Диференціюючі та інтегруючі RC – ланцюжки. Інтегруючий та диференційний ланцюг RC Диференційний ланцюг

Жарознижувальні засоби для дітей призначаються педіатром. Але бувають ситуації невідкладної допомоги за лихоманки, коли дитині потрібно дати ліки негайно. Тоді батьки беруть на себе відповідальність і застосовують жарознижувальні препарати. Що можна давати дітям грудного віку? Чим можна збити температуру у старших дітей? Які ліки найбезпечніші?

Розглянемо RC-ланцюг, зображений на рис. 3.20,а. Нехай на вході цього ланцюга діє напруга u1(t).

Мал. 3.20. Диференціюючі RC-(а) та RL-(б) ланцюга.

Тоді для цього ланцюга справедливе співвідношення

і з урахуванням перетворень матимемо

Якщо для даного сигналу вибрати постійну часу ланцюга τ=RC настільки великим, що вклад другого члена правої частини (3.114) можна знехтувати, то змінна складова напруги uR≈u1. Це означає, що з великих постійних часу напруга на опорі R повторює вхідну напругу. Такий ланцюг застосовують тоді, коли необхідно передати зміни сигналу без передачі постійної складової.

При дуже малих значеннях τ (3.114) можна знехтувати першим доданком. Тоді

т. е. при малих постійних часу RC-ланцюг (рис. 3.20,а) здійснює диференціювання вхідного сигналу, тому такий ланцюг називають диференціюючим RC-ланцюгом.

Аналогічні властивості має і RL-ланцюг (рис. 3.20,б).

Мал. 3.21. Частотні (а) та перехідна (б) характеристики диференційних ланцюгів.

Сигнали при проходженні через RС- та RL-ланцюги називають швидкими, якщо

або повільними, якщо

Звідси випливає, що розглянутий RC-ланцюг диференціює повільні та пропускає без спотворення швидкі сигнали.

Для гармонійної е. д. с. аналогічний результат легко отримати, обчислюючи коефіцієнт передачі ланцюга (рис. 3.20,а) як коефіцієнт передачі дільника напруги зі стаціонарними опорами R і XC=1/ωC:

При малих τ, а саме коли τ<<1/ω, выражение (3.116) преобразуется в

При цьому фаза вихідної напруги (аргумент K) дорівнює π/2. Зсув гармонійного сигналу по фазі на π/2 еквівалентний його диференціювання. При >>1/ω коефіцієнт передачі K≈1.

У випадку модуль коефіцієнта передачі (3.116), або частотна характеристикаланцюга (рис. 3.20,а):

а аргумент K, або фазова характеристика цього ланцюга:

Ці залежності показано на рис. 3.21,а.

Такими ж характеристиками має RL-ланцюг на рис. 3.20,б із постійної часу τ=L/R.

Якщо як вихідний сигнал взяти одиничний стрибок напруги , то інтегруванням рівняння (3.114) можна отримати перехідну характеристику диференціюючого ланцюга, або тимчасову залежність вихідного сигналу при одиничному стрибку напруги на вході:

Графік перехідної характеристики показано на рис. 3.21,б.

Мал. 3.22. Інтегруючі RC-(а) та LC-(б) ланцюга.

Розглянемо RC-ланцюг, зображений на рис. 3.22,а. Вона описується рівнянням

При малих τ=RC (для «повільних» сигналів) uC u1. Для «швидких» сигналів напруга u1 інтегрується:

Тому RC-ланцюг, вихідна напруга якого знімається з ємності C називають інтегруючим ланцюгом.

Коефіцієнт передачі інтегруючого ланцюга визначається виразом

При ω<<1/τ K≈1.

Частотна та фазова характеристики описуються відповідно до виразів.

Мал. 3.23. Частотні (а) та перехідна (б) характеристики інтегруючих ланцюгів.

та зображені на рис. 3.23,а. Перехідна характеристика (рис. 3.23,б) виходить інтегруванням (3.121) при:

При рівних постійних часу такими ж властивостями має RL-ланцюг, зображений на рис. 3.22,б.

Електричний ланцюг, до якого вихідна напруга U вих (t)(або струм) пропорційно інтегралу за часом від вхідної напруги U вх (t) (або струму):

Мал. 1 . Інтегратор на операційному підсилювачі.<В основе действия И. ц. лежит накопление заряда на конденсаторе с ёмкостью Зпід дією прикладеного струму чи накопичення магн. потоку в котушці з індуктивністю Lпід дією прикладеної напруги Переважно використовуються І. ц. із конденсатором.<С наиб, точностью указанный принцип реализуется в интеграторе на операц. усилителе (ОУ) (рис. 1). Для идеального ОУ разность напряжений между его входами и входные токи равны нулю, поэтому ток, протекающий через сопротивление R,дорівнює струму заряду

конденсатора З,а напруга в точці їх з'єднання дорівнює нулю. В результаті Добуток RС=t, що характеризує швидкість заряду конденсатора, зв. постійної доби І. ц.<Широко используется простейшая RC-І.ц. (Рис. 2, а). У цій схемі струм заряду конденсатора визначається різницею вхідної і вихідної напруги тому інтегрування вхідної напруги виконується приблизно і тим точніше, чим менше вихідна напруга в порівнянні з вхідною. Остання умова виконується, якщо постійна часу t набагато більше інтервалу часу, по якому відбувається інтегрування. Для правильного інтегрування вхідного імпульсного сигналу необхідно, щоб t була набагато більше тривалості імпульсу Т(рис. 3). Аналогічні властивості має RL-І. ц. показана на рис. 2, б, для якої постійна часу дорівнює L/R.

Мал. 3. 1 - вхідний прямокутний імпульс; 2 - вихідна напруга інтегруючого ланцюга при tдT.

І. ц. застосовуються для перетворення імпульсів, модульованих за тривалістю, імпульси, модульовані по амплітуді, для подовження імпульсів, отримання пилкоподібної напруги, виділення низькочастотних складових сигналу і т. п. І. ц. на операц. підсилювачах застосовуються в пристроях автоматики та аналогових ЕОМ для реалізації операції інтегрування.

53. Перехідні процеси. Закони комутації та їх застосування.

Перехідні процеси- процеси, що виникають в електричних ланцюгах при різних впливах, що приводять їх зі стаціонарного стану в новий стаціонарний стан, тобто, - при дії різного роду комутаційної апаратури, наприклад, ключів, перемикачів для включення або вимкнення джерела або приймача енергії, при обривах у ланцюзі , при коротких замикання окремих ділянок ланцюга і т.д.

Фізична причина виникнення перехідних процесів у ланцюгах - наявність у них котушок індуктивності та конденсаторів, тобто індуктивних та ємнісних елементів у відповідних схемах заміщення. Пояснюється це тим, що енергія магнітного та електричного полів цих елементів не може змінюватися стрибком при комутації(процес замикання або розмикання вимикачів) у ланцюзі.

Перехідний процес у ланцюзі описується математично диференціальним рівнянням

неоднорідним (однорідним), якщо схема заміщення ланцюга містить (не містить) джерела ЕРС та струму,
лінійним (нелінійним) для лінійного (нелінійного) ланцюга.

Тривалість перехідного процесу тривають від часток наносекунд до років. Залежать від конкретного ланцюга. Наприклад, постійна часу саморозряду конденсатора з полімерним діелектриком може досягати тисячоліття. Тривалість перебігу перехідного процесу визначається постійного часуланцюги.

Закони комутації відносяться до енергоємних (реактивних) елементів, тобто до ємності та індуктивності. Вони свідчать: напруга на ємності і струм індуктивності при кінцевих за величиною впливах є безперервними функціями часу, т. е. що неспроможні змінюватися стрибком.

Математично це формулювання може бути записано наступним чином

Для ємності;

Для індуктивності.

Закони комутації є наслідком визначень елементів ємності та індуктивності.

Фізично закон комутації для індуктивності пояснюється протидією ЕРС самоіндукції зміни струму, а закон комутації для ємності – протидією напруженості електричного поля конденсатора зміні зовнішньої напруги.

54.Вихрові струми, їх прояви та використання.

Вихрові струмиабо струми Фуко(на честь Ж. Б. Л. Фуко) - вихрові індукційні струми, що виникають у провідниках при зміні пронизливого їх магнітного поля.

Вперше вихрові струми були виявлені французьким вченим Д. Ф. Араго (1786-1853) в 1824 р. в мідному диску, розташованому на осі під магнітною стрілкою, що обертається. За рахунок вихрових струмів диск приходив у обертання. Це явище, назване явищем Араго, було пояснено через кілька років M. Фарадеєм з позицій відкритого ним закону електромагнітної індукції: магнітне поле, що обертається, наводить в мідному диску вихрові струми, які взаємодіють з магнітною стрілкою. Вихрові струми були детально досліджені французьким фізиком Фуко (1819-1868) та названі його ім'ям. Він відкрив явище нагрівання металевих тіл, що обертаються в магнітному полі, вихровими струмами.

Струми Фуко виникають під впливом змінного електромагнітного поля і за фізичною природою нічим не відрізняються від індукційних струмів, що виникають у лінійних дротах. Вони вихрові, тобто замкнуті у кільці.

Електричний опір потужного провідника мало, тому струми Фуко досягають дуже великої сили.

Теплова дія струмів Фуко використовується в індукційних печах - в котушку, що живиться високочастотним генератором великої потужності, поміщають тіло, що проводить, в ньому виникають вихрові струми, що розігрівають його до плавлення.

За допомогою струмів Фуко здійснюється прогрівання металевих частин вакуумних установок для їхньої дегазації.

У багатьох випадках струми Фуко можуть бути небажаними. Для боротьби з ними вживаються спеціальні заходи: з метою запобігання втратам енергії на нагрівання сердечників трансформаторів, ці сердечники набирають із тонких пластин, розділених ізолюючими прошарками. Поява феритів уможливило виготовлення цих сердечників суцільними.

Вихрострумовий контроль - один із методів неруйнівного контролю виробів із струмопровідних матеріалів.

55. Трансформатор, основні властивості та види конструкції.

Розглянемо електричний ланцюг із резистора опором Rта конденсатора ємністю Cпредставлений на малюнку.

Елементи Rі Cз'єднані послідовно, отже, струм у їхньому ланцюгу можна виразити, виходячи з похідної напруги заряду конденсатора dQ/dt = C(dU/dt)та закону Ома U/R. Напруга на висновках резистора позначимо U R.
Тоді матиме місце рівність:

Проінтегруємо останній вираз . Інтеграл лівої частини рівняння дорівнюватиме U out + Const. Перенесемо постійну складову Constу праву частину з тим самим знаком.
У правій частині постійну часу RCвинесемо за знак інтеграла:

У результаті вийшло, що вихідна напруга U outпрямо-пропорційно інтегралу напруги на висновках резистора, отже, і вхідному струму I in.
Постійна складова Constне залежить від номіналів елементів ланцюга.

Щоб забезпечити пряму пропорційну залежність вихідної напруги U outвід інтеграла вхідного U in, необхідна пропорційність вхідної напруги від вхідного струму

Нелінійне співвідношення U in /I inу вхідному ланцюзі викликано тим, що заряд і розряд конденсатора відбувається за експонентом e-t/τ, яка найбільш нелінійна при t/τ≥ 1, тобто коли значення tпорівнянно чи більше τ .
Тут t- час заряду чи розряду конденсатора не більше періоду.
τ = RC- постійна часу - добуток величин Rі C.
Якщо взяти номінали RCланцюги, коли τ буде значно більше tтоді початкова ділянка експоненти для короткого періоду (щодо τ ) може бути досить лінійним, що забезпечить необхідну пропорційність між вхідною напругою та струмом.

Для простого ланцюга RCпостійну часу зазвичай беруть на 1-2 порядку більше періоду змінного вхідного сигналу, тоді основна і значна частина вхідної напруги падатиме на висновках резистора, забезпечуючи достатньою мірою лінійну залежність U in /I in ≈ R.
У такому разі вихідна напруга U outбуде з допустимою похибкою пропорційно інтегралу вхідного U in.
Чим більша величина номіналів RC, тим менше змінна складова на виході, тим точнішою буде крива функції.

У більшості випадків, змінна складова інтеграла не потрібна при використанні таких ланцюгів, потрібна лише постійна Constтоді номінали RCможна вибирати якомога більшими, але з урахуванням вхідного опору наступного каскаду.

Як приклад, сигнал з генератора - позитивний меандр 1V періодом 2 mS подамо на вхід простого інтегруючого ланцюга RCз номіналами:
R= 10 kOhm, З= 1 uF. Тоді τ = RC= 10 mS.

У разі постійна часу лише у п'ять разів більше часу періоду, але візуально інтегрування простежується досить точно.
Графік показує, що вихідна напруга на рівні постійної складової 0.5в буде трикутною форми, тому що ділянки, що не змінюються в часі, для інтеграла будуть константою (позначимо її a), а інтеграл константи буде лінійною функцією. ∫adx = ax + Const. Величина константи aвизначить тангенса кута нахилу лінійної функції

Проінтегруємо синусоїду, отримаємо косинус із зворотним знаком ∫sinxdx = -cosx + Const.
У цьому випадку постійна складова Const = 0.

Якщо подати на вхід сигнал трикутної форми, на виході буде синусоїдальна напруга.
Інтеграл лінійної ділянки функції – парабола. У найпростішому варіанті ∫xdx = x 2 /2 + Const.
Знак множника визначить напрямок параболи.

Недолік найпростішого ланцюжка в тому, що змінна складова на виході виходить дуже маленькою щодо вхідної напруги.

Розглянемо як інтегратор Операційний Підсилювач (ОУ) за схемою, показаною малюнку.

З урахуванням нескінченно великого опору ОУ та правила Кірхгофа тут буде справедлива рівність:

I in = I R = U in / R = - I C.

Напруга на входах ідеального ОУ тут дорівнює нулю, тоді на висновках конденсатора U C = U out = - U in .
Отже, U outвизначиться, виходячи із струму загального ланцюга.

При номіналах елементів RC, коли τ = 1 Sec, вихідна змінна напруга дорівнюватиме за значенням інтегралу вхідного. Але, протилежно за знаком. Ідеальний інтегратор-інвертор за ідеальних елементів схеми.

Диференційний ланцюг RC

Розглянемо диференціатор із застосуванням Операційного Підсилювача.

Ідеальний ОУ тут забезпечить рівність струмів I R = - I Cза правилом Кірхгофа.
Напруга на входах ОУ дорівнює нулю, отже, вихідна напруга U out = U R = - U in = - U C .
Виходячи з похідної заряду конденсатора, закону Ома і рівності значень струмів у конденсаторі та резисторі, запишемо вираз:

U out = RI R = - RI C = - RC(dU C /dt) = - RC(dU in /dt)

Звідси бачимо, що вихідна напруга U outпропорційно до похідної заряду конденсатора dU in /dtяк швидкість зміни вхідної напруги.

При величині постійного часу RC, рівної одиниці, вихідна напруга дорівнюватиме за значенням похідної вхідної напруги, але протилежно за знаком. Отже, розглянута схема диференціює та інвертує вхідний сигнал.

Похідна константи дорівнює нулю, тому постійна складова при диференціюванні на виході буде відсутня.

Як приклад, подамо на вхід диференціатора сигнал трикутної форми. На виході матимемо прямокутний сигнал.
Похідна лінійної ділянки функції буде константою, знак та величина якої визначиться нахилом лінійної функції.

Для найпростішого диференціюючого ланцюжка RC із двох елементів використовуємо пропорційну залежність вихідної напруги від похідної напруги на висновках конденсатора.

U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)

Якщо взяти номінали елементів RC, щоб постійна часу була на 1-2 порядку менше довжини періоду, тоді відношення збільшення вхідної напруги до збільшення часу в межах періоду може визначати швидкість зміни вхідної напруги певною мірою точно. В ідеалі це приріст має прагнути до нуля. У такому разі основна частина вхідної напруги падатиме на висновках конденсатора, а вихідне становитиме незначну частину від вхідного, тому для обчислень похідної такі схеми практично не використовуються.

Найбільш часто диференціюючі та інтегруючі ланцюги RC застосовують для зміни довжини імпульсу в логічних та цифрових пристроях.
У таких випадках номінали RC розраховують за експонентом e-t/RC виходячи з довжини імпульсу в періоді та необхідних змін.
Наприклад, нижче на малюнку показано, що довжина імпульсу T iна виході інтегруючого ланцюжка збільшиться на час 3 τ . Це час розряду конденсатора до 5% амплітудного значення.

На виході диференціюючого ланцюга амплітудна напруга після подачі імпульсу з'являється миттєво, так як на висновках розрядженого конденсатора воно дорівнює нулю.
Далі слідує процес заряду і напруга на висновках резистора зменшується. За час 3 τ воно зменшиться до 5% амплітудного значення.

Тут 5% – величина показова. У практичних розрахунках цей поріг визначиться вхідними параметрами логічних елементів, що застосовуються.

Зауваження та пропозиції приймаються та вітаються!

Диференціюючим ланцюгом називається ланцюг, напруга на виході якого пропорційно першою похідною за часом від вхідної напруги:

Мал. 3.7.1. Схема диференціюючого ланцюга

Ланцюг, що диференціює (рис. 3.7.1) складається з резистора Rта конденсатора Зпараметри яких вибираються таким чином, щоб активний опір був у багато разів менше ємнісного опору.

Напруги на вході та виході ланцюга пов'язані співвідношенням:

uвх = uвих + u C;

uвих = i· R

u C = uвх - uвих = uвх - iR;

Якщо величина i Rзначно менше, ніж uвх, то uвх ≈ u C.

Розмір τ = RCназивається постійного часу диференціюючого ланцюга.

Чим менша постійна часу порівняно з тривалістю імпульсу на вході, тим вища точність диференціювання.

Якщо до входу диференціюючого ланцюга підвести напругу синусоїдальної форми, то вихідна напруга буде теж синусоїдальною, проте, воно буде зсунуто по фазі щодо вхідної напруги, і його амплітуда буде менше, ніж у вхідної. Таким чином, диференціюючий ланцюг, що є лінійною системою, не змінює спектрального складу напруги, що підводиться до неї.

Подача на вхід ланцюга, що диференціює, прямокутного імпульсу, що складається, як відомо, з незліченної безлічі синусоїдальних складових, змінює амплітуду і фазу цих складових, що призводить до зміни форми вихідної напруги в порівнянні з формою вхідної.

При подачі прямокутного імпульсу на вхід ланцюга, що диференціює, починається заряд конденсатора Зчерез опір R.

У початковий момент часу напруга на конденсаторі дорівнює нулю, тому вихідна напруга дорівнює вхідному. У міру заряду конденсатора напруга на ньому починає збільшуватися за експонентним законом:

u c = uвх · (1 – e– t/τ);

де τ = RC- Постійна часу ланцюга.

Напруга на виході диференціюючого ланцюга:

uвих = uвх - u c = uвх - uвх · (1 – e- t / τ) = uвх · e- t / τ);

Таким чином, у міру заряду конденсатора напруга на виході схеми зменшується за експонентним законом. Коли конденсатор повністю зарядиться, напруга на виході ланцюга, що диференціює, стане рівним нулю.

У момент закінчення прямокутного імпульсу напруга на вході схеми стрибком зменшиться до нуля. Оскільки конденсатор у цей час залишається повністю зарядженим, то з цього моменту розпочнеться його розряд через опір R. На початку розряду конденсатора напруга на виході схеми за величиною приблизно дорівнює напрузі на конденсаторі, але з протилежним знаком, тому що напрям струму розряду протилежний струму заряду. У міру розряду конденсатора напруга на виході ланцюга зменшується за експонентним законом.

Лабораторна робота

«Диференційні та інтегруючі ланцюги»

Полянчев С., Коротков Р.

Цілі роботи:ознайомлення з принципом дії, основними властивостями і параметрами ланцюгів, що диференціюють та інтегрують, встановлення умови диференціювання та інтегрування, визначення постійного часу.

Теоретична частина.

У радіоелектроніці та експериментальній фізиці виникає необхідність перетворення форми сигналів. Часто це може бути виконано шляхом їхнього диференціювання або інтегрування. Наприклад, при формуванні імпульсів, що запускають, для управління роботою ряду пристроїв імпульсної техніки (диференціюючі ланцюги) або при виділенні корисного сигналу на тлі шумів (інтегруючі ланцюги).

Аналіз найпростіших ланцюгів для диференціювання та інтегрування сигналів

Диференціюючим називається радіотехнічний ланцюг, з виходу якого може зніматися сигал, пропорційний похідній від вхідного сигналу U вих (t) ~ dU вх (t)/dt(1)

Аналогічно, для інтегруючого ланцюга: U вих (t) ~ òU вх (t) dt (2)

Оскільки диференціювання та інтегрування є лінійними математичними операціями, зазначені вище перетворення сигналів можуть здійснюватись лінійними ланцюгами, тобто. схемами, що складаються з постійних індуктивностей, ємностей та опорів.

Розглянемо ланцюг із послідовно з'єднаними R, C і L, на вхід якого подається сигал U вх (t) (рис.1).

Вихідний сигал у такому ланцюзі можна знімати з будь-якого її елемента. При цьому:

U R +U C +UL = Ri(t) + 1/c ói(t)dt + L di(t)/dt = U вх (t). (3)

Вочевидь, оскільки значення U R , U C і U L визначаються параметрами R, C і L, то підбором останніх можуть бути здійснені ситуації, коли U R , U C і U L істотно неоднакові. Розглянемо для випадку ланцюга, в якому U L »0 (RC – ланцюг).

А) U C >> U R тоді з (3) маємо:

i(t) = C dU вх (t)/dt (4)

Звідси випливає, що напруги на опорі пропорційно похідної від вхідного сигналу:

U R (t) = RCdU вх (t) / dt = t 0 dU вх (t) / dt. (5)

Таким чином, ми приходимо до схеми чотириполюсника, що диференціює, показаної на рис.2, в якій вихідний сигал знімається з опору R.

Б) U R >> U C . В цьому випадку з (3) отримуємо: i(t) = U вх (t)/R(6) і напруга на ємності дорівнює:

U C = 1/RCòU вх (t) dt = 1/t 0 òU вх (t) dt. (7)

Видно, що для здійснення операції інтегрування необхідно використовувати RC-ланцюжок відповідно до схеми на рис.3.

Для отримання ефекту диференціювання, так і інтегрування, сигнал треба знімати з елемента, на якому найменше падіння напруги. Розмір U вих (t) визначається значенням постійної часу t 0 , що дорівнює RC для RC-ланцюжка.

Вочевидь, що ефекти диференціювання та інтегрування у випадку відповідають, відповідно, щодо малим і великим t 0 .

Умови диференціювання та інтегрування

Уточнимо тепер, як пов'язані умови А і Б, а також використані вище поняття «малого» та «великого» t 0 з параметрами R, C, L та характеристиками сигналу.

Нехай вхідний сигнал U вх (t) має спектральну щільність

, тобто. (12)

Тоді при точному диференціювання для вихідного сигналу отримаємо:

, (13)

звідки випливає, що коефіцієнт передачі ідеального чотириполюсника, що диференціює (

) дорівнює: (14)

Розглянутий нами диференційний ланцюг (рис.2) має коефіцієнт передачі:

(15)

З порівняння (14) і (15) видно, що розглянутий нами ланцюг буде тим ближче до ідеального, чим краще виконується умова

wt 0<< 1 (16)

Причому, для всіх частоту спектрі вхідного сигналу. Для спрощення оцінки в нерівність (16) зазвичай підставляють максимальну частоту спектрі вхідного сигналу w m t 0<< 1.

Отже, щоб продиференціювати деякий сигнал, необхідно знайти спектральний склад і зібрати RC-ланцюг з постійної часу t 0<< w m -1 , где w m – максимальная частота в спектре входного сигнала.

Зазначимо, що з імпульсних сигналів верхню межу смуги частот можна оцінити за такою формулою (2) w m = 2p/tu , де t u – тривалість імпульсу. Т.ч., у цьому випадку умова диференціювання запишеться у вигляді

t 0<< t u (17)

Цілком аналогічно можна показати, що для задовільного інтегрування потрібно виконання умови

wt 0 >> 1 (18)

також для всіх частот спектра вхідного сигналу, в тому числі і для нижньої. Аналогічно для інтегрування імпульсів тривалістю t u умова інтегрування запишеться як

t 0<< t u (19)

З нерівностей (16), (18) випливає, що з заданої ланцюга диференціювання здійснюється тим точніше, ніж нижче частоти, у яких концентрується енергія вхідного сигналу, а інтегрування – що вище ці частоти. Чим точніше диференціювання або інтегрування, тим менша величина вихідного сигналу.

Проходження прямокутних імпульсів черезRC-ланцюги

Як приклад, що ілюструє диференціювання та інтегрування сигналів, розглянемо відгук RC-ланцюгів, показаних на рис.2 та 3, на прямокутний імпульс. Візьмемо ланцюг, на виході якого стоїть опір (рис.2), знайдемо осцилограму вихідної напруги, тобто. вид U R(t). Нехай у момент часу t = 0 на вході з'являється стрибок напруги U 0 (рис.4).

У цьому випадку для 0< t < t u можно записать уравнение цепи в виде:

U 0 = 1 / Coi (t) dt + U R (t). (17)

Після диференціювання отримаємо

dU R /dt + U R /t 0 = 0. (18)

Оскільки ємність не може зарядитися миттєво, то для t = 0, U R = U 0 вся вхідна напруга виявляється прикладеним до опору. З урахуванням цієї початкової умови рішення рівняння (18) запишеться у вигляді:

. (19)

Експоненційний спад вихідної напруги описує процес зарядки ємності через опір R і відповідний перерозподіл напруги між R і C. При цьому постійна часу t 0 характеризує швидкість зарядки ємності і може бути інтерпретована як час, за який напруга U R зменшиться в е раз.

Для t 0<< t u экспоненциальная зависимость становится резче, в результате на выходе наблюдаем короткие импульсы в момент начала и окончания входного воздействия, являющиеся удовлетворительной аппроксимацией производной от входного сигнала (рис.4).

Якщо вихідна напруга знімається з конденсатора, то для 0< t < t u получим:

(21)

і для t >= t u

. (22)

Якщо ланцюг є інтегруючим, виконується нерівність t 0 >> t u , що дозволяє використовувати розкладання експоненти до ряду Тейлора.

Постійна час ланцюга RC

Електричний ланцюг RC

Розглянемо струм в електричному ланцюзі, що складається з конденсатора ємністю Cі резистора опором R, з'єднаних паралельно.
Значення струму заряду або розряду конденсатора визначиться виразом I = C(dU/dt), А значення струму в резисторі, згідно із законом Ома, становитиме U/R, де U- Напруга заряду конденсатора.

З малюнка видно, що електричний струм Iв елементах Cі Rланцюга матиме однакове значення та протилежний напрям, згідно із законом Кірхгофа. Отже, його можна виразити так:

Вирішуємо диференціальне рівняння C(dU/dt)=-U/R

Інтегруємо:

З таблиці інтегралів тут використовуємо перетворення

Отримуємо загальний інтеграл рівняння: ln | U | = - t/RC + Const.
Виразимо з нього напругу Uпотенціюванням: U = e-t/RC * e Const.
Рішення набуде вигляду:

U = e-t/RC * Const.

Тут Const- Константа, величина, що визначається початковими умовами.

Отже, напруга Uзаряду або розряду конденсатора змінюватиметься в часі за експоненційним законом e-t/RC.

Експонента – функція exp(x) = e x
e– Математична константа, приблизно рівна 2.718281828...

Постійна часу τ

Якщо конденсатор ємністю Cпослідовно з резистором опором Rпідключити до джерела постійної напруги U, у ланцюзі піде струм, який за будь-який час tзарядить конденсатор до значення U Cі визначиться виразом:

Тоді напруга U Cна висновках конденсатора збільшуватиметься від нуля до значення Uза експонентом:

U C = U( 1 - e-t/RC )

При t = RCнапруга на конденсаторі складе U C = U( 1 - e -1 ) = U ( 1 - 1/e).
Час, чисельно рівний твору RC, називається постійного часу ланцюга RCі позначається грецькою літерою τ .

Постійна часу τ = RC

За час τ конденсатор зарядиться до (1 - 1 /e)*100% ≈ 63,2% значення U.
За час 3 τ напруга становитиме (1 - 1 /e 3)*100% ≈ 95% значення U.
За час 5 τ напруга зросте до (1 - 1 /e 5) * 100% ≈ 99% значення U.

Якщо до конденсатора ємністю C, зарядженому до напруги U, паралельно підключити резистор опором Rтоді в ланцюгу піде струм розряду конденсатора.

Напруга на конденсаторі при розряді складатиме U C = Ue-t/τ = U/e t/τ.

За час τ напруга на конденсаторі зменшиться до значення U/e, що складе 1 /e*100% ≈ 36.8% значення U.
За час 3 τ конденсатор розрядиться до (1 /e 3)*100% ≈ 5% від значення U.
За час 5 τ до (1 /e 5) * 100% ≈ 1% значення U.

Параметр τ широко застосовується при розрахунках RC-фільтрів різних електронних ланцюгів та вузлів.

Зв'язок миттєвих значень напруги та струмів на елементах

Електричного ланцюга

Для послідовного ланцюга, що містить лінійні резистор R, котушку індуктивності L і конденсатор, при її підключенні до джерела з напругою u (див. рис. 1) можна записати

де х - потрібна функція часу (напруга, струм, потокозчеплення і т.п.); - відомий вплив, що обурює (напруга і (або) струм джерела електричної енергії); - К-й постійний коефіцієнт, який визначається параметрами ланцюга.

Порядок даного рівняння дорівнює числу незалежних накопичувачів енергії в ланцюзі, під якими розуміються котушки індуктивності та конденсатори у спрощеній схемі, що отримується з вихідної шляхом об'єднання індуктивностей і відповідно ємностей елементів, з'єднання між якими є послідовними або паралельними.

У випадку порядок диференціального рівняння визначається співвідношенням

(3)

де і - відповідно число котушок індуктивності та конденсаторів після зазначеного спрощення вихідної схеми; - число вузлів, у яких сходяться лише гілки, що містять котушки індуктивності (відповідно до першого закону Кірхгофа струм через будь-яку котушку індуктивності у разі визначається струмами через інші котушки); - число контурів схеми, гілки яких містять лише конденсатори (відповідно до другого закону Кірхгофа напруга на будь-якому з конденсаторів у цьому випадку визначається напругою на інших).

Наявність індуктивних зв'язків на порядок диференціального рівняння впливає.

Як відомо з математики, загальне рішення рівняння (2) являє собою суму окремого рішення вихідного неоднорідного рівняння і загального рішення однорідного рівняння, що отримується з вихідного шляхом прирівнювання його лівої частини до нуля. Оскільки з математичної сторони не накладається будь-яких обмежень на вибір приватного рішення (2), стосовно електротехніки в якості останнього зручно прийняти рішення , відповідне шуканої змінної х в післякомутаційному режимі (теоретично для ).

Приватне рішення рівняння (2) визначається видом функції , що стоїть у правій частині, і тому називається вимушеної складової.Для ланцюгів із заданими постійними або періодичними напругами (струмами) джерел примушена складова визначається шляхом розрахунку стаціонарного режиму роботи схеми після комутації будь-яким із розглянутих раніше методів розрахунку лінійних електричних кіл.

Друга складова загального рішення х рівняння (2) – рішення (2) з нульовою правою частиною – відповідає режиму, коли зовнішні (примушують) сили (джерела енергії) на ланцюг безпосередньо не впливають. Вплив джерел проявляється тут через енергію, запасену в полях котушок індуктивності та конденсаторів. Цей режим роботи схеми називається вільним, а змінна - вільної складової.

Відповідно до вищесказаного, . загальне рішення рівняння (2) має вигляд

(4)

Співвідношення (4) показує, що з класичному методі розрахунку післякомутаційний процес сприймається як накладення друг на друга двох режимів – вимушеного, наступаючого як би відразу після комутації, і вільного, що має місце лише протягом перехідного процесу.

Необхідно підкреслити, що, оскільки принцип накладання справедливий лише для лінійних систем, метод рішення, заснований на зазначеному розкладі шуканої змінної х, справедливий лише лінійних ланцюгів.

Початкові умови. Закони комутації

Відповідно до визначення вільної складової у її вираженні мають місце постійні інтегрування , число яких дорівнює порядку диференціального рівняння. Постійні інтегрування перебувають із початкових умов, які прийнято ділити на незалежні та залежні. До незалежних початкових умов відносяться потокозчеплення (струм) для котушки індуктивності та заряд (напруга) на конденсаторі в момент часу (момент комутації). Незалежні початкові умови визначаються виходячи з законів комутації (див. табл. 2).

Таблиця 2. Закони комутації

See more at: http://www.toehelp.ru/theory/toe/lecture24/lecture24.html#sthash.jqyFZ18C.dpuf

Інтегруючий ланцюг RC

Розглянемо електричний ланцюг із резистора опором Rта конденсатора ємністю Cпредставлений на малюнку.