Mbledhja algjebrike e elementit aij. Minori dhe shtesa algjebrike

MinoromM ij element një ij vizitor n -rendi i thte quhet percaktues i rendit ( n-1 ). i -y rreshta i j stovpchik).

shtesë algjebrike element një ij pyet viraz:

Renditja e kartave të biznesit n>3 të llogaritet sipas teoremës shtesë të tabelës për elementët e rreshtit, që mungojnë:

Teorema. Mbajtësi i kartës së biznesit për shumën e elementeve shtesë të çdo rreshti, ose të çdo njëqind në bazë të elementeve shtesë algjebrikë, për

Prapa.

Llogaritni viznaçnikën duke e zgjeruar sipas elementeve të rreshtit, me abstenim:

Vendimi

1. Nëse ka vetëm një element në çdo rresht të vetëm, për njëqind e një element është i pranishëm, ai shfaqet nga zero, atëherë nuk ka nevojë të rikrijohet emëruesi i formës. Në radhë të parë, herën e parë që vendosni teoremën për përhapjen e pronarit të biznesit, përveç kësaj, fitimtari nuk ka fuqi: edhe para elementëve të rreshtit (njëqind për qind) të shtoni të renë. elementet e rreshtit të ri,

Ka 3 elementë të rreshtit 3 të të njëjtit lloj elementësh të rreshtit 2.

Nga zërat e njëqind e katërfishit të secilit prej artikujve të njëqind nga tre, shumëzuar me 2.

Kuti me pakicë për elementët e rreshtit të tretë

2. Otrimaniy viznachnik i rendit të tretë mund të llogaritet sipas rregullit të trikutnik_v ose sipas rregullit të Sarrus (hyjnore). Sidoqoftë, elementët e vizitorit є mund të përfundojnë me një numër të madh, kështu që vizitori mund të shpërndahet, duke pasur përballë të rishkruan yogo:

Nga elementët e rreshtit tjetër, elementët e shfaqur të rreshtit të parë shumëzohen me 3.

Nga elementët e rreshtit të parë, mund të shihen elementët e rreshtit të tretë.

Deri në elementët e rreshtit 1 deri në të njëjtin lloj elementësh të rreshtit 2

Mbajtësi i kartës së biznesit me një rresht zero rrugësh 0.

Otzhe, viznachniki urdhër n>3 llogaritur:

· Perevorenniyam viznachnik për të tricut viglyadu për ndihmën e autoriteteve viznachnikiv;

· Razkladannyam viznachnik për elementet e termit abo stovptsi, në vetvete duke reduktuar rendin.

Rangu i matricës.

Rangu i një matrice është një karakteristikë e rëndësishme numerike. Naycharacteristicheshuyu zavdannyam, kështu që vimagaє e di gradën e matricës, є rishikimin e spiritualitetit të sistemit të ekuivalentëve algjebrikë linearë.

nga matrica A urdhëroj fq x n ... hej k - është një numër natyror, pasi unë nuk i shtrembëroj numrat më të vegjël z fq і n , tobto,

Rendi i vogël k-të matricat A të quhet matricë katrore sipas renditjes k x k , I palosur me elementë matricë A , di të jem në sfondin e dridhjeve k rreshtat i k bulonave, për më tepër, ngritja e elementeve në matricë A zberіgaєtsya.

Matrica është e dukshme:

Mund të shkruajmë një numër të vogël minoresh në rendin e parë të të gjithë matricës. Për shembull, rreshti i tretë vibrues dhe matricat e tjera A Pastaj, me zgjedhjen tonë, rendi i parë i det (-4) = - 4 u sugjerua nga zgjedhja jonë. A , Dhe për humbjen e elementit, vunë një visnatnik.

Një renditje e tillë, minoret e rendit të parë të matricës janë vetë elementët e matricës.

Tregohet një numër i vogël i të miturve në një renditje të ndryshme. Vibruese dy rreshta ose dyqind. Për shembull, unë ulem me njëri-tjetrin në rreshtat, dhe të tretën dhe të katërtat e njëqind. Me një dridhje të tillë, i mituri është i një rendi tjetër
.

Minor i një rendi tjetër matricë Aє e mitur

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të njihni rendin e tretë të matricës A ... Pra jak në matricë A të tre rreshtat, atëherë gjithçka mblidhet. Sapo para rreshtave tsikh, vibroni tre tenxhere të para, atëherë mund të marrim një minor të rendit të tretë:

Інshim minor i rendit të tretë є:

Për një matricë të caktuar A te miturit nuk gjenden urdhrat e te tretit, pra jak

Skіlіk i ісnu të mitur k -Uau renditja e matricës A urdhëroj fq x n ? Çimalo!

Numri i të miturve në porosi k mund të llogaritet me formulën:

rangu i matricës rendi më i mirë quhet minor i matricës, lloji i zeros.

Rangu i matricës A do të thotë jak rang (A). Për rangun e matricës dhe minorin e matricës, është e mundur të krijohen modele, por rangu i matricës zero është kryesisht zero, dhe renditja e matricës jo-zero nuk është më pak se një.

Gjithashtu, me metodën e parë të përcaktimit të renditjes së matricave є metoda për regjistrimin e të miturve ... E gjithë metoda e caktimit në gradën e caktuar të matricës.

Na tregoni rangun e matricës A urdhëroj fq x n .

Nëse ka një element të matricës, i dhënë si zero, atëherë rangu i matricës është po aq minimal sa i pari (pra është i pari në rendin e parë, por jo i barabartë me zero).

Dal kalon përmes të miturve të një rendi tjetër. Nëse të gjithë të miturit e një rendi të ndryshëm shkojnë në zero, atëherë renditja e matricës është kryesisht e vetme. Nëse duam të kemi një minor jozero të një rendi tjetër, atëherë kalojmë në kërkimin e minoreve të rendit të tretë, dhe rangu i matricës si minimum është dy.

Në mënyrë të ngjashme, nëse të gjithë të miturit e rendit të tretë çojnë në zero, atëherë renditja e matricës është dy. Nëse dua b një minor të rendit të tretë, i dhënë në zero, atëherë rangu i matricës si minimum është tre, dhe ne shkojmë në numërimin e minoreve të rendit të katërt.

Natyrisht, rangu i matricës nuk mund të ndryshohet nga numri më i vogël fq і n .

Prapa.

Njihni rangun e matricës
.

Vendimi.

1. Meqenëse matrica është jozero, atëherë renditja nuk është më pak se një.

2. Të mitur të një rendi tjetër
nga zero, nga e njëjta, rang matricë A jo mensh dy.

3.minor i rendit të tretë

Të gjithë të miturit e rendit të tretë çohen në zero. Për këtë, rangu i matricës është dy.

zilja (A) = 2.

Mësoni rreth metodave të përcaktimit të renditjes së matricës, të cilat ju lejojnë të korrigjoni rezultatin me robotët më të vegjël numërues.

Një nga këto metoda є Metoda e të miturve të shëndetshëm ... Me metodën fitimtare të përllogaritjes, thumbi do të përshpejtohet, e megjithatë era e keqe do të përfundojë me stuhitë.

Ekziston një mënyrë tjetër për të njohur gradën e matricës - për ndihmë shtesë ribërja elementare(metoda e Gausit).

Transformimi i ardhshëm i matricës quhet elementare :

· Ndërrimi i rreshtave (ose tapave) të matricave nga minjtë;

Shumëzimi i të gjithë elementëve të një rreshti të caktuar (stifte) të një matrice me një numër të madh k, Pamje nga zero;

Mbledhja në elementet e një rreshti të caktuar (stivo) e elementeve të caktuara të rreshtit të parë (njëqind) të matricës, shumëzuar me një numër të madh k.

Matrica B quhet matricë ekuivalente A, yaksho V otriman s A për një numër shtesë elementësh të rishikimit. Ekuivalenca e matricave shënohet me simbolin « ~ » , Tobto, regjistrohu A ~ B.

Njohja e renditjes së matricës pas shtimit të transformimit elementar të matricës bazohet në ngurtësimin: çfarë është matrica V shkurtohet nga matrica A përveç numrit fundor të shndërrimeve elementare, atëherë r ang (A) = rang (B) , Tobto radhët e matricave ekuivalente рвні .

Thelbi i metodës së transformimit elementar të polaritetit në matricën e dhënë, rangun e së cilës duhet ta dimë, në trapezoidale (ndërkohë në trekëndëshin e sipërm) për transformimin elementar shtesë.

Renditja e matricave të këtij lloji është shumë e lehtë për t'u njohur. Ka disa rreshta rreshtash, por një element jo zero do të ishte i dëshirueshëm për t'u hakmarrë. Dhe meqenëse rangu i matricës nuk ndryshon kur kryhet rikrijimi elementar, atëherë vlera do të refuzohet si rang i matricës.

Prapa.

Përdorimi i metodës së shndërrimit elementar për të njohur rangun e matricës

.

Vendimi.

1. Unë jam i shpejtë për të shkruar dhe në një rresht tjetër të matricave A Pra element jak a 11 = 0, Një element një 21 pamja e zeros:

~

Në matricën otriman_y, elementi është një i vetëm. Në rreshtin e parë, ishte e nevojshme të shumëzoheshin elementët e rreshtit të parë me. Zrobimo të gjitha elementet e stovpçikut të parë, krim i pari, zero. Rreshti tjetër ka zero në të njëjtën є, deri në rreshtin e tretë dodamo persh, shumëzuar me 2:

Elementi në matricën e shkurtuar shfaqet si zero. Shumëzoni elementet e një rreshti tjetër me

Njëqind për qind tjetër e matricës së shkurtuar është e një lloji të dobishëm, pasi elementi tashmë është i shtrenjtë në zero.

Pra jak , a Kjo mbahet mend në çerekun e tretë dhe të katërt të pirgjeve dhe rreshti i tretë i matricës së shkurtuar shumëzohet me:

Matrica e dhënë i jepet trapezoidit, dhe renditja e numrit të mëparshëm të rreshtave, në mënyrë që të kërkohet një element jo nul. Ekzistojnë tre rreshta të tillë, dhe rangu i matricës mëmë është tre. r ang (A) = 3.

Matrica Zvorotna.

Merrni matricën maєmo A .

Matrica, matrica unazore A , Quhet matricë A -1 taka, karrierës A -1 A = A A -1 = E .

Matrica Zvorotn_y mund të përdoret vetëm për një matricë katrore. Për më tepër, është vetë є.

Në mënyrë që një matricë katrore e vogël zorotny, ajo është fajtore për një jo të virgjër (tobto Δ ≠0 ). Qia umova dhe mjaft A -1 në matricë A ... Otzhe, nëse matrica është jo virulente, unë do të kthehem dhe, para kësaj, do të jem vetëm.

algoritmi i njohurive matricë e mbështjellë në matricën e prapanicës A :

1. Ne e dimë shabllonin e matricës. yaksho Δ ≠0 Pastaj matrica A -1 isnu.

2. I palosshëm nga një matricë Në elementet shtesë algjebrike të matricës hyrëse A ... Tobto në matricë V element i - rreshti i parë i j - Shekulli do të jetë shtesë algjebrike Një ij element një ij matricë jashtë kutisë.

3. Transpozoni matricën V і і primaєmo B t .

4. Dihet që matrica rrotullohet duke shumëzuar matricën e fikur B t nga numri .

Prapa.

Për një matricë të caktuar, njihni inversionin rrotullues dhe viconati:

Vendimi

Do të përshkruajmë shpejt algoritmin për njohjen e matricës së mbështjellë.

1. Për përcaktimin e matricës së ziles, është e nevojshme të llogaritet madhësia e matricës së dhënë. Skoristaєmosya sipas rregullit të trikutnikiv:

Matrica є jo e virgjër, po, është një ujk.

Ne e dimë mbledhjen algjebrike të të gjithë elementëve në matricë:

Nga shtesat e njohura algjebrike, mblidhni matricën:

i transpozoj

Nëse e keni rritur elementin e lëkurës së matricës së prerë në mjetin e formatimit, do të mund ta shihni matricën dhe do të rezultojë të jetë:

Rindërtimi i lidhjes me shumë matrica të ndryshme në listë. Sa herë që matrica rrotulluese njihet saktë, si rezultat i pamjeve të shumta, matrica është e vetme.

Për njohjen e matricës së mbështjellë për të dhënën, është e mundur të përshpejtohet metoda e Gausit (kërcënëse, përpara, duke kënduar, matrica është e kundërt), do të shikoj atë që kërkoj për një robot i pavarur.

Pa një rishkrim të matricës, shablloni është i lehtë për t'u përdorur vetëm për matricat me madhësi 2 × 2 dhe 3 × 3. Mundohuni të ndiqni formulat:

për matricën

projektuesi i skedarëve:

për matricën

projektuesi i skedarëve:

a11 * (a22 * a33-a23 * a32) -a12 * (a21 * a33-a23 * a31) + a13 * (a21 * a32-a22 * a31)

Rozrakhunki për matricat me madhësi 4 × 4 dhe janë të përdredhur, kështu që ato duhet të ridizajnohen sipas autoritetit të projektuesit. Është e nevojshme që në mënyrë pragmatike të mohohet matrica, në të cilën të gjitha vlerat e skajit prej njëqind për qind, ose çfarëdo rreshti, shtojnë zero. Zbatimi i një matrice të tillë:

Për të, emri i stilistit:

A12 * (a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41))

Për të brutalizuar respektin, shko

a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41)

llogaritja e përcaktorit të matricës, në bazë të numrit të rreshtave dhe numrit të rreshtave, mbi të cilat ka vetëm jo zero rreshta / rreshta CNC, sipas të cilave është paraqitur matrica:

Nëse vlerat refuzohen, ai shumëzohet me të njëjtin numër, nga rafti / rreshti "zero", për të cilin numri mund të shumëzohet me -1 (të gjitha detajet janë më të ulëta).

Nëse e çoni matricën deri te shikuesi i shkurtimeve, atëherë tabela e emrit do të numërohet si një numër shifrash sipas diagonales. Për shembull, për matricat

Mbajtësi i kartës së biznesit:

Në mënyrë të ngjashme, riparimet me matrica 5 × 5, 6 × 6 dhe dimensione të mëdha.

Rikrijimi i matricës kërkohet të përcaktohet sipas autoriteteve të vizitorit. Ale persh nіzh shkoni në praktikën e llogaritjes së kartës së projektimit për matricat 4 × 4, le të kthehemi te matricat 3 × 3 dhe është e qartë në detaje se si të llogaritet karta e projektimit për to.

e mitur

Dizenjuesi i matricës nuk është edhe më i thjeshtë për inteligjencën, një reflektim në të kuptuarit e pranisë së rekursionit: dizajnuesi i matricës ruhet nga elementët e dekadës, duke përfshirë matricat e projektuesit.

Mos u ngecni në një kompjuter, le të jemi në një kohë (kohë pas ore) në mënyrë të pranueshme,

llogaritet si më poshtë:

Ne ende do të i zgjuarі në kuptime të tilla jak e miturі shtesë algjebrike.

Shkronja i qëndron për numrin rendor të aksioneve, shkronja j është numri rendor i dyqanit.

a ij tregon elementin e matricës (shifrore) në vijën kryq të rreshtit i që është j qindta.

Natyrisht, është një matricë, pasi është nxjerrë nga pamjet dalëse të rreshtit i dhe numri i njëjtë i j. Shablloni i matricës së re, siç është nxjerrë nga dalja e rreshtit i dhe 100 j, quhet M ij i vogël i elementit a ij.

E thënë në mënyrë ilustruese. Supozohet se është dhënë matrica

Për t'i caktuar elementit të vogël M 11 një 11, duhet të vendosim një matricë të re, ndërsa kalojmë nga pamjet e rreshtit të parë dhe të njëqindës së parë:

І numëroni për emrin e saj: 2 * 1 - (-4) * 0 = 2

Për t'u caktuar elementëve të vegjël M 22 një 22, duhet të fusim një matricë të re, në mënyrë që të mund të hyjmë nga pamja e një rreshti tjetër dhe një lidhjeje tjetër:

Numëroni emrin e saj: 1 * 1 -3 * 3 = -8

shtesë algjebrike

Mbledhjet algjebrike A ij për elementin a ij quhen M ij i vogël i elementit, marrë me shenjën "+", si shuma e indekseve në rreshtat і 100% (i + j), në përmbysjet që janë me vlerë elementët e njohur, çifti, gjithashtu shuma e indekseve është e paçiftuar.

Në një gradë të tillë,

Për matricën e aksioneve të përparme

A 11 = (-1) (1 + 1) * (2 * 1 - (-4) * 0) = 2

A 22 = (-1) (2 + 2) * (1 * 1 -3 * 3) = -8

Llogaritja e matricës për matricat

Rendi i numëruar n, i dhënë nga matrica A, është numri që shënohet me det A dhe llogaritet me formulën:

Të gjithë i dimë të njëjtat formula, tani le të kemi një ide të mirë të matricës për

Çdo bi nuk është një numër rreshti i = 1, 2, ..., n, por vetëm j = 1, 2, ..., n shënues i rendit të n-të për elementë shtesë të elementeve të rreshtit.

Përcaktori Tobto mund të llogaritet me çdo njëqind ose me çdo rresht.

Schob është kthyer në tërësi, është e mundur të llogaritet madhësia e matricës për matricën nga prapanica e fundit në dy kolona

Yak bachimo, rezultati është identik dhe për të gjithë matricën, emëruesi ndoshta do të jetë -52 direkt nga ai, në çdo rresht ose në çdo kolonë, ne do ta përdorim atë.

Autoriteti i projektuesit të matricës

1. Rreshtat dhe të qindtat e emërtuesit janë të barabartë, d.m.th. Ky operacion quhet Transpozimi i Vizitorit. Në varësi të fuqisë së formuluar det A = det AT.
2. Kur riorganizoni dy rreshta (ose dyqind për qind) me anë të dy rreshtave, mbajtësi i kartës merr vlerën e saj absolute, por e ndryshon shenjën në të kundërtën.
3. Mbajtësi i kartës me dy rreshta identikë (thjesht) deri në zero.
4. Shumëzimi i të gjithë elementëve të numrit të rreshtit (ose të numrit të njëqind) të emëruesit me numrin λ është i barabartë me shumëzimin e emëruesit me numrin λ.
5. Nëse të gjithë elementët e një rreshti të caktuar (ose qoftë një depo) e mbajtësit të kartës së biznesit janë zero, atëherë vetë mbajtësi i kartës është zero.
6. Nëse elementët janë dy rreshta (ose dyqind) të mjetit të formatimit, atëherë mjeti i formatimit është për zero.
7. Edhe para elementeve të një rreshti (ose një të qindtën e caktuar) të mbajtësit të kartës për të shtuar një rresht të vetëm elementesh (kravatë e parë), shumëzuar me një faktor të rëndësishëm λ, atëherë madhësia e mbajtësit të kartës nuk ndryshon.
8. Shuma e elementeve shtesë të çdo rreshti (qoftë një element kryesor) i mbajtësit të kartës për të gjithë elementët shtesë algjebrikë të çdo rreshti (nëse është lidhja e parë) do të shtohet në zero.
9. Të gjithë elementët rreshti i-të Dizajneri është i përfaqësuar në viglyad sumi dy doodanks a ij = b j + c j atëherë projektuesi është në dvokh sumi, në të gjitha rreshtat, përveç i-të, si dhe në dizajnerin e dhënë, rreshti i i-të në njërin nga dyqanet për të ruajtur b j elemente, dhe në tjetrin - c j elemente. Fuqia analoge është e vërtetë edhe për njëqind përfaqësuesit e vizitorit.
10. Faqeshënuesi shtoni dy matrica katrore për të shtuar një matricë tjetër katrore: det (A * B) = det A * det B.

Për llogaritjen e mbajtësit të kartëvizitës, qoftë në çdo mënyrë, mund të përdorni metodën e uljes së rendit të mbajtësit të kartëvizitës. Për tsyo respektoni rregullin e përhapjes së viznachnika për elementët e rreshtit në mënyrë jonormale. Një mënyrë tjetër për të numëruar një vizitor në një fushë është që, për hir të ripërpunimit elementar shtesë me rreshta (thjesht), i pari për gjithçka deri tek vizitori 4 dhe 7, sillni vizitorin në formular, për matricat katrore) të gjitha elementët kthehen në zero. Todi është projektuesi i dokumenteve për artikujt shtesë që janë roztasvanih në diagonale të kokës.

Kur llogaritni përcaktuesin për uljen e ditës së fundit në rendin për një ndryshim në sasinë e robotit llogaritës dhe për fuqinë shtesë prej 7 përcaktimesh, do të jeni në gjendje të rivendosni në zero një pjesë të elementeve të një rreshti të caktuar, ose qoftë një kalkulator shtesë, për të ndryshuar numrin e atyre shtesë.

Reduktimi i matricës në shikuesin e shkurtimeve, duke ri-mishëruar matricën

Metodat e paraqitura nuk janë mjaft fitimtare për matricat 3 × 3, por unë do të shpjegoj thelbin e metodave në një aplikim të thjeshtë. Shpejt si një matricë, për të cilën tashmë kemi respektuar një vizitor - do të jetë më e thjeshtë për ne të rishqyrtojmë korrektësinë e llogaritjes:

Vikoristovuchi është fuqia e 7-të e mbajtësit të kartës së biznesit, nga një rresht tjetër i treti, shumëzuar me 2:

Nga rreshti i tretë, mund të shihen elementët e rreshtit të parë të mbajtësit të kartës, shumëzuar me 3:

Pra, si elementet e stilistit, roztashovani nga diagonalja e kokës, në 0, më pas, nga e njëjta, shtoni elementë shtesë, roztashovani në diagonale të kokës:

1*2*(-26) = -52.

Yak Bachimo, e kam parë nga njerëzit që ishin dekurajuar më parë.

Le të marrim me mend formulën për formatin e matricës:

Përcaktor - shuma e plotë e shtesave algjebrike, e shumëzuar me anëtarët e së njëjtës seri ose një nga të qindtat.

Nëse, si rezultat, rikrijimi i botës mund të bëhet në mënyrë që një me radhë (ose njëqind për qind) të mblidhet deri në zero në një pozicion, atëherë nuk do të kemi nevojë të respektojmë të gjitha shtesat algjebrike, shikoni prapa në rrugë. Yak dhe një metodë alternative, që mund të rregullohet me bindje për matricat e zhvillimit të madh.

Prapa është treguar në të njëjtën matricë:

Gjithashtu, njëqind për qind tjetër e vizitorit gjithashtu mund të hakmerret për një element zero. Dodamo tek elementët e një rreshti tjetër elementësh të rreshtit të parë, shumëzuar me -1. otrimaєmo:

Numerike për dy kolona. Ne kemi nevojë për vetëm një shtesë algjebrike, disa prej tyre mund të reduktohen në zero:

Llogaritja e mjetit të formatimit për matricat 4 × 4, 5 × 5 dhe dimensione të mëdha

Schob uniknuti zanadto numra të mëdhenj për matricat e razmіrіv madhështore pranë veprës së rikrijimit, të përshkruar në vishche. Të udhëhequr nga prapanica.

Llogaritni dhe vlerësoni matricat

R і w і n і f. Vikoristovuchi Fuqia e 7-të e projektuesit, me sa duket nga një rresht tjetër i treti, nga rreshtat e katërt - nga rreshti i dytë i rreshtit të parë të projektuesit, shumëzuar me 3, 4, 5. - (13 ; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Otrimaєmo:

Vikonaєmo dei

një vizitor për elementet e një rreshti abstenojnë

Fuqitë sublime janë të lidhura me të miturit dhe shtesat algjebrike

Viznachennya. e mitur elementi quhet viznachnik, palosjet e elementeve, të cilat janë të mbingarkuarai-oї aksione ij-th njëqind, në kryqëzimet e të cilave ka një element të tërë. Element i vogël viznachnik n- rendi i dhjete eshte rendi ( n- 1). Ne do të fillojmë ta kuptojmë atë përmes.

Prapa 1. hej , todi .

Tsei minor kalon nëpër shtegun A në rreshtin tjetër dhe në qindëshin e tretë.

Viznachennya. shtesat algjebrike elementi quhet një lloj i vogël, shumëzimet e nat. , dei- numri i rreshtit ij-kolona, ​​në kryqëzimet e së cilës ka emërtime të elementit.

VІІІ. (Shpërndarja e viznachnika pas elementeve të rreshtit deyaky). Mbajtësi i kartëvizitës për shumën e artikujve shtesë të të njëjtit rresht në bazë të algjebrës shtesë.

.

Prapa 2. Hajde, Todi

.

Prapa 3. Ne e njohim formatuesin e matricës, pasi e kemi hapur atë nga elementët e rreshtit të parë.

Formalisht, teorema se autoriteti i përcaktuesve nuk është në rendin e tretë për matricat e projektimit nuk është renditja e tretë; Hapi tjetër është lejimi i zgjerimit të pushtetit të autoritetit për biznesmenët në çdo mënyrë.

Viznachennya. vizitor matricat A Rendi i n-të është numri i llogaritur pas herës së fundit teoremave për shpërndarjen e fuqive të para të emrit.

Është e mundur të rishikohet se rezultati i llogaritjes nuk qëndron në faktin se, në të fundit dhe për rreshtin dhe të qindtat, do të jetë i ndenjur. Mbajtësi i kartës së biznesit ndodhet në mënyrë unike për ndihmë.

Nëse dua të jap vlerën dhe jo të hakmerrem në mënyrë eksplicite ndaj formulave për vlerën e projektuesit, do të jem i sigurt se do të di vlerën e përcaktuesve të matricës të një rendi më të vogël. Këta janë emrat të përsëritura.

Prapa 4. Numëroni distinktivin:.

Nëse dëshironi një teoremë rreth përhapjes, mund ta ruani atë përpara çdo rreshti të një matrice të caktuar, më pak duke llogaritur kur është shtruar, është një kolonë që është më shumë se zero.

Lëkundjet në matricën e elementeve jozero, atëherë mund t'i njohim ato për fuqi shtesë 7). Shumëzojeni rreshtin e parë të fundit me numrat (-5), (-3) і (-2) і dodamo її në rreshtat 2, 3 dhe 4 dhe і mund të bëhet:

Shpërndarja vyshov viznachnik për njëqind dhe і otrimaєmo të parë:

(Vinesemo nga rreshti i parë (-4), nga i dyti - (-2), nga i 3-ti - (-1), në varësi të fuqisë së 4)

(Pra, është si një stilist të hakmerret në dy dyqane proporcionale).

§ 1.3. Deyaki vidi matrica dhe viznachniki

Viznachennya. katror m Atrice, në fund të kokës, ka zero elementë(= 0 për i j, abo = 0 për i j) të thirrettrikutnoy .

Їх në mënyrë skematike budova vidpovіdno maє viglyad: abo .

Këtu 0 qëndron për zero artikuj dhe për shumicën e artikujve.

teorema. Mbajtëse karte për një matricë triko katror për një derë të një artikulli, për të qëndruar në një diagonale koke, tobto

.

për shembull:

.

Viznachennya. Quhet një matricë katrore, në të cilën qëndrimi diagonalja e kokës duhet të qëndrojë me elemente zerodiagonale .

Її shikues skematik:

Matrica diagonale, në të cilën nuk është e nevojshme të thirret vetëm diagonalja në kokë i vetmuar matricë. Vaughn njihet përmes:

Mjeti i formatimit për një matricë të vetme është 1, në mënyrë që E = 1.

Zavdannya 1.

Për këtë mbajtës të kartëvizitës

njoh elementet shtesë minori dhe algjebër α 12, α 32. : A) hapeni nga elementët e rreshtit të parë dhe një kravatë tjetër; b) pas shpëlarjes së zerave të përparme në rreshtin e parë.

dihet:

M 12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

M 32 =
= –12+12–12–8 = –20.

Shtesat algjebrike të elementeve për 12 dhe 32 sipas:

A 12 = (-1) 1 + 2 M 12 = - (- 18) = 18,

A 32 = (-1) 3 + 2 M 32 = - (- 20) = 20.

a) Viznachnik i numërueshëm, pasi e ka hapur atë nga elementët e rreshtit të parë:

A 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 = -3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Ne do të vendosim një visnatnik pas elementeve të një dyqani tjetër:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

b) Të shumta, pasi kanë shkurtuar zerot e përparme në rreshtin e parë. Vikoristovuєmo іdpovіdnі fuqia e viznachnikіv. Shumëzoni të qindtën e tretë të një vizitori me 3 atë dodamo me të parin, më pas shumëzoni me -2 і dodamo me një tjetër. Todi në rreshtin e parë të të gjithë elementëve, përveç njërit, do të jetë zero. Është e mundur të përdoret një renditje e tillë për përcaktimin e elementeve të rreshtit të parë dhe numrit të numërueshëm:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(Tek vizitori i rendit të tretë, zerat u refuzuan në të parën për të njëjtën gjë, vizitorin e autoritetit të vizitorit.)

Zavdannya 2.

Jepet një sistem ekuacionesh algjebrike jo uniforme lineare

Për të rishqyrtuar, sistemin luksoz, dhe në kohët e spiritualitetit, zgjidh problemin: a) për formulat e Cramer-it; b) prapa matricës së mbështjellë shtesë (metoda e matricës); c) metodën e Gausit.

Karakteri i sistemit të dhënë është i rikonvertueshëm sipas teoremës së Kronecker - Capella. Për shtimin e konvertimit elementar, ne e dimë gradën e matricës

A =

sistemi i dhënë dhe rangu i matricës së zgjeruar

V =

.

Për të gjithë, shumëzojeni rreshtin e parë të matricës B me -2 dhe palosni tjetrin, pastaj shumëzoni rreshtin e parë me -3 dhe palosni të tretën, duke kujtuar tjetrin dhe qindëshin e tretë. otrimaєmo

V =

~

~
.

Otzhe, rang A= zile V= 3 (d.m.th. Kjo do të thotë që sistemi i kontrollit është i përmbledhur dhe i fuqishëm.

a) Pas formulave të Cramer-it

x = x / , Y = y / , Z = z / ,

=
= – 16;

x =
= 64;

y =
= – 16;

z=
= 32,

dihet: x = 64/(– 16) = – 4, y = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

b) Për kuptimin e zgjidhjes së sistemit, dhe pas matricës së mbështjellë shtesë, sistemi i ekuivalentëve mund të shkruhet në formë matrice. Sëpata = ... Zgjidhjet e sistemit në formë matrice x = A –1 . Formula është e njohur për matricën rrotulluese A –1 (Vona isnuє, pra jak = det A = – 16 ≠ 0):

A 11 =
= – 15, A 21 = –
= 16, A 31 =
= – 11,

A 12 = –
= – 3, A 22 =
= 0, A 32 = –
= 1,

A 13 =
= – 14, A 23 = –
= 16, A 33 =
= – 6,

A –1 =

.

Zgjidhjet e sistemit:

X = =
=
=

.

Otzhe, x = –4, y = 1, z = –2;

c) Sistemi Virishimo me metodën e Gausit. me egërsi x nga tjetri dhe i treti i barabartë. Për herë të parë, mund të shumëzohet me 2 dhe më shpesh nga tjetra, pastaj herën e parë shumëzohet me 3 dhe nga e treta:

Nga sistemi juridik dhe dihet x = – 4, y = 1, z = –2. ◄

Zavdannya 5.

Majat e pіramіdi janë të vendosura në pika A (2; 3; 4), B (4; 7; 3), C (1; 2; 2)і D (- 2; 0; - 1). Numëroni: a) zonat e fytyrës ABC; b) zona është e tejmbushur, kaloni nëpër mes të brinjëve AB, AC, pas Krishtit; c) obsyag pіramіdi ABCD.

A) Vidomo, scho S ABC =
... dihet:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 i + 5 j + 2 k.

Paratë e mbetura:

S ABC =
=
;

b) Brinjët e mesme AB, dielliі AD të jetë në pikë K (3; 5; 3.5),

M (1,5; 2,5; 3),N (0; 1,5; 1,5) ... Dali Maєmo:

S sich =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3,25i - 1,5j - 2,25k,

S sich =
=
;

c) Oskіlki V banket =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, pastaj V = 11/6 . ◄

zavdannya 6

forcë F = (2; 3;– 5) aplikuar në pikë A (1; - 2; 2)... Numëro: a) forcën robotike F herë pas here, nëse pika është stazë, rrëzohu drejtpërdrejt, lëviz nga pozicioni A në vendin e duhur B (1; 4; 0); b) moduli i momentit të forcës F shodo pikë V.

A) Pra jak A =F · s , s =
= (0; 6; – 2) ,

pastaj F · = 2 · 0 + 3 · 6 + (- 5) (- 2) = 28; A = 28;

b) Momenti i forcës M =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 i + 4 j + 12 k .

tashmë, =
= 4
. ◄

Zavdannya 8.

shikoni lartësitë O (0; 0),A(– 2; 0) paralelogrami SLADі pika e tejmbushjes së diagonaleve B (2; -2)... Shënoni anashkalimin paralelogram.

anën rivnyannya OA mund të shkruani menjëherë: y = 0 ... Dali, kështu pikë jak Vє mesi i diagonales pas Krishtit(Fig. 1), atëherë formulat për kohëzgjatjen e navp mund të përdoren për të llogaritur koordinatat e kulmit D(x; y) :

2 =
, –2 =
,

yjet x = 6 , y = –4 .

Tani është e mundur të dihet ryvnyannya e të gjitha palëve të tjera. Do të shikoj paralelizmin e anëve OA і CD, Me shumicë Rivnyannya Sides CD: y = –4 ... anën rivnyannya OD ruajeni nga dy pika të ndryshme:

=
,

yjet y = – x, 2 x + 3 y = 0 .

Nareshty, dihet se palët AC, Unë do të shikoj faktin që ju kaloni nëpër një pikë A (- 2; 0) paralel me shtëpinë OD:

y – 0 = – (x + 2) abo 2 x + 3 y + 4 = 0 . ◄

Zavdannya 9.

E dhënë në krye të trikutnikut ABC: A(4; 3), B(– 3; – 3), C(2; 7) ... di:

a) palë të barabarta AB;

b) visoti i barabartë CH;

c) media të barabarta JAM;

d) pikë N overretinu media JAM dhe nëse CH;

e) drejt përpara, kaloni nëpër majë C paralel me anët AB;

f) pamje e pikës C drejt drejt AB.

A) duke u shpejtuar nga të barabartët drejt, kaloni nëpër dy pika, Otrimaєmo rivnyannya partitë AB:

=
,

yjet 6(x – 4) = 7(y – 3) abo 6 x – 7 y – 3 = 0 ;

b) Sa më shpejt të jetë e mundur

y = kx + b (k = tg α ) ,

kutoviy kofіtsієnt drejt AB k 1 =6/7 ... Rreth urahuvannyam lani pingulet drejt ABі CH kutoviy kofіtsієnt visoti CH k 2 = –7/6 (k 1∙ k 2 = –1). për pikë C(2; 7) dhe një konferencë të plotë k 2 = –7/6 depo CH: (y – y 0 = k(x – x 0 ) )

y – 7 = – (x – 2) abo 7 x + 6 y – 56 = 0 ;

c) Për formulat njohim koordinatat x, y e mesme M vidrizka para Krishtit:

x = (– 3 + 2)/2 = –1/2, y = (– 3 + 7)/2 = 2.

Tani le të shohim dy pika Aі M magazinë rivnyannya mediani JAM:

=
abo 2 x – 9 y + 19 = 0 ;

d) Për koordinatat e njohura të pikës N overretinu media JAM dhe nëse CH sistemi i magazinës rivnyan

Virishuchi її, otrimuєmo N (26/5; 49/15) ;

e) Pra, jaku është i drejtë, kështu që kaloni lart C, Paralelisht me anët AB, Se їх kutovі kofіtsієanti рівні k 1 =6/7 ... Todi, sipas periudhës:

y – y 0 = k(x – x 0 ) , Me pikën yak_y C dhe një konferencë të plotë k 1 magazinë drejt CD:

y – 7 = (x – 2) abo 6 x – 7 y + 37 = 0 ;

f) Pamje nga pika C drejt drejt AB Llogaritni formulën e mëposhtme:

d = | CH| =

Vendimi i kësaj bime është ilustruar në Fig. 2 ◄

Zavdannya 10.

Duke pasur parasysh pikët chotiri A 1 (4, 7, 8), A 2 (- 1; 13; 0), A 3 (2; 4; 9), A 4 (1; 8; 9) ... Rivnyannya:

a) zonë A 1 A 2 A 3 ; b) drejt A 1 A 2 ;

c) drejt A 4 M, pingul me zonën A 1 A 2 A 3 ;

d) drejt A 4 N Drejt paralele A 1 A 2 .

numëro:

e) sinus kuta mіzh drejt A 1 A 4 і zonë A 1 A 2 A 3 ;

f) zona koordinative e kosinusit kuta mіzh Rrethxyі zonë A 1 A 2 A 3 .

A) Formula Vikoristovuchi Zona Rivnyannya me tre pikë, Magazina zona Rivnyannya A 1 A 2 A 3 :

yjet 6x - 7y - 9z + 97 = 0;

b) Unë do të shikoj vijë e drejtë, kaloni nëpër dy pika, Rivnyannya drejt A 1 A 2 ju mund të shkruani në viglyadі

=
=
;

c) Z lani pinguljen drejt A 4 M dhe zonave A 1 A 2 A 3 viplyє, e cila në pozicionin e vektorit drejtues s mund të marrim vektorin normal n = (6; – 7; – 9) zonë A 1 A 2 A 3 ... Todi rivnyannya drejt A 4 M me urahuvannyam kanonike rivnyan regjistrohu drejtpërdrejt në viglyad

=
=
;

d) Pra, jaku është i drejtë A 4 N paralel me të drejtën A 1 A 2 , Pastaj їх drejton vektorin s 1 і s 2 mund të përdoret me: s 1 =s 2 = (5; – 6; 8) ... Otzhe, i drejtpërdrejtë A 4 N ma viglyad

=
=
;

e) Për formulën e dijes madhësia e kuta mіzh drejtë dhe zona

mëkat φ =

f) Për qëllimet e formulës së njohurive madhësia e kutës ndërmjet zonave

cos φ =
=
◄

Zavdannya 11.

Zona Rivnyannya, karrierës kalojnë nëpër pika M(4; 3; 1) і

N(– 2; 0; – 1) vijë e drejtë paralele e tërhequr nëpër pika A(1; 1; – 1) і

B(– 3; 1; 0).

Sipas formulës i drejtpërdrejtë në hapësirë, Kaloni nëpër dy pika, drejt AB ma viglyad

=
=
.

Ku rrafshimi kalon nëpër pikë M(4; 3; 1) , Kjo її її її івняння mund të regjistrohet në viglyadі A(x – 4) + B(y – 3) + C(z – 1) = 0 ... Pra jak qya zona kalon nëpër pikë N(– 2; 0; – 1) , Më pas vizitoni umova

A (- 2 - 4) + B (0 - 3) + C (- 1 - 1) = 0 abo 6A + 3B + 2C = 0.

Skrapet e Shukanit zona është paralele me të drejtën e njohur AB, Kjo është formula urahuvannyam ki parasysh paralelizmin e drejtes dhe katrorit maєmo:

–4A + 0B + 1C = 0 abo 4A - C = 0.

sistemi virishuchi

E di, mirë C = 4 A, B = – A... Pa dyshim, kuptimi i Zі B në fshatin e zonës Shukanoy, Maєmo

A (x - 4) - A (y - 3) + 4A (z - 1) = 0.

Pra jak A ≠ 0 , Që nuk njihet si i barabartë me i barabartë me i barabartë

3 (x - 4) - 14 (y - 3) + 12 (z - 1) = 0. ◄

Zavdannya 12.

di koordinatat x 2 , y 2 , z 2 pikë M 2 , Pika simetrike M 1 (6; – 4; – 2) ne rregull zone x + y + z – 3 = 0 .

E thjeshtë parametrike e shkrueshme M 1 M 2 , pingul me zonën e dhënë: x = 6 + t, y = – 4 + t, z = – 2 + t... Vizituar socialisht nga pronarët e tokave të kësaj zone, ne e dimë t = 1 i, nga e njëjta, pikë M vërshoj drejt M 1 M 2 zona e dhënë: M (7; – 3; – 1) ... Pra pikë jak Mє në mes të M 1 M 2 , Për vіrnі іvnostі.; c) parabolat, scho maє directrix b

Elementet e algjebrës së linjës përfshihen në llojet kryesore të veprave, të cilat mund të shihen në temën "Algjebra e linjës"

dokument

matricë katrore e di a) e mitur element; b) algjebrike duke shtuar element; v) ... e di a) e mitur element; b) algjebrike duke shtuar element; c) її viznachnik, pasi ka shkurtuar zerot e përparme në rreshtin e parë. Vendimi a) e mitur element ...

І. Elemente të Algjebrës Lineare dhe Gjeometrisë Analitike

dokument

... element matricat". Viznachennya. algjebrike shtesat element Matrica АіК А quhet e mitur Matricat Mіk cієї, shumëzimet me (-1) і + deri në: algjebrike duke shtuar element... metodë. Aplikimi 1. Matrica është vendosur e di det A. Vendim. Nuk mund të bëhet...

Zgjidhja: kur dy matrica palosen në elementin e lëkurës së matricës së parë, është e nevojshme të shtoni një element të një shtrese tjetër.

Vendimi

Go shpalti; emri e mitur element... Todi për viznachennyam përfshihu (1) - algjebrike duke shtuar element, Todi (2) ... Operacionet e linjës në matricat Zavdannya. e di shuma e matricës dhe tvir ... shuma, atëherë kërkohet e diїї spіlne rіshennya. ...

Rekomandime metodike për studentët e disiplinës “Matematikë” për specialitete

Rekomandime metodike

Një mbajtës i tillë i kartës së biznesit quhet e mitur element aij. nënkuptojnë e mitur- Mij. prapanicë: e di e mitur element Mbajtëse karte A12 Për ... në njërën poshtë i e mitur dera: algjebrike shtesat element një vizitor që do të quhet jogo e mitur duke marrë nga e juaja...

shtesë algjebrike- të kuptuarit e algjebrës matricore; njëqind për qind e elementit aij të matricës katrore A, pretendoni të jetë një shumëzim me minorin e elementit aij me (1) i + j; Aij: Aij = (1) i + jMij, de Mij është minori i elementit aij të matricës A =, kështu që projektuesi ... ... Fjalori i ekonomisë dhe matematikës

shtesë algjebrike- Kuptimi i algjebrës matricore; njëqind për qind e elementit aij të matricës katrore A, pretendoni të jetë një shumëzim me minorin e elementit aij me (1) i + j; Aij: Aij = (1) i + jMij, de Mij është minori i elementit aij të matricës A =, kështu që matrica e matricës, ... ... Transferimi teknik i Dovidnik

Div. Në Art. Kartëvizita... Enciklopedia Velyka Radianska

Për minorin M, numri, i barabartë me de M minor në rendin e k, i shtresave në rreshta me numra dhe kllapa me numra të një matrice katrore të rendit n; Shkrimtari i matricës në rendin n k, i prerë nga matrica nga rreshtat Avicherkivaniyam dhe 100% në M minor; ... ... enciklopedi matematikore

Në statutin e Wikislovnik є "suplement" Shtesë mund të thotë ... Vіkіpedіya

Operacioni, përpara parajsës për të vendosur në një nëngrup të X-it pa të dhëna, gjërat e tjera janë kështu, sikur të jenë në Mi N, atëherë në të njëjtën mënyrë mund të futet struktura e dobët X. enciklopedi matematikore

Për përcaktorin, në matematikën e shkrimit të numrave në pamjen e një tabele katrore, në formën e së cilës vihet në të njëjtin numër (vlera e emërtuesit). Edhe më shpesh, vizitorit mund t'i kërkohet të kuptojë kuptimin e vizitorit, si dhe formën e shënimit të tij. ... ... Enciklopedia Kol'ra

Rreth teoremës së teorisë së imoviteteve të divave. Statuti Teorema lokale e Moivre - Laplace. Teorema e Laplasit është një nga teoremat e algjebrës lineare. Emërtuar për nder të matematikanit francez P'ur Simon Laplace (1749 1827), i cili vlerësohet me formulën ... ...

- (Matrica Laplasiane) një vështrim i grafikut pas matricës shtesë. Matrica e Kirchhoff-it përdoret për strukturën e pemëve që shtrihen në një grafik të caktuar (teorema e matricës për një pemë), si dhe për teorinë spektrale të grafikëve. Зміст 1 ... ... Vіkіpedіya

Ekuivalent quhet komunikimi matematik, i cili kthen barazinë e dy variacioneve algjebrike. Nëse barazia është e vërtetë për çdo kuptim të pranueshëm të emrit të të pastrehit, atëherë ai quhet i njëjtë; për shembull, duke iu referuar mendjes ... ... Enciklopedia Kol'ra

librat

• Matematikë diskrete, A.V. Chashkin. 352 faqe matematikë diskrete: Analiza kombinuese, teoria e grafikëve, funksionet e Bulit, palosja dhe teoria e kodimit. Për të marrë hak...