МАТРИЦІ І визначник

Лекція 1. Матриці

1. Поняття матриці. типи матриць

2. Алгебра матриць

Лекція 2. Визначники

1. Визначники квадратної матриці і їх властивості

2. Теореми Лапласа і анулювання

Лекція 3. Зворотній матриця

1. Поняття оберненої матриці. Единственность оберненої матриці

2. Алгоритм побудови оберненої матриці. Властивості оберненої матриці

4. Завдання і вправи

4.1. Матриці і дії над ними

4.2. Визначники

4.3. зворотна матриця

5. Індивідуальні завдання

література

Лекція 1. МАТРИЦІ

план

1. Поняття матриці. Типи матриць.

2. Алгебра матриць.

Ключові поняття

Діагональна матриця.

Одинична матриця.

Нульова матриця.

Симетрична матриця.

Узгодженість матриць.

Транспонування.

Трикутна матриця.

1. ПОНЯТТЯ МАТРИЦІ. ТИПИ матриць

прямокутну таблицю

що складається з m рядків і n стовпців, елементами якої є дійсні числа, де i- номер рядка, j- номер стовпця на перетині яких стоїть цей елемент, будемо називати числовий матрицеюпорядку m'n і позначати.

Розглянемо основні типи матриць:

1. Нехай m = n, тоді матриця А - квадратна матриця, яка має порядок n:

А = .

елементи утворюють головну діагональ, елементи утворюють побічну діагональ.

діагональної , Якщо всі її елементи, крім, можливо, елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю:

А = = diag ( ).

Діагональна, а значить квадратна, матриця називається одиничної , Якщо всі елементи головної діагоналі рівні 1:

Е = = diag (1, 1, 1, ..., 1).

Зауважимо, що одинична матриця є матричним аналогом одиниці в безлічі дійсних чисел, а також підкреслимо, що одинична матриця визначається тільки для квадратних матриць.

Наведемо приклади одиничних матриць:

Квадратні матриці

А = , В =

називаються верхньої та нижньої трикутними відповідно.

2 . Нехай m = 1, тоді матриця А - матриця-рядок, яка має вигляд:

3 . Нехай n = 1, тоді матриця А - матриця-стовпець, яка має вигляд:

4 .Нулевой матрицею називається матриця порядку m'n, все елементи якої рівні 0:

Зауважимо, що нульова матриця може бути квадратної, матрицею-рядком або матрицею-стовпцем. Нульова матриця є матричний аналог нуля в безлічі дійсних чисел.

5 . матриця називається транспонованою до матриці і позначається, якщо її стовпці є відповідними за номером рядками матриці.

приклад . Нехай =, тоді =.

Зауважимо, якщо матриця А має порядок m'n, то транспонована матриця має порядок n'm.

6 . Матриця А називається симетричною , Якщо А = А, і кососімметрічной , Якщо А = -А.

приклад . Дослідити на симетричність матриці А і В.

Тоді =, отже, матриця А - симетрична, так як А = А.

В =, тоді =, отже, матриця В - кососімметрічная, так як В = - В.

Зауважимо, що симетрична і кососімметрічная матриці завжди квадратні. На головній діагоналі симетричною матриці можуть стояти будь-які елементи, а симетрично щодо головної діагоналі повинні стояти однакові елементи, тобто =. На головній діагоналі кососімметрічной матриці завжди стоять нулі, а симетрично щодо головної діагоналі = -.

2. АЛГЕБРА матриць

Розглянемо дії над матрицями, але спочатку введемо кілька нових понять.

Дві матриці А і В називаються матрицями одного порядку, якщо вони мають однакову кількість рядків і однакову кількість стовпців.

Приклад. і - матриці одного порядку 2'3;

І - матриці різних порядків, так як 2'3 ≠ 3'2.

Поняття "більше" і "менше" для матриць не визначають.

Матриці А і В називаються рівними, якщо вони одного порядку m'n, і =, де 1, 2, 3, ..., m, а j = 1, 2, 3, ..., n.

Множення матриці на число.

Множення матриці А на число λ призводить до множення кожного елемента матриці на число λ:

λА = , ΛR.

З даного визначення випливає, що загальний множник всіх елементів матриці можна виносити за знак матриці.

Приклад.

Нехай матриця А =, тоді 5А = =.

Нехай матриця В = = = 5.

Властивості множення матриці на число :

2) (λμ) А = λ (μА) = μ (λА), де λ, μ R;

3) (λА) = λА;

Сума (різниця) матриць .

Сума (різниця) визначається лише для матриць одного порядку m'n.

Сумою (різницею) двох матриць А і В порядку m'n називається матриця З того ж порядку, де = ± (1, 2, 3, ..., m ,

j= 1, 2, 3, ..., n.).

Іншими словами, матриця С складається з елементів, рівних сумі (різниці) відповідних елементів матриць А і В.

приклад . Знайти суму і різницю матриць А і В.

тоді = + = =,

=–==.

Якщо ж = , =, То А ± В не існує, так як матриці різного порядку.

З даних вище визначень слідують властивостісуми матриць:

1) коммутативность А + В = В + А;

2) асоціативність (А + В) + С = А + (В + С);

3) дистрибутивность до множення на число λR: λ (А + В) = λА + λВ;

4) 0 + А = А, де 0 - нульова матриця;

5) А + (- А) = 0, де (-А) - матриця, протилежна матриці А;

6) (А + В) = А + В.

Твір матриць.

Операція твори визначається не для всіх матриць, а лише для узгоджених.

Матриці А і В називаються узгодженими , Якщо число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В. Так, якщо,, m ≠ k, то матриці А і В узгоджені, так як n = n, а в зворотному порядку матриці В і А неузгоджені, так як m ≠ k. Квадратні матриці узгоджені, коли у них однаковий порядок n, причому узгоджені як А і В, так і В і А. Якщо, а, то будуть узгоджені матриці А і В, а також матриці В і А, так як n = n, m = m.

Твором двох узгоджених матриць і

А = , В =

називається матриця З порядку m'k:

= ∙, елементи якої обчислюються за формулою:

(1, 2, 3, ..., m, j = 1, 2, 3, ..., k),

тобто елемент i -ої рядки і j-го стовпця матриці С дорівнює сумі творів всіх елементів i -ої рядки матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.

приклад . Знайти твір матриць А і В.

∙===.

Твір матриць В ∙ А не існує, так як матриці В і А не узгоджені: матриця В має порядок 2'2, а матриця А - порядок 3'2.

Розглянемо властивостітвори матриць:

1 ) Некомутативними: АВ ≠ ВА, навіть якщо А і В, і В і А узгоджені. Якщо ж АВ = ВА, то матриці А і В називаються коммутирующими (матриці А і В у цьому випадку обов'язково будуть квадратними).

приклад 1 . = , = ;

==;

==.

Очевидно, що ≠.

приклад 2 . = , = ;

= = =;

= = = .

висновок: ≠, хоча матриці і одного порядку.

2 ) Для будь-яких квадратних матриць одинична матриця Е є коммутирующей до будь-якої матриці А такого ж порядку, причому в результаті отримаємо ту ж матрицю А, тобто АЕ = ЕА = А.

приклад .

===;

===.

3 ) A · 0 = 0 · A = 0.

4 ) Твір двох матриць може дорівнювати нулю, при цьому матриці А і В можуть бути ненульовими.

приклад .

= ==.

5 ) Асоціативність АВС = А (ВС) = (АВ) С:

· (·

приклад .

Маємо матриці, , ;

тоді А ּ (В ּ С) = (·

(А ּ В) ּ С =

===

==.

Таким чином, ми на прикладі показали, що А ּ (В ּ С) = (А ּ В) ּ С.

6 ) Дистрибутивность щодо складання:

(А + В) ∙ С = АС + ВС, А ∙ (В + С) = АВ + АС.

7) (А ∙ В) = В ∙ А.

Приклад.

, =.

тоді АВ =∙==

=(А ∙ В)= =

В ∙А =∙ = ==.

Таким чином, ( А ∙ В)= В А .

8 ) Λ (А ּ В) = (λА) ּ У = А ּ (λВ), λ, R.

Розглянемо типові приклади на виконання дій над матрицями, тобто потрібно знайти суму, різницю, добуток (якщо вони існують) двох матриць А і В.

приклад 1 .

, .

Рішення.

1) + = = =;

2) – ===;

3) твір не існує, так як матриці А і В неузгоджені, втім, не існує і твори з тієї ж причини.

приклад 2 .

Рішення.

1) суми матриць, як і їх різниці, не існує, так як вихідні матриці різного порядку: матриця А має порядок 2'3, а матриця В - порядок 3'1;

2) так як матриці А і В узгоджені, то твір матриць А ּ У існує:

·=·= =,

твір матриць В ּ А не існує, так як матриці і неузгоджені.

Приклад 3.

Рішення.

1) суми матриць, як і їх різниці, не існує, так як вихідні матриці різного порядку: матриця А має порядок 3'2, а матриця В - порядок 2'3;

2) твір як матриць А ּ У, так і В ּ А, існує, так як матриці узгоджені, але результатом таких творів будуть матриці різних порядків: · =, · =.

= = ;

·=·= =

В даному випадку АВ ≠ ВА.

приклад 4 .

Рішення.

1) +===,

2) –= ==;

3) твір як матриць А ּ В, так і В ּ А, Існує, так як матриці узгоджені:

·==·= =;

·==·= =

= ≠, тобто матриці А і В некоммутірующіе.

приклад 5 .

Рішення.

1) +===,

2) –===;

3) твір як матриць А ּ У, так і В ּ А, існує, так як матриці узгоджені:

·==·= =;

·==·= =

А ּ У = В ּ А, т. Е. Дані матриці коммутирующие.

Лекція 2. визначник

план

1. Визначники квадратної матриці і їх властивості.

2. Теореми Лапласа та анулювання.

Ключові поняття

Алгебраїчне доповнення елемента визначника.

Мінор елемента визначника.

Визначник другого порядку.

Визначник третього порядку.

Визначник довільного порядку.

Теорема Лапласа.

Теорема анулювання.

1. визначник квадратної матриці ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Нехай А - квадратна матриця порядку n:

А = .

Кожній такій матриці можна поставити у відповідність єдине дійсне число, зване визначником (детермінантом) матриці і позначається

Det A = Δ = .

Відзначимо, що визначник існує тільки для квадратнихматриць.

Розглянемо правила обчислення визначників і їх властивості для квадратних матриць другого і третього порядку, які будемо називати для стислості визначниками другого і третього порядку відповідно.

Визначником другого порядкуматриці називається число, яке визначається за правилом:

т. е. визначник другого порядку є число, яке дорівнює добутку елементів головної діагоналі мінус твір елементів побічної діагоналі.

приклад .

Тоді == 4 · 3 - (-1) · 2 = 12 + 2 = 14.

Слід пам'ятати, що для позначення матриць використовують круглі або квадратні дужки, а для визначника - вертикальні лінії. Матриця - це таблиця чисел, а визначник - число.

З визначення визначника другого порядку слідують його властивості :

1. Визначник не зміниться при заміні всіх його рядків відповідними стовпцями:

2. Знак визначника змінюється на протилежний при перестановці рядків (стовпців) визначника:

3. Загальний множник всіх елементів рядка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника:

4. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

5. Визначник дорівнює нулю, якщо відповідні елементи його рядків (стовпців) пропорційні:

6. Якщо елементи одного рядка (стовпця) визначника дорівнюють сумі двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників:

=+, =+.

7. Значення визначника не зміниться, якщо до елементів його рядки (стовпці) додати (відняти) відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне і теж число:

=+=,

так як = 0 по властивості 5.

Решта властивості визначників розглянемо нижче.

Введемо поняття визначника третього порядку: визначником третього порядкуквадратної матриці називається число

Δ == det A = =

=++– – – ,

т. е. кожний доданок у формулі (2) являє собою твір елементів визначника, взятих по одному і тільки одному з кожного рядка і кожного стовпця. Щоб запам'ятати, які твори в формулі (2) брати зі знаком плюс, а які зі знаком мінус, корисно знати правило трикутників (правило Саррюс):

приклад . обчислити визначник

==

Слід зазначити, що властивості визначника другого порядку, розглянуті вище, без змін переносяться на випадок визначників будь-якого порядку, в тому числі і третього.

2. Теорема Лапласа І АНУЛЮВАННЯ

Розглянемо ще два дуже важливих властивості визначників.

Введемо поняття мінору і алгебраїчного доповнення.

Мінором елемента визначниканазивається визначник, отриманий з вихідного визначника викреслюванням того рядка і того стовпця, яким належить даний елемент. Позначають мінор елемента через.

приклад . = .

Тоді, наприклад, =, =.

Алгебраїчним доповненням елементавизначника називається його мінор, взятий зі знаком. Алгебраїчне доповнення будемо позначати, тобто =.

наприклад:

= , === –,

Повернемося до формули (2). Групуючи елементи і виносячи за дужки загальний множник, отримаємо:

=(– ) +( – ) +(–)=

Аналогічно доводяться рівності:

1, 2, 3; (3)

Формули (3) називаються формулами розкладаннявизначника за елементами i-го рядка (j-го стовпця), або формулами Лапласа для визначника третього порядку.

Таким чином, ми отримуємо восьме властивість визначника :

теорема Лапласа . Визначник дорівнює сумі всіх творів елементів будь-якого рядка (стовпця) на відповідні алгебраїчні доповненняелементів цього рядка (стовпця).

Зауважимо, що дана властивість визначника є не що інше, як визначення визначника будь-якого порядку. На практиці його використовують для обчислення визначника будь-якого порядку. Як правило, перш ніж обчислювати визначник, використовуючи властивості 1 - 7, домагаються того, якщо це можливо, щоб в будь-якої рядку (стовпці) дорівнювали нулю всі елементи, крім одного, а потім розкладають по елементах рядка (стовпчика).

приклад . обчислити визначник

== (З другого рядка віднімемо першу) =

== (З третього рядка віднімемо першу) =

== (Розкладемо визначник за елементами третьої

рядки) = 1 ּ = (з другого шпальти віднімемо перший стовпець) = = 1998 ּ 0 - 1 ּ 2 = -2.

приклад .

Розглянемо визначник четвертого порядку. Для його обчислення скористаємося теоремою Лапласа, тобто розкладанням за елементами рядка (стовпчика).

== (так як другий стовпець містить три нульових елемента, то розкладемо визначник за елементами другого стовпця) = = 3 ּ = (з другого рядка віднімемо першу, помножену на 3, а з третього рядка віднімемо першу, помножену на 2) =

3 ּ = (Розкладемо визначник за елементами першого стовпчика) = 3 ּ 1 ּ =

дев'яте властивість определітеляносіт назву теорема анулювання :

сума всіх творів елементів одного рядка (стовпця) визначника на відповідні алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю, тобто

++ = 0,

приклад .

= = (Розкладемо за елементами третього рядка) =

0 ּ +0 ּ + ּ = -2.

Але, для цього ж прикладу: 0 ּ +0 ּ +1 ּ =

0 ּ +0 ּ +1 ּ = 0.

Якщо визначник будь-якого порядку має трикутний вигляд

=, То він дорівнює добутку елементів, що стоять на діагоналі:

= ּּ ... ּ. (4)

Приклад. Обчислити визначник.

=

Іноді при обчисленні визначника за допомогою елементарних перетворень вдається звести його до трикутного вигляду, після чого застосовується формула (4).

Що стосується визначника твори двох квадратних матриць, то він дорівнює добутку визначників цих квадратних матриць:.

Лекція 3. ЗВОРОТНА МАТРИЦЯ

план

1. Поняття оберненої матриці. Единственность оберненої матриці.

2. Алгоритм побудови оберненої матриці.

Властивості оберненої матриці.

Ключові поняття

Зворотна матриця.

Приєднана матриця.

1. ПОНЯТТЯ ЗВОРОТНЬОГО МАТРИЦІ.

Єдине ЗВОРОТНЬОГО МАТРИЦІ

У теорії чисел поряд з числом визначають число, протилежне йому () таке, що, і число, зворотне йому таке, що. Наприклад, для числа 5 протилежним буде число

(- 5), а зворотним буде число. Аналогічно, в теорії матриць ми вже ввели поняття протилежної матриці, її позначення (- А). зворотною матрицею для квадратної матриці А порядку n називається матриця, якщо виконуються рівності

де Е- одинична матриця порядку n.

Відразу ж відзначимо, що зворотна матриця існує тільки для квадратних невироджених матриць.

Квадратна матриця називається невироджених (Неособенной), якщо detA ≠ 0. Якщо ж detA = 0, то матриця А називається виродження (Особливою).

Відзначимо, що невироджених матриця А має єдину зворотну матрицю. Доведемо це твердження.

Нехай для матриці Аіснує дві протилежні матриці ,, тобто

Тоді = ּ = ּ () =

Що і потрібно було довести.

Знайдемо визначник оберненої матриці. Так як визначник добутку двох матриць А і В однакового порядку дорівнює добутку визначників цих матриць, т. Е., Отже, твір двох невироджених матриць АВ є невироджених матриця.

Робимо висновок, що визначник оберненої матриці є число, зворотне определителю вихідної матриці.

2. АЛГОРИТМ ПОБУДОВИ ЗВОРОТНЬОГО МАТРИЦІ.

Властивості ЗВОРОТНЬОГО МАТРИЦІ

Покажемо, що, якщо матриця А невироджена, то для неї існує зворотна матриця, і побудуємо її.

Складемо матрицю з алгебраїчних доповнень елементів матриці А:

Транспоніруя її, отримаємо так звану приєднану матрицю:

.

Знайдемо твір ּ. З урахуванням теореми Лапласа і теореми анулювання:

ּ = =

=.

Робимо висновок:

Алгоритм побудови оберненої матриці.

1) Обчислити визначник матриці А. Якщо визначник дорівнює нулю, то зворотної матриці не існує.

2) Якщо визначник матриці не дорівнює нулю, то скласти з алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці Аматрицю.

3) Транспоніруя матрицю, отримати приєднану матрицю.

4) За формулою (2) скласти обернену матрицю.

5) За формулою (1) перевірити обчислення.

приклад . Знайти обернену матрицю.

а). Нехай А =. Так як матриця А має дві однакові рядки, то визначник матриці дорівнює нулю. Отже, матриця вироджена, і для неї не існує оберненої матриці.

б). нехай А =.

Обчислимо визначник матриці

зворотна матриця існує.

Складемо матрицю з алгебраїчних доповнень

= = ;

транспоніруя матрицю, отримаємо приєднану матрицю

за формулою (2) знайдемо обернену матрицю

==.

Перевіримо правильність обчислень

= = .

Отже, зворотна матриця побудована правильна.

Властивості оберненої матриці

1. ;

2. ;

3. .

4. ЗАВДАННЯ І ВПРАВИ

4.1 Матриці і дії над ними

1. Знайти суму, різницю, твори двох матриць А і В.

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

е) , ;

ж) , ;

з), ;

і) , .

2. Довести, що матриці А і В коммутирующие.

а),; б) , .

3. Дано матриці А. В і С. Показати, що (АВ) · С = А · (ВС).

а) , , ;

б) , , .

4. Обчислити (3А - 2В) · С, якщо

, , .

5. Знайти, якщо

а) ; б) .

6. Знайти матрицю Х, якщо 3А + 2 Х = В, де

, .

7. Знайти АВС, якщо

а) , , ;

б) , , .

ВІДПОВІДІ ПО ТЕМІ «МАТРИЦІ І ДІЇ НАД НИМИ»

1. а) , ;

б) твори АВ і ВА не існує;

в) , ;

г) , ;

д) суми, різниці та добутку ВА матриць не існують, ;

е), ;

ж) твори матриць не існує;

з) , ;

і) , .

2. а) ; б) .

3. а) ; б).

4. .

5. а) ; б) .

6. .

7. а) ; б) .

4.2 Визначники

1. Обчислити визначники

а); б); в); г); д); е);

ж); з) .

3. За допомогою правила трикутників обчислити визначники

а); б); в) ; г).

4. Обчислити визначники прикладу 2, використовуючи теорему Лапласа.

5. Обчислити визначники, попередньо спростивши їх:

а) ; б) ; в) ;

г); д) ; е) ;

ж) .

6. Обчислити визначник методом приведення його до трикутного вигляду

.

7. Нехай дано матриці А і В. Довести, що :

, .

ВІДПОВІДІ ПО ТЕМІ «визначник»

1. а) 10; б) 1; в) 25; г) 16; д) 0; е) -3; ж) -6; з) 1.

2. а) -25; б) 168; в) 21; г) 12.

3. а) -25; б) 168; в) 21; г) 12.

4. а) 2; б) 0; в) 0; г) 70; д) 18; е) -66; ж) -36.

4.3 Зворотній матриця

1. Знайти обернену матрицю:

а); б); в); г);

д) ; е); ж) ; з) ;

і) ; к) ; л) ;

м) ; н) .

2. Знайти обернену матрицю і перевірити виконання умови:

а); б) .

3. Довести рівність :

а),; б) ,.

4. Довести рівність :

а); б) .

ВІДПОВІДІ ПО ТЕМІ «Зворотній МАТРИЦА»

1. а); б); в) ; г) ;

д) ; е) ; ж);

з) ; і) ;

к) ; л) ;

м); н) .

2. а) ; б) .

2. а) , , =;

б) , ,

=.

5. а) , ,

, ;

б) , ,

, .

5. ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

1. Обчислити визначник розкладанням

а) по i- тому рядку;

б) по j- того колонки.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

i = 2, j = 3. i = 4, j = 1. i = 3, j = 2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

i = 3, j = 3. i = 1, j = 4. i = 2, j = 2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

i = 4, j = 4. i = 2, j = 2. i = 3, j = 2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

i = 2, j = 1. i = 1, j = 2. i = 3, j = 2.

1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

i = 2, j = 3. i = 1, j = 3. i = 4, j = 2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

i = 2, j = 3. i = 2, j = 4. i = 1, j = 3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

i = 2, j = 2. i = 1, j = 4. i = 3, j = 2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

i = 1, j = 3. i = 2, j = 1. i = 3, j = 4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

i = 4, j = 3. i = 3, j = 3. i = 1, j = 2.

1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

i = 3, j = 3. i = 2, j = 1. i = 3, j = 2.

ЛІТЕРАТУРА

1. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Вища математика. - Мн .: Обчислюємо. шк., 1992.- 384 с.

2. Гусак А.А. Довідковий посібник до вирішення завдань: аналітична геометрія і лінійна алгебра. - Мн .: ТетраСистемс, 1998.- 288 с.

3. Марков Л. Н., Размисловіч Г.П. Вища математика. Частина 1. Мн .: Амалфея, 1999. - 208 с.

4. Бельке І.В., Кузьмич К.К. Вища математика для економістів. I семестр. М .: Нове знання, 2002.- 140 с.

5.Коваленко Н.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.І. Вища математика. Учеб. посібник. Мн .: ЧІУП, 2003. - 32 с.

Основний числовою характеристикою квадратної матриці є її визначник. Розглянемо квадратну матрицю другого порядку

Визначником або детермінантою другого порядку називається число, обчислене за наступним правилом

наприклад,

Розглянемо тепер квадратну матрицю третього порядку

.

Визначником третього порядку називається число, обчислене за наступним правилом

З метою запам'ятовування поєднання доданків, що входять у вирази для визначення визначника третього порядку зазвичай використовують правило Саррюс: перше з трьох доданків, що входять в праву частину зі знаком плюс є твір елементів, що стоять на головній діагоналі матриці, а кожне з двох інших - твір елементів, що лежать на паралелі до цієї діагоналі, і елемента з протилежного кутка матриці.

Останні три складові, що входять зі знаком мінус визначаються аналогічним чином, тільки щодо побічної діагоналі.

приклад:

Основні властивості визначників матриці

1. Величина визначника не змінюється при транспонировании матриці.

2. При перестановки місцями рядків або стовпців матриці, визначник змінює лише знак, зберігаючи абсолютну величину.

3. Визначник, що містить пропорційні рядки або стовпці дорівнює нулю.

4. Загальний множник елементів деякого рядка або стовпця можна виносити за знак визначника.

5. Якщо всі елементи деякого рядка або стовпця дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

6. Якщо до елементів окремого рядка або стовпця визначника додати елементи іншого рядка або стовпця, помножені на довільний невироджених множник, то величина визначника не зміниться.

міноромматриці називається визначник, отриманий викреслюванням з квадратної матриці однакового числа стовпців і рядків.

Якщо все мінори порядку вище, які можна скласти з матриці, дорівнюють нулю, а серед миноров порядку хоча б один відмінний від нуля, то число називається рангом цієї матриці.

алгебраїчним доповненнямелемента визначника порядку будемо називати його мінор порядку, одержуваний викреслюванням відповідного рядка і стовпця, на перетині яких, варто елемент, взятий зі знаком плюс, якщо сума індексів дорівнює парним числом і зі знаком мінус в іншому випадку.

Таким чином

,

де відповідний мінор порядку.

Обчислення визначника матриці шляхом розкладання за елементами рядка або стовпця

Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якої рядки (будь-якого стовпчика) матриці на відповідні алгебраїчні доповнення елементів цього рядка (цього стовпчика). При обчисленні визначника матриці таким способом слід керуватися таким правилом: вибирати рядок або стовпець з найбільшим числом нульових елементів. Цей прийом дозволяє значно скоротити обсяг обчислень.

приклад: .

При обчисленні цього визначника, скористалися прийомом розкладання його за елементами першого стовпчика. Як видно з наведеної формули немає необхідності обчислювати останній з визначників другого порядку, тому що він множиться на нуль.

Обчислення оберненої матриці

При вирішенні матричних рівнянь широко використовують зворотний матрицю. Вона певною мірою замінює операцію ділення, яка в явному вигляді в алгебрі матриць відсутня.

Квадратні матриці однакового порядку, твір яких дає одиничну матрицю, називаються взаімообратних або зворотними. Позначається зворотна матриця і для неї справедливо

Обчислити зворотну матрицю можна тільки для такої матриці, для якої.

Класичний алгоритм обчислення зворотної матриці

1. Записують матрицю, транспоновану до матриці.

2. Заміняють кожен елемент матриці визначником, отриманим в результаті викреслювання рядка і стовпця, на перетині яких розташований даний елемент.

3. Цей визначник супроводжують знаком плюс, якщо сума індексів елемента парна, і знаком мінус - в іншому випадку.

4. Ділять отриману матрицю на визначник матриці.

Більшість математичних моделей в економіці описуються за допомогою матриць і матричного числення.

матриця - це прямокутна таблиця, яка містить числа, функції, рівняння або інші математичні об'єкти, розташовані в рядках і стовпцях.

Об'єкти, що становлять матрицю, називають її елементами . Матриці позначають великими латинськими літерами

а їх елементи - малими.

символ
означає, що матриця має
рядків і стовпців, елемент, що знаходиться на перетині го рядка і -го стовпця
.

.

Кажуть, що матриця Адорівнює матриці В : А = В, Якщо вони мають однакову структуру (тобто однакове число рядків і стовпців) і їх відповідні елементи тотожно рівні
, для всіх
.

Приватні види матриць

На практиці досить часто зустрічаються матриці спеціального виду. Деякі методи передбачають також перетворення матриць від одного виду до іншого. Найбільш часто зустрічаються види матриць наведені нижче.

	квадратна матриця, число рядків nдорівнює числу стовпців n
	матриця-стовпець
	матриця-рядок
	нижня трикутна матриця
	верхня трикутна матриця
	нульова матриця
	діагональна матриця
Е =	одинична матриця Е(Квадратна)
	унітарна матриця
	ступінчаста матриця
	порожня матриця

Елементи матриці, з рівними номерами рядків і стовпців, тобто a iiутворюють головну діагональ матриці.

Операції над матрицями.

.

Властивості операцій над матрицями

Специфічні властивості оперцій

Якщо твір матриць
- існує, то твір
може і не існувати. Взагалі кажучи,
. Тобто множення матриці не коммутативно. Якщо ж
, то і називають комутативними. Наприклад, діагональні матриці одного порядку комутативні.

якщо
, То необов'язково
або
. Тобто, твір ненульових матриць може дати нульову матрицю. наприклад

Операція зведення в ступінь визначена тільки для квадратних матриць. якщо
, то

.

За визначенням вважають
, І неважко показати, що
,
. Відзначимо, що з
не слід, що
.

Поелементне спорудження до рівня А. m =
.

операція транспонування матриці полягає в заміні рядків матриці її стовпцями:

,

наприклад

,
.

Властивості транспонування:

Визначники та їх властивості.

Для квадратних матриць часто використовується поняття визначника - числа, яке обчислюється за елементами матриці з використанням строго визначених правил. Це число є важливою характеристикою матриці і позначається символами

.

визначником матриці
є її елемент .

визначник матриці
обчислюється за правилом:

тобто, з твору елементів головної діагоналі віднімається твір елементів додаткової діагоналі.

Для обчислення визначників більш високого порядку (
) Необхідно ввести поняття мінору і алгебраїчного доповнення елемента.

мінором
елемента називають визначник, який отримують з матриці , викреслюючи -у рядок і -й стовпець.

Розглянемо матрицю розміром
:

,

тоді, наприклад,

алгебраїчним доповненням елемента називають його мінор, помножений на
.

,

Теорема Лапласа: Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Наприклад, розкладаючи
за елементами першого рядка, отримаємо:

Остання теорема дає універсальний спосіб обчислення визначників будь-якого порядку, починаючи з другого. Як рядки (стовпці) завжди вибирають той, в якому є найбільше число нулів. Наприклад, потрібно обчислити визначник четвертого порядку

В даному випадку можна розкласти визначник по першому стовпцю:

або останньому рядку:

Цей приклад показує також, що визначник верхньої трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів. Неважко довести, що цей висновок справедливий для будь-яких трикутних і діагональних матриць.

Теорема Лапласа дає можливість звести обчислення визначника -го порядку до обчислення визначників
-го порядку і, в кінцевому підсумку, до обчислення визначників другого порядку.

квадратної матриці Апорядку nможна зіставити число det А(Або | A|, Або), зване її визначником , наступним чином:

визначник матриці Aтакож називають її детермінантою . Правило обчислення детермінанта для матриці порядку Nє досить складним для сприйняття і застосування. Однак відомі методи, що дозволяють реалізувати обчислення визначників високих порядків на основі визначників нижчих порядків. Один з методів заснований на властивості розкладання визначника за елементами деякого ряду (властивість 7). При цьому зауважимо, що визначники невисоких порядків (1, 2, 3) бажано вміти обчислювати згідно з визначенням.

Обчислення визначника 2-го порядку ілюструється схемою:

Приклад 4.1.Знайти визначники матриць

При обчисленні визначника 3-го порядку зручно користуватися правилом трикутників (Або Саррюс), яке символічно можна записати так:

Приклад 4.2.Обчислити визначник матриці

det А = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

Сформулюємо основні властивості визначників, властиві определителям всіх порядків. Деякі з цих властивостей пояснимо на визначниках 3-го порядку.

властивість 1 ( «Рівноправність рядків і стовпців»). Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити стовпчиками, і навпаки. Іншими словами,

Надалі рядки і стовпці будемо просто називати рядами визначника .

властивість 2 . При перестановці двох паралельних рядів визначник змінює знак.

властивість 3 . Визначник, який має два однакових ряду, дорівнює нулю.

властивість 4 . Загальний множник елементів будь-якого ряду визначника можна винести за знак визначника.

З властивостей 3 і 4 слід, що якщо всі елементи деякого ряду пропорційні відповідним елементам паралельного ряду, то такий визначник дорівнює нулю.

дійсно,

властивість 5 . Якщо елементи будь-якого ряду визначника є сумами двох доданків, то визначник може бути розкладений на суму двох відповідних визначників.

наприклад,

Властивість 6. ( «Елементарні перетворення визначника»). Визначник не зміниться, якщо до елементів одною ряду додати відповідні елементи паралельного ряду, помножені па будь-яке число.

приклад 4.3. Довести, що

Рішення: Дійсно, використовуючи властивості 5, 4 і 3 підучити

Подальші властивості визначників пов'язані з поняттями мінору та алгебраїчного доповнення.

міноромдеякого елемента аijвизначника n-го порядку називається визначник n- 1-го порядку, отриманий з вихідного шляхом викреслення рядка і стовпця, па перетині яких знаходиться вибраний елемент. позначається mij

алгебраїчним доповненнямелемента aijвизначника називається його мінор, взятий зі знаком «плюс», якщо сума i + jпарне число, і зі знаком «мінус», якщо ця сума непарна. позначається Aij:

властивість 7 ( «Розкладання визначника за елементами деякого ряду»). Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого ряду на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

Щоб помножити матрицю на число, потрібно помножити на це число кожний елемент матриці.

Слідство. Загальний множник всіх елементів матриці можна виносити за знак матриці.

Наприклад,.

Як видно, дії додавання, віднімання матриць, множення матриці на число аналогічні діям над числами. Множення матриць - операція специфічна.

Твір двох матриць.

Чи не всякі матриці можна перемножувати. Твір двох матриць Аі Вв зазначеному порядку АВможливо тільки тоді, коли число стовпців першого множника Адорівнює числу рядків другого множника В.

Наприклад,.

Розмір матриці А 33, розмір матриці В 23. Твір АВнеможливо, твір ВАможливо.

Твір двох матриць А і В є третя матриця С, елемент З ij якої дорівнює сумі попарних добутків елементів i-того рядка першого множника і j-того стовпця другого множника.

Було показано, що в даному випадку можливо твір матриць ВА

З правила існування твору двох матриць випливає, що добуток двох матриць в загальному випадку не підпорядковується переместительному закону, тобто АВ? ВА. Якщо в окремому випадку виявиться, що АВ = ВА,то такі матриці називаються перестановки або комутативними.

У матричної алгебри твір двох матриць може бути нульовою матрицею і тоді, коли жодна з матриць сомножителей не є нульовий на противагу звичайній алгебрі.

Наприклад, знайдемо твір матриць АВ, якщо

Можна множити кілька матриць. Якщо можна перемножити матриці А, Ві твір цих матриць можна помножити на матрицю З, То можна написати твір ( АВ) Зі А(ВС). У такому випадку має місце асоціативний закон щодо множення ( АВ) З = А(ВС).