Lineáris parlagon belüli bázis Az alap méretét a bázis váltja fel. A vektortér bázisának finomítása A lineáris-független rendszer bázissá bővítése

Na gyere V vektor tér a mező felett R, S- vektorok rendszere V.

1. érték. A vektorrendszerek alapjai Sígy rendezett lineárisan független pidrendszernek nevezzük B 1, B 2, ..., B R rendszerek S, milyen rendszervektor S vektorok vonalkombinációja B 1, B 2, ..., B R.

2. érték. A rendszerek és vektorok rangja szerint S a vektorok száma a rendszer alapján S... A rendszerek és vektorok rangja S szimbólum R= csengett S.

Yaksho S = ( 0 ), akkor a rendszert nem lehet átvinni a bázisra és átvinni, hanem csengett S= 0.

készlet 1. Legyen adott a vektorrendszer A 1 = (1,2), A 2 = (2,3), A 3 = (3,5), A 4 = (1,3). Vektor A 1 , A 2 meg az adott rendszer alapját, a lineáris nezalezhni (div. Butt 3.1) néhány szagát, amely A 3 = A 1 + A 2 , A 4 = 3A 1 - A 2. A vektorok rendszerének rangja az úton kettő.

1. tétel(Alaptétel). Nekhai S – Kintsev vektorrendszer z V, S ≠{0 }. Todi határozott.

1 ° Ha lineárisan független, akkor az S rendszer alrendszere bázisra frissíthető.

2 ° Az S rendszer alapja.

2 ° Ha a rendszernek két bázisa van és S, akkor ugyanannyi vektor van, így a rendszer rangja nem a rezgésbázisban van.

4 ° Yaksho R= csengett S, legyen az r lineárisan független vektor az S rendszer alapját.

5 ° Yaksho R= csengett S, Légy-szerű k> r vektorok az S rendszer vonalában.

6 ° Légy olyan, mint a vektor A€ S Egy rang a vektoron keresztül a bázisig lineárisan forgatni, azaz B 1, B 2, ..., B R tehát az S rendszer bázisa

A = A1 B 1 + A2 B 2 +...+ ARB R; A1 , A2 , ..., AN€ P,(1)

І taka vistava dina.

5 ° alapján az alap Maximálisan lineáris független pidrendszer rendszerek S, és a rendszer rangja S a vektorok száma egy ilyen alrendszerben.

Vektor benyújtása A in viglyadі (1) hívják Vektorok vektoronkénti lerakása az alaphoz, És az a1, a2 számok , ..., ar hívják Vektor koordináták A Ugyanezen alapon.

Szállítva. 1 ° Nekhai B 1, B 2, ..., B K- a rendszer lineárisan független pidrendszere S... Yaksho kozen vektorrendszerek S Lineárisan forgassuk át alrendszerünk vektorán, majd a won értékére є a rendszer alapja S.

Yaksho a rendszer vektora S, amely nem lineárisan forog a vektoron keresztül B 1, B 2, ..., B K, majd értelmesen jógó keresztül B K+1. Todi rendszerek B 1, B 2, ..., B K, B K+1 - lineáris négyzet. Yaksho kozen vektorrendszerek S Lineárisan forgassa el a központi rendszer vektorát, majd a rendszer alapját S.

Yaksho a rendszer vektora S, amelyen a vonal nem gördül át B 1, B 2, ..., B K, B K+1, akkor mirkuvannya megismételhető. Proding folyamatok, vagy eljutunk a rendszer alapjához S, mert a vektorok száma a lineáris független rendszerekben egységenként megnövekszik. Bo a rendszerben S Ha sok vektor van, akkor egy másik alternatíva nem folytatható a végtelenségig; S.

2° Gyerünk S kintsev vektorrendszer S ≠{0 ). Todi a rendszerben Sє vektor B 1 ≠ 0, amely vonalfüggetlen rendszert hoz létre S... Ennek első része szerint lehetőség van a rendszer alapjaira való frissítésre S... Ilyen rangban a rendszer S maє alapon.

3 ° Elfogadható, hogy a rendszer S két alapból:

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

Az alap alapján a (2) vektorrendszer lineárisan független és a (2) Í S... Adott a rendszer bőrvektorának alapja (2) vektorok vonalkombinációja a (3) rendszerben. Todi a két vektorrendszerről szóló főtételt követve R £ S... Hasonlóan kell lennie S £ R... Két gőz egyenetlensége közül három R = S.

4 ° Nekhai R= csengett S, A 1, A 2, ..., A R- lineáris független pidrendszer S... Megmutatjuk, hogy ez a rendszerek alapja S... Ha nem alap, akkor a її első része szerint lehet az alaphoz hozzáadni és az alap elfogadható A 1, A 2, ..., A R, A R+1,..., A R+T, hogyan álljon bosszút többen R

5 ° Yaksho K vektor A 1, A 2, ..., A K (K > R) rendszerek S- lineárisan független, akkor az első rész szerint a bázishoz hozzáadható a vektorrendszer és a bázis felismerhető A 1, A 2, ..., A K, A K+1,..., A K+T, hogyan álljon bosszút többen R vektor Tse szuperinterpretálja a harmadik részben leírtakat.

6 ° Nekhai B 1, B 2, ..., B R a rendszer alapja S... Az alapnak legyen vektor A € Sє vektorok sorkombinációja az alapban:

A = a1 B 1 + a2 B 2 + ... + ar B R.

Egy ilyen megnyilvánulás identitásának felhozatala nem megengedett, de egynél több megnyilvánulás:

A = b1 B 1 + b2 B 2 + ... + br B R.

Ismert, mire ismert

0 = (a1 - b1) B 1 + (a2 - b2) B 2 + ... + (ar - br) B R.

Oskilki alapon B 1, B 2, ..., B R lineárisan független rendszer, minden teljesítmény ai - bi = 0; én = 1, 2, ..., R... Továbbá, ai = bi; én = 1, 2, ..., R hogy az egység létrejött.

V. V. Golovizin Előadások algebráról és geometriáról. 5

Előadások algebráról és geometriáról. 2. félév

23. előadás A vektortér alapjai.

Egy rövid változás: a rendszerek és a nullától eltérő vektorok, rendszerek alrendszereinek és vektorok leszármazásának kritériuma; alapon.

1. tétel. Nem nulla vektorok rendszerének lineáris lerakásának kritériuma.

Tétel. A nem nulla vektorok rendszere csak akkor lineárisan elavult, ha van a rendszernek vektora, de azt lineárisan elforgatjuk a rendszer frontvektorain.

Szállítva. Ne hagyja, hogy a rendszer nullától eltérő vektorokból legyen tárolva, és ne legyen elavult. A rendszer egy vektorból látható:
... Mivel
, majd a rendszer
- Lineáris tér. Vektor ... A rendszert eltávolították
lineárisan négyzet, akkor az előremutató vektor mindig jelen van: ... І stb. prodovzhuєmo doti, dokkok nem otrimamo felállás lefektetem a rendszert
de. Ez a szám obov'yazkovo ismert. Kimenő rendszer
є lіnіyno parlagon az elme mögött.

Otzhe, az ösztönzés érdekében a rendszert sorba állítottuk.
, ráadásul a rendszer
є Lineáris négyzet.

Rendszer
nulla vektor ábrázolása nem triviális, tehát. van egy ilyen nem nulla skalárkészlet
, scho

de skalár
.

Spravdy, inakshe, yaksho
, akkor mi mali b nemtriviálisan egy nulla vektor megnyilvánulása lineárisan független rendszer által
, ez sajnálatos.

Megnövelt egyenleg a nullától eltérő skalárhoz
, láthatjuk a vektort :

,

Oskіlki zvorotne szolidaritás nyilvánvalóbb, a tétel elkészült.

2. tétel. Pidrendszerek és vektor-vektortér.

Viznachennya. Ne legyen üres a rendszerek és vektorok sokasága alatt
rendszerek és vektorok láncolatának alrendszerének nevezhető.

csikk. Na gyere
- 10 vektorból álló rendszer. Todi rendszerek és vektorok:
;
,
- A rendszerek és vektorok láncának Pid rendszerei.

Tétel. Ha a vektorrendszer egy vonalban van a kimerült alrendszerrel, akkor a vektorrendszer is elhagyatott.

Szállítva. Legyen adott a vektorrendszer
ne törődjenek az alrendszer értékével
, de
є sor parlagon. Todi won egy nulla vektort reprezentál nem triviálisan:

de középső kofіtsієntіv
є Szeretném, ha egy nem egyenlő nullával. Minden a nulla vektor sértő egyenlőség nem triviális megnyilvánulásaihoz:

jelek, az érték miatt, vyplyaє leszármazási rendszer
, Ch.d.

A tétel elkészült.

Slidstvo. Legyen szó vonalfüggetlen rendszerről és vektorokról є vonalfüggetlen rendszerről.

Szállítva. Elfogadható nem megfelelő. Ne menjen, mert az egész rendszer alrendszere lineáris parlagon van. Todi az áramló vonal tételével a rendszer rendszerének kimerülése, hogyan kell felügyelni az elméket.

Slidstvo hozott.

3. o. Aritmetikai kapcsos zárójelek rendszerei vektoros kapcsos zárójelek tágassága.

Az előző rész eredményeiből a téma példájaként a következő tételt használjuk.

1) A leállások rendszere є lineárisan parlagon van, ha közülük csak száz akar a rendszerben lenni, amely lineárisan át tud forogni a központi rendszer többi százán.

2) A rendszer száz százaléka az egyenes vonalnak, ha a rendszer nem száz százaléka a rendszernek, és nem forog át a rendszer száz százalékán.

3) A rendszer stovpts_v, scho, hogy bosszút álljon a nulla stovpetsért, є lyn_yno parlagon.

4) A leállások rendszere, ahol két egyenlő kályhát kell elhelyezni egy parlagon belül.

5) A stovpt rendszer, amely két arányos stovptsi є lineáris ugar helyettesítésére szolgál.

6) A leállások rendszere, amely egy parlagon kívüli alrendszer és egy ugarsor elhelyezésére szolgál.

7) Legyen olyan, mint a stovptsiv є vonalfüggetlen rendszer vonalfüggetlen rendszerének pidrendszere.

Egyedül lehetséges, itt tisztázni kell az arányos stavp-ok megértését.

Viznachennya. Két nem nulla századrész
arányosnak nevezzük, ha van skalár
, ilyen, scho
abo

,
, …,
.

csikk. Rendszer
Az ugarhoz igazodva ezért van kétszáz arány.

Tisztelet. Azt már tudjuk (21. elõadás), hogy a tervezõ visszaállt a nullára, mivel a száz százalék (sor) є rendszere lineárisan elesett. Nadalt tájékoztatják, hogy ez igaz és megbízható: ha nem drága a tervező, akkor az első sor rendszere és az első sor rendszere eldől.

4. tétel. Vektor tér alapja.

Viznachennya. Vektoros rendszer
A mező feletti vektorteret a vektortér általános (beállított) vektorrendszerének nevezzük, ha bármilyen vektort képvisel, tobto. van egy ilyen skalárhalmaz
scho.

Viznachennya. A vektortérben lévő vektorrendszert minimálrendszernek nevezzük, amely létrejön, mivel a teljes rendszerből nézve egyetlen vektor sem fog megszűnni egy rendszer, amely inherens.

Tisztelet. A vektorrendszer szempontjából, de ez nem minimális, akkor szeretnénk a rendszernek egy vektorát, amikor meglátod valamelyik rendszert, a vektorrendszert, az eltűnt, mintha hamarabb megszületne.

Lemma.

Ha egy lineáris parlagon és kőzet-juvenilis vektorrendszerben az egyik vektor lineárisan csavarodik át a másikon, akkor a rendszerből és a vektorrendszerből is látható, ami feleslegessé vált, ha igen.

Szállítva. Hajrá rendszer
Lineárisan parlagon és vadon van, és hagyja, hogy az egyik vektor lineárisan forogjon az egész rendszer vektorai között.

Az érték és az egyszerűség kedvéért írjuk le.

Szóval jak
- Ha a rendszer rootolt, akkor
van egy ilyen skalárhalmaz
, scho

.

Zvidsi otrimumo,

tobto. legyen x vektor, amely lineárisan forog a rendszer vektorain
, és a tse azt jelenti, wona є a rendszer szerint, bármi, ch.t.d.

Naslidok 1. Lineárisan leesett, hogy a szikla-juvenilis vektorrendszer nem minimális.

Szállítva. Azonnal a lemmából a vaping és a minimális rendszer és vektorok kijelölése, ami így is van.

Naslіdok 2. Minimális vektorrendszer, amely általános, є lineárisan négyzet.

Szállítva. Megengedve a helytelenséget, az 1. miatti természetfelettiségről van szó.

Viznachennya. p align = "justify"> A vektortérben lévő vektorrendszert maximum lineárisan független rendszernek nevezzük, még akkor is, ha bármely vektor rendszerét hozzáadtuk a teljes rendszerhez, akkor is lineárisan parlagonnyá válik.

Tisztelet. A következő lépés szempontjából a rendszer lineárisan független, de maximum akkor van egy vektor, a rendszerhez hozzáadva a rendszer lineárisan független.

Viznachennya. A K mező feletti vektortér alapja a vektorainak rendezett rendszere, amelyek egy vektortér bármely vektorát egy módon reprezentálják.

Más szóval, úgy tűnik, a vektorok rendszere
A K mező feletti V vektorteret bázisának nevezzük, amely
isnu egyetlen skalárkészlet
, ilyen, scho.

Tétel. (Körülbelül a chotiri egyenlő az alappal.)

Na gyere
- Rendezett vektorrendszer a vektortérben. Todi elég erős:

1. Rendszer
є alapon.

2. Rendszer
є Lineárisan négyzetes vektorrendszer, scho fajta.

3. Rendszer
є maximális lineárisan négyzetes vektorrendszer.

4. Rendszer
є minimális vektorrendszer

Szállítva.

Gyerünk a vektorok rendszere
є alapon. A bázis alapján egyszerre van egy vektorrendszer є vektorrendszer egy vektortérben, ami azt illeti, tehát csak a függetlenségi vonalat kell hoznunk.

Elfogadható, scho adott a rendszernek parlagon hagyott vonal vektora. Ma a nulla vektor két megnyilvánulása triviális és nem triviális, de egy adott alapon felügyelni kell.

Gyerünk a vektorok rendszere
є Lineáris négyzet, hogy a fajta. Meg kell győződnünk arról, hogy a rendszer lineárisan független є a lehető legnagyobb mértékben.

Elfogadható nem megfelelő. Ne aggódjon, a vektorok rendszere nem maximális. Todi, a tisztelt vische-n keresztül van egy vektor, amely hozzáadható az egész rendszerhez, és a vektorok rendszere lineárisan négyzet alakúvá válik. Másrészt azonban a rendszer és a vektor kiegészítéseit a néző is reprezentálhatja vonal kombináció renden kívüli rendszerek és vektorok azokon keresztül, amelyek a rendszerben vannak, és amelyek eredendően benne vannak.

Nem tudom felismerni, hogy egy új, kiterjesztett vektorrendszerben az egyik vektor lineárisan el van forgatva a rendszer többi vektorán keresztül. Ez egy vektorrendszer є lineáris parlagon. Kaptunk egy kis dörzsölést.

Gyerünk a vektorok rendszere
vektortér є maximális lineáris négyzet. Nyilvánvalóan ez egy minimális rendszer, ez egy fajta.

a) A sphatkut egyébként most hozza a rendszer.

Nagyszerű, a függetlenség vonalán, a rendszeren keresztül
ne állj bosszút a nullvektoron. Kapjunk egy jó nem nulla vektort. Dodamo yogo a megadott rendszerekre és vektorokra:
... A megérkezett nem nulla vektorok rendszere lineárisan parlagon van, mert A vektorok kimeneti rendszere maximum lineárisan független. Ez azt jelenti, hogy az egész rendszernek van vektora, de az elöl lineárisan fordul. A készenléti vonalfüggetlen rendszereknél
Azonban nem lehet elöl forgatni, ugyanaz, lineárisan elforgatni az x frontvektort. Ilyen rangban a rendszer
képzeljünk el egy nem nulla vektort. Maradandó tisztelet, nos, a rendszer, zoosuly, і egy nulla vektort képvisel, tobto. rendszer
є fiatalkorúak számára.

b) Most a minimalizmusról beszélünk. Elfogadható nem megfelelő. Akár az egyik vektor a rendszerben, és lehetnek víziók a rendszerből és a vektorok rendszeréből, ami elveszett, ahogyan korábban is egy nemzetségrendszer volt, és a rendszertől és a vektortól való távolság is előfordulhat. lineárisan forog a rendszer vektorrendszerén, de a másik

Gyerünk a vektorok rendszere
vektor tér є minimális rendszer, scho roozhuє. Todi vona a hatalmasság vektor vektorát képviseli. Meg kell hoznunk a megnyilvánulás egységét.

Elfogadható nem megfelelő. Hagyja, hogy egy bizonyos x vektor lineárisan forogjon az adott rendszer vektorain két különböző módon:

Ugyanazon érték mellett felismerjük:

Vnasledok Slidstva 2, rendszer
є Lineáris négyzet, Tobto. a nulla vektor ábrázolása csak triviális, tehát a lineáris kombináció teljes teljesítménye nullának köszönhető:

Ilyen rangban legyen az x vektor, hogy egy adott rendszer vektorain lineárisan forogjon egy módon stb.

A tétel elkészült.

5. o. A vektor mérete széles.

1. Tétel (A lineáris független vektorrendszerek vektorainak számáról.) A vektorok száma bármely lineáris vektorrendszerben nem változtatja meg a vektorok számát egyetlen vektorrendszerben és vektortérben sem.

Szállítva. Na gyere
egy meglehetősen lineáris vektorrendszer,
- Nagyon jó a rendszer. Elfogadható, scho.

Mivel
ringató rendszer, nem reprezentálja a be-szerű vektort a térhez, rugó і vektort ... Ez az egész rendszerre vonatkozik. Felismerem a lineárisan elaludt vektorok juvenilis rendszerére:
... Todi tudod vektor
a rendszerek rendszere, amely lineárisan forog a rendszer előrefelé irányuló vektorán keresztül, és ez a lemi miatt látható a rendszer, és a vektorok rendszere, amely a korábbiakhoz hasonlóan árnyékba került.

... Mivel qia rendszer rojuє, majd megnyerte reprezentє vektor
és ezt a rendszert az egész rendszerhez kapcsolva tudni fogom, hogyan kell felsorakoztatni a fiatalkorúak rendszerét:.

Hadd ismétlődjön minden. Az egész rendszerben van egy vektor, amely lineárisan forog elöl, és a vektor nem lehet mivel Kimenő rendszer
lineárisan négyzetezi azt a vektort ne lendítsünk lineárisan a vektoron keresztül
... Ez azt jelenti, hogy csak az egyik vektor
... A rendszerből látom, felismeri, ha átszámozzák, akkor a rendszer generálja a rendszert. A folyamat előmozdításával a krokokon keresztül felismerhetjük a vektorok rendszerét
mivel a mi pripuschennyánkért. Otzhe, tsya rendszer, milyen kedves, egy vektort képvisel, hogyan kell felügyelni a rendszer lineáris függetlenségének elméjét
.

Az 1. tétel elkészült.

2. Tétel (A bázisban lévő vektorok számáról.) A vektortér bőrbázisában ugyanannyi vektor van.

Szállítva. Na gyere
і
- a vektortér két jó alapja. Legyen olyan, mint egy bázis є lineárisan független vektorrendszer, amely az alap.

Mivel Ha a rendszer lineárisan független, a másik pedig általában, akkor az 1. Tétel szerint
.

Hasonlóképpen, a másik rendszer lineárisan független, és a persha nagyon gyakori. Zvidsi következő
, Ch.d.

A 2. tétel befejeződött.

A Qia-tétel lehetővé teszi, hogy ugyanazt az értéket vigyük be.

Viznachennya. A K mező feletti V vektortér mérete a vektorok száma a bázisában.

Kijelölés:
abo
.

6. o. A vektortér alapját véve.

Viznachennya. A vektorteret Kintsev-nek hívják, ahogyan a Volodya Kintsevo vektorrendszerben is, ami általános.

Tisztelet. Mi vivchatimo megfosztja a vektor teret. Nem fontos azoknak, akik már sokat tudnak a végtelen vektortér alapjáról, ez nem azonos egy ilyen tér alapjával. A zaklató hatalmának visszautasítására irányuló korábbi erőfeszítéseket elvetették az előlegtől, ami az isnu alapja. Közeledik az élelmezéskorlátozási tétel.

Tétel. (A végtelen vektortér bázisáról.) Bármilyen végtelen vektortér bázis.

Szállítva. A süllyedés mögött vektorok halmaza található egy adott végtelen V vektortérben:
.

Lenyűgözően azonnal, hogy a vektorok rendszere üres, tobto. ne álljon bosszút a zhodnogo vektoron, a vvazhayut értékéért, de a vektor nem tér є nulla, így.
... Ugyanakkor a nulla vektortér bázisa egy üres bázis, a bázis mérete pedig nulla.

Ugyan már, nem nulla vektortér
Kintseva rendszer, amely nem nulla vektorokat generál. Iakshcho vona lineárisan független, mindent felhoznak, tk. a vektortér lineáris vektorrendszere közös alap. Ha egy vektorrendszert adunk egy vonalban az ugarral, akkor az egész rendszer egyik vektora lineárisan fog forogni azon a rendszeren keresztül, de ez látható a rendszerből, és a vektorok rendszere, ami valószínűleg elveszik. , az 5. számú Lemi miatt hamarabb fog.

Újraszámozzuk az elveszett vektorrendszert:
... Dalі mіrkuvannya ismétli önmagát. Bár a rendszer lineárisan független, ez az alap. Nos, akkor tudom, hogy van egy vektor a rendszerben, ami látható, és a rendszer, amely elveszett, fiatalkorú lesz.

Ismétlődő folyamatokkal megszabadulhatunk az üres vektorrendszertől, mert szélsőséges nézeteltérés esetén egy nem nulla vektorból generált rendszerhez jutunk, amely lineárisan négyzet, de egyben bázis is. Ehhez legalább a lineárisan független vektorrendszerekről van szó, amelyek nagyon gyakoriak, tobto. az alaphoz.

A tétel elkészült.

Lemma. Na gyere. Todi:

1. Be-yaka vektorrendszer є lіnіyno parlagon.

2. A vektorrendszer lineárisan független-e alapként?

Szállítva. 1). Valójában a bázisban lévő vektorok száma maga a bázis és a rendszer is, így egyetlen lineáris független rendszerben sem lehet felülírni a vektorok számát.

2). Valamint jól tájékozott, hogy a vektorrendszer lineárisan független-e a maximumig, de a bázistól is.

A lemma elkészült.

Tétel (A bázishoz való összeadásról) Ha a vektortér vektorrendszere lineárisan független, az kiterjeszthető a tág tér bázisára.

Szállítva. Legyen az n méretű vektortér az
deyaka lineáris-négyzet rendszer a yogo vektorok. Todi
.

Yaksho
, Ami az első lemy előtt van, a rendszer alap és nem hoz semmit.

Yaksho
A Todi tsya rendszer є nem egy maximális lineáris független rendszer (іnakhe nyert bula b alapon, de ez sajnálatos, mert). Tudod, van egy vektor is
, ilyen, scho rendszer
- lineárisan négyzet.

Yaksho, most, aztán a rendszer
є alapon.

Yaksho
, minden megismétlődik. A rendszer frissítésének folyamata nem folytatható a végtelenségig, mert A bőrön a nyílt tér vektorrendszere lineárisan felismerhető, a front mögött pedig az ilyen rendszerekben lévő vektorok száma nem haladhatja meg a térbeli teret. Otzhe, legalább a legapróbb részletekben, eljutunk a hatalmasság alapjához.

A tétel elkészült.

7. o. csikk.

1. Nehay K - elegendő mező, - 100%-os aritmetikai vektortér. Todi. A rendszer támogatására a rendszer 100%-ban tágas.

Viznachennya. Elemrendszer xh ..., xch sorköz V-t ugarnak nevezzük, mindaddig, amíg az a ", ..., otq számok ismertek, és nem mindegyik egyenlő nullával, és így, ha az (1) egyenlőség csak a] = ... = aq esetén jelenik meg = 0, akkor az xj , elemrendszer. .., x9-et lineáris négyzetnek nevezzük. Ezek csak dolgok. 1. Tétel. Az X \, ..., xq (q ^ 2) elemrendszer lineárisan elavult egy egész tételre, ha azt szeretnénk, hogy ezen elemek egyike lehetséges legyen a többi elem lineáris kombinációjában. Elfogadható, hogy az xb ..., xq elemrendszer lineárisan elavult. Az értéknél észrevehetően az (1) egyenlőségnél az érték értéke a9-ként jelenik meg. Az összes kiegészítés átvitele a többi kivételével a jobb részre, változtatás elküldésével otq F-re A jobb oldalon az xq elem az xi, ..., xq elemek lineáris kombinációja: Vissza, mint a livu átvitel egyik eleme résznél a vonalkombinációt a nulla hatásfokból (-1 F 0) tudjuk elfogadni. Otzhe, a Xi, _____ xq elemrendszer lineárisan elesett. 2. Tétel. Ne aggódj, az X |, ..., X9 elemrendszer lineárisan független i y = a \ X \ +. + Aqxq. A Todi kofitsinti ori, ..., aq azonos rangú elemen alapulnak. m Nekhai todі Lineáris betét Basis Rosemir Cserélje ki a csillag alapját. Az X |, ..., xq vyplyaє elemek függetlenségi sorából, de a (i, ugyanebből egy 3. Tétel. Az elemrendszer, hogyan lehet megtalálni egy sorkimerült alrendszert, sorkimerült." xg + l, ..., хт lіnіyno olezhnі.Todi van egy lіnіyna kombinációja ezeknek az elemeknek, mint például, de nem minden függvény jön ", ..., aq, hogy nullát hozzon. egy egész sor tér, mint az elemek |, ..., vonal-on-line és V-ből származó bőr elem ábrázolható a vonalkombináció nézetében Nekhai abc - három nem egysíkú vektor із Vj (6. ábra) .Todi rendelt háromsoros - különböző alapok Nekhai z = (v! ... en) - az V tér alapja. Todi bármely xz V elemhez van egy olyan ..., 3 számhalmaz, amely a 2. tétel alapján a számok, ..., 3 az x elem koordinátái a bázisban - az érték egyedi. Örömmel látjuk az elemek koordinátáit a legegyszerűbb műveletekkel velük. Ne bármilyen szám esetén, de ilyen rangban, amikor az elemek össze vannak hajtva, a koordináták tárolódnak, és ha az elemet megszorozzuk a teljes koordináta számával, akkor az egész számmal. Egy elem koordinátáit gyakran manuálisan rögzítik. Például n a bázisban lévő elem koordinátaértéke. Az X |, ..., x elemrendszer a bázis szerint tárolható, és az X |, ..., x9 elemek koordinátái jól láthatóak az alábbiak alapján: 4. Tétel. x \, ..., xq elemrendszer lineárisan esik, ha csak a koordináta állomások rendszere van egy vonalban az alapvonallal. * Hadd mondjam el, miért szeretném, ha az A * függvények egyike nulláról változna. Zvidsi beszámolója során rögzítette az elem egyszeri eloszlása ​​alapján a vipliva, a sűrűség szintje A bázis változásának alapja Ez a rang, az elemek útszámának koordinátáinak lineáris kombinációja , xt, ... ?). A Tse azt jelenti, hogy a koordinátarendszer lineárisan esik. Amint megfigyeljük a (2) paritást, akkor, amikor az örvényrendben békét kötünk, az (1) képlet megszállottá válik. Tim önmagunkban nullára fordulva deyakoi nem triviális (azt akarom, hogy az egyik tényező nullából származzon) a lineáris tér elemeinek lineáris kombinációjából, ami nem triviális a koordináták kombinációjához 5. Tétel. Építsük fel a V lineáris tér alapját n elemből. Todi minden elemrendszer, de t> n, lineárisan elavult. Mert, nos, talán, * 3 Megnézem a 3. tételt, hogy lássam, hogyan néz ki Nekhai Xj, ..., xn + | - elegendő elem a V hatalmasságához. Lehetőség van a bőr elemet a bázis mögé helyezni, és felírni az elemek koordinátáit ......... a mátrix nézetben, ugyanannyi koordinátában az elemről. Otrimanimo mátrix n + 1 száz százalékos sorokkal - Azoknál, ahol a K mátrix rangja nem változtatja meg a sorok számát, száz K (ïx n + 1) mátrixot parlagon bélelnek ki. Az elemek koordinátáinak koordinátáinak oszcillációi, majd a 4. tétel szerint az X |..... х „+ | ez is lineárisan parlagon van. Slidstvo. A V lineáris tér összes bázisa ugyanannyi elemből van tárolva. Legyen a bázis n elemben, a bázis pedig n elemben tárolva. A tételekkel egyébként felismerhetjük, hogy n ^ n ". Tim önmagunkban, n = n. Az V tér bázisában lévő elemek számát a tér alapjában lévő elemek számának nevezzük. 1. alkalmazás. A koordinátatér alapja..., nem lineárisan független: könnyen felismerhető, ami azt jelenti, hogy ezen kívül, hogy E elem-e, = ... s R "beírható a sorkombinációba. elemek Tim önmagunkban, az R tér nagysága. Az egysoros rendszer egy nem nulla megoldás, amely alapvető megoldási rendszer (FSR). Az FSR az egyoldalú rendszer megoldásának lineáris terének alapja. Az út teljes térvonalának mérete az FSR elemeinek számához, tobto. n - p de g az egysoros rendszer együtthatók mátrixának rangja, an a nem otthoniak száma. Függelék 3. A nagy lépcső Mn vonal-tér mérete nem látható az n + 1 útra. 4 Tehát, mint bármely polinom / * (() lépését nem látni, el lehet érni a az elem vonaltisztaságának megjelenítése =. 0-nál, felismerhető, scho "o = 0. 5 Zak. 750 Prodifferentsiiєmo paritás (3) t-vel: POSITION t = 0, felismerhető, SCHO 0 | = 0. Folytatva a folyamatot, az utolsó változás abban változott, hogy nos oo =" I = ... = a „= 0. A Ce. azt jelenti, hogy az y | = 1, ..., en4) = * elemrendszer lineáris független. Otzhe, Shukana ajtók mérete n + 1. Öröm. Korántsem túl sok hely ahhoz, hogy mindenhol beleszóljanak, és akkor ez elfogadhatatlan, mivel a vonal-tér V hatalmassága átkozott. Nyilvánvaló, hogy ha W a V n-vimir lineáris térben van, akkor dim W ^ n. Megmutatjuk, hogy az n-vimir lineáris térben V a lineáris térben van, legyen az n-vimir lineáris térben hogy ^ n. Könnyen át lehet térni arra a tényre, hogy a héj kicsi. Érték alapján b Tétel (új alap alapján). Legyen az V lineáris tér elemrendszere a térben és a lineáris térben be. Todi az V térben vannak a * + 1, ... elemek is, de az a rendszer a V alapja. lineárisan esik, akkor mint egy nem triviális lineáris kombinációban ... a rendszer lineáris függetlensége esetén lesz függvénykombináció, és bármely elem | s értékére felírható. Ale az elmén keresztül meggondolatlan. Ezen kívül van egy a * + i € V elem, hogy az ai, ..., ab, a * + | lineárisan négyzet alakú lesz. Ha legfeljebb + 1 = n, akkor a rendszer az alapja az V térnek. Ha legfeljebb + 1, akkor a rendszer egy következő ismétlés a világ előtt. Ily módon egy lineárisan független elemrendszerrel adott be-yaku hozzáadható az egész tér V. Butt alapjához. Adjunk hozzá két vektort a rendszerhez | = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) az R4 tér a bázistérhez. R4 terében azonban az aj = vektor (és megmutatjuk, hogy az ai.aj.aj, a4 vektorrendszer az alapja az R4-nek. , továbbá і vektorok az ag.az, а ^ lіnіyno nezalezhnі> A vikoristyutsya felirat egy buzgó vypadban: ha a rendszert a lineáris független elemekhez adjuk a téralaphoz, akkor a mátrix Lіnіostіnі Alapformák A birtokolt mátrix rangja megfelelő az elemhez. a mátrix alapja. 7. Tétel. Nekhai - V, Todi. lineáris terének vonaltere a falu bázisából. A hatalomlánc bizonyítása a protolezhny., ... "e " n a sz. alap alapján. Otzhe, pri nem igaz, hogy det S = 0. 2. Yaksho ..., і ..., az x elem koordinátái a і c alapjaiban "mintha a mátrix felírnám az egyenlőség értékeit, a minőség igazságosságának megfelelően változik 2. 3. S-1 - a bázisról a bázisról való átmenet mátrixa.

Kintsevomirnimnek hívják, mert ez egy Kintsev vektorrendszer, így született meg.

Tisztelet. Mi vivchatimo megfosztja a vektor teret. Nem fontos azok számára, akik már sokat tudnak a végtelen vektortér alapjáról, sok elképzelésünk van egy ilyen térről. Korábban könnyedén kiiktattuk a pózt a pózból, de az alap egyszerű. Az étel bezár.

Tétel. (A végtelen vektortér alapjáról.)

Legyen egy kintseviy vektortér alapja.

Szállítva. Az elme mögött a Kintsev rendszer található, amely az adott Kintsevomir vektortér V: origója.

Lenyűgözően azonnal, hogy a vektorok rendszere üres, tobto. hogy ne álljon bosszút a vektorvektoron, akkor a vektor értékéért vvazhayut, tehát a vektortér є nulla, tobto. ... Ugyanakkor a nulla vektortér alapja egy üres bázis, és az érték értéke nulla.

Nos, a rendszer szögletes, minden kész, mert a vektortér lineáris vektorrendszere közös alap.

Ha egy vektorrendszert adunk meg a parlagon belül, akkor az egész rendszer egyik vektora lineárisan fog forogni azon a rendszeren keresztül, és a rendszerből látható, és a vektorok rendszere, ami elveszik. , korábban jön létre.

Átszámoztuk a háttérbe szorult vektorrendszert:. Dalі mіrkuvannya ismétli önmagát.

Bár a rendszer lineárisan független, ez az alap. Nos, akkor tudom, hogy van egy vektor a rendszerben, ami látható, és a rendszer, amely elveszett, fiatalkorú lesz.

Ismétlődő folyamatokkal megszabadulhatunk az üres vektorrendszertől, mert szélsőséges nézeteltérés esetén egy nem nulla vektorból generált rendszerhez jutunk, amely lineárisan négyzet, de egyben bázis is. Ehhez legalább a lineárisan független vektorrendszerekről van szó, amelyek nagyon gyakoriak, tobto. az alaphoz, p.t.d.

A tétel elkészült.

Lemma. (Az n-dimenziós vektortér vektorrendszereiről.)

Na gyere. Todi:

1. Be-yaka vektorrendszer є lіnіyno parlagon.

2. A vektorrendszer lineárisan független-e alapként?

Szállítva. 1). Valójában a bázisban és a bázisban lévő vektorok száma egy közös rendszer, így bármely lineáris független rendszerben a vektorok száma alkalmatlan a változtatásra, így. legyen az egy rendszer, hogy bosszút álljon a vektoron, є linіyno parlagon.

2). Valamint jól tájékozott, hogy a vektorrendszer lineárisan független-e a maximumig, de a bázistól is.

A lemma elkészült.

Tétel (A bázishoz való összeadásról) Ha a vektortér vektorrendszere lineárisan független, az kiterjeszthető a tág tér bázisára.

Szállítva. Ne legyen n dimenziójú vektortér, hogy a vektorrendszer lineárisan független. Todi.

Yaksho, akkor az első lemma, a rendszer alapja, és nem hoz semmit.

Ezenkívül ez a rendszer nem egy maximális négyzetrendszer (az alap, ami nem szerencsés, mert). Otzhe, znaydetsya vektor, egy ilyen rendszer - lineárisan négyzet.

Yaksho, most, aztán a rendszer є alapon.

Nos, minden megismétlődik. A rendszer frissítésének folyamata nem folytatható a végtelenségig, mert A bőrön a nyílt tér vektorrendszere lineárisan felismerhető, a front mögött pedig az ilyen rendszerekben lévő vektorok száma nem haladhatja meg a térbeli teret. Otzhe viszont az adott tér kis deydemo alapja alapján., Ch.t.d.

Viznachennya. Alap

A százötven n-es aritmetikai vektorteret kanonikusnak és természetesnek nevezzük.