Az aij elem algebrai összeadása. Kisebb és algebrai kiegészítések

Kisebb M ij elem aij vyznachnik n -a sorrendet a sorrend jelzőjének nevezzük ( n-1 ), Az adott aláírótól átvéve arra a sorra és oszlopra, amelyben a teljes elem megtalálható ( én -ої sorok i j -th stovpchik).

algebrai kiterjesztése elem aij kérdezi viraz:

Az aláírók rendben vannak n>3 az abost sor elemeire a jelző kiterjesztésének tétele segítségével számítjuk ki:

Tétel. Bármely sor kiegészítő elemeinek fejlettebb összegének aláírója, vagy valamilyen stomptsya az algebrai összeadások megfelelő elemeire, tobto

Csikk.

Számítsa ki a vyznachnikot, a jógot hirdetve egy sor vagy abostovptsya elemei szerint:

Megoldás

1. Ha csak egy elem van egy sorban, vagy csak egy elem, nulla alakban, akkor nem kell módosítani a jelzőt. Más módon, az első lépés a vyznachnik elrendezésére vonatkozó tétel felállítása, átdolgozása, vykoristuuyuyuchi következő hatalom: a következő sor elemeinek (stowptsya) hozzáadása a sor (stow) elemeihez, megszorozva a teljes szorzót, akkor az érték értéke nem jelentős.

A 3. sor elemei közül a 2. sor második elemeit láthatjuk.

A 4. oszlop elemei közül a 3. oszlop azonos elemeit láthatjuk 2-vel szorozva.

A vyznachnikot a harmadik sor elemei mögé helyezzük

2. A 3. rendű önrész a trükkök szabálya szerint vagy Sarrus (isteni) szabálya szerint számolható. A vyznachnik elemeit azonban nagy számmal kell befejezni, amihez a vyznachnikot úgy fektetjük le, hogy a yogót előre fordítottuk:

Egy másik sor elemei közül az első sor azonos elemeit láthatjuk 3-mal szorozva.

Az első sor elemei közül a harmadik sor második elemeit láthatjuk.

Az 1. sor elemei előtt a 2. sor további elemeit adjuk hozzá

A nulla sorú választottbíró 0.

Otzhe, a rend előfutárai n>3 kiszámítják:

· A vyznachnik reformálása trikóssá, amely a vyznachnik hatóságainak segítségét kéri;

· Razkladannyam vyznachnika az abo stovptsі kifejezés elemeihez, maguk is csökkentik a sorrendet.

Mátrix rang.

A mátrix rangja fontos numerikus jellemző. A legjellemzőbb feladat, amely a mátrix rangjának fontosságától függ, a lineáris algebrai igazítási rendszer konzisztenciájának újraellenőrzése.

vegyünk egy mátrixot DE rendelés p x n . Gyerünk k - mint egy természetes szám, mintha nem változtatnánk meg a legkisebb számokat p і n , tobto,

Kisebb k-edik rend mátrixok DE négyzetmátrix rend előjelének nevezzük k x k , Halmozott mátrixelemekbe DE , Yakі tudni a hátsó sor választott k sorok i k talpfák, ráadásul a mátrix elemeinek rothadását DE megmeneküljenek.

Nézzük a mátrixot:

Írjuk fel a mátrix első rendjének megfelelő kiskorúak számát! Például, amikor kiválasztjuk a harmadik sort és egy másik mátrixsort DE , Majd választásunk szerint az elsőrendű mollot adjuk det (-4) = - 4. Vagyis ennek a mollnak az eltávolításához újra létrehoztuk az első és a többi sort, valamint az első, harmadik és negyedik oszlop a mátrixból DE , És amikor az elem elmaradt, összehajtották a vyznachnikot.

Ebben a sorrendben a mátrix első rendjének minorjai maguk a mátrix elemei.

Mutassuk meg a sprattot más sorrendben. Két sort és két oszlopot választunk ki. Vegyük például az első és a többi sort, valamint a harmadik és negyedik sort. Ilyen választással lehetséges, hogy a kiskorú más sorrendben legyen
.

A mátrix egy másik rendjének Іnshim minor DEє kiskorú

Hasonlóképpen megtalálhatja a mátrix harmadik rendjének kiskorát is DE . Szóval mint a mátrixban DE csak három sor, akkor az összeset veszik. Ha három első lépést választ e sorok előtt, akkor vegye be a harmadik sorrend mollját:

Harmadik rendű nsim moll є:

Ehhez a mátrixhoz DE a harmadiknál ​​magasabb rendű kiskorúak nincsenek, tehát

Skіlki w іsnuє kiskorúak k -Azta mátrix sorrend DE rendelés p x n ? Chimalo!

Kiskorúak száma rendelés k képlettel lehet kiszámítani:

mátrix rang a mátrix molljának legnagyobb sorrendjét nevezzük, amelyek közül a legjelentősebb nulla.

Mátrix rang DE jakot jelentenek rang(A). A mátrix rangjának és a mátrix molljának hozzárendeléséből lehetőség van visnovok létrehozására úgy, hogy a nulla mátrix rangja egyenlő nullával, a nem nulla mátrix rangja pedig nem kevesebb, mint egy.

Szintén az első módszer a mátrix rangjának meghatározására є kiskorúak számbavételének módszere . Ez a módszer a mátrix hozzárendelt rangjára alapoz.

Tudassa velünk a mátrix rangját DE rendelés p x n .

Ha a mátrix egy elemét szeretné, amely nullának tűnik, akkor a mátrix rangja legalább egynél több (mivel ez egy elsőrendű moll, ami nem egyenlő nullával).

Térjünk át a kiskorúakra más sorrendben. Ha az összes különböző sorrendű minor nulla, akkor a mátrix rangja eggyel egyenlő. Ha egy ettől eltérő rendű, nullától eltérő mollot akarunk, akkor áttérünk a harmadrendű mollok felsorolására, és a mátrix rangja legalább kettő.

Hasonlóképpen, ha a harmadik rendű összes minor nulla, akkor a mátrix rangja egyenlő kettővel. Ha egy harmadrendű mollot akarunk, ha nullát nézünk, akkor a mátrix rangja legalább három, és áttérünk a negyedrendű mollok felsorolására.

Lényeges, hogy a mátrix rangja nem haladhatja meg a legkisebb számot p і n .

Csikk.

Keresse meg a mátrix rangját
.

Megoldás.

1. Mivel a mátrix nem nulla, akkor a її rangja nem kisebb egynél.

2. Egy másik rend kiskorúja
vіdminny vіd nulla, otzhe, mátrix rang DE nem kevesebb, mint kettő.

3. kisebb harmadrendű

Minden harmadrendű kiskorú nullával egyenlő. Ezért a mátrix rangja kettő.

rang(A) = 2.

Hozzon létre más módszereket a mátrix rangjának meghatározására, amelyek lehetővé teszik, hogy az eredményt kevesebb számítási munkával kapja meg.

Ezen módszerek egyike az módszer a kiskorúak fejlesztésére . A győztes módszerrel a kilka kiszámítása rövid, a bűz mégis nehézkes.

Hozzon létre még egy módot a mátrix rangjának megismerésére - segítségért elemi átalakulás(Gauss-módszer).

A mátrix következő transzformációját hívják alapvető :

· A mátrix sorainak (vagy stovpchikiv) permutációja;

A mátrix valamilyen sora (stovpchik) összes elemének szorzása egy bizonyos számmal k, Vіdminne vіd nulla;

A mátrix következő sorának (stowptsya) azonos elemeinek összeadása valamilyen sor (stowpchik) elemeihez, megszorozva egy bizonyos számmal k.

A B mátrixot ekvivalens A mátrixnak nevezzük, yakscho BAN BEN otrimana s DE a végső számú elemi transzformáció segítségével. A mátrixok egyenértékűségét a szimbólum jelzi « ~ » , Tobto, jelentkezz A~B.

A mátrix rangjának jelentősége a mátrix elemi transzformációiban a keményedésen alapul: ez a mátrix BAN BEN mátrixból vettük DE segítse az utolsó számú elemi transzformációt, majd r ang(A) = rang(B) , Tehát az ekvivalens mátrixok rangjai egyenlők .

Az elemi transzformációk módszerének lényege az adott mátrixon alapul, melynek rangját tudnunk kell, egy trapézszerű (okremu lejtőn a felső trikóba) elemi transzformációk segítségével.

Az ilyen típusú mátrixok rangja könnyen megismerhető. Vіn dorivnyuє kіlkostі rowkіv, scho bosszú b egy nem nulla elem. És mivel a mátrix rangja nem változik az elemi transzformációk során, így az értéket a kimeneti mátrix rangja eltávolítja.

Csikk.

Az elemi transzformációk módszerével keressük meg egy mátrix rangját

.

Megoldás.

1. Módosítsa a mátrix sorait DE , tehát mint elem a 11 = 0, Egy elem a 21 vіdminny vіd zero:

~

Az ellenkező mátrixban az elem a leggyakoribb. A következő lépésben az első sor elemeit kellett megszorozni. Zrobimo az első lépés összes eleme, az első krim, nulla. A másik sorban a nulla már є, a harmadik sorba I dodamo pershu, megszorozva 2-vel:

A kiválasztott mátrixban egy elemet nullának tekintünk. Szorozza meg egy másik sor elemeit ezzel

A kivett mátrix másik része is szükséges lehet, mivel az elem már egyenlő nullával.

szóval jak , de , Ezután emlékezzen a harmadik és negyed oszlopra, és szorozza meg a felvett mátrix harmadik sorát a következővel:

A külső mátrix trapéz alakúra redukálódik, її rangja jobban megegyezik a sorok számával, hogy eltávolítsunk egy nem nulla elemet. Három ilyen sor van, és a külső mátrix rangja három. r ang (A) = 3.

A hátsó mátrix.

Engedje meg a mátrixot DE .

Mátrix, eszterga mátrix A , A Mátrixot hívják A-1 és akkor mi van A -1 A = A A -1 = E .

A visszatérési mátrix csak négyzetmátrixhoz használható. Sőt, ő maga є ієyu zhі rozіrnostі, scho i vihіdna mátrix.

Annak érdekében, hogy a négyzetmátrix kicsi legyen, a nevirogenih (tobto Δ ≠0 ). Tsya elme є elégséges a іsnuvannya A-1 mátrixhoz DE . Otzhe, legyen az egy nem virogén mátrix megfordítható, és előtte egy.

érték algoritmus burkolt mátrix a mátrixon DE :

1. Ismerjük a mátrix előjelét. yakscho Δ ≠0 , majd a mátrix A-1 kibocsátó.

2. A mátrix hozzáadása DE . Tobto a mátrixban BAN BEN elem én - i. sor j - a stovptsia algebrai összeadások lesznek A ij elem aij kimeneti mátrix.

3. Transzponálja a mátrixot BAN BEN és elvették B t .

4. A burkolt mátrixot az otriman mátrix szorzatával ismerjük meg B t számonként .

Csikk.

Ehhez a mátrixhoz ismerje a fordított és viconate zengetést:

Megoldás

Korábban felgyorsítjuk a burkolt mátrix értékének algoritmusát.

1. A pivot mátrix alapjának kiszámításához ki kell számítani ennek a mátrixnak az origóját. Gyorsítás a trükkök szabályával:

Mátrix є nevirogenih, otzhe, nyert vérfarkas.

Ismerjük a mátrix összes elemének algebrai kiegészítését:

Az algebrai összeadások ismeretéből egy mátrix jön létre:

és átültetni

Miután az eltávolított mátrix bőrelemét felosztottuk a vyznachnikba, visszavisszük a mátrixot a kijárathoz:

Az újraellenőrzés az eltávolított mátrix többszörösére vonatkozik naponta. Ha a fordított mátrixot helyesen találja meg, a szorzás eredménye egyetlen mátrix lesz.

Az invertált mátrix adatokhoz való jelentőségét illetően a Gauss-módszerrel felgyorsíthatja (pl. Ön előtt, hogy a mátrix invertált), megnézve, mit akarok önálló munkához.

Mátrix transzformáció nélkül könnyen rögzíthető a mátrix csak 2 × 2 és 3 × 3 mátrixokra.

mátrixhoz

a jó szerencse jelképe:

mátrixhoz

a jó szerencse jelképe:

a11 * (a22 * a33-a23 * a32) -a12 * (a21 * a33-a23 * a31) + a13 * (a21 * a32-a22 * a31)

Rozrahunki a 4 × 4-es és nagyobb méretű mátrixokhoz csavart, ezért ezeket a főnök hatáskörének megfelelően újra kell készíteni. Gyakorolni kell az otrimati mátrixot, bizonyos módon a krém minden értéke egy legyen-bármilyen stoptsa vagy legyen-bármely sor nullára. Példa egy ilyen mátrixra:

Számára a jelző kedves:

A12*(a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41))

Hogy viszonozzam a tiszteletet, scho

a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41)

A mátrix determinánsának kiszámítása, az otrimana virahuvannym sor és a stovptsya, amelynek retináján egyetlen nullától eltérő CNC sor / stovptsі található, amely szerint a mátrix elhelyezhető:

Nem szorzom meg az értékeket ugyanazzal a számmal, a "nulla" oszlopból / sorból, amellyel a szám -1-gyel szorozható (az összes részlet alább).

Ha a mátrixot trikószerű megjelenésre szeretné hozni, akkor a számjegyek számának kiszámítása további számjegyekként történik az átló mentén. Például a mátrixhoz

A jó szerencse fontossága:

Hasonlóképpen javítsa meg 5 × 5, 6 × 6 és más nagy méretű mátrixokkal.

A mátrixok átalakítása szükséges ahhoz, hogy a főnök hatáskörébe kerüljön győztesen. Először is térjünk át a 4 × 4-es mátrixok kiugró értékének kiszámítására, térjünk át a 3 × 3-as mátrixokra, és nézzük meg részletesen, hogyan számítják ki a kiugró értéket.

kiskorú

A mátrixjelölőt nem túl egyszerű megérteni, a szilánkok könnyen érthetők, van rekurzió: a mátrixjelölőt matricaelemek alkotják, beleértve az elsődleges (egyéb) mátrixokat is.

Zokogj, hogy ne ragadj le a tsomán, egyszerre fogadjuk el (timchasovo), hogy a mátrix az ős

így számolva:

Találjuk ki mentális megismerésés olyan kifejezésekkel, mint kiskorúі algebrai kiterjesztése.

Az i betű a lefolyó, a j betű az oszlop sorszámát jelöli.

a ij a mátrix elemét (számát) jelenti az i és a j sor vonalán.

Vegyük a saját mátrixunkat, mivel az kikerül az i sor és a j oszlop külső teréből. A külső i sorból és j oszlopból kivett új mátrix előjelét az a ij elem minor M ij jelének nevezzük.

Illusztrálja az elhangzottakat. Tegyük fel, hogy adott a mátrix

Hasonlóképpen, hogy az elem mellék M 11-ét a 11-hez rendeljük, egy új mátrixot kell összeadnunk, hogy kilépjünk az első sor és az első oszlop külső teréből:

І számítsd ki neki az elsőt: 2 * 1 - (-4) * 0 = 2

Ahhoz, hogy az elem mellék M 22-jét 22-hez rendeljük, egy új mátrixot kell összeadnunk, hogy kilépjünk egy másik sor és egy másik spatula külső teréből:

І Számítsa ki a nyertest: 1 * 1 -3 * 3 = -8

algebrai kiterjesztése

Az a ij elemre vonatkozó A ij algebrai összeadásokat az elem moll M ij-jének nevezzük, z-t a "+" előjellel véve azon indexsorok és -oszlopok (i + j) összegeként, amelyek retináján a egész elem, pár és z "-" jellel, így az indexek összege nincs párosítva.

ilyen módon,

A mátrixhoz az elülső fenékről

A 11 \u003d (-1) (1 + 1) * (2 * 1 - (-4) * 0) \u003d 2

A 22 \u003d (-1) (2 + 2) * (1 * 1 -3 * 3) \u003d -8

Mátrixok

Az A mátrix alapját képező n sorrend jelzője az a szám, amelyet det A jelöl, és a következő képlet szerint számítjuk ki:

Már mindent tudunk erről a képletről, most javítsuk ki a mátrixot

Melyik bi nem az i = 1,2, ..., n vagy j = 1, 2, ..., n sorszáma. E.

Tobto determináns számítható aszerint, hogy vagy sem stovptsyu vagy attól, hogy vagy sem sorban.

Annak érdekében, hogy perekonatisya in tsoma, kiszámítjuk a vyznachnik a mátrix többi részét a csikk két oszlopban

A Bachimohoz hasonlóan az eredmény azonos, és a qiєї mátrix esetén a változó mindig -52 lesz, függetlenül attól, hogy melyik sort vagy melyik oszlopot szeretné használni.

A mátrixok döntõjének dominanciája

1. A sorok és a stovptsі vyznachnik egyenlő jogok, vagyis a vyznachnik értéke nem változik, mintha emlékezne a yogo sorokra és a stovptsі zі zberezhennyam sorrendre їх követve. Ezt a műveletet a jelző transzpozíciójának nevezik. Vіdpovіdno a teljesítmény megfogalmazása előtt det A = det AT.
2. Két sor (vagy két sor) helyének megváltoztatásakor az aláíró megtartja abszolút értékét, de az előjelet is a meghosszabbításra változtatja.
3. A két azonos sorral (számmal) rendelkező döntőbíró nullával egyenlő.
4. A jelölő utolsó sorának (vagy utolsó sorának) összes elemének megszorzása a λ számmal egyenlő a jelölő λ számmal való szorzásával.
5. Ha az aláíró valamilyen sorának (egyébként valamilyen stovpchiknek) minden eleme egyenlő nullával, akkor maga az előjel egyenlő nullával.
6. Ami az arányos ábra két sorának (vagy két oszlopának) elemeit illeti, akkor az egyes szám egyenlő nullával.
7. Ha a jelző második sorának (vagy utolsó sorának) elemeihez hozzáadjuk a második sor második elemét (a második kihagyást), megszorozva egy elegendő λ szorzóval, akkor a jelző értéke nem változik.
8. A vyznachnik bármely sorának (bármilyen stovpchik) további elemeinek összege bármely másik sor elemeinek legfejlettebb algebrai összeadásakor (bármilyen más kihagyás) egyenlő nullával.
9. Mint minden elem i-edik sor a választottbírót két összeadás nézetében mutatjuk be a ij = bj + cj, akkor a választottbíró drágább a dvokh választottbírák összege, amelyeknek minden sora van, i-edik krіm, tehát, mint az i az adott választottbíróban , i-edik sor az egyik kiegészítésben a b j elemek, a másikban a c j elemek kerülnek hozzáadásra. Az analóg erő igaz a főnök stovptsіvére.
10. Két négyzetmátrix összeadásának indexe a változóik összeadása: det (A * B) = det A * det B.

A vezető kiszámításához, függetlenül attól, hogy milyen sorrendben, használhatja a vezető sorrendjében történő egymást követő csökkentés módszerét. Kinek az a szabálya, hogy a vyznachnik az abostovptsya sor elemeihez kihelyezhető. A vyznachnik megszámlálásának egy másik módja annak a ténynek a felhasználása, hogy a sorokban (főnökökben) végzett elemi átalakítások segítségére először minden esetben akár 4 és 7 vyznachnikot is be lehet kapcsolni, hogy a vyznachnik a lényegre kerüljön, ha az a vyznachnik fejátlója alatt négyzetmátrixokhoz) minden elem egyenlő nullával. Ez ugyanaz, mint a vyznachnik, hogy befejezze a termelést az elemek, stoked a fej átlósan.

A főnök felsorolásával az utolsó csökkentésig a változtatási sorrendben nagyobb mértékben kötelezem a munka számbavételét a hét főnök többletjogosultságára, hogy elérje az elemek egy részének nullázását valamilyen sor, vagy van-e valamilyen főnöki csonkja, az algebrai összeadások felsorolásának számának megváltoztatásához.

A mátrix trikó megjelenésűvé tétele, a mátrix átalakítása, ami megkönnyíti a vyznachnik kiszámítását

A metódusok benyújtásánál nem elég a 3 × 3-as mátrixokra csípni, hanem megpróbálom egy egyszerű alkalmazáson megnézni a metódusok lényegét. Gyorsítás egy mátrixszal, amelynél már tiszteltük a döntőbírót - könnyebb lenne megfordítani a számítás helyességét:

Vikoristovuyuchi a főnök 7. hatványa, a harmadik másik sorából nézve, megszorozva 2-vel:

a harmadik sorból láthatjuk az útjelző tábla első sorának legfontosabb elemeit 3-mal szorozva:

Tehát a fejátlón elhelyezett főnök elemeihez adjunk hozzá 0-t, majd jelöljük meg a fejátlón elhelyezett elemek további rejtettjét is:

1*2*(-26) = -52.

Mint egy bachimo, korábban kifutottam az időből.

Találjuk ki a mátrixbíró képletét:

A determináns az algebrai összeadások összege, megszorozva egy sor vagy az egyik oszlop tagjaival.

Ha az átalakítás eredményeként úgy fogunk dolgozni, hogy egy sor (abstopet) egy pozícióban nullákból összeadódik, akkor nem kell figyelembe venni az összes algebrai összeadást, a bűzszilánkokat. biztosan nullához lesz hozzáadva. Ez az első módszer, amelyet a nagy kiterjesztések mátrixaira meg lehet tenni.

Mutassunk egy példát ugyanazon a mátrixon:

Megjegyezzük, hogy a többi tűzhely vyznachnik már bosszút áll egy nulla elemen. Egy másik sor elemeihez hozzáadjuk az első sor elemeit, megszorozva -1-gyel. vesz:

Számoljuk a vyznachnikot két oszlopban. Csak egy algebrai összeadást kell javítanunk, a többi nullára csökkenthető:

Az első szám kiszámítása 4 × 4, 5 × 5 és nagyméretű mátrixok esetén

A nagy emlékek mátrixainak túl nagy számítások elől való elkerülése érdekében a következő, fentebb leírt átalakítási munka. Bevezetünk egy spratt alkalmazást.

Számítsa ki és rendelje hozzá a mátrixokat

R i w e n i e. Vikoristovuyuchi A vyznachnik 7. hatványa, egy másik harmadik sorból nézve, a negyedik sorból - a vyznachnik első sorának fő elemei, megszorozva 3-mal, 4-tel, 5-tel. - (13; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Vegyük:

Vikonaemo diї

vyznnik egy sor elemei mögött

A további teljesítmény a kisebb és algebrai kiegészítések megértéséhez kapcsolódik

Időpont egyeztetés. kiskorú az elemet választottbírónak nevezik, az elemek raktárai, amelyek a rekultiváció után elvesztekén-ої lefolyók ijth stovptsya, amelynek peretinán egy egész elem található. Az őselem minora n- a sorrend rendelhet ( n- egy). Mondjuk a jóga keresztül.

1. példa Gyerünk , azután .

A tsei moll úgy jön ki az A-ból, hogy átkeljen a másik soron és a harmadik oszlopon.

Időpont egyeztetés. algebrai összeadások az elemet második mollban hívják, a szorzások nat.e , deén- i sorszámj-oszlop, amelynek perifériáján van egy adott elem.

VІІІ. (A vyznachnik elrendezése a harmadik sor elemeihez). Az aktuális sor további elemeinek további összegének aláírója algebrai összeadásaik alapján.

.

2. példa Gyerünk gyerünk

.

3. példa Ismerjük a mátrix főemlősét, aki az első sor elemeiben jógát szaval.

Formálisan a vyznachnikіv zastosovnі tétele és nagyobb ereje, míg csak a vyznachnіv mátrixok esetében nem haladják meg a harmadik rendet, a többi vyznachniki szilánkjait nem vettük figyelembe. A kinevezés megjelenése lehetővé teszi az uralkodók hatalmának kiterjesztését, függetlenül attól, hogy milyen sorrendben.

Időpont egyeztetés. vyznachnik mátrixok A Az n-edik sorrendet számnak nevezzük, amelyet az uralkodók eloszlására és egyéb hatványaira vonatkozó tétel további egymás utáni kiszámításához számítanak ki..

Lehetséges azt hinni, hogy a számítás eredménye nem lehet elavult, tekintve, hogy bizonyos sorrendben és néhány sornál és a stovptsivnél megjelenik a tekintély jelzése. Az ügyintéző, akinek az ügyintéző segítségére egyértelműen ismert.

Ha tudni akarja az időpontot, és nem akarja megbosszulni az időpont kijelölésének kifejezett formuláját, akkor nem engedi, hogy megismerje az alacsonyabb rendű mátrixok determinánsaihoz vezető hivatkozás útvonalát. Az ilyen megnevezést ún visszatérő.

4. példa Számítsa ki a vyznachnik:.

Ha azt szeretné, hogy az elrendezésről szóló tétel bármely sorba vagy az adott mátrixba zastosovuvat legyen, akkor kevesebb számítást kell végezni, ha az oszlopok elrendezése nagyobb, mint nulla.

A mátrixban lévő szilánkok nem tartalmaznak nulla elemet, ezért eltávolítjuk őket további teljesítményért 7). Szorozzuk meg egymás után az első sort a (-5), (-3) і (-2) і dodamo її számokkal a 2., 3. és 4. sorig і otrimaєmo:

Az első lépés szerint elhelyezzük a wiyshov vyznachnik-ot, és megtesszük:

(Vinesemo az 1. sorból (-4), a 2. sorból - (-2), a 3. sorból - (-1) a 4-es teljesítményig)

(Tehát, mint egy vyznachnik, bosszút állni két arányos pillért).

§ 1.3. Deyakі lásd mátrixok és їх vyzniki

Időpont egyeztetés. négyzet m mátrix, a fejátló alján vagy feljebb nulla elem található(= 0 at én j, vagy = 0 at én j) hívottkötött .

Їx sematikusabban a budova láthatja: vagy .

Itt a 0 - nulla elemet jelent, és - több elemet.

tétel. A négyzet alakú trikómátrix jele gazdag kiegészítője a її elemeknek, amelyek a fej átlójában állnak, így

.

például:

.

Időpont egyeztetés. Négyzetmátrixot nevezünk, amelyben a fejátlónak nulla eleme vanátlós .

Її sematikus nézet:

Az átlós mátrixot, amelynek kevesebb eleme van a fejátlón, ún magányos mátrix. Vaughn a következőkön keresztül jelezhető:

Az egyetlen mátrix jelzője 1, tehát E = 1.

1. feladat.

Ennek az aláírónak

ismerje az α 12, α 32 minor és algebrai komplementer elemeket. : A) jóga terjesztése az első sor elemei és egy másik spatula mentén; b) otrimavshi előre nulla az első sorban.

tudjuk:

M 12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

M 32 =
= –12+12–12–8 = –20.

Az a 12 és a 32 algebrai kiegészítő elemek hasonlóak:

A 12 \u003d (-1) 1 + 2 M 12 \u003d - (- 18) \u003d 18,

A 32 \u003d (-1) 3 + 2 M 32 \u003d - (- 20) \u003d 20.

a) Számítsa ki a vyznachnik-ot, miután jógát mondott az első sor elemei szerint:

A 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 = -3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Tegyük fel az elsődlegest egy másik oszlop elemei mögé:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

b) Számítsa ki, az első sorban elöl lévő nullákat kihagyva! Vikoristovuєmo vіdpovіdne pravіvіst vyznachnіv. Szorozzuk meg a vznachnik harmadik lépését 3-mal, és érjük el az elsőt, majd szorozzuk meg -2-vel és jutunk a következőhöz. Ekkor az első sorban egy kivételével minden elem nulla lesz. Lehetőség van a vznachnik ilyen rangra fektetésére az első sor elemeihez és a jógához:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(A harmadrendű főnöknél a nullákat ugyanazon okból vették el az első oszlopban, mint a főnökök nagyobb hatalmát.) ◄

2. feladat.

Adott az algebra lineáris inhomogén kiegyenlítéseinek rendszere

Perevirity, summіsna tsya rendszer, és a razі spіlnostі rozvyazati tsyu probléma: a) Cramer-képletek; b) további burkolt mátrixhoz (mátrix módszer); c) Gauss-módszer.

Ennek a rendszernek a felosztása a Kronecker-Capelli tétel szerint reverzibilis. Az elemi transzformációk segítségére ismerjük a mátrix rangját

DE =

adott rendszer és a kiterjesztett mátrix rangja

BAN BEN =

.

Ehhez megszorozzuk a B mátrix első sorát -2 і a másikból hajtva, majd az első sort megszorozzuk -3 і a harmadikból hajtva, a másikat і a harmadik oszlopot jegyezzük meg. vett

BAN BEN =

~

~
.

Apa, csengett DE= rang BAN BEN\u003d 3 (azaz a nem élő emberek száma). Tehát a rendszer summ_sna és maє єdiny rozvyazok.

a) Cramer-képletek mögött

x= x / , Y = y / , Z = z / ,

=
= – 16;

x =
= 64;

y =
= – 16;

z=
= 32,

tudjuk: x = 64/(– 16) = – 4, y = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

b) A járulékos burkolt mátrix mögötti rendszer megoldásának értékére az egyenletrendszert mátrix alakban írjuk fel. AH = . A rendszer mátrix formájú megoldásai láthatók x = A –1 . A képlet mögött ismerjük az inverziós mátrixot DE –1 (Vona іsnuє, tehát jak = det A = – 16 ≠ 0):

A 11 =
= – 15, A 21 = –
= 16, A 31 =
= – 11,

A 12 = –
= – 3, A 22 =
= 0, A 32 = –
= 1,

A 13 =
= – 14, A 23 = –
= 16, A 33 =
= – 6,

A –1 =

.

Rendszermegoldás:

x = =
=
=

.

Otzhe, x = –4, y = 1, z = –2;

c) A rendszert Gauss-módszerrel mérjük. kikapcsolni x másik és harmadik rivnyánból. Az első egyenlőnél megszorozzuk 2-vel, és meglátjuk a másikat, majd az első egyenlőt megszorozzuk 3-mal és látjuk a harmadikat:

Z otrimanoї rendszer ismert x = – 4, y = 1, z = –2. ◄

5. feladat.

A piramis csúcsai pontokban vannak A (2; 3; 4), B (4; 7; 3), C (1; 2; 2)і D(-2; 0; -1). Számítsa ki: a) arcfelületet ABC; b) a bordák közepén áthaladó vágás területe AB, AC, HIRDETÉS; c) obsyag piramisok ABCD.

A) Úgy tűnik, hogy S ABC =
. tudjuk:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 én + 5 j + 2 k.

Maradt hölgy:

S ABC =
=
;

b) A bordák közepe AB, napі DED pontokban legyen K (3; 5; 3,5),

M (1,5; 2,5; 3),N (0; 1,5; 1,5) . Dali maєmo:

S sich =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3,25i - 1,5j - 2,25k,

S sich =
=
;

c) Oscilki V benquet =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, azután V = 11/6 . ◄

menedzser 6

erő F = (2; 3;– 5) pontra alkalmazva A (1; - 2; 2). Számítsa ki: a) az erő munkáját! F időnként, ha a pont її zastosuvannya, egyenesen összeomlik, elmozdul a pozícióból DE pozícióban In (1; 4; 0); b) az erőnyomaték modulusa F shodo pontok BAN BEN.

A) szóval igen A =F · s , s =
= (0; 6; – 2) ,

azután F = 2 0 + 3 6 + (- 5) (- 2) = 28; A = 28;

b) Erőnyomaték M =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 én + 4 j + 12 k .

otzhe, =
= 4
. ◄

Menedzser 8.

felsők O(0; 0),A(– 2; 0) paralelogramma SLADі yogo átlók metszéspontja B (2; -2). Írja fel a paralelogramma oldalainak igazítását!

egyenlő oldal OA mondatba írhatod: y = 0 . Dali, olyan, mint egy pont BAN BENє az átló közepe HIRDETÉS(1. ábra), akkor a navpil közötti távolság képleteihez kiszámolhatja a csúcs koordinátáit D(x; y) :

2 =
, –2 =
,

csillagok x = 6 , y = –4 .

Most már ismerheti az összes többi oldal igazodását. Visszatekintve az oldalak párhuzamosságára OA і CD, Összecsukható oldalak CD: y = –4 . egyenlő oldal OD két vidomih pontból áll:

=
,

csillagok y = – x, 2 x + 3 y = 0 .

Nareshti, ismerjük az egyenlő oldalt AC, azt fogom nézni, hogy átmegy a látható ponton A (- 2; 0) párhuzamos az otthoni egyenessel OD:

y – 0 = – (x + 2) vagy 2 x + 3 y + 4 = 0 . ◄

Menedzser 9.

A trikutnik Dano felsői ABC: A(4; 3), B(– 3; – 3), C(2; 7) . tud:

a) egyenlő felek AB;

b) egyenlő magasságú CH;

c) a medián kiegyenlítése AM;

d) pont N peretina medián AMés magasságok CH;

e) a tetején áthaladó egyenes C oldalával párhuzamosan AB;

f) kiemelkedni a lényegből C az egyeneshez AB.

A) a féltékenység felgyorsítása két ponton átmenő egyenesek, Levesszük az oldal egyenértékűségét AB:

=
,

csillagok 6(x – 4) = 7(y – 3) vagy 6 x – 7 y – 3 = 0 ;

b) Vіdpovіdno to vvnyannya

y = kx + b (k = tg α ) ,

az egyenes vágási együtthatója AB k 1 =6/7 . Z urahuvannyam megérteni a vonalak merőlegességét ABі CH kutovy magassági együttható CH k 2 = –7/6 (k 1∙ k 2 = –1). pontokért C(2; 7) és vágási együttható k 2 = –7/6 magasságot adunk hozzá CH: (y – y 0 = k(x – x 0 ) )

y – 7 = – (x – 2) vagy 7 x + 6 y – 56 = 0 ;

c) A megadott képletek mögött a koordináták ismertek x, y középső M vіdrіzka időszámításunk előtt:

x = (– 3 + 2)/2 = –1/2, y = (– 3 + 7)/2 = 2.

Most két vіdomim pont Aі M egyenlő mediánt adunk hozzá AM:

=
vagy 2 x – 9 y + 19 = 0 ;

d) Egy pont koordinátáinak értékére N peretina medián AMés magasságok CH hajtsa be a kiegyenlítő rendszert

Virishyuchi її, otrimuєmo N (26/5; 49/15) ;

e) Tehát egyenes, így át lehet menni a tetején C, Párhuzamos oldal AB, Ez a vágási együtthatójuk k 1 =6/7 . Todі, vіdpovіdno to vvnyannya:

y – y 0 = k(x – x 0 ) , Egyes pontok szerint Cés vágási együttható k 1 egyenes vonalakat hajtogatni CD:

y – 7 = (x – 2) vagy 6 x – 7 y + 37 = 0 ;

f) Menj be a pontba C az egyeneshez AB kiszámítja a megadott képlet alapján:

d = | CH| =

Ennek a feladatnak a döntését az ábra szemlélteti. 2◄

Menedzser 10.

Dano chotiri pontok A 1 (4, 7, 8), A 2 (-1; 13; 0), A 3 (2; 4; 9), A 4 (1; 8; 9) . Hajtsa be a vonalat:

a) lapos A 1 A 2 A 3 ; b) egyenes A 1 A 2 ;

c) egyenes A 4 M, A síkra merőlegesen A 1 A 2 A 3 ;

d) egyenes A 4 N, Párhuzamos vonal A 1 A 2 .

kiszámítja:

e) sine kuta mizh egyenes A 1 A 4 és lapos A 1 A 2 A 3 ;

f) koszinusz kuta mizh koordinátasík Proxyés lapos DE 1 DE 2 DE 3 .

A) vikoristovuyuchi képlet síkbeállítás három ponttal, A terület síkságának tárolása DE 1 DE 2 DE 3 :

csillagok 6x - 7y - 9z + 97 = 0;

b) nézd meg két ponton átmenő egyenes vonalvezetése, Vonaligazítás DE 1 DE 2 a látványnál rögzíthető

=
=
;

c) Z megérteni az egyenes merőlegességét DE 4 M i lakások DE 1 DE 2 DE 3 láthatod, hogy az egyenes irányítóvektorának kapacitásában s tudsz normális vektort venni n = (6; – 7; – 9) lakások DE 1 DE 2 DE 3 . Todi egyenes vonal DE 4 M s urakhuvannyam kánoni közvetlen bejelentkezés a látványnál

=
=
;

d) Olyan egyenes A 4 N párhuzamos az egyenessel DE 1 DE 2 , Ezután їх a vektorok irányításához s 1 і s 2 esésként írható be: s 1 =s 2 = (5; – 6; 8) . Apa, egyenes vonal A 4 N nézhet

=
=
;

e) A képlet mögött az egyenes és a lapos közötti kuta mérete

bűn φ =

f) A szignifikancia képletre érvényes Kuta értékek lakások között

cos phi =
=
◄

Menedzser 11.

Hajtsa be a lapos síkokat, hogy áthaladjon a pontokon M(4; 3; 1) і

N(– 2; 0; – 1) pontokon áthaladó párhuzamos vonal A(1; 1; – 1) і

B(– 3; 1; 0).

Vidpovіdno képlethez egyenes vonalak igazítása a térben, áthaladni két ponton, egyenesen AB nézhet

=
=
.

Mint egy sík, amely egy ponton halad át M(4; 3; 1) , Hogy її egyenlő egy pillantással leírható A(x – 4) + B(y – 3) + C(z – 1) = 0 . Tehát hogyan tud egy sík áthaladni egy ponton N(– 2; 0; – 1) , Akkor nyerd meg az elmét

A (-2-4) + B (0-3) + C (-1-1) = 0 vagy 6A + 3B + 2C = 0.

Shukana szilánkok a sík párhuzamos az ismert egyenessel AB, majd a képletekhez megérteni az egyenesek és síkok párhuzamosságát talán:

–4A + 0B + 1C = 0 vagy 4A-C=0.

a rendszer megtörése

tudjuk C = 4 A, B = – A. Vegyük az értéket Wі B talán a shukano terület szintjén

A (x - 4) - A (y-3) + 4A (z-1) = 0.

szóval jak A ≠ 0 , akkor otrimane egyenlő egyenlő egyenlő

3 (x - 4) - 14 (y - 3) + 12 (z - 1) = 0. ◄

Menedzser 12.

ismeri a koordinátákat x 2 , y 2 , z 2 pontokat M 2 , Szimmetrikus pont M 1 (6; – 4; – 2) érzékelhető terület x + y + z – 3 = 0 .

Írjuk fel az egyenes paraméteres igazítását M 1 M 2 , Az adott síkra merőlegesen: x = 6 + t, y = – 4 + t, z = – 2 + t. Tudjuk t = 1 én, otzhe, pont M egyenes M 1 M 2 adott területtel: M (7; – 3; – 1) . szóval jak pont Mє középső vіrizka M 1 M 2 , majd vіrnі equanimity .; c) parabolák, amelyek b direktrixet alkotnak

A lineáris algebra tudáselemei fő feladattípusokra bontva, amint az a "Lineáris algebra" témaköreiben látható:

dokumentum

négyzetmátrix tud de) kiskorú elem; b) algebrai további elem; ban ben) ... tud de) kiskorú elem; b) algebrai további elem; c) її vyznachnik, otrimavshi előre nullák az első sorban. megoldás a) kiskorú elem ...

ÉN. a lineáris algebra és az analitikus geometria elemei

dokumentum

... elem mátrixok". Időpont egyeztetés. algebrai kiegészítő elem Az АіК А mátrixokat nevezzük kiskorúМік цієї mátrixok, szorzások (-1) і +-val egészen: algebrai további elem... módszer. 1. példa: Adunk egy mátrixot tud det A. Megoldás. Készítsük újra...

Megoldás: ha két mátrixot felhajtunk az első mátrix bőreleméhez, akkor hozzá kell adni egy másik mátrix elemét

Megoldás

Menj spalt; név kiskorú elem. Todi a találkozókhoz fontos (1) - algebrai további elem, Témák (2) ... Lineáris műveletek mátrixokon tud a mátrixok összege i і tvіr ... ha ez összeg, akkor szükséges tudїї jobb megoldás. ...

Módszertani ajánlások a hallgató önálló munkájának tanulmányozásához a lecke után „Matematika” tudományág a szakterülethez

Módszertani ajánlások

Ilyen bűnbakot hívnak kiskorú elem aij. nevezzék ki kiskorú- Mij. csikk: tud kiskorú elem A12 vyznachnika Mert ... egy alacsonyabb i kiskorú dorivnyuє: algebrai kiegészítő elem a főemlőst jógának hívják kiskorú vedd a sajátodat...

algebrai kiterjesztése- megérteni a mátrixalgebrát; egyenlő az A négyzetmátrix aij elemével, az aij elem mollját megszorozzuk (1) i + j-vel; jelöli Аij: Aij = (1) i + jMij, de Mij moll az A mátrix aij elemének A =, akkor a jelző ... ... Közgazdasági és matematikai szótár

algebrai kiterjesztése- A mátrix algebra megértése; egyenlő az A négyzetmátrix aij elemével, az aij elem mollját megszorozzuk (1) i + j-vel; Az Aij hozzárendelése: Aij = (1) i + jMij, de Mij az A = mátrix aij elemének mollja, vagyis a mátrix jelzője, ... ... Dovіdnik műszaki fordítás

Div. Az Art. Vyznachnik... Nagy Radianska Enciklopédia

Az M-moll szám esetében, amely egyenlő k nagyságrendű de M-mollral, az A kettős négyzetmátrix n-rendű A kettes négyzetmátrixának soraiba helyezve a számokat és a talpfákat; mátrix n k sorrendben, eltávolítva a mátrixból ... ... matematikai enciklopédia

A Wikiszótárban van egy "kiegészítés" szócikk

Művelet, amíg az ég nem vette figyelembe M egy részhalmazát adott személytelen X, egy másik részhalmazt úgy, hogy ha már van Мi N, akkor más módon frissítheti az X személytelenséget. Ez a személytelen X-nek adott szerkezet miatt fontos, . .. ... matematikai enciklopédia

Abo determináns, a matematikában a számok rögzítése négyzettáblás formában, eltérő szám esetén (a jelző értéke). Még gyakrabban, a vyznachnik értelmezése szerint, a vyznachnik az uvaziban lehet, mint a vyznachnik jelentése, így a jógikus feljegyzés formája is. ... ... Collier Encyclopedia

A tételről a divek mozdíthatatlansága elméletéből. Szobor Moivre Laplace tétele lokális. Laplace tétele a lineáris algebra egyik tétele. Nevét P'er Simon Laplace (1749 1827) francia matematikusról kapta, aki a képlet nevéhez fűződik ... ... Wikipédia

- (Laplacian mátrix) a súgómátrix mögötti gráfok egyike. A Kirchhoff-mátrix győzedelmeskedik egy adott gráf részfeszítő fáinál (mátrixtétel a fáról), és a gráfok spektrális elméletében is. Zmist 1 ... ... Wikipédia

Az egyenlőségeket matematikai párhuzamosságnak nevezzük, amely két párhuzamos egyenlőségét mutatja az algebrában. Ha az ekvivalencia igaz az ismeretlen nevének bármely megengedhető jelentésére, akkor azt azonosságnak nevezzük; például az éberség...... Collier Encyclopedia

könyveket

• Diszkrét matematika, A. V. Chashkin. 352 oldal. diszkrét matematika: Kombinatorikus elemzés, gráfelmélet, Boole-függvények, számítási hajtogatási és kódolási elmélet. Bosszú...