Operatorët e linjës në hapësirën Euklidiane. Operatori i projektimit Operatori i projeksionit të zonës

Ejani operatorin e linjës A dіє në hapësirën Euklidiane E n dhe rikrijimin e hapësirës në vetvete.

prezantuar vlerë: operator A* emërtuar me operatorin A, për dy vektorë të ngjashëm x, y s E n tregojnë barazinë e krijimeve skalare në formën e:

(Sëpatë, y) = (x, A * y)

Më shumë vlerë: operatori i linjës quhet vetë-përfitues, nëse është e nevojshme të sjellë të tijin te operatori i marrë, në mënyrë që barazia të jetë e drejtë:

(Sëpatë, y) = (x, Ay)

abo, zokrema ( Sëpatë, x) = (x, sëpatë).

Operatori vetë-shërbyes është një mjeshtër i pushtetit. Supozohet se ato janë:

Numrat Vlasny të një operatori të marrë vetë - fjalime (pa prova);

Vektorët e operatorit të vetëpërfituar janë ortogonalë. Spraved, yaksho x 1і x 2- vektorët e fuqisë, dhe  1 dhe  2 - numrat e fuqisë, atëherë: Sëpata 1 =  1 x; Sëpata 2 =  2 x; (Sëpata 1, x 2) = (x 1, sëpatë 2), por  1 ( x 1, x 2) =  2 (x 1, x 2). Oskilki  1 dhe  2 ryzni, pastaj yjet ( x 1, x 2) = 0, por duhet të paraqitet.

Në hapësirën Euklidiane të ortonormatimeve, baza e vektorëve të fuqisë së një operatori të vetë-përfituar A... Kjo do të thotë, matrica e operatorit të vetë-përftuar mund të reduktohet në një pamje diagonale në një bazë të ngjashme ortonormale, e palosur nga vektorët e fuqisë së operatorit të vetë-përfituar.

Nje me shume vlerë: quhet operator i vetëqëndrueshëm simetrike operatori. Matrica e operatorit simetrik është e dukshme. Ju solli qëndrueshmëri: Nëse operatori është simetrik, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që baza ortonormale e matricës të jetë simetrike.

Eja A- Operatori simetrik, tobto:

(Sëpatë, y) = (x, Ay)

Yaksho Aështë matrica e operatorit A, dhe xі y- Vektorët Deyaki, atëherë shkruhet:

koordinatat xі y për një bazë ortonormale për fëmijë

Todi: ( x, y) = X T Y = Y T X і maєmo ( Sëpatë, y) = (AX) T Y = X T A T Y

(x, Ay) = X T (AY) = X T AY,

tobto. X T A T Y = X T AY. Me mjaftueshëm matricat-100% X, Y Pariteti tsya mund të jetë vetëm në AT = A, dhe tse do të thotë që matrica A është simetrike.

Deyakie deyaky vënë operatorët e linjës

Operatori duke projektuar. Nuk keni nevojë të dini matricën e operatorit të linjës, e cila është projektimi i hapësirës së parëndësishme në boshtin koordinativ e 1 në bazë e 1 , e 2 , e 3 ... Matrica e një operatori linear është një matricë e tërë, në pjesën më të madhe të së cilës ka imazhe të vektorëve bazë. e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1). Imazhi është padyshim: Ae 1 = (1,0,0)

Ae 2 = (0,0,0)

Ae 3 = (0,0,0)

Otzhe, në bazë e 1 , e 2 , e 3 matrica e operatorit linear shukany matime viglyad:

Ne e dimë bërthamën e operatorit të dytë. Në fakt, thelbi është shumë vektorë pa vektorë NS për të cilën AX = 0. Abo

Kjo do të thotë, bërthama e operatorit bëhet pa vektorë, por shtrihet afër zonës e 1 , e 2 ... Madhësia e bërthamës së derës është n - rangA = 2.

Pa një operator, padyshim që nuk ka vektorë, kolinearë e 1 ... Zmadhoni hapësirën e imazheve në rrugën për në rangun e operatorit të linjës dhe rrugës 1 më pak hapësirë ​​për prototipet. Domethënë operatori A- Virogjeni. Matrica A është gjithashtu virogena.

E njëjta prapanicë: të njohë matricën e operatorit linear, e cila është e mirë në hapësirën V 3 (baza i, j, k) rikrijimi i vijës - simetria e kallirit të koordinatave.

Maєmo: Ai = -i

Dmth matrica shukan

Është e qartë linja e transformimit - simetria e zonës y = x.

Aj = i(1,0,0)

Ak = k (0,0,1)

Matrica e operatorit do të jetë:

Gjithashtu, prapanica është gjithashtu një matricë e njohur, e cila lidh koordinatat e vektorit kur rrotullohen boshtet e koordinatave. Le ta quajmë operatorin, i cili është rrotullimi i boshteve të koordinatave - operatori i rrotullimit. Është e lejuar, ka një kthesë në kut :

Ai'= cos i+ mëkat j

Aj'= -sin i+ cos j

Matrica e operatorit të rrotullimit:

Ai ‘ Aj ‘

Përcaktohet formula për konvertimin e koordinatave të një pike me një ndryshim në bazë - ndryshimi i koordinatave në zonën kur ndryshohet baza:

E Këto formula mund të shihen veçmas. Më parë, ne shikuam formulat në mënyrë që pika të ishte në vend, sistemi i koordinatave u rrotullua. Ose është e mundur të shihet, në mënyrë që sistemi i koordinatave të bëhet i padukshëm, dhe pika nga pozicioni M * në pozicionin M. Koordinatat e pikës M dhe M * janë caktuar në të njëjtin sistem koordinativ.

Kanë gjithçka që thuhet lejohet të shkojë në fillimin ofensivë, siç duhet t'u raportohet programuesve, pasi ata janë të përfshirë në grafikun në MVZ. Le të jetë e nevojshme që në ekranin e MVZ-së të kthehet figura e sheshtë deyakoi (për shembull triçikleta) në pikën O me koordinatat (a, b) në deyakiy kut . Rrotullimi i koordinatave përshkruhet nga formula:

Shtyhet paralelisht për mirëmbajtjen:

Për t'u siguruar që kjo detyrë është e plotë, duhet të filloni të përdorni një metodë pjesë-pjesë: për të futur koordinatat njëkahëshe të një pike në zonën XOY: (x, y, 1). Matrica Todi, por zdіysnyuє e transferuar paralelisht, mund të shkruhet:

Dіysno:

Dhe matrica rrotullohet:

Zavdannya, si të dukeni, mund të shihet në tre kryqe:

Kryqi i parë: transferohet paralelisht në vektorin A (-a, -b) për përmbledhjen e qendrës së rrotullimit me një kalli koordinatash:

Kryqi i dytë: kthehu në kut :

Kryqi i tretë: transferohet paralelisht në vektorin A (a, b) për kthimin në qendrën e rrotullimit në numrin e pozicioneve:

Rimishërimi i linjës Shukane në shikuesin e shikuesit të matricës:

(**)

1. Operatori i projektit

Nuk kanë hapësirë ​​vektoriale V rrugë shuma e drejtpërdrejtë e hapësirave W dhe L:. Me vlerën e shumës së vijës së drejtë, vektori i lëkurës vV përfaqësohet në mënyrë unike yak v = w + l, wW. lL.

Vlera 1. Nëse, edhe v = w + l, atëherë imazhi, duke futur vektorin e lëkurës vV në përbërësin e tij (projeksionin) wW, quhet projektor nga hapësira V në hapësirën W. Quhet gjithashtu operatori i dizajnit, ose operatori i projeksionit.

Natyrisht, nëse wW, atëherë (w) = w. Zvidsy viplyaє, do të vij te mrekullia e fuqisë 2 = P.

Vlera 2. Elementi e i K quhet іdempotent (për t'u përshtatur me një), ku e 2 = е.

Në një rreth numrash, nuk ka më dy idempotenca: 1 dhe 0. Ai në të djathtë në rrethin e matricave. Për shembull, matricat, - іdepotenti. Matrica e operatorëve të projektit është gjithashtu e pafuqishme. Këta operatorë quhen operatorë idempotent.

Tani është e qartë se shuma e drejtpërdrejtë n shtrihet në hapësirën V:

Është e ngjashme me zbritjen e një shume të drejtpërdrejtë të dy hapësirave që mund të modifikohen nga n operatorë të një projekti, ...,. Fuqia e erërave == 0 për ij.

Vlera 3. Demopotentet e i dhe e j (ij) quhen ortogonale, pasi e i e j = e j e i = 0. Otzhe, і - іdepotenca ortogonale.

Përveç kësaj, IV = V, dhe rregullat për operatorët e linjës së palosshme

Çmimi i shpërndarjes quhet shpërndarja e një njësie në shumën e іdempotentіv.

Vlera 4. Idempotent quhet minimal, sepse nuk është e mundur të paguhet për shumën e idempotentit, për shembull, për shembull 0.

2. Shpërndarja kanonike e deklaratës

Vlera e biznesit 5. Përhapjet kanonike të pohimit T (g) quhen pohimi i dytë i formës T (g) = n 1 T 1 (g) + n 2 T 2 (g) +… + nt T t (g), në të cilin pohimi ekuivalent i pareduktuar T i (g )) së bashku, dhe ni është shumësia e hyrjes së shprehjes së pareduktuar T i (g) në shpërndarjen T (g).

Teorema 1. Ka filluar shpërndarja kanonike e paraqitjes së vizës për një operator shtesë projeksioni.

I = 1, 2, ..., t, (31)

de | G | - Rendi i grupit G; m i - hapi i manifestimit të T i (g), de i = 1, 2,…, t; i (g), i = 1, 2,…, t - karakterizojnë fenomenin e pakalueshëm T i (g). Për shumë m i, filloni me formulën

3. Operatorët e projektimit të lidhur me matricat e grupeve jo të përcaktuara

Me ndihmën e formulave (31), është e mundur të eliminohet shpërndarja kanonike e deklaratës. Zagalom, duhet të shpejtoni matricat e manifestimeve jo të reduktuara, në mënyrë që të mund të lejoni shfaqjen e operatorëve të projektimit.

Teorema 2. Nekhai - elementet e matricës së shprehjes së pareduktueshme T r (g) të grupit G. Operatori i formës

є Operatori i projektit quhet operator Wigner. Në viraz (33) m r - madhësia e manifestimit T r (g).

4. Shpërndarja e parashtresës nga shuma e drejtpërdrejtë e deklaratave të paautorizuara për ndihmën e operatorit Wigner

Me anë të modulit M, lidhjet nga parashtresat e T. Nekhai janë të pakalueshme në pohimet T 1, T 2, ..., T t nga shpërndarja kanonike e deklaratës sipas metodës, të përshkruar më parë (div. ,…, M t. Vendosja e modulit të tipit M

quhen shpërndarjet kanonike të modulit M. Nga niMi = Li në mënyrë që

Modulet e pareduktuara L i është domethënëse

; i = 1, 2,…, t. (36)

Ne duhet t'i njohim këto module.

Është pranuar se është e vërtetë. Gjithashtu, moduli i lëkurës Mi (s) (s = 1, 2, ..., ni) ka një bazë ortonormale, në të cilën operatori i paraqitjeve nga matrica T i (g) është një nënndarje T e pareduktuar, e cila hidhet poshtë si një rezultat i (sipas rregullit të § 3) operatori në bazën për formulën

J = 1, 2, ..., m i. (37)

Në të njëjtën kohë, merren parasysh të gjitha variacionet, por mi është dimensioni i pohimit të pakalueshëm T i (i = 1, 2, ..., t), për më tepër, elementi i bazës me numrin g nga pidmoduli i pareduktueshëm M i. Tani elementët e bazës L i ndryshohen me i fiksuar sipas renditjes së avancuar:

Krahu i djathtë në viraz (38), baza e moduleve Mi (1), Mi (2),…, është rrotulluar. Nëse zmіnyuvati nga 1 në t, ne mund të marrim bazën e të gjithë modulit M në shukan, i cili mund të ruhet në elementë m 1 n 1 + m 2 n 2 + ... + m t n t.

Operatori tani është i dukshëm

për modulin M (j fikse). Sipas Teoremës 2, - operatori i projektit. Për këtë qëllim, operatori ka mbivendosur pa ndryshim të gjithë elementët bazë (s = 1, 2,…, ni), të renditur në virazën e j-të të njëqindtë (38) dhe ka rishkruar në zero të gjithë vektorët bazë. Për sa i përket M ij, hapësira vektoriale e tensionit në sistemin ortogonal të vektorëve duhet të jetë në virazën e j-të të njëqindtë (38). Todi mund të thuhet, є nga operatori i projektit në hapësirën M ij. Operatori i pamjes, pamjet e elementeve diagonale të matricave të grupeve jo të përcaktuara, si dhe operatori T (g).

Tani mund të tregojmë zavdannya-në tonë.

Viberemo n i vektorët bazë të mjaftueshëm M: dhe nën to nga operatori i projektit. Vektorët Otrimani shtrihen në pafundësinë M ij dhe і і і і і і і і і і. Era e keqe nuk është domosdoshmërisht ortogonale dhe normale. Ortonormalisht do të mohoj sistemin e vektorëve sipas rregullit të § 2. Do ta zbres sistemin e vektorëve kuptimisht e ij (s) nga pikëpamja e kohës së marrë nga bashkësia, e cila tashmë është e vërtetë. Yak filloi, këtu j është fikse, dhe s = 1, 2,…, n i. Le të e nëse (s) (f = 1, 2,…, j-1, j + 1,…, mi), janë elementet e bazës së modulit M i me madhësi n i mi. Në mënyrë domethënëse përmes operatorit fyes:

I njëjti raport ortogonaliteti për matricat e dukshmërisë së pazbuluar, por operatori jep mundësinë për të refuzuar e ig për një formulë

I = 1, 2,…, t. (41)

Gjithçka që tha, është e mundur të përcaktohet algoritmi fyes.

Për të njohur bazën e elementeve të modulit M, për të rikrijuar për manifestime jo të reduktuara të T i, për të marrë pjesë në skedarin T, të lidhur me modulin M, është e nevojshme:

Sipas formulës (32), vlera e madhësisë së hapësirës M ij, j-komponenti total i shprehjes së pareduktuar T i.

Të dinë për ndihmën e operatorit të projektit (39) të gjitha hapësirat M ij.

Hapësira dermale M ij ka një bazë ortonormale vibrative.

Formula Vikoristovuchi (41), për të njohur të gjithë elementët e bazës, e cila shndërrohet në përbërësin іnshі të pohimit të pareduktuar T i.

Bra- dhe ket-vektorë Ekipi i mrekullive Dirak, për ndihmë mund të shkruani різні tipi krijim

Dobutok bra-vektor në ket-vektor quhet gjizë skalar ose gjizë e brendshme. Nga dita në ditë, çmimi është një matricë standarde e matricës duke ndjekur rregullin "rresht për njëqind". Rezultati është një numër kompleks.

Tvr ket-vektor nuk është një numër, por i njëjti ket-vektor. Mund të paraqitet si vektor-sobë, por ka disa komponentë shtesë nga ana tjetër, duke përfshirë dimensionet e vektorëve të tjerë. Një tvir i tillë quhet krijuesi tensor i krijesës chi Kronecker.

Është e ngjashme për dy vektorë bra. Një vektor rresht është shumë i madh.

Mbetet të shihet se varianti shumëzohet me vektorin ket me vektorin bra. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni njëqind për rresht. Një tvir i tillë quhet gjithashtu një material përtypës tensor. Rezultati është një matricë, domethënë një operator.

Prapa e operatorëve të tillë është e dukshme.

Është një operator shumë i mirë A. Nga postulatet shihet qartë sasia që duhet promovuar. Vektorët Vlasny të operatorit ermit përbëjnë një bazë. Vektori më domethënës mund të zgjerohet përtej bazës zim. Të jetë në gjendje të kuptojë shumën e vektorëve bazë me koeficientët kompleks njëjës. I gjithë fakti shihet si parimi i mbivendosjes. Është i rishkruanshëm viraz përmes shenjës së sumit.

Aleksei kofіtsієnti në shpërndarjen e vektorit me bazë є amplituda e imovirnostі, në mënyrë që shtimi skalar i vektorit do të bëhet me vektorin bazë të përbashkët. Ne mund të shkruajmë amplituda e personit të djathtë nga vektori. Viraz me shenjën e sumit mund të jetë një shumësi ket-vektorësh në një numër kompleks - amplituda e i-mn. Në anën tjetër, ju mund të shikoni një numër matricash, një shumëfish të vektorit ket në vektorin bra dhe vektorin ket-dalës. Vektori ket mund të fajësohet për shenjën sumi nga harku. Djathtas dhe lіvoruch shenjë e dëshirës për të shkëlqyer përmes atij vektori psi. Kjo do të thotë që e gjithë qesja e asgjësë nuk duhet të grabitet nga vektori dhe nga çdo një prej matricave më të shtrenjta.

Formula tsya yak taka është edhe më e çuditshme kur manipulohen viraset me zgjidhjet e vektorëve bra dhe ket. Mund të futni një të vetme në të njëjtën kohë.

Një çudi që është një matricë, e cila përfshihet në një thes dhe zotërohet nga materiali tensor i vektorit ket-bazë në rezultatet e veta ermitike. E di, për hir të saktësisë, ne do të nxjerrim një analogji me vektorë të veçantë në një hapësirë ​​të parëndësishme.

Vektorët me bazë vibruese ex ey dhe ez, të cilët ndodhen pikërisht pranë boshteve të koordinatave. Shtimi tensor i vektorit ex në çiftin e tij do të përfaqësohet nga matrica fyese. Një vektor shumë i mirë v. Çfarë do të ndodhë kur ka matrica të shumta për vektor? Matrica Qi zvogëloi lehtësisht të gjithë përbërësit e vektorit krym x. Rezultati i vektorit të daljes ka vektorin bazë p.sh. Vazhdo, matrica jonë nuk është një operator projeksioni.

Dy operatorë projeksionesh, të cilët mungojnë, në bazë të vektorit ey dhe ez shihen si matrica të ngjashme dhe kanë një funksion të ngjashëm - ata zero të gjithë komponentët e njëjtë të vektorit.

Çfarë do të ndodhë para orës së takimit të operatorëve në projeksion? Me pak fjalë, për shembull, operatorët Px dhe Py. Një matricë e tillë është e pavlefshme pa z-komponentin e vektorit. Vektori i çantës do të jetë gjithmonë brenda zona x-y... Kjo do të thotë, operatori i projeksionit në zonën x-y mund ta bëjë atë.

Tani është e zgjuar, pse të gjithë operatorët në projeksion janë në bazë të vektorëve të matricës së vetme të rrugës. Në aplikimin tonë, ne mund të pranojmë projeksionin e vektorit trivial në hapësirën e parëndësishme. Një matricë gjatë ditës dhe і nga projektori vektor në vetvete.

Shko tek kreu i operatorit të projektimit është e barabartë me hapësirën e hapësirës së projektimit. Ky lloj i hapësirës së parëndësishme Euklidiane mund të ketë të njëjtën linjë, e cila mund të vendoset nga një vektor ose zonë dydimensionale, e cila mund të vendoset nga një palë vektorësh.

Duke iu kthyer mekanikës kuantike me vektorë do të qëndroj në hapësirën e Gilbertit, mund të thuhet se operatorët e projeksionit vendosin hapësirën dhe projektojnë vektorin në të gjithë hapësirën e Gilbertit.

Të udhëhequr nga autoritetet kryesore të operatorëve në projeksion.

1. Hera e fundit që ruhet i njëjti operator projeksioni është i barabartë me një operator projeksioni. Emërtoni fuqinë për të shkruar si P 2 = P. Vërtetë, nëse operatori i parë ka projektuar një vektor në hapësirë, tjetri nuk ka asnjë lidhje me të. Edhe vektori tashmë është zhvendosur në një gamë të gjerë hapësirash.
2. Operatorët e projeksionit - nga operatorët e emetimit, me sa duket, në mekanikën kuantike, ata tregojnë vlerat që mbështeten.
3. Operatorët më të rëndësishëm në projeksion, pavarësisht nëse madhësia e hapësirës është më shumë se një dhe zero. Ekziston një vektor afër hapësirës së hapur ose nuk është. Nëpërmjet një binariteti të tillë, se si operatori i projeksionit përshkruan vlerën që mund të promovohet, është e mundur të formulohet ushqimi në shikues, do të them "so" ose "ni" në jak. Për shembull, pse rrotullimi i elektronit të parë në stacionin e vetëm janë deri në boshtin z? Një ushqim i tillë mund të sigurohet nga operatori i projektimit. Mekanika kuantike lejon respektimin e cilësisë së formës "so" dhe formës "ni".

Nadal po flet për operatorin në projeksion.

Matrica e operatorit linear

Nekhai është një operator linjë, dhe ka shumë hapësirë ​​dhe shumë prej tyre.

Baza është vendosur: në i v.

I vendosur: për një vektor të mjaftueshëm, llogaritni koordinatat e vektorit në bazë.

Prezantoni një matricë të rreshtave vektoriale, e cila mund të ruhet në vektorë në bazë, ne mund ta bëjmë atë:

Çuditërisht, është e njëjta gjë përmes linjës së operatorit.

Ne vendosim sistemin e vektorëve në bazë:

,

Njëqind e pesëdhjetë matrica є njëqind koordinata vektoriale në bazë.

Matimemo e mbetur:

Otzhe, për të llogaritur njëqind koordinatat e një vektori nga një bazë vibruese e një hapësire tjetër, mjafton të shumëzoni njëqind koordinata të një vektori nga një bazë vibruese e hapësirës së parë në matricë, për të shtuar deri në njëqind koordinata imazhesh. e vektorëve bazë në hapësirën e parë në bazën e një hapësire tjetër.

Matrica quhet një matricë e një operatori linear në një çift të caktuar bazash.

Matrica e një operatori linear, e cila mund të përcaktohet me të njëjtën shkronjë, është vetë operatori, ale pa shkronja të pjerrëta... Ne do të jemi fitimtarë dhe gjithashtu kuptimplotë: , duke lënë jashtë bazën më të shpeshtë për bazën (e cila është mënyra më e mirë për saktësinë e shkodit).

Për ri-zbatimi linear(tobto, nëse ) mund të flisni për yogo matricat në një bazë të caktuar.

Prapa jak mund të dallohet nga matrica e operatorit e prapanicës së projektuar fq. 1.7 (vvazayuchi duke riimagjinuar pafundësinë e vektorëve gjeometrikë). Baza e Yak është viberemo.

Gjithashtu, matrica e operatorit është projektuar për zonën në bazë të ma viglyad:

Është e mahnitshme sesi operatori i projektit dukej sikur u vizualizua në mendje përpara se hapësira e të gjithë vektorëve gjeometrikë të mbetej, por të shtrihej afër zonës, atëherë, nëse shpatet do të ishin në bazën e bazës, ne mund ta shihnim atë si matricë:

Matrica mund të shihet si një operator linear, i cili përfaqëson një hapësirë ​​aritmetike në një hapësirë ​​aritmetike, dhe një bazë kanonike vibrohet në hapësirën e lëkurës, një bazë kanonike mund të njihet, por matrica e një operatori të caktuar të çiftëzuar linear është Matrica dhe operator linear є të njëjtat hapësirë ​​vektoriale vektori і 100 koordinata në bazën e dhënë і mund të vizatohen). Ale bulo b ototozhnuvati me një mëshirë të vrazhdë vektor jak takiyі operatori i linjës jak të tilla nga їх parashtresa nga e njëjta bazë (nga shikuesi ka qindra matrica). І vektori, і operatori i linjës janë objekte gjeometrike, të pandryshueshme, të numëruara në mënyrë të pavarur nga çdo bazë... Po kështu, për shembull, ekziston një vektor i vogël gjeometrik jak i shtrirjes së disqeve, vlerat janë gjithmonë të pandryshueshme, tobto. për ne, meqenëse është i vogël, nuk është shumë për bazat, sistemet e koordinatave dhe ne mund të veprojmë thjesht gjeometrikisht. Іnsha rich, scho për shkathtësinë i gjithë operacioni, për lehtësinë e llogaritjes me vektorë, unë do të jem një aparat singular i algjebrës, duke futur sisteme koordinative, baza dhe lidhur me to është një teknikë algjebrike e llogaritjes së mbi vektorëve. p align = "justify"> Në mënyrë figurative, me sa duket, një vektor, si një objekt gjeometrik "i shenjtë", "përshtatet" në koordinata të ndryshme në prani të një baze vibrimi. Nëse një lyudin mund ta gjejë veten në një leckë shumë të mirë, për sa i përket çështjes që njerëzit nuk mund të shqetësohen, nëse nuk është për një leckë për të shkuar në këtë, nuk është koha e mirë për të shkuar në plazh. skryz ecin. Pra, nëse nuk ka bazë për të shkuar për zhvillimin e projektit, atëherë zgjidhja shumë dhe thjesht gjeometrike mund të paloset. Meqë ra fjala, në kursin tonë, sa i përket teorisë së të tillëve, do të doja, është një problem thelbësisht gjeometrik, si një klasifikim mbi një renditje tjetër, do të përpiqem të plotësoj atë teori të bukur të algjebrës.

Shkathtësia e vizionit të objektit gjeometrik nga i cili në atë bazë të veçantë do të bëhet baza për zhvillimin e algjebrës lineare. Por vetë vektori gjeometrik nuk është fajtor për objektin gjeometrik. Pra, mund të vendosim vektorin aritmetik , atëherë është e mundur të ndërlidhen koordinatat zero me bazën kanonike , Bo (div. Semestri i parë):

Dhe nëse prezantojmë një bazë të re y, mund të shtojmë deri në vektorë і (inverto, baza është e saktë!)

Ne hoqëm dorë nga i njëjti vektor aritmetik.

Ajo që është thënë për vektorin mund të ruhet para operatorëve linearë. Ato, të cilat janë vektori є koordinata nuk është e përcaktuar, siç është matrica e operatorit linear є.

Përsëri (përsëriteni përsëri), është e nevojshme të ndërhyhet me lehtësi nga forcat e fuqisë së objekteve të pandryshueshme, gjeometrike, si vektori dhe operatori i linjës, dhe manifestimi i të njëjtës bazë (Shko, mend, merr parasysh linjat e pafundme të hapësirës).

Ne do të kujdesemi për detyrën e riimagjinimit të matricës së operatorit të linjës gjatë kalimit nga një bazë bast në të parën.

Eja - një palë e re bazash në tip.

Todi (që do të thotë matrica e operatorit në çifte bazash "të çelura") është e dallueshme:

Ale nga ana e brendshme,

,

yjet, nëpërmjet uniformitetit të përhapjes së vektorit për bazën

,

Për një transformim linear, formula për ënjtjen është më e madhe se ajo e thjeshtë:

Matrica dhe, të lidhura me marrëdhënie të tilla, quhen marr.

Është e lehtë të bachiti, si të përcaktohet përkufizimi i matricave të tilla.

Prezantuar tani kuptoj gradën e operatorit të linjës.

Për vlerën e numrit, i cili është i përshtatshëm për madhësinë e imazhit të operatorit të dhënë:

Ju solli një qëndrueshmëri kaq të rëndësishme:

Tverdzhennya 1.10 Rangu i operatorit të linjës Rangu i matricës yth është i pavarur nga zgjedhja e bazës.

Dovedennya... Përpara, dukshëm, imazhi i operatorit linear është guaska lineare e sistemit, de - baza për pafundësinë.

E drejtë,

nëse nuk është një numër boolean, ale tse і do të thotë, por është në guaskën e linjës së specifikuar.

Madhësia e guaskës së linjës, siç shihet (ndarja P. 1.2), merr gradën e sistemeve të tipit dhe vektorëve.

E kemi sjellë më parë (fq. 1.3) se sistemi i vektorëve është shtruar sipas bazës së jakut.

atëherë për arsye të pavarësisë së sistemit prej 100 matricash, linearisht të pavarur. Ju mund të sillni qëndrueshmëri më të fortë (asnjë provë nuk hiqet): rangu i sistemit dhe matricat Për më tepër, rezultati nuk qëndron në bazën vibor, pasi shumëzimi i matricës në matricën jo të virgjër nuk e ndryshon renditjen.

Oskilki

,

Pra, siç, padyshim, janë vendosur radhët e matricave, atëherë Rezultati danez për të përcaktuar një zgjedhje të një baze specifike.

Tverdzhennya është sjellë.

Për linjë duke ripërcaktuar deyakogo kintsevogo prejardhja deri në pafundësi, ne mund të propozojmë dhe kuptojmë përcaktor i dhënë duke ripërcaktuar si përcaktues i kësaj matrice në një bazë mjaft fikse, më shumë një matricë e transformimit linear në baza të ndryshme të një lloji, por edhe, ndoshta e njëjta përcaktor.

Kuptimi fitimtar i matricës së operatorit linear, solli më shumë rëndësi në mënyrën e komunikimit:

Viberemo është baza për hapësirën. Bërthama ruhet në heshtje dhe pa vektorë, njëqind koordinata prej të cilave janë thelbi i zgjidhjes së një sistemi të njëanshëm.

por vetë vektori është vetëm një dhe i vetëm, megjithatë, ai është zgjidhja e sistemit (1).

Në fakt, është e lehtë të futet izomorfizmi i kernelit në hapësirën e zgjidhjes së sistemit (1). Otzhe, hapësira e hapësirës po rritet. Alle hapsira e zgjidhjes se sistemit (1) rruge, sic dihet,, de - rangu i matrices. Ale mi schoino solli, scho