Lineārie operatori Eiklīda telpā. Projekcijas operators Plakne Projekcijas operators

Nāc uz līnijas operatoru A dіє Eiklīda telpā E n i pārveido šo telpu sevī.

Ieviests Pieraksts: operators A* izsaucam get operatoru A, tāpat kā jebkuriem diviem vektoriem x,y z E n tiek ņemta vērā skalāro veidojumu vienādība:

(Cirvis, y) = (x,A*y)

Sche Pieraksts: lineāro operatoru sauc par pašpietiekamu, jo tas ir vienāds ar tā atvasināto operatoru, tāpēc vienlīdzība ir godīga:

(Cirvis, y) = (x, Ay)

abo, zokrema ( Axx) = (x, Ax).

Pašpietiekamības operators var darboties kā spēks. Mēs uzminējam viņu rīcību:

Pašveiksmīga operatora numura spēks - runa (bez pierādījuma);

Visi pašiegūtā ortogonālā operatora vektori. Pareizi, tieši tā x 1і x2 ir jaudas vektori, un  1 un  2 ir to jaudas skaitļi, tad: Cirvis 1 =  1 x; Cirvis 2 =  2 x; (Cirvis 1, x 2) = (x 1, cirvis 2), vai  1 ( x 1, x 2) =  2 (x 1, x 2). Šķembas  1 un  2 atšķiras, tad zvaigznes ( x 1, x 2) = 0, kas bija nepieciešams atnest.

Eiklīda telpai ir ortonormāls pamats no paša iegūtā operatora brīvajiem vektoriem A. Tas ir, pašģenerēta operatora matricu vienmēr var reducēt līdz diagonālam izskatam noteiktā ortonormālā bāzē, kas veidojas no paša ģenerēta operatora pareiziem vektoriem.

Vēl vienu Pieraksts: mēs to saucam par pašpietiekamības operatoru, kas atrodas Eiklīda telpā simetrisks operators. Apskatīsim simetriskā operatora matricu. Mēs nodrošinām stingrību: lai operators būtu simetrisks, tas ir nepieciešams un pietiekams, lai matrica ortonormālajā bāzē būtu simetriska.

Aiziet A- Simetrisks operators, tātad:

(Cirvis, y) = (x, Ay)

Jakšo A ir operatora A matrica un xі y- Deyaki vectori, tad mēs pierakstām:

koordinātas xі y uz ortonormālu pamatu

Todi:( x,y) = X T Y = Y T X i var ( Cirvis, y) = (AX) T Y = X T A T Y

(x, Ay) = X T (AY) = X T AY,

tobto. X T A T Y = X T A Y. Ar pietiekamu kolonnu matricas X,YŠī vienādība ir iespējama tikai tad, ja AT = A, bet tas nozīmē, ka matrica A ir simetriska.

Apskatīsim līniju operatoru piemērus

Operators dizains. Lai būtu jāzina lineārā operatora matrica e 1 pie pamatnes e 1 , e 2 , e 3 . Lineārā operatora matrica ir matrica, kuras pēdās var būt bāzes vektoru attēli e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1). Qi, acīmredzot, є: Ae 1 = (1,0,0)

Ae 2 = (0,0,0)

Ae 3 = (0,0,0)

Tēvs, bāzē e 1 , e 2 , e 3 nejaušā lineārā operatora matrica

Mēs zinām šī operatora kodolu. Vіdpovіdno uz vyznachennya kodolu - tse bezpersonisks vectorіv X jakiem AX = 0. Abo

Tas nozīmē, ka operatora kodols kļūst par bezpersonisku vektoru, kas atrodas plaknes tuvumā e 1 , e 2 . Kodola atvērtība ir laba n - rankA = 2.

Operatora bezpersoniskie attēli - ce, acīmredzot, bezpersoniski vektori, kolineāri e 1 . Atvērtība attēlu plašumam labākam līnijas operatora rangam un labākam 1 ir mazāk vietas prototipu plašumam. i., operators A- Virogenijs. Matrica A ir arī virogēns.

Sche butt: zināt telpā V 3 esošā lineārā operatora matricu (pamat i, j, k) lineārā transformācija - jebkuras koordinātu vālītes simetrija.

Maemo: Ai = -i

t.i., šukanas matrica

Apskatīsim lineāro transformāciju - apgabala simetrija y = x.

Aj = i(1,0,0)

Ak = k (0,0,1)

Operatora matrica būs:

Vēl viens piemērs ir jau zināmā matrica, kā tā sasaista vektora koordinātas, kad tiek pagrieztas koordinātu asis. Mēs saucam operatoru, kas kontrolē koordinātu asu rotāciju, - rotācijas operatoru. Pie griezuma ir atļauts veikt pagriezienu :

AI' = cos i+ grēks j

Aj' = -sin i+ cos j

Rotācijas operatora matrica:

AI ‘ Aj ‘

Uzminēsim formulu punkta koordinātu pārvēršanai, mainot bāzi - mainot koordinātas plaknē, mainot bāzi:

E Šīs formulas var aplūkot smalki. Iepriekš qi formulas skatījāmies tā, ka plankums stāv uz vietas, koordinātu sistēma griežas. Bet jūs varat arī redzēt, ka koordinātu sistēma paliek nemainīga, un punkts pārvietojas no pozīcijas M * uz pozīciju M. Punkta M un M * koordinātas tiek piešķirtas vienā koordinātu sistēmā.

Plkst viss teiktais ļauj pāriet uz nākamo uzdevumu, jo programmētājiem nākas izgāzties, jo viņi nodarbojas ar grafiku uz EOM. Lai EOM ekrānā ir jāiestata plakanas figūras (piemēram, trikotāžas) rotācija pa punktu O ar koordinātām (a, b) uz noteiktu griezumu . Koordinātu rotāciju apraksta ar formulām:

Paralēli spivvidnoshennia drošības nodošanai:

Lai atrisinātu šādu problēmu, sāciet izmantot pa gabalam metodi: ievadiet vienas un tās pašas punkta koordinātas XOY plaknē: (x, y, 1). To pašu matricu, kas ir paralēla pārsūtīšana, var uzrakstīt:

Diyno:

Un matrica tiek pagriezta:

Uzdevums, kā redzat, var būt trīs reizes lielāks:

1. skice: paralēla pārsūtīšana uz vektoru A (-a, -b), lai sajauktu rotācijas centru ar koordinātu vālīti:

2.tamborēšana: pagrieziet, lai izgrieztu :

3.tamborēšana: paralēla pārnešana uz vektoru A (a, b), lai pagrieztos uz pagrieziena centru papildu pozīcijā:

Shukane lineārā transformācija matricas skatā:

(**)

1. Gredzena konstrukcijas un noliktavas operatori

Ļaujiet vektortelpai V pievienot apakštelpu W un L tiešo summu: . Saskaņā ar tiešās neskaidrības definīciju ādas vektors vV ir unikāli attēlojams kā v=w+l, wW. lL.

Tikšanās 1. Tātad arī v=w+l, tad projekciju, kas padara ādas vektoru vV par th komponenti (projekciju) wW sauc par telpas V projektoru telpā W. To sauc arī par projekcijas operatoru jeb projekcijas operatoru. .

Skaidrs, ja wW, tad (w)=w. Zvіdsi kliedz, scho maє es nāks brīnumains spēks 2 =R.

Tikšanās 2. Elementu e kіltsya K sauc par idempotentu (tobto mēs līdzināsim vienam), t.i., e 2 \u003d e.

Veselo skaitļu skaitam ir vairāk nekā divi idempotents: 1 un 0. Pēdējais apļa labajā pusē ir matrica. Piemēram, matricas, - idepotenti. Arī operatoru matricas dizainā ir idepotentas. Identificētos operatorus sauc par idempotentiem operatoriem.

Tagad apskatīsim tiešās summas n apakštelpas telpā V:

Līdzīgi, līdzīgi kā divu apakštelpu tiešā summa, mēs varam ņemt n dizaina operatorus, …, . Smaka var būt spēcīga ==0 pie ij.

Tikšanās 3. Idempotentus e i un e j (ij) sauc par ortogonāliem, jo ​​e i e j = e j e i =0. Turklāt es esmu ortogonāls idepotents.

Turklāt IV=V, un lineāro operatoru locīšanas noteikumi ir acīmredzami, tātad

Šo izkārtojumu sauc par vienas personas izvietojumu dempotentu summā.

Tikšanās 4. Idempotentu sauc par minimumu, tāpēc to nevar pieteikties, ja tas izskatās kā idempotentu summa, kas ir vienāda ar 0.

2. Sludinājuma kanoniskais izkārtojums

Tikšanās 5. T(g) izskata kanonisko izkārtojumu sauc par pirmo izkārtojumu formā T(g)=n 1 T 1 (g)+ n 2 T 2 (g)+…+ nt T t (g), dažos izskata ekvivalenta nesamazināšana T i (g ) ) apvienota uzreiz, un ni ir nereducētās izpausmes T i (g) ievades daudzveidība izkārtojumā T(g).

1. teorēma. Iesnieguma kanoniskais izkārtojums ir izveidots, pateicoties projekcijas operatora prāta palīdzībai

I=1, 2, …, t, (31)

de | G | - G grupas pasūtījums; m i - izpausmes stadija T i (g), de i=1, 2, ..., t; i (g), i = 1, 2, …, t - nereducētu parādību zīmes T i (g). Kad formulai tiek piešķirts m i

3. Projekcijas operatori, kas saistīti ar neinducējošu grupu matricām

Formulu (31) palīdzībai var atņemt tikai izpausmju kanonisko izkārtojumu. Zagalom, ir jāizmanto nereducētu parādību matricas, kas ļauj inducēt vienādus dizaina operatorus.

2. teorēma.Ļaujiet man - grupas G nereducētās izpausmes T r (g) matricas elementi. Formas operators

Dizaina operators to sauc par Vīgnera operatoru. In virazi (33) m r - T r (g) izpausmes pakāpe.

4. Samaksas sadale par tiešo ārienes neizraisīšanas summu operatora Vīgnera palīdzībai.

Ievērojami caur M, modulis, pārklājas ar apakšmoduļiem T. Ļaujiet nesamazināmām izpausmēm T 1, T 2, ..., T t no izpausmju kanoniskā izkārtojuma atbilst iepriekš aprakstītajai metodei (div. § 4), kas norāda uz nereducējamiem apakšmoduļiem M 1 , M 2 , …, М t. Moduļa izkārtojums M skats

tiek saukts par moduļa M kanonisko izkārtojumu. Būtiski niMi = Li tā, ka

Nozīmīgi ir moduļu L i nereducētie apakšmoduļi

; i=1, 2, …, t. (36)

Mums ir jāzina šie moduļi.

Pieņemsim, ka uzdevums ir beidzies. Vēlāk ādas modulī Mi (s) (s=1, 2, ..., ni) tika atrasta ortonormāla bāze, kurā ņemts nereducēto apakšdatu T attēlojumu operators ar matricu T i (g). rezultātā dії (saskaņā ar noteikumu h § 3) operators uz bāzi aiz formulas

J=1, 2, …, m i . (37)

Kuram viss viedoklis ir tāds, ka m i ir nereducējamās izpausmes T i izvērsums (i=1, 2, …, t), turklāt bāzes elements ar nereducējamā apakšmoduļa M i skaitli g. Tagad mēs varam mainīt bāzes L i elementus ar fiksēto i pēc nākamā ranga:

Ar labo roku pie virazi (38) raztashovanі bāzes moduļi Mi (1) , Mi (2) , …, . Kā nomainīt ievadi 1 uz t, ņemam visa moduļa M bāzi, kurai pieskaita m 1 n 1 + m 2 n 2 + ... + m t n t elementus.

Tagad paskatīsimies uz operatoru

kas ir modulim M (j ir fiksēts). Piemērots līdz 2. teorēmai ir projekcijas operators. Tāpēc šis operators aizpilda, nemainot visus pamatelementus (s=1, 2, …, ni), izvēršoties vīrusa j-tajā kolonnā (38) un pārvēršot visus pārējos bāzes vektorus uz nulli. Nozīmīgi, ka M ij izteiksmē ir vektoru telpa, ko aptver ortogonāla vektoru sistēma, kas atrodas spektra j-tajā kolonnā (38). Tātad var teikt, ka tas ir telpas M ij dizaina operators. Operatora vіdomiy, oskіlki vіdomі diagonālie elementi un nevadāmo grupu matricas, kā arī operators T(g).

Tagad jūs varat mainīt mūsu pasūtījumu.

Mēs izvēlamies n i papildu pamata vektorus M: un paceļam tos ar projekcijas operatoru. Otrimani vektori atrodas netālu no telpas M ij і є lineāri neatkarīgi. Smaka nav obov'yazkovo ortogonāls un normatīvs. Ortonormāli es izmantošu vektoru sistēmu zgіdno ar 2. paragrāfa noteikumu. Es izmantošu vektoru sistēmu, kas būtiski e ij (s) līdz nozīmei, kas iegūta no pieņēmumiem, ka uzdevums ir izlaists. Kā tas bija domāts, šeit j ir fiksēts, un s=1, 2, …, n i . Būtiski e, ja (s) (f=1, 2, …, j-1, j+1, …, mi), citi moduļa M i bāzes elementi ar izmēru n i mi. Būtiski ar aizskarošā operatora starpniecību:

Ortogonalitātes nozīme nevadāmo parādību matricām ir acīmredzama, kurš operators dod iespēju ņemt e igs aiz formulas

I = 1, 2, …, t. (41)

Visu teikto var izmantot kā aizskarošu algoritmu.

Lai zinātu moduļa M z elementu bāzi, kas transformējas aiz nereducētām izpausmēm T i , kas atrodamas failā T, kas saistīts ar moduli M, nepieciešams:

Aiz formulas (32) mēs piešķiram apakštelpu lielumu M ij , nereducētās parādības T i galvenās j-komponentes.

Zināt projekcijas operatora (39) palīdzību visas apakštelpas M ij .

Ādas apakštelpai M ij izvēlieties diezgan ortonormālu pamatni.

Vikoristovuyuchi formula (41), zināt visus bāzes elementus, kas tiek pārvērsti par citiem nesamazinātās izpausmes komponentiem T i .

Diraka bra- un ket-vektori ir brīnumi, kuru palīdzībai var pierakstīt dažādi veidi radošs

Bra-vektora pāreju uz ket vektoru sauc par skalāro radīšanu vai iekšējo radīšanu. Faktiski standarta matricas televizors ir aiz noteikuma "rinda uz grīdas". Rezultāts ir komplekss skaitlis.

Twіr ket vektors Nākamais ket vektors nav skaitlis, bet nākamais ket vektors. Vіn tezh ir attēlots kā vektors-stovpcem, bet z kіlkіstyu komponents drіvnyuє dobukku razmirnosti vihіdnih vectorіv. Šādu radīšanu sauc par tenzoru radīšanu un Kronecker izveidi.

Līdzīgi divu bra-vektoru izveidošanai. Noņemiet lielo rindu vektoru.

Atlikušā iespēja ir reizināt ket vektoru ar bra vektoru. Ir nepieciešams rindu reizināt ar rindu. Šādu radīšanu sauc arī par tenzorisku radīšanu. Rezultātā ir matrica, kas ir operators.

Apskatīsim šādu operatoru piemērus.

Vіzmemo yakys dovіlny ermitіv operators A. Zgіdno z postulē yomu vіdpovіdaє kā vērtību, scho poserіgaєtsya. Ermita operatora jaudas vektori veido pamatu. Lielāko savvaļas vektoru var novietot aiz cim pamata. Parādīt pamata vektoru summu ar vienkāršiem kompleksajiem koeficientiem. Šis fakts ir pazīstams kā superpozīcijas princips. Pārrakstīsim viraz caur sumi zīmi.

Ale koefіtsієnti vektora izkārtojumā ir kustības bāze un amplitūda, lai vektora skalārā pievienošana kļūtu par dzīvotspējīgu bāzes vektoru. Pierakstīsim labās puses vektora amplitūdu. Viraz zem sumi zīmes ir iespējams kā ket vektora reizinājums ar komplekso skaitli - amplitūdas amplitūdu. No otras puses, to var redzēt kā papildu matricu, kas iegūta, reizinot ket vektoru ar bra vektoru un izejas ket vektoru. Sumi zīmes lokā var vainot ket vektoru. Labās un kreisās puses līdzvērtības zīme parādīsies kā pats psi vektors. Tse nozīmē, ka ar vektoru nevar izdarīt visu neko, un tas, iespējams, ir dārgāks nekā viena matrica.

Tsya formula kā tāda ir piemērotāka, manipulējot ar vīrusiem ar bra- un ket-vektoriem. Aja vientulību var iespraust be-jaku radīšanas vietā.

Padomāsim, kādas ir matricas, kas ir iekļautas summā un kam piemīt pamata ket-vektora tenzoru izveidošana ar saviem hermītiskajiem atklājumiem. Es zinu, ka precizitātes labad mēs uzzīmēsim analoģiju ar nozīmīgākajiem vektoriem triviālajā telpā.

Mēs izvēlamies viena pamata vektorus ex ey un ez, kas iet taisni pa koordinātu asīm. Vektora ex tenzoriskā pievienošana tā pārim tiks attēlota ar progresējošu matricu. Ņemsim lielāku vektoru v. Kas notiks, reizinot matricu ar vektoru? Šī matrica viegli anulēja visus vektora krіm x komponentus. Rezultātā ir vektors, kas virza uzdovzh asi x, tāpēc izejas vektora projekcija ir bāzes vektors ex. Nāciet, mūsu matrica ir nekas vairāk kā projekcijas operators.

Divi projekcijas operatori, kas ir izlaisti, pamatojoties uz vektori ey un ez, šķiet, ir līdzīgas matricas un pārvērš līdzīgu funkciju - nulles visas vektora sastāvdaļas, izņemot vienu.

Ko nozīmē projekcijā redzēt operatoru summēšanas stundu? Liksim, piemēram, operatorus Px un Py. Šādu matricu var anulēt tikai ar vektora z-komponentu. Somas vektors vienmēr atradīsies x-y plaknes. Tāpēc mēs varam izmantot projekcijas operatoru x-y plaknē.

Tagad ir skaidrs, kāpēc visu operatoru summa projekcijā uz bāzes vektora un vienas matricas. Mūsu lietojumprogrammā mēs atņemam trivimēra vektora projekciju uz trivimēru telpu. Viena pati matrica būtībā ir paša vektora projektors.

Projekcijas operatora uzdevums ir līdzvērtīgs ārējās telpas apakštelpas uzdevumam. Šāda veida trivi-pasaules Eiklīda plašumam var būt viendimensionāla līnija, kuru nosaka viens vektors, vai divdimensiju laukums, kuru nosaka vektoru pāris.

Pievēršoties kvantu mehānikai un es kļūšu par vektoriem Hilberta telpā, mēs varam teikt, ka projekcijas operatori nosaka apakštelpu un projicē vektoru visā Hilberta apakštelpā.

Iepazīstinām ar operatoru galveno spēku projekcijā.

1. Tā paša projekcijas operatora nākamais zvans ir līdzvērtīgs vienam projekcijas operatoram. Izsauciet jaudu un pierakstiet to kā P 2 = P. Tiesa, pirmais operators, izveidojis apakštelpas vektoru, otrs ar to neko nevar izdarīt. Vecuma vektors jau tiek pārbūvēts tajā pašā apakštelpā.
2. Projekcijas operatori ir hermītu operatori, acīmredzot kvantu mehānikā tie parāda vērtības, kuras tiek apsargātas.
3. Vlasnі znachennya operatorі v proektsії be-yakої razmіrnostі viss lich nulle viens un nulle. Nav iespējams zināt vektoru apakštelpā. Caur šādu binaritāti, ko apraksta projekcijas operators, vienā mirklī var formulēt apsargājamo vērtību, tā būs “tā” vai “nē”. Piemēram, kā iztaisnot pirmā elektrona spinus singleta stacijā uz augšu pa z asi? Šādu jaudu var nodrošināt ar projekcijas operatoru. Kvantu mehānika ļauj ievērot imovirnosti "tā" un "n" formā.

Nadalі mi sche runā par operatoriem projekcijā.

Lineārā operatora matrica

Ejam - līnijas operators, turklāt brīvās vietas un kintsev, і.

Iestatiet diezgan pamatu: sadaļā i v.

Mēs uzstādām uzdevumu: pietiekamam vektoram aprēķiniet vektora koordinātas pie pamatnes.

Ieviešot vektora matricas rindu, kas tiek pievienota vektoru attēliem bāzē, mēs ņemam:

Ar cieņu, scho palikt šajā valodā var būt vienāda ar operatora linearitāti.

Sadalīsim vektoru sistēmu pēc bāzes:

,

matrica destovpets є vektora koordinātas bāzē .

Atlikušais laiks:

Oce, lai aprēķinātu vektora koordinātas citas telpas izvēlētajā bāzē, pietiek ar vektora koordinātes pirmās telpas izvēlētajā bāzē reizināt ar matricu, kas saskaita bāzes attēlu koordinātas. vektori pirmajā telpā uz citas telpas pamatu.

Matricu sauc lineārā operatora matrica dotajā bāzu pārī.

Lineārā operatora matricu varam apzīmēt kā to pašu burtu, kas ir pats operators, bet bez slīpraksta. Dažreiz mēs vikoristovuvaty un to pašu nozīmi: , vairumā gadījumu izlaižot pamata stiprību (precizitātes sabojāšanas rezultātā).

Priekš lineārā transformācija(Tātad ja ) jūs varat runāt par jogu matricas dotajā bāzē.

Kā piemēru apskatīsim projicējošā operatora matricu 1.7. punkta piemērā (attiecībā uz šo ģeometrisko vektoru plašuma transformāciju). Pamats ir viberāli lielisks pamats.

Atkal, projekcijas operatora matrica uz pamata plaknes var izskatīties šādi:

Ar cieņu, ka projekcijas operatoru esam uzskatījuši par visu plaknes tuvumā esošo ģeometrisko vektoru atlikušās telpas attēlojumu, tad, ņemot par pamatu, atņemam arī šādu matricu:

Apskatot esošo matricu, kas paplašināta kā lineārais operators, kas aritmētisko telpu pārvērš aritmētiskajā telpā un izvēloties kanoniskā pamata ādas telpā, iespējams, ka dotā lineārā operatora matrica šādā bāzu pārī ir pati matrica, kā pati matrica, matrica un lineārais operators ir vienādi (tieši tas pats, kā izvēloties kanonisko bāzi aritmētikā vektora telpa vektoru i stovpets koordinātas šajā bāzē var identificēt). Ale Boulo izmantoja rupju piedošanu ottozhnyuvati vektors jaks kā šisі līnijas operators jaks tādi no їх iesniegumiem uz chi else bāzi (lai apskatītu to pašu matricu). І vektors, і lineārais operators ir ģeometriski, nemainīgi objekti, neatkarīgi no jebkura pamata. Tāpat, ja mēs, piemēram, esam nedaudz ģeometrisks vektors, piemēram, iztaisnojumi vіdrіzok, vіn vyznacheny zovsіm іinvariantly, tad. mums, ja mi yogo ir mazs, nav attāluma līdz bāzēm, koordinātu sistēmas ir pārāk mazas, un mēs varam darboties tīri ģeometriski. Insha bagāts, ko pārredzamības labad operāciju, skaidrības labad aprēķiniet ar vektoriem, mēs būsim pirmais algebras aparāts, ieviešot koordinātu sistēmas, bāzes un ar tām saistīto visu algebrisko vektoru aprēķināšanas tehniku. p align="justify"> Tēlaini, šķietami, vektors, tāpat kā "svēts" ģeometrisks objekts, "audumi" dažādās koordinātēs atmatās pēc bāzes izvēles. Al, cilvēks var uzvilkt ļoti manipulatīvu drānu, kuras dēļ būtība ir tāda, ka cilvēks nemainās, ale, tiesa, ka tie, kas nav kā audums, tiek līdz šai situācijai (tu neej uz pludmali ar koncerta mēteli), tāpēc mēs to nedarīsim. Tātad, ja nav pamata, tas ir piemērots šī uzdevuma risinājumam, tāpēc ļoti tīri ģeometriskais risinājums var šķist pārāk salokāms. Mēs tiekam izmantoti mūsu kursā, tā kā tādu pilnveidošanai, tika dots, tikai ģeometrisks uzdevums, kā klasifikācija virs citas kārtas, būs iespējams pabeigt to skaisto algebras teoriju.

Izpratne par ģeometriskā objekta saprotamību ar šo citu pamatu kļūst par pamatu lineārās algebras pieņemšanai. Ģeometriskais objekts nav vainojams pie paša ģeometriskā vektora. Tātad, kā mēs varam ievietot aritmētisko vektoru , tad to var kartēt uz kanoniskās bāzes koordinātu koordinātām , Bo (div. pirmais semestris):

Un tad mēs ieviešam vēl vienu bāzi y, ko saskaita ar vektoru і (reverss, kas ir pamats!) І, pārejas matricu, mēs apgriežam mūsu vektora koordinātas:

Mēs otrimali zovsіm іnshiy stovpets, ale vіn pārstāvam Іншому tā ļoti aritmētiskā vektora pamatā.

Par vektoriem teikto var attiecināt arī uz lineārajiem operatoriem. Tie, chim vektors є th izpausmes koordināte, tim lineārais operators є th matrica.

Otzhe (atkārtojiet vēl vienu reizi), ir skaidri jānodala robežas ar nemainīgu, ģeometrisku objektu, piemēram, vektora un lineāra operatora spēku, un їх izpausmes uz cita pamata (Iet, zrozumіlo, iet par beigām līnijas plašumiem).

Parūpēsimies par uzdevumu pārveidot lineārā operatora matricu, pārejot no viena bāzu pāra uz otru.

Aiziet - jauns bāzu pāris dzīvotspējai.

Todi (norādot operatora matricu "izšķīloto" bāzu pārī) ņem:

Als no otras puses,

,

zvaigznes, izmantojot vektora sadalījuma vienotību aiz bāzes

,

Lineārai transformācijai formula izskatās vairāk nekā vienkārša:

Matricas i , kas saistītas ar šādu spіvvіdnosheniyam, sauc līdzīgi.

Ir viegli redzēt, ka šādu matricu noteicošie faktori ir dzīvotspējīgi.

Ieviests tagad saprotu līnijas operatora pakāpe.

Norādītajam numuram, kas atbilst šī operatora attēlam:

Mēs sniedzam tik svarīgu paziņojumu:

Apstiprinājums 1. 10 Lineārā operatora rangs mainās atkarībā no tā matricas ranga neatkarīgi no bāzes izvēles.

Atnešana. Ar cieņu, ka lineāra operatora attēls ir sistēmas lineārs apvalks, kas ir telpas deficīts.

Tiesa,

ja nebūtu skaitļu, bet tse i nozīmē, ka tas ir ierakstīts lineārs apvalks.

Lineārā apvalka daudzveidība, kā šķiet (div. 1.2. lpp.) zbіgaєtsya ar vienas un tās pašas vektoru sistēmas rangu.

Agrāk tika ievests (1.3. sadaļa), ka vektoru sistēma ir izkārtota pēc esošās bāzes jaka

tad, domājot par sistēmas neatkarību, matricas ir lineāri neatkarīgas. Jūs varat ņemt līdzi stiprāku cietību (mēs izlaižam pierādījumu): sistēmas rangs ir vienāds ar matricas rangu turklāt viss rezultāts nav pamata izvēlē, jo matricas reizināšana ar nevirogēnu matricu nemaina pārejas rangu.

Oskilki

,

Tā kā, acīmredzot, līdzīgu matricu rindas atšķiras, tad dots rezultāts noguldījumu, izvēloties konkrētu pamatu.

Apstiprinājums ir atnests.

Lineāram reinkarnācija mēs varam izveidot kaut kādu galīgo lineāro telpu un saprast šī noteicējs reinkarnācija kā jogas matricas determinants diezgan fiksētā bāzē, bet lineārās transformācijas matrica citās bāzēs ir līdzīga, un tāpēc tai var būt tādi paši noteicēji.

Vikoristovuyuchi saprotot lineārā operatora matricu, pievērsīsimies nākamajam svarīgajam spіvvіdnosheniya: jebkura veida lineārai transformācijai - mierīga lineāra izplatība

Mēs izvēlamies diezgan pamatu telpai. Šis kodols sastāv no klusiem un mazāk vektoriem, kuru koordinātas ir viendabīgas sistēmas risinājuma būtība

un pats vektors ir tas pats un tikai tas pats, ja atrisinājums ir sistēmas (1) risinājums.

Pretējā gadījumā acīmredzot var būt kodola izomorfisms sistēmas (1) risinājuma plašumā. Otzhe, rozmіrnostі tsikh plašumus zbіgayutsya. Ale rozmіrnіst ekspansīvs sistēmas risinājums (1) dorіvnyuє, kā mēs zinām, , de - rank matrica . Ale mi shoyno atnesa, sho