyanaz a szám számítható ki, mint az A négyzetmátrixnál a következő képlet szerint:

, De - dodatkovy minor elem

erő:

1. Zvorotn_y mátrix, algoritmus a zvorotn_y mátrix kiszámításához.

gyűrűmátrix- egy ilyen X négyzetmátrix, mint az azonos rendű A négyzetmátrixon kívül, megfelel a következő definíciónak:, ahol E egyetlen mátrix, azonos rendű és іA. Legyen szó négyzetes mátrixról, amelynek mátrixa nem nulla, hanem 1 forgómátrix. Az elemi újraalkotás segédmódszerének és a segédképletnek az ismerete:

Értse meg a mátrix rangját. Kis alaptétel. A mátrixmátrix nullával való egyenlőségének kritériuma. Mátrixok elemi transzformációja. Elemi konverziók módszerével számítva. A burkolt mátrix számítása elemi transzformáció módszerével.

Mátrix rang - alapvető mellékrend (rg A)

alap moll - Kisebb sorrendben r nem nulla, így minden kiskorú rendelni r + 1 és több, hogy a sorrendben nulla vagy sem.

A tétel az alapmollról - A mátrix többségében A bőr stovpez (sor) є a stovpts (sorok) sorkombinációjában, egyes újraöltésekben az alapmoll.

Kézbesítve: Keresse meg az m * n méretek mátrixában az első r sor varratainak és az első r kötőelemeknek az alapvető minorját. Könnyen érthető a forma, amely a fenti elemek A mátrixának alapmolljához van rendelve s-edik sorі a k-ik századból.

Nyilván ha van ilyen, akkor nullára megy a kártyabirtokos. Ha tehát a determináns az, hogy két azonos sort vagy kettőt ugyanabból a sorból cseréljünk le. Valamint akkor a D névtábla nullához vezet, csakúgy, mint a kisebb (r + λ) -ro sorrend. Raznkladayuchi viznachnik az utolsó sorban felismerjük:, az utolsó sor de-algebrai kiegészítő elemeit. Elképesztő módon olyan, mint egy alap minor. Tom, de Írja fel az egyenleget, otrimuєmo , Tobto k-edik száz(Mindenesetre) є alapmoll 100%-os sorkombinációja, amit hozni kell.

d kritériumetA = 0- Névjegykártya tartó nulla todihoz és csak todihoz, ha a sorok (100) parlagon vannak bélelve.

elemi átépítés:

1) több sor egy számmal, nem nullától;

2) az első sor elemeinek egy sorának elemeinek kiegészítése;

3) sorok átrendezése;

4) ugyanazon sorok egyikének felvétele (100%);

5) átültetés;

rangra számítva - Az alapvető kisebbségre vonatkozó tételekből, hogy az A mátrix rangja hogyan megfelelő a lineáris független sorok maximális számához (a mátrixban 100%), illetve az elemi konverziók halmazából az összes lineáris független sor ismeretéhez.

értékelték burkolt mátrix ­ - Az újraimplementáció ugyanazon T mátrix A mátrixának többszörösein is megvalósítható, mivel a következő elemi mátrixok komplementere: TA = E.

A Tse rіvnyannya azt jelenti, hogy a T transzformációs mátrix a mátrix örvénymátrixa. Akkor most,

А mátrixok bőrsora, jelentése: е i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (például,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) stb.). Ezek bőre egy mátrixsor, amely a mátrixokra vonatkozó zagalny szabályok mögött soronkénti hajtások számával szorozható.

vonal kombináció az e l, e 2, ... e k sorok nevezzék meg e sorok lényeinek összegét a legtöbb dátumon:
e = l l e l + l 2 e 2 + ... + l k e k, de l l, l 2, ..., l k - a legtöbb szám (a lineáris kombináció együtthatói).

Az e l, e 2, ... e m mátrixsorokat hívjuk lineáris parlagon, Amikor ilyen l l, l 2, ..., l m számok vannak, akkor nem azonnal nulla, hanem a mátrix sorainak sorkombinációja sorban nullára megy:
l e l + l 2 e 2 + ... + l m e m = 0, de 0 = (0 0 ... 0).

A sorok lineáris halmozódása a mátrixban azt jelenti, hogy a mátrix egy sorára van szükség ezek lineáris kombinációjában. Amúgy nem tudni az l m ¹ 0 maradék hatásfok értékét. Todi az egyenlőség sértő részeit l m-rel elosztva az utolsó sorhoz használható, mint a többi sor lineáris kombinációja:
e m = (l l / l m) e l + (l 2 / l m) e 2 + ... + (l m-1 / l m) e m-1.

Amint sorok sorkombinációja van a nulla felé vezető úton, a sorok ún. lineárisan független.

Mátrix rangtétel... A mátrix rangja megfelel a sorfüggetlen sorok maximális számának, de nem az összesnek, amelyen keresztül az összes többi sor megjeleníthető.

Bizonyítsuk be a tételt. Keresse meg az A mátrixot m х n maє rang r (r (A) £ min (m; n)). Ezenkívül nulla alakban jelenik meg az r-edik rend molljáig. Minden ilyen kiskorú nazivat lesz alapon... Gyerünk a tse-moll értékéért

A minor sorai is nazivat lesznek alapvonal.

Elhoztuk neked, hogy az e l, e 2, ... e r mátrix ugyanazon sorai lineárisan négyzetek. Tegyük fel, hogy van egy útmutató, ami egy sor sorozat egyike, például az r-edik, ezek lineáris kombinációjában: er = llel + l 2 e 2 + ... + l r-1 e r- 1 = 0. elem r-th az 1. sor elemeinek sorai, szorozva l l-el, a 2. sor elemei, szorozva l 2-vel stb., nareshty, az (r-1) -edik sor elemei l r-1-gyel szorozva, majd r-edik sor nullává váljon. A vishchenavia látogatójának hatóságainak jelenlétében a látogató nem hibás a váltásban, nagy összegű pénz esetén pedig nulla. Otrimano dörzsölés, sorok vonalbehúzása hozva.

Most már világos, hogy ha vannak (r + 1) sorok a mátrixban, akkor vannak lineáris parlagon keresztüli ugarok, így az alapvonalon keresztül meg lehet-e sérteni egy sort.

Előnyösen egy sor (i-edik) és egy századik (j-edik) korábban kisebb volt. Ennek eredményeként a minor (r + 1) -edik rend kerül felismerésre, amely az adott rangnál nulla.

A mátrix rangjának megértése egyértelműen összefügg például a származás (független) és a sorok számának megértésével. Nadal sorok anyaga lesz, több száz vikladhoz hasonló.

Mátrix Aértelemszerűen її a támadó rangsor:

A mátrix két sorát egyenlőnek nevezzük, Yaksho rіvnі іх típusú tételek :, yakshо ,.

A mátrix sorain végzett aritmetikai műveletek (több sor egy számmal, további sorok) műveletekként kerülnek beírásra, amelyeket elemenként hajtanak végre:

sor e sorok vonalkombinációjának nevezhetjük..., mátrixok, ha sok alkotásod van ugyanabban a sorozatban a számok többségén:

A mátrixsorokat ún lineáris parlagon Ha vannak ilyen számok, akkor nem egyenlők egyszerre nullával, de a mátrixban a sorok sorkombinációja sorban nullára megy:

, =(0,0,...,0). (3.3)

3.3. TételA mátrixok sorait parlagon béleljük, ha egy mátrixsort szeretnénk az első lineáris kombinációjában.

□ Dіysno, nem tudom a (3.3) képlet értékét, todі

Ilyen rangban egy sor más sorok kombinációinak sora. ■

Ha van sorok sorkombinációja (3.3), akkor a sorokat soronként nevezzük.

3.4. Tétel.(A mátrix rangjáról) A mátrix rangja a sorfüggetlen sorok maximális számához megfelelő, de az összes sort (100) minden soron keresztül elforgatjuk.

□ Hajrá mátrix A méret m n maє rang r(r min). A Tse azt jelenti, hogy isnu vidminny nulla mollból r sorrendben. Bármilyen nem nulla kiskorú r A th rendet alap-mollnak nevezzük.

Nokhay az alap moll értékére є provinny abo kutoviy minor. A mátrix ugyanazon sorai lineárisan függetlenek. Kétségtelen, hogy például egy útmutató e sorok egyikéhez ezek lineáris kombinációja. Lásd az elemeket r- az 1. sor elemeinek első sora, szorozva a 2. sor elemei helyett, szorozva ... és elemekkel ( r - 1) - az első sor, szorozva ezzel. A kormány élén 8 a mátrix ilyen újbóli megvalósításával a D tervező nem változik, pedig olyan jak r- Most sorozok egy nulláról, majd D = 0 - dörzsölés. Otzhe, a mi pripuschennyánk azokról a mátrixsorokról szól, amelyek lineárisan parlagon vannak, nem igazán.

elnevezett sorok alapvonal... Megmutatjuk, hogy a lineáris parlagon belüli mátrixban (r + 1) sorok vannak, így egy sor az alapvonalon keresztül forog-e.

A moll (r +1) - az első sorrend, amely akkor látható, ha a mollhoz egynél több elemsort adunk énі stovptsі j... Tsei moll háztól-házig nulláig, tehát a mátrix rangja r Ehhez legyél olyan, mint egy kiskorú, hogy nullát rendelj.

Lefektetett jógo a többi elemeiért (dodany) stovpchik, megszállottan

De modul a maradékból algebrai kiegészítés kilép az alap mollból Dés úgy tűnik, hogy nullától 0.

3. Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A.

4. Iljin V.A., Poznyak E.G. Linin algebra.- M.: "Tudomány", 1978.- 304s.