Жарознижувальні засоби для дітей призначаються педіатром. Але бувають ситуації невідкладної допомоги за лихоманки, коли дитині потрібно дати ліки негайно. Тоді батьки беруть на себе відповідальність і застосовують жарознижувальні препарати. Що можна давати дітям грудного віку? Чим можна збити температуру у старших дітей? Які ліки найбезпечніші?
Основою вирішення економічних завдань є математичні моделі.
Складання математичної моделі включає:Математичною моделлюЗавдання називається сукупність математичних співвідношень, що описують суть задачі.
- вибір змінних задач
- складання системи обмежень
- вибір цільової функції
Змінними завданняназиваються величини Х1, Х2, Хn, що повністю характеризують економічний процес. Зазвичай їх записують як вектора: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).
Системою обмеженьЗавдання називають сукупність рівнянь і нерівностей, що описують обмеженість ресурсів у розглянутій задачі.
Цільовою функцієюЗавдання називають функцію змінних завдання, яка характеризує якість виконання завдання та екстремум якої потрібно знайти.
У випадку завдання лінійного програмування може бути записана у такому виде:
Цей запис означає наступне: знайти екстремум цільової функції (1) та відповідні йому змінні X=(X 1 , X 2 ,...,X n) за умови, що ці змінні задовольняють системі обмежень (2) та умов невід'ємності (3) .
Допустимим рішенням(планом) завдання лінійного програмування називається будь-який n-мірний вектор X=(X 1 , X 2 ,...,X n), що задовольняє системі обмежень та умов невід'ємності.
Безліч допустимих рішень (планів) завдання утворює область допустимих рішень(ОДР).
Оптимальним рішенням(планом) задачі лінійного програмування називається таке допустиме рішення (план) задачі, при якому цільова функція досягає екстремуму.
Приклад складання математичної моделі
Завдання використання ресурсів (сировини)
Умова:Для виготовлення n видів продукції використовується m видів ресурсів. Скласти математичну модель.
Відомі:
- b i (i = 1,2,3, ..., m) - запаси кожного i-го виду ресурсу;
- a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) - витрати кожного i-го виду ресурсу на виробництво одиниці обсягу j-го виду продукції;
- c j (j = 1,2,3,...,n) - прибуток від одиниці обсягу j-го виду продукції.
Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимум прибутку при заданих обмеження на ресурси (сировину).
Рішення:
Введемо вектор змінних X = (X 1, X 2, ..., X n), де x j (j = 1,2, ..., n) - Обсяг виробництва j-го виду продукції.
Витрати i-го виду ресурсу виготовлення даного обсягу x j продукції рівні a ij x j , тому обмеження використання ресурсів виробництва всіх видів продукції має вид:
Прибуток від j-го виду продукції дорівнює c j x j , тому цільова функція дорівнює:
Відповідь- Математична модельмає вигляд:
Канонічна форма задачі лінійного програмування
У випадку завдання лінійного програмування записується отже обмеженнями є як рівняння, і нерівності, а змінні може бути як неотрицательными, і довільно изменяющимися.
У тому випадку, коли всі обмеження є рівняннями і всі змінні задовольняють умову невід'ємності, завдання лінійного програмування називають канонічної.
Вона може бути представлена в координатному, векторному та матричному записі.
Канонічна задача лінійного програмування в координатному записі має вигляд:
Канонічна задача лінійного програмування матричного запису має вигляд:
- А - матриця коефіцієнтів системи рівнянь
- Х - матриця-стовпець змінних завдання
- Ао - матриця-стовпець правих частин системи обмежень
Нерідко використовуються завдання лінійного програмування, які називаються симетричними, які в матричному записі мають вигляд:
Приведення загального завдання лінійного програмування до канонічної форми
У більшості методів вирішення завдань лінійного програмування передбачається, що система обмежень складається з рівнянь та природних умов невід'ємності змінних. Однак при складанні моделей економічних завдань обмеження переважно формуються у вигляді системи нерівностей, тому необхідно вміти переходити від системи нерівностей до системи рівнянь.
Це може бути зроблено так:Візьмемо лінійну нерівність a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+anxn ≤b і додамо до її лівої частини деяку величину x n+1 , таку, що нерівність перетворилася на рівність a 1 x 1 +a 2 x 2 + ...+anxn +x n+1 =b. У цьому дана величина x n+1 є неотрицательной.
Розглянемо все з прикладу.
Приклад 26.1Привести до канонічного виду завдання лінійного програмування:
Рішення:
Перейдемо до завдання знайти максимуму цільової функції.
Для цього змінимо знаки коефіцієнтів цільової функції.
Для перетворення другої та третьої нерівностей системи обмежень у рівняння введемо невід'ємні додаткові змінні x 4 x 5 (на математичній моделі ця операція відзначена буквою Д).
Змінна х 4 вводиться в ліву частину другої нерівності зі знаком "+", оскільки нерівність має вигляд "≤".
Змінна x 5 вводиться в ліву частину третьої нерівності зі знаком "-", оскільки нерівність має вигляд "≥".
У цільову функцію змінні х 4 х 5 вводяться з коефіцієнтом. рівним нулю.
Записуємо завдання у канонічному вигляді.
Випуклі множини та їх властивості.Для того, щоб вивчити властивості ЗЛП, необхідно дати строго визначення опуклої множини. Раніше опукла множина визначалася як множина, яка разом з будь-якими двома своїми точками містить відрізок, що їх з'єднує.
Узагальненням поняття відрізка для кількох точок є їхня опукла лінійна комбінація.
Точка Х називається опуклою лінійною комбінацією точок, якщо виконуються умови
Безліч точок є опуклим,якщо воно разом з будь-якими двома точками містить їх довільну опуклу, лінійну комбінацію.
Можна довести наступну теорему про уявлення опуклого багатогранника.
Теорема 1.1. Випуклий п-вимірний багатогранник є опуклою лінійною комбінацією своїх кутових точок.
З теореми 1.1 випливає, що опуклий багатогранник породжується своїми кутовими точками чи вершинами: відрізок – двома точками, трикутник – трьома, тетраедр – чотирма точками тощо. У той же час опукла багатогранна область, будучи необмеженою безліччю, не визначається однозначно своїми кутовими точками: будь-яку її точку не можна уявити у вигляді опуклої лінійної комбінації кутових точок.
Властивості задачі лінійного програмування.Раніше були розглянуті різні формизадачі лінійного програмування та показано, що будь-яка задача лінійного програмування може бути представлена у вигляді загальної чи канонічної задачі.
Для обґрунтування властивостей задачі лінійного програмування та методів її вирішення доцільно розглянути ще два види запису канонічного завдання.
Матрична форма запису:
Тут З- матриця-рядок, А- матриця системи, Х- матриця-стовпець змінних, У- матриця-стовпець вільних членів:
Векторна форма запису:
де вектори відповідають стовпцям коефіцієнтів за невідомих.
Вище було сформульовано, але з доведено у вигляді наступна теорема.
Теорема 1.2. Багато всіх допустимих рішень системи обмежень задачі лінійного програмування є опуклим.
Доведення:Нехай - два допустимі рішення ЗЛП, заданої в матричній формі. Тоді і . Розглянемо опуклу лінійну комбінацію рішень, тобто.
і покажемо, що вона є допустимим рішенням системи (1.3). Справді
тобто. Рішення Xзадовольняє систему (1.3). Але оскільки , то й Х>0, тобто. рішення задовольняє умову невід'ємності.
Отже, доведено, що безліч усіх допустимих розв'язків задачі лінійного програмування є опуклим, а точніше, представляє опуклий багатогранник або опуклу багатогранну область, які надалі називатимемо одним терміном – багатогранником рішень.
Відповідь питанням, у якій точці багатогранника рішень можливе оптимальне розв'язання задачі лінійного програмування, дається у наступній фундаментальної теоремі.
Теорема 1.3. Якщо завдання лінійного програмування має оптимальне рішення, то лінійна функція набуває максимального значення в одній з кутових точок багатогранника рішень. Якщо лінійна функція приймає максимальне значення більш ніж в одній кутовій точці, вона приймає його в будь-якій точці, що є опуклою лінійною комбінацією цих точок.
Доведення:Вважатимемо, що багатогранник рішень є обмеженим. Позначимо його кутові точки через , а оптимальне рішення - через X*. Тоді F(X*)³ F(X)для всіх точок Хбагатогранник рішень. Якщо X*- Кутова точка, то перша частина теореми доведена.
Припустимо, що X*не є кутовою точкою, тоді на підставі теореми 1.1 X*можна як опуклу лінійну комбінацію кутових точок багатогранника рішень, тобто.
Так як F(X)- Лінійна функція, отримуємо
У цьому розкладі серед значень виберемо максимальне. Нехай воно відповідає кутовій точці X k(1 £ k£ р); позначимо його через М,тобто. . Замінимо у виразі (1.5) кожне значення цим максимальним значенням М.Тоді
За припущенням Х* - оптимальне рішення, тому, з одного боку, але з іншого боку, доведено, що
F(X*)£ М,отже, , де X k- Кутова точка. Отже, існує кутова точка X k, В якій лінійна функція набуває максимального значення.
Для доказу другої частини теореми припустимо, що цільова функція набуває максимального значення більш ніж в одній кутовій точці, наприклад, у точках , де , тоді
Нехай Х- Випукла лінійна комбінація цих кутових точок, тобто.
У цьому випадку, враховуючи, що функція F(X)- Лінійна, отримаємо
тобто. лінійна функція Fприймає максимальне значення у довільній точці Х, Що є опуклою лінійною комбінацією кутових точок.
Зауваження.Вимога обмеженості багатогранника рішень у теоремі є істотною, оскільки у разі необмеженої багатогранної області, як зазначалося в теоремі 1.1, не кожну точку такої області можна подати опуклою лінійною комбінацією її кутових точок.
Доведена теорема є фундаментальною, оскільки вона вказує важливий шлях вирішення завдань лінійного програмування. Дійсно, згідно з цією теоремою замість дослідження нескінченної множини допустимих рішень для знаходження серед них бажаного оптимального рішення необхідно досліджувати лише кінцеве число кутових точок багатогранника рішень.
Наступна теорема присвячена аналітичному методу знаходження кутових точок.
Теорема 1.4. Кожному допустимому базисному рішенню задачі лінійного програмування відповідає кутова точка багатогранника рішень, і навпаки, кожній кутовій точці багатогранника рішень відповідає допустиме базисне рішення.
Доведення:Нехай – допустиме базисне рішення системи обмежень ЗЛП (1.4), у якому перші ткомпонент - основні змінні, інші п - ткомпонент – неосновні змінні, рівні нулю у базисному рішенні (якщо це негаразд, то відповідні змінні можна перенумеровать). Покажемо, що Х
Припустимо неприємне, тобто. що Хне є кутовою точкою. Тоді точку Хможна уявити внутрішньою точкою відрізка, що з'єднує дві різні, що не збігаються з X,крапки
іншими словами, – опуклою лінійною комбінацією крапок багатогранника рішень, тобто.
де (думаємо, що , бо інакше точка Хзбігається з точкою Х 1 або Х 2).
Запишемо векторну рівність (1.6) у координатній формі:
Т.к. всі змінні та коефіцієнти невід'ємні, то з останніх п-трівностей слід, що , тобто. у рішеннях Х 1 , Х 2 та Хсистеми рівнянь (1.4) значення п - ткомпонент дорівнюють у разі нулю. Ці компоненти вважатимуться значеннями неосновних змінних. Але значення неосновних змінних однозначно визначають значення основних, отже,
Таким чином, все пкомпонент у рішеннях Х 1 , Х 2 та Хзбігаються, і значить, точки Х 1 та Х 2 зливаються, що суперечить припущенню. Отже, X- Кутова точка багатогранника рішень.
Доведемо зворотне твердження. Нехай – кутова точка багатогранника рішень та перші її ткоординат позитивні. Покажемо, що Х- Допустиме базисне рішення. не є кутовою точкою, що суперечить умові. Отже, наше припущення не так, тобто. вектори лінійно незалежні та Х- Допустиме базисне рішення задачі (1.4).
З теорем 1.3 та 1.4 безпосередньо випливає важливий наслідок: якщо завдання лінійного програмування має оптимальне рішення, воно збігається, по крайнього заходу, із однією з її допустимих базисних рішень.
Отже, Оптимум лінійної функції задачі лінійного програмування слід шукати серед кінцевого числа її допустимих базових рішень.
Важко знайти голку в
стозі сіна, але ще важче
знайти конкретну соломинку
у цьому стозі.
Аж-Гріндер
Хороші вказівки приносять
не меншу користь,
чим добрі приклади.
Сенека
Рішення - задачі прийняття рішень - управлінське рішення - фактори процесу прийняття рішень - допустиме рішення - оптимальне рішення - структуровані проблеми - слабко структуровані проблеми - неструктуровані- ■ ні проблеми - «нова» парадигма - операційно замкнута система - власна поведінка системи - регулярне управління - управління змінами - самоорганізація - екологічність управління
Проблеми, пов'язані з пошуком способів досягнення поставленої мети з урахуванням існуючих можливостей, тобто. проблеми прийняття рішень пронизують всю людську практику (і суспільну, і особисту) і тому відрізняються великою різноманітністю. Виходячи з цього, розглянемо деякі загальні теоретичні питання, які можуть бути взяті як сучасна методологічна основа не тільки для прийняття державних управлінських рішень. Вони також виявляються корисними при прийнятті управлінських рішень у різних сферах бізнесу, у так званому третьому секторі, що представляє собою всі громадські організації, у кожній окремо взятій організації як зі складною структурою (транснаціональні корпорації, холдинги, фінансово-промислові групи та інші об'єднання), так та з традиційними структурами (функціональною, лінійно-функціональною тощо).
У спеціальній літературі можна зустріти різні трактування терміна «рішення». Рішення розуміється як результат вибору, і як процес, і як акт вибору. Ці трактування самого поняття «рішення» не суперечать, а лише доповнюють одне одного, розставляючи по-різному акценти залежно від контексту досліджень та конкретної управлінської діяльності. Так, розглядаючи рішення як процес,протікає у часі, можна говорити про його етапи. Рішення як результат вибору -це вже припис до дії, а як акт вибору- Творча складова управлінської діяльності, яка розглядає рішення невіддільне від такого поняття, як «владна воля». Таким чином, під рішенням розуміються одночасно і процес, і результат, і акт вибору мети та спосіб її досягнення.
Залежно від основи класифікації виділяють такі завдання прийняття рішень:
Структуровані, слабо структуровані та неструктуровані;
Унікальні та повторювані;
Статичні та динамічні;
в умовах визначеності та в умовах невизначеності (зокрема, при ризику, при протидії);
З фіксованим набором альтернатив (варіантів рішень, стратегій) та з формованим у процесі прийняття рішень;
З одним критерієм (цільовою функцією, показником якості чи ефективності) та з багатьма (декількома) критеріями;
а також розглядають:
Завдання вибору однієї найкращої (оптимальної) альтернативи або виділення декількох найкращих альтернатив, ранжування (розбивку на впорядковані класи) всіх або тільки кращих альтернатив, що виділяються;
Індивідуальні та колективні рішення;
Вольові, інтелектуальні та емоційні рішення;
Технічні, технологічні тощо;
Оперативні, тактичні та стратегічні;
Рутинні та унікальні;
Інтуїтивні та раціональні;
Складні та прості, і т.д.
p align="justify"> Процеси прийняття управлінських рішень займають в управлінській діяльності центральне місце. Зауважимо, що не всяке Рішенняє управлінським,а тільки таке, яке, по-перше, є результатом вибору між декількома альтернативами, в більшості випадків приблизно рівноцінними з точки зору приймаючого рішення, а по-друге, коли результат вибору як соціальне явище впливає на інших людей і сприймається ними як обов'язковий виконання. Якщо не виконується перша умова, то рішення, що приймається, або продиктоване іншими людьми, або обставинами, що не залежать від особи, яка приймає рішення. У цьому випадку маємо справу з так званим ритуальним
керуванням. У разі невиконання другої умови має місце управлінська утопія, а нереальнекерування.
Процес ухвалення рішенняяк невід'ємна складова кожної з функцій управління передбачає наявність наступних факторів:
1. Особа, яка приймає рішення (ЛПР)- людина чи група людей, наділених необхідними повноваженнями до ухвалення рішення та відповідальні.
2. Керовані змінні,охоплені проблемою ситуації, тобто. сукупність факторів та умов, що викликають появу тієї чи іншої проблеми, якими може керувати ЛПР.
3. Некеровані змінні- охоплювані проблемою ситуації, якими може управляти ЛПР, але якими можуть управляти інші особи. У сукупності з керованими змінними некеровані змінні можуть впливати на результат вибору, утворюючи фон проблеми або навколишнє середовище.
4. Обмеження(Внутрішні та зовнішні) на значення керованих і некерованих змінних, які в сукупності визначають область допустимих рішень.
5. Критерій(або критерії) для оцінки альтернативних варіантіврішення. Критерій може бути заданий кількісною моделлю або якісно (у термінах індивідуальних переваг або термінах нечіткої логіки).
6. Вирішальне правило(або система вирішальних правил) - принципи та методи вибору рішення, в результаті застосування яких одержують рекомендації або рекомендоване рішення (хоча остаточний вибір залишається за ЛПР).
7. Альтернативи(можливі результати), які від значень якісних чи кількісних керованих і некерованих змінних, і від самого вибору.
8. Рішення,передбачає існування принаймні двох альтернатив поведінки (виходів); в іншому випадку проблеми прийняття рішення не виникає через відсутність вибору.
9. Можливостіреалізації обраного чи прийнятого рішення. Функцію прийняття рішеньможна розглядати як завдання, яке
(хоча і з різним змістом) постійно доводиться вирішувати у процесі управлінської діяльності і яка має таку постановку: визначити найкращий спосібдій задля досягнення поставленої мети. Тут під метоюрозуміються як бачення бажаного стану керованої системи, і результат правильної (у певному сенсі) управлінської діяльності. При цьому є проблема,якщо бажаний стан системи відповідає фактичному. Проблема на своєму тлі(сукупність проблеми та ситуації) є проблемну ситуацію.Для вирішення проблемної ситуації ЛПР прагне вибрати «найкраще», оптимальне у певному сенсі рішення, сподіваючись, що воно збереже цю властивість і в перспективі. Якщо ж рішення приймається в умовах невизначеності (є надлишок або брак інформації, кілька критеріїв оцінки альтернатив тощо), то має сенс говорити про рішення, оптимальні, В. Парето(італійський економіст), які слід шукати серед альтернатив, що не покращуються.
РішенняЗавдання називають допустимим, якщо воно задовольняє обмеженням, що зв'язує як керовані, так і некеровані змінні. Допустиме рішення називають оптимальним,якщо воно забезпечує бажаний екстремум критерію вибору.
Проблеми,для яких залежності між змінними виявлено так, що можуть бути представлені числами або формалізовані таким чином, що також допускають зрештою чисельні оцінки, що визначаються як структуровані(або кількісно сформульовані). Проблеми, що містять лише назву найважливіших характеристик, ресурсів і знаків, кількісні залежності між якими не визначені, називають неструктурованими(якісно вираженими). Проблеми, які містять як якісні, так і кількісні елементи, причому якісні та невизначені аспекти проблеми мають тенденцію посилюватися, називають слабо структурованими.Модель (опис) слабо-! структурованих проблем може бути побудована тільки на підставі додаткової інформації, одержуваної від людини або групи осіб, які беруть участь у вирішенні такої проблеми, для компонентів якої характерна нечіткість, багатоваріантність і наближений (хоча і зі збереженням структури) вид опису.
Якщо опис (або модель) проблемної ситуації містить динамічну систему взаємозалежностей між великою кількістю змінних: великою розмірністю з наявністю нелінійних зв'язків між ними, а також випадкових факторів, то така проблемна ситуаціявизначається як склад-, готівка.Якщо ж задача статична, невелика розмірність, з відсутністю нелінійностей і випадкових факторів, то таке завдання класифікують як, просте завдання.Зауважимо, що термін «складність» стосується саме опису проблемної ситуації, а не природи вирішуваної проблеми.
Хоча завдання прийняття рішень супроводжують людство з його зародження, систематичне їх вивчення почалося лише у XX в. В останні десятиліття було ясно усвідомлено, що проблема прийняття рішень міждисциплінарна та потребує системного підходу.Тому в даний час інтенсивно розробляються тісно пов'язані між собою математична, психологічна, організаційна, інформаційна та інші теорій
ухвалення рішень. Проблема прийняття рішень в управлінні соціальними процесами видається настільки складною, що поряд з використанням системного підходу вимагає для свого вирішення встановлення зв'язків між ідеями різних наукових дисциплін, філософських традицій, часто виходячи за межі науки у її традиційному розумінні та породжуючи елементи нового бачення реальності. Отже, йдеться про проникнення «нової» парадигми в управлінську теорію та практику.
Відомо, що у перші десятиліття нашого століття фізичні дослідження, за словами фізика, лауреата Нобелівської премії Ф. Капрі,«привели дотикання з дивною і несподіваною реальністю, що похитнула у фізиків підстави їхнього світогляду і змусила їх мислити зовсім по-новому. Світ, який вони спостерігали, не був більш машиною, що складається з безлічі окремих об'єктів, він був неподільним цілим: мережею відносин, які необхідним чином включали спостерігача. Прагнучи осягнути природу явищ, вчені було неможливо не виявити, що й основні поняття, мову, весь спосіб мислення годяться для опису реальності». Протягом останніх 30 років почали говорити про парадигми та про їхню зміну навіть поза наукою. Наприклад, так звана нова(або "третя") парадигмавважається породженою першою та другою парадигмами. Охарактеризуємо дуже коротко кожну їх.
В основі першої парадигмимислення лежить проектування зовнішнього світу людини з його внутрішній світ яке ірраціонально, інтуїтивно, несвідомо. Особливу роль відіграють уміння, навички, ритуали. Це міфологічний спосіб мислення. В основі другий парадигми -раціональний підхід із лінійними причинно-наслідковими зв'язками. Тут з'являються винахідництво, конструювання. Сформовано уявлення про Світ як часовий механізм - механістичне уявлення світу. У процесах аналізу та моделювання складних систем з'явилося поняття зворотного зв'язку з акцентом на негативні зворотні зв'язки. У рамках другої парадигми виникає техногенне виробництво (механічне життя). Синтаксисом цієї парадигми є математичний аналіз. Моделювання процесів ґрунтується на понятті «безперервність», що призводить до так званої поганої нескінченності та низки логічних парадоксів. Третя,або нова парадигмаявляє собою комунікацію першої та другої парадигм, де в основі лежить принцип рівноваги між раціональним та ірраціональним, свідомим та несвідомим, науковим знанням та інтуїцією. У рамках третьої парадигми здійснюється ніби повернення проекції зовнішнього світу на внутрішній світ людини, а сама парадигма сприймається як сукупність думок, сприйняттів та цінностей, які створюють певне бачення реальності, що виявляється основою самоорганізації суспільства. У третій парадигмі використовується синтаксис квантової механіки із власними значеннями та власними функціями. Механістична модель світу поступається місцем біологічної з описом складних систем як живих. Таким чином, освоєння нової («третьої») парадигми є однією з можливостей формування сучасної методології діяльності, що включає ухвалення компетентних рішень при інтегруванні наявного досвіду, інтуїції із досягненнями сучасної науки, накопиченими за останні 40-50 років.
При сучасному раціональному підході рекомендації (або зміни типу «згори - вниз»), здавалося б, оптимальні з раціональної точки зору, якщо апріорі і не приречені на невдачу, то згодом перетворюються на набряклі, спотворені версії первісних планів, а відсутність ясності перетворює бюрократичні. організації у механізми для уникнення відповідальності. Інструментами нової управлінської парадигми можуть бути «м'які» аналітичні методи, а також «м'які» технології прийняття рішень та «м'які» управлінські технології.
Системи управління організацією може бути описані по-різному. Опис системи як добре налагодженого механізму досить ефективний, але має ряд недоліків. При цьому функціонування організації орієнтоване на досягнення кінцевої мети, а сам процес досягнення розглядається як інструмент або як одна з можливих альтернатив. За відсутності чітко сформульованої мети такий підхід до її досягнення є дуже скрутним і туманним.
Соціальна система є складною системою. Ця складність посилюється ще й тим, що суб'єкт управління такою системою сам включений в керовану систему, привносячи тим самим до неї ще більшу непередбачуваність, невизначеність своїми суб'єктивними, емоційними реакціями, своїми описами-уявленнями про саму цю систему, що також є атрибутами керованої системи. Іншими словами, принциповим для таких систем є наявність включеного в систему наглядача. Стати в позицію зовнішнього спостерігача по відношенню до соціальної системи представляється (навіть з суто теоретичних міркувань) проблематичним. Мовою «керуючий - система» це означає, що керуючий включений в систему і, керуючи системою, керує самим собою, більше того, говорити, що керуючий керує системою, так само, як і те, що система керує керуючим.
Одним із найбільш важливих результатів такого опису є розуміння того, що управління невіддільне від системи і жодна група-керівників не складає ізольованого блоку. Кожен керівник знаходиться всередині системи, пов'язаний з нею складною мережею взаємодій та; можна сказати, що він керує собою у структурі системи. Ця замкнута ситуація лежить в основі багатьох парадоксів, включаючи один із найдавніших
парадоксів Епіменіда продобріший, якому було наказано голити тих, хто не голить себе сам. Проблеми не існує доти, доки не виникає питання про те, що робити самому цирульнику. Тоді маємо нерозв'язну проблему: якщо цирульник буде голити себе сам, він не повинен себе голити, якщо ж не буде себе голити, то повинен себе голити, тобто. з будь-якої з цих посилок випливає її заперечення і, отже, твердження збігається зі своїм запереченням. Аналогічний цьому феномен брехуна: мешканець острова каже, кожен, хто живе острові, - брехун. У математиці відомий парадокс Розсела:безліч всіх множин, що не містять себе як свій елемент. Математика пояснює виникнення парадоксів непредикативністю визначень, коли те, що визначається, бере участь у своєму визначенні. Якщо спостерігач є частиною спостережуваної ним системи, а керівник управляє у складі організації, можна побачити непредикативность і парадоксальність такий ситуації. У цьому випадку кажуть, що є семантична петля, а систему називають операційно замкненою(або живий). З цього глухого кута намічається вихід: з'являються нові підходи до структурування ситуацій такого роду на основі сучасних математичних підходів, що використовують багатозначні логіки, нечіткі множини, фрактальні структури, сучасні (формальні та неформальні) методи аналізу даних тощо. Операційно замкнуті системи займають проміжне положення між відкритими і замкнутими системами. З одного боку, вони можуть реагувати на вхідний сигнал, що робить їх схожими на відкриті системи, з іншого боку, вони - «неслухняні» системи, системи з «характером», з «настроєм» або, як кажуть, мають внутрішній стан. Доречно згадати відомий з психології приклад, коли, дивлячись на той самий малюнок, одні люди бачать профілі двох людських осіб, розташованих один проти одного, а інші - контур вази для квітів. Найпростішими формальними моделями таких систем є нетривіальна машина У. Ешбіта біологічні автомати відомого радянського математика М. Цетліна.
Живі системиреагують на вхідний сигнал залежно від внутрішнього стану. При цьому вплив середовища на систему може породжувати континуум реакцій (тобто стільки реакцій, скільки існує точок на прямий), так що з позицій зовнішнього теоретичного спостерігача така ситуація може розглядатися як відсутність реакції на вхідний сигнал (властивість автономії). Вважається, що довкілля впливає систему лише як джерело модуляцій, викликають спонтанні зміни структури внутрішніх зв'язків обмеженнях, накладених організацією системи. Тому реакції системи на однакові, з погляду зовнішнього спостерігача, впливу середовища може бути зовсім різними і, взагалі кажучи, не є реакціями. Це відбувається не тільки тому, що поведінка системи визначається в основному поточним станом структури, невидимої зовнішнього спостерігача, але і від того, що деякий вхідний сигнал, зафіксований спостерігачем, може не сприйматися системою як вхідний, і навпаки.
Операційно замкнута система функціонує згідно двом принципам самоорганізації:
Операційно замкнута система має власну поведінку;
Операційно замкнута система змінюється шляхом природного дрейфу.
Власна поведінка системи- це такий особливий стан системи, що у процесі функціонування стає результатом стабілізації послідовності її станів. Так, якщо як приклад розглядати процес обговорення державними службовцями певної проблеми, то власну поведінку системи можна інтерпретувати як ситуацію «договореності» чи «вирішення» цієї проблеми. Якщо розглядати сукупність станів системи у процесі її функціонування як нескінченну послідовність, можна показати, що у ролі своєї межі вона має власне поведінка системи, яке, виявляється, відповідно до отриманим математичним співвідношенням збігається із самим процесом, тобто. у сенсі математичної рівності результат та процес невиразні.
Отже, можливий подвійний підхід до процесів управління та прийняття рішень: акцент можна робити на формулюванні та досягненні кінцевої мети, а можна акцентувати увагу на розумній, правильної в певному сенсі організації самого процесу управління або процесу прийняття рішення. Перший підхід, орієнтований на кінцеву мету, знаходиться в концепції регулярного керування,що задає основні стандарти, процедури та правила управління. Цей підхід є досить традиційним у теорії та практиці управління. Другий підхід, орієнтований на правильну організацію самого процесу прийняття рішення та управління, більше відповідає контексту управління змінами,або керування в режимі реального часу. Один підхід не виключає інший, вони лише доповнюють один одного, подібно до того, як у фізиці розглядається світло і як хвиля, і як частка.
Ефективність використання практично того чи іншого підходу залежить від змісту конкретної проблеми, яку потрібно вирішити. У різних технологіях прийняття рішень різних етапах зазначені підходи можуть застосовуватися як автономно друг від друга, і переплітатися у різних комбінаціях. При цьому еволюція процесу представляється як дрейф від одного власного стану до іншого власного стану
системи. Під природним дрейфомрозуміють нестійкий рух системи на околицях її власної поведінки. Отже, еволюційний розвиток системиможна розглядати як рух системи за її власними поведінками (значеннями). При цьому відомо, що операційно замкнута система має кінцеву чи лічильну кількість власних поведінок. Таким чином, безліч власних поведінки операційно замкнутої системи дискретно, і функціонування системи з позиції теоретичного зовнішнього спостерігача є послідовним дискретним перехідом системи з одного власного стану в інший власний стан. Такий процес називають квантування соціальних систем.
Опис функціонування операційно замкнутої системи за своїм синтаксисом нагадує опис руху електрона моделі атома Н. Бора,де знаходження електрона на орбіті відповідає власному поведінці системи, «стрибки» з однієї орбіти на іншу - переходу системи з одного власного стану до іншого власного стану.
Якщо уявити середовище як живу систему з поведінкою, що самоорганізується, стає зрозумілим, що сама система може фактично наділяти зовнішнє оточення власними значеннями. Це також випливає із існування прогностичного властивості живої системи, пов'язаного з тим, що будь-який опис, якщо його розглядати як реальний, має наслідки. Або, як стверджує Дж. Сорос,"опис формує майбутнє". У зв'язку з цим на основі формування ефективних прагматичних карт учасників процесу прийняття рішень виникає необхідність у генерації «карти майбутнього», у процесі якої важливо не тільки зрозуміти справжню та бажану ситуацію, а й пережити певний досвід. Це з формуванням ситуації та створенням умов можливої самоорганізації системи. Суть самоорганізаціїполягає в тому, що є структури, що самопороджуються, які породжують карти майбутнього так, що здійснюють взаємодію з картою майбутнього
Як ілюстрацію того, що таке самоорганізація, можна навести наступний приклад. Є аудиторія з кількома тисячами людей, кожна з яких тримає в руках ціпок, одна половина якої зеленого, а інша - червоного кольору. На зеленому екрані зображено коло, а на ньому – зелена «п'ятірка» – цифра п'ять зеленого кольору. Лідери пропонують тим, хто сидить у залі, подивитися на екран, а потім, піднявши палицю зеленим або червоним кінцем вгору, відновити зображення на екрані (після того, як воно було з нього прибрано). Зал сканують. Спочатку на екрані з'являються червоні та зелені плями випадкових та невизначених конфігурацій, але менш ніж через чотири хвилини картина стає стійкою: зображення на екрані відновлено. На цьому прикладі видно, що хоч ніхто не міг
навіть припустити, яким чином прийти до результату і що завдання в принципі вирішуване, але, представивши майбутнє візуально і поставивши абсолютно конкретно, синтаксично правильно ситуацію, люди в аудиторії просто ДАЛИ правильно відповідь на виклик лідерів. Вони це зробили без жодних інструкцій, лише за рахунок БАЧЕННЯ бажаного результату. Це приклад того, як жива система із правильно заданим синтаксисом та «сформованим» бажаним результатом може породити цей результат. Створюють ці системи спочатку власні описи, які потім стають власними значеннями (власними поведінками). Таким чином, результат може бути отриманий у відповідь на виклик з баченням результату, з вірою та бажанням його досягти, зі зверненням на нього уваги інших: потрібна ясна структура, щоб вийти на власні прагматичні значення.
Суть «нової парадигми» полягає у певному відході від управлінського раціоналізму, від первісного переконання, що успіх організації визначається насамперед раціоналізацією процесів у ній. Організації необхідно дбати про адаптивність своїх внутрішніх систем, отримувати максимум вигоди з наявних можливостей. У цьому випадку організаційні механізми пристосовуються до виявлення нових проблем та вироблення нових рішень більше, ніж до контролю вже прийнятих раніше. Маневр у розподілі ресурсів цінується вище, ніж пунктуальність у їхньому витраченні. Організація, що агресивно діє у своєму середовищі, новаторська в науково-технічному відношенні, орієнтована на якість, а не на кількість, адаптивна за внутрішньою будовою своїх систем, все більшою мірою залежить від людського фактора, який невіддільний від компетенції, ефекту команди, розгортання систем стратегічного управління.
Як зазначено вище, автономна системареагує на керуючі поштовхи непередбачуваним чином. Відомо також, що результат людської дії лише частково відповідає намірам та розрахунку. Типовими прикладами обмеженої керованості соціальних систем є переговори, обговорення проблеми, пошук рішень групою експертів. Тут ніхто не контролює ситуацію цілком, скоріше сам процес керує учасниками.
Як говорив всесвітньо відомий англійський вчений Cm Бір:«Управління системою є здатністю спілкуватися з нею, розуміти її внутрішню мову та вміти користуватися нею, будучи компетентним співрозмовником». Іншими словами, треба прагнути, щоб синтаксис аналізу, описи системи та управління нею відповідали синтаксису функціонування самої системи. Саме це мають на увазі, говорячи про екологічності управління.У зв'язку з останнім зауваженням у рамках сучасних аналітичних технологій, технологій прийняття рішень та управління соціальними системами,
пов'язаними зі зміною парадигми, виникає так званий екологічний підхід до проблеми: від екології мислення до екології управління з вимогою екологічності кожного опису.
Зауважимо, що опис системи як відкритої чи операційно замкнутої породжений спостерігачем. Ці описи не суперечать і не виключають один одного: кожен з них має свою сферу ефективності. Однак ясно, що такі системи, як екологічна, соціальна, геополітична та інші, можуть бути відповідно до їх організації представлені як операційно замкнуті.
Інструментами аналізу та прийняття рішень у рамках нової парадигми можуть бути методологія «м'яких» систем, мета-модель, моделі «точності», системної технології втручання, організаційного розвитку та інші, а також нові технології аналізу інформації, що працюють у «м'якому» контексті. Це означає, що поряд із застосуванням сучасного формального (математичного) апарату в управлінських та аналітичних дослідженнях, а також у самому процесі прийняття управлінських рішень доцільно використовувати як ресурс професійний досвідта інтуїцію суб'єктів управління.
Здатність отримувати якісну інформацію, представляти її у корисному вигляді та ефективно діяти на цій основі – одна з найцінніших навичок в управлінні соціальними процесами. Це особливо важливо в умовах динамічного хаотичного формування суспільних відносин, коли проведення аналізу соціальних систем лише за допомогою формального апарату не є доцільним і навіть можливим. В цих умовах має місце відхід від раціональних методів аналізу та механістичного опису системи та перехід до опису організації як живої, з «м'якими» та неформальними підходами до її аналізу, прийняття рішень та управління такою системою.
Література
Вір Ст.Мозок фірми. - М., 1993.
Дієв B.C.Управлінські рішення: невизначеність, модель, інтуїція. -Новосибірськ, 1998.
Зотов В. Б.Територіальне управління (методологія, теорія, практика). -М., 1998.
Капра Ф.Уроки мудрості. - М., 1996.
Купряшин Г.Л., Соловйов A.M.Державне управління: Навчальний посібник. -М., 1996.
Сорос Дж.Алхімія фінансів. - М., 1997.
Управління організацією: Підручник/За ред. А.Г. Поршнєва, З.П. Рум'янцевої, Н.А. Соломатина. - М, 1998.
Фатхутдінов Р.А.Розробка управлінського рішення: Навчальний посібник. -М., 1997.
Хайєк Ф.А.Згубна самовпевненість. - М., 1992. Юкаєва B.C.Управлінські рішення: Навчальний посібник. - М., 1999.
Тест з дисципліни «Дослідження операцій»
(вірні відповіді – перші)
1. Термін "дослідження операцій" виник …
у роки Другої світової війни
у 50-ті роки XX століття
у 60-ті роки XX століття
у 70-ті роки XX століття
у 90-ті роки XX століття
на початку XXI століття
2. Під дослідженням операцій розуміють (виберіть найкращий варіант) …
комплекс наукових методів для вирішення завдань ефективного управління організаційними системами
комплекс заходів, що вживаються для реалізації певних операцій
комплекс методів реалізації задуманого плану
наукові методи розподілу ресурсів при організації виробництва
3. Упорядкуйте етапи, якими, зазвичай, проходить будь-яке операційне дослідження:
постановка задачі
побудова змістовної (вербальної) моделі об'єкта (процесу), що розглядається.
побудова математичної моделі
вирішення завдань, сформульованих на базі побудованої математичної моделі
перевірка отриманих результатів на адекватність природі системи, що вивчається
реалізація одержаного рішення на практиці
4. У дослідженні операцій під операцією розуміють…
будь-який захід (систему дій), об'єднаний єдиним задумом і спрямований на досягнення будь-якої мети
всякий некерований захід
комплекс технічних заходів, що забезпечують виробництво продуктів споживання
5. Рішення називають оптимальним, …
якщо воно за тими чи іншими ознаками краще за інших
якщо воно раціональне
якщо воно узгоджено з начальством
якщо вони затверджені загальними зборами
6. Математичне програмування …
займається вивченням екстремальних завдань та розробкою методів їх вирішення
є процес створення програм для комп'ютера під керівництвом математиків
займається вирішенням математичних завдань на комп'ютері
7. Завдання лінійного програмування полягає у …
знаходження найбільшого (найменшого) значення лінійної функції за наявності лінійних обмежень
створення лінійної програми обраною мовою програмування, призначеної для вирішення поставленого завдання
опис лінійного алгоритму вирішення заданої задачі
8. У задачі квадратичного програмування…
цільова функція є квадратичною
область допустимих рішень є квадратом
обмеження містять квадратичні функції
9. У задачах цілісного програмування…
невідомі можуть набувати лише цілісних значень
цільова функція повинна обов'язково набути цілого значення, а невідомі можуть бути будь-якими
цільовою функцією є числова константа
10. У задачах параметричного програмування…
цільова функція та/або система обмежень містить параметр(и)
область допустимих рішень є паралелограмом або паралелепіпедом
кількість змінних може бути лише парною
11. У задачах динамічного програмування…
процес знаходження рішення є багатоетапним
необхідно раціоналізувати виробництво динаміту
потрібно оптимізувати використання динаміків
12. Поставлено наступне завдання лінійного програмування:
F(х 1, х 2) = 5х 1 + 6х 2→ мах
0.2х 1 + 0.3х 2 ≤ 1.8,
0.2х 1 + 0.1х 2 ≤ 1.2,
0.3х 1 + 0.3х 2 ≤ 2.4,
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0.
Виберіть завдання, яке еквівалентне цій задачі.
F(х 1, х 2)= 5х 1 + 6х 2 → мах,
2х 1 + 3х 2 ≤ 18,
2х 1 + х 2 ≤ 12,
х 1 + х 2 ≤ 8,
х 1 ≥ 0,
х 2 ≥ 0.
F(х 1, х 2)= 6х 1 + 5х 2 → min,
2х 1 + 3х 2 ≤ 18,
2х 1 + х 2 ≤ 12,
х 1 + х 2 ≤ 8,
х 1 ≥ 0,
х 2 ≥ 0.
F(х 1, х 2)= 50х 1 + 60х 2 → мах,
2х 1 + 3х 2 ≤ 18,
2х 1 + х 2 ≤ 12,
х 1 + х 2 ≤ 8,
х 1 ≥ 0,
х 2 ≥ 0.
F(х 1, х 2)= 5х 12 + 6х 22 → мах,
2х 1 + 3х 2 ≤ 18,
2х 1 + х 2 ≤ 12,
3х 1 + х 2 ≤ 2.4,
х 1 ≥ 0,
х 2 ≥ 0.
13. Цільовою функцією завдання лінійного програмування може бути функція:
F=12x1+20x2–3 0x3→min
F= →min
F=
→max
F=→max.
14. Системою обмежень задачі лінійного програмування може бути система:
15. Симплекс-метод - це:
аналітичний метод вирішення основного завдання лінійного програмування
спосіб пошуку області допустимих розв'язків задачі лінійного програмування;
графічний метод вирішення основного завдання лінійного програмування;
метод приведення загального завдання лінійного програмування до канонічного виду.
16. Завдання лінійного програмування полягає в:
знаходження найбільшого чи найменшого значення лінійної функції за наявності лінійних обмежень
розробці лінійного алгоритму та реалізації його на комп'ютері
складанні та вирішенні системи лінійних рівнянь
пошуку лінійної траєкторії розвитку процесу, що описується заданою системою обмежень.
17. Область допустимих розв'язків задачі лінійного програмування не можевиглядати так:
18. Цільовою функцією завдання лінійного програмування може бути функція:
F=12x1+20x2–3 0x3→min
F= →min
F=→max
F=→max.
19.Системою обмежень задачі лінійного програмування може бути система:
20. Область допустимих розв'язків задачі лінійного програмування має вигляд:
F(х 1, х 2)= 3х 1 + 5х 2 одно…
21. Область допустимих розв'язків задачі лінійного програмування має вигляд:
Тоді максимальне значення функції F(х 1, х 2)= 5х 1 + 3х 2 одно…
22. Область допустимих розв'язків задачі лінійного програмування має вигляд:
Тоді максимальне значення функції F(х 1, х 2)= 2х 1 - 2х 2 одно…
23. Область допустимих розв'язків задачі лінійного програмування має вигляд:
F(х 1, х 2)= 2х 1 - 2х 2 одно…
24. Область допустимих розв'язків задачі нелінійного програмування має вигляд:
Тоді максимальне значення функції F(х 1, х 2)= х 2 – х 12 одно…
25. Максимальне значення цільової функції F(х 1, х 2)= 5х 1 + 2х 2 при обмеженнях
х 1 + х 2 ≤ 6,
х 1 ≤ 4,
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0, дорівнює …
26. Мале підприємство виробляє вироби двох видів. На виготовлення одного виробу виду А витрачається 2 кг сировини, виготовлення одного виробу виду В – 1 кг. Усього є 60 кг сировини. Потрібно скласти план виробництва, що забезпечує отримання найбільшого виторгу, якщо відпускна вартість одного виробу виду А 3 д. е., виду В - 1 у. е., причому виробів виду А потрібно виготовити трохи більше 25, а виду – трохи більше 30.
Це завдання є …
завданням лінійного програмування
завданням, що розв'язується методом динамічного програмування
Завданням мережевого планування.
27. Мале підприємство виробляє вироби двох видів. На виготовлення одного виробу виду А витрачається 2 кг сировини, виготовлення одного виробу виду В – 1 кг. Усього є 60 кг сировини. Потрібно скласти план виробництва, що забезпечує отримання найбільшого виторгу, якщо відпускна вартість одного виробу виду А 3 д. е., виду В - 1 у. е., причому виробів виду А потрібно виготовити трохи більше 25, а виду – трохи більше 30.
Цільовою функцією цього завдання є функція …
F(x1, x2)=3x1+x2→max
F(x1, x2)=25x1+30x2→max
F(x1, x2)=2x1+x2→max
F(x1, x2)=60 -2x1 - x2→min
28. Мале підприємство виготовляє вироби двох видів. На виготовлення одного виробу виду А витрачається 2 кг сировини, виготовлення одного виробу виду В – 1 кг. Усього є 60 кг сировини. Потрібно скласти план виробництва, що забезпечує отримання найбільшого виторгу, якщо відпускна вартість одного виробу виду А 3 д. е., виду В - 1 у. е., причому виробів виду А потрібно виготовити не більше 25, а виду – не більше 30
Допустимим планом цього завдання є план:
X=(20, 20)
X=(25, 15)
X=(20, 25)
X=(30, 10)
29. У двох пунктах А1 та А2 є відповідно 60 та 160 одиниць товару. Весь товар потрібно перевезти до пунктів В1, В2, В3 у кількості 80, 70 та 70 одиниць відповідно. Таблиця тарифів така: . Сплануйте перевезення так, щоб їхня вартість була мінімальною.
Це завдання є …
транспортним завданням
завданням нелінійного програмування
завданням комівояжера
завданням про призначення
30. У двох пунктах А1 та А2 є відповідно 60 та 160 одиниць товару. Весь товар потрібно перевезти до пунктів В1, В2, В3 у кількості 80, 70 та 70 одиниць відповідно. Таблиця тарифів така: . Сплануйте перевезення так, щоб їхня вартість була мінімальною
Опорним планом цього завдання є план:
;
31. У двох пунктах А1 та А2 є відповідно 60 та 160 одиниць товару. Весь товар потрібно перевезти до пунктів В1, В2, В3 у кількості 80, 70 та 70 одиниць відповідно. Таблиця тарифів така: . Сплануйте перевезення так, щоб їхня вартість була мінімальною.
Цільовою функцією даного завдання є функція:
F=4x11+6x12+ 8x13+5x21+8x22+7x23→min
F= →min
F=60x1+160x2+ 80x3+70x4+705 →max
F=60x1+160x2- 80x3- 70x4- 705 →min
32. У двох пунктах А1 та А2 є відповідно 60 та 160 одиниць товару. Весь товар потрібно перевезти до пунктів В1, В2, В3 у кількості 80, 70 та 70 одиниць відповідно. Таблиця тарифів така: . Сплануйте перевезення так, щоб їхня вартість була мінімальною.
Оптимальним планом цього завдання є план:
;
.
;
;
33. Транспортне завдання
буде закритою, якщо…
34. Транспортне завдання
є…
відкритою
закритою
нерозв'язною
35. Транспортне завдання
є…
закритою
відкритою
нерозв'язною
36. Для вирішення наступного транспортного завдання
необхідно ввести…
фіктивного споживача
фіктивного постачальника;
ефективний тариф
37. Для вирішення наступного транспортного завдання
необхідно ввести…
фіктивного постачальника;
фіктивного споживача
ефективний тариф
ефективну відсоткову ставку.
38. Серед даних транспортних завдань
закритими є…
39. Вихідний опорний план транспортного завдання можна скласти.
усіма перерахованими методами
методом північно-західного кута
методом мінімального тарифу
методом подвійної переваги
методом апроксимації Фогеля
40. Якщо цільова функція задачі лінійного програмування задана на максимум, то цільова функція двоїстої задачі задається на мінімум
цільова функція у подвійному завданні відсутня
двоїсте завдання не має рішень
подвійне завдання має безліч рішень
41. Дана задача лінійного програмування:
F(х 1, х 2)= 2х 1 + 7х 2 → мах,
2х 1 + 3х 2 ≤ 14,
х 1 + х 2 ≤ 8,
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0.
Двоїм для цього завдання буде наступне…
F*(y1, y2) = 14y1 + 8y2 → min,
3y 1 + y2 ³ 7,
y 1 ≥ 0, y2 ≥ 0.
F*(y1, y2) = 2y1 + 7y2 → min,
2y1 + 3y2 ³ 14,
y 1 + y2 ³ 8,
y 1 £ 0, y2 £ 0.
F*(y1, y2) = 2y1 + 7y2 → min,
3 y 1 + y2 ³ 7,
y 1 £ 0, y2 £ 0.
F*(y1, y2) = 14y1 + 8y2 → min,
y 1 + y2 ³ 7,
y 1 ≥ 0, y2 ≥ 0.
42. Якщо одне з пари двоїстих завдань має оптимальний план, то…
та інша має оптимальний план
інша не має оптимального плану
інша не має допустимих рішень
43. Якщо одне з пари двоїстих завдань має оптимальний план, то…
та інша має оптимальний план та значення цільових функцій при їх оптимальних планах рівні між собою
та інша має оптимальний план, але значення цільових функцій при їх оптимальних планах не рівні між собою
інше завдання може не мати оптимального плану, але мати допустимі рішення
44. Якщо цільова функція однієї з пари двоїстих завдань не обмежена (для задачі на максимум – зверху, для задачі на мінімум – знизу), то
інше завдання не має допустимих планів
інше завдання має допустимі плани, але не має оптимального плану
цільова функція іншого завдання також не обмежена
45. При вирішенні деяких завдань нелінійного програмування застосовується …
метод множників Лагранжа
метод Гауса
метод апроксимації Фогеля
метод Гоморі
46. Задано завдання нелінійного програмування
F(х 1, х 2)= х 12 + х 22 → мах,
х 1 + х 2 =6,
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0.
F(х 1, х 2) …
не можна досягти (+ ¥)
47. Задано завдання нелінійного програмування
F(х 1, х 2)= х 12 + х 22 → min,
х 1 + х 2 =6,
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0.
F(х 1, х 2) …
48. Задано завдання нелінійного програмування
F(х 1, х 2)= х 12 + х 22 → мах,
х 1 + х 2 =6,
х 1, х 2 – будь-які.
Найбільше значення цільової функції F(х 1, х 2) …
не можна досягти (+ ¥)
49. Задано завдання нелінійного програмування
F(х 1, х 2)= х 12 + х 22 → min,
х 1 + х 2 =6,
х 1, х 2 – будь-які.
Найменше значення цільової функції F(х 1, х 2) …
не можна досягти (- ¥)
50. Область допустимих розв'язків задачі нелінійного програмування має вигляд:
Тоді максимальне значення функції F(х 1, х 2)= х 12 +х 22 одно…
51. Область допустимих розв'язків задачі нелінійного програмування має вигляд:
Тоді мінімальне значення функції F(х 1, х 2)= х 12 +х 22 одно…
52. Для вирішення транспортної задачі може застосовуватись...
метод потенціалів
метод множників Лагранжа
метод Гауса
метод дезорієнтації
53. У системі обмежень загального завдання лінійного програмування …
54. У системі обмежень стандартного (симетричного) завдання лінійного програмування …
можуть бути тільки нерівності
можуть бути і рівняння, і нерівності
можуть бути тільки рівняння
55. У системі обмежень канонічного (основного) завдання лінійного програмування …
можуть бути тільки рівняння (за умови невід'ємності змінних)
можуть бути тільки нерівності (за умови невід'ємності змінних)
можуть бути і рівняння, і нерівності (за умови невід'ємності змінних)
56. Завдання лінійного програмування
F(х 1, х 2)= 2х 1 + 7х 2 → мах,
2х 1 + 3х 2 ≤ 14,
х 1 + х 2 ≤ 8,
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0.
записано у …
стандартною (симетричною) формою
канонічної (основної) форми
словесній формі
57. Для запису задачі
F(х 1, х 2)= 2х 1 + 7х 2 → мах,
2х 1 + 3х 2 ≤ 14,
х 1 + х 2 ≤ 8,
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0.
у канонічній формі …
58. Для запису задачі
F(х 1, х 2)= 2х 1 + 7х 2 → мах,
2х 1 + 3х 2 ≤ 14,
х 1 + х 2 ≤ 8,
х 1 + 4х 2 ≥ 10,
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0.
у канонічній формі …
необхідно ввести три додаткові невід'ємні змінні
необхідно ввести дві додаткові невід'ємні змінні
необхідно ввести чотири додаткові невід'ємні змінні
59. Для запису задачі
F(х 1, х 2)= 2х 1 + 7х 2 → мах,
2х 1 + 3х 2 = 14,
х 1 + х 2 ≤ 8,
х 1 + 4х 2 ≥ 10,
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0.
у канонічній формі …
необхідно ввести дві додаткові невід'ємні змінні
необхідно ввести три додаткові невід'ємні змінні
необхідно ввести чотири додаткові невід'ємні змінні
необхідно ввести п'ять додаткових невід'ємних змінних
60. При вирішенні завдань цілісного програмування може застосовуватись …
метод Гоморі
метод множників Лагранжа
метод Гауса
метод апроксимації Фогеля
61. В основі розв'язання задач методом динамічного програмування лежить...
принцип «бритва Оккама»
принцип «зуб – за зуб, око – за око»
принцип Гейзенберга
62 . Ситуація, у якій беруть участь сторони, інтереси яких повністю чи частково протилежні, називається …
(Конфліктна, конфліктна, конфлікт, конфліктом)
63. Справжній чи формальний конфлікт, в якому є принаймні два учасники (гравці), кожен з яких прагне досягнення власних цілей, називається …
(Гра, грою)
64. Допустимі дії кожного з гравців, спрямовані на досягнення певної мети, називаються …
(Правила гри, правилами гри)
65. Кількісна оцінка результатів гри називається …
(платіж, платіж, платіж)
66. Якщо у грі бере участь лише дві сторони (дві особи), то гра називається…
(парна, парна, парна гра, парна гра)
67. Якщо в парній грі сума платежів дорівнює нулю, тобто програш одного гравця дорівнює виграшу іншого, то гра називається грою.
(З нульовою сумою)
68. Однозначний опис вибору гравця в кожній з можливих ситуацій, при якій він повинен зробити особистий хід, називається.
(стратегія гравця, стратегія гравця, стратегія, стратегія)
69. Якщо при багаторазовому повторенні гри стратегія забезпечує гравцеві максимально можливий середній виграш (мінімально можливий середній програш), така стратегія називається…
(оптимальною, оптимальною, оптимальною стратегією, оптимальною стратегією)
70. Нехай a – нижня ціна, а b – верхня ціна парної гри з нульовою сумою. Тоді вірне твердження…
71. Нехай a – нижня ціна, а b – верхня ціна парної гри з нульовою сумою. Якщо a = b = v, число v називається …
ціною гри
точкою рівноваги
оптимальною стратегією
змішаною стратегією
72. Нехай a – нижня ціна, а b – верхня ціна парної гри з нульовою сумою. Якщо a = b, гра називається…
грою з сідловою точкою
нерозв'язним конфліктом
грою без правил
73. Вектор, кожен із компонентів якого показує відносну частоту використання гравцем відповідної чистої стратегії, називається…
змішаною стратегією
напрямним вектором
вектором нормалі
градієнтом
74. Нижня ціна матричної гри, заданої платіжною матрицею, дорівнює…
Більше нижньої ціни
дорівнює нижній ціні
не існує
81. Матрична гра, задана платіжною матрицею, …
має сідлову точку
не має сідлової точки
не є парною
82. Ціна гри, заданої платіжною матрицею, дорівнює…
83. Матрична гра, задана платіжною матрицею, …
є парною
має сідлову точку
не є парною
84. Парна гра з нульовою сумою, задана своєю платіжною матрицею, може бути зведена до …
задачі лінійного програмування
задачі нелінійного програмування
цілісної задачі лінійного програмування
класичної задачі оптимізації
85. Нижня ціна матричної гри, заданої платіжною матрицею, дорівнює…
Більше нижньої ціни
дорівнює нижній ціні
не існує
92. Матрична гра, задана платіжною матрицею, …
не має сідлової точки
має сідлову точку
не є парною
93. Ціна гри, заданої платіжною матрицею, укладена в межах...
94. Якщо в потоці подій події йдуть одна за одною через заздалегідь задані та суворо певні проміжки часу, то такий потік називається …
регулярним
організованим
95. Якщо ймовірність попадання будь-якого числа подій на проміжок часу залежить тільки від довжини цього проміжку і не залежить від того, наскільки далеко розташований цей проміжок від початку відліку часу, то відповідний потік подій називається:
стаціонарним
потоком без наслідків
найпростішим
пуассонівським
96. Якщо кількість подій, які потрапляють на один із довільно вибраних проміжків часу, не залежить від кількості подій, що потрапили на інший, також довільно вибраний проміжок часу за умови, що ці проміжки не перетинаються, то відповідний потік подій називається …
потоком без наслідків
регулярним
показовим
нормальним
97. Якщо ймовірність попадання на дуже малий відрізок часу одразу двох або більше подій зневажливо мала порівняно з ймовірністю попадання лише однієї події, то відповідний потік подій називається…
ординарним
неординарним
нормальним
пуассонівським
98. Якщо потік подій одночасно має властивості стаціонарності, ординарності та відсутність наслідку, то він називається:
найпростішим (пуассонівським)
нормальним
99. Одноканальна СМО з відмовами є постом щоденного обслуговування для миття автомобілів. Заявка - автомобіль, який прибув у момент, коли пост зайнятий - отримує відмову в обслуговуванні. Інтенсивність потоку автомобілів λ=1,0 (автомобіль за годину). Середня тривалість обслуговування – 1,8 години. Потік автомобілів та потік обслуговування є найпростішими. Тоді в режимі, що встановився, відносна пропускна спроможність qдорівнює…
100. Одноканальна СМО з відмовами є постом щоденного обслуговування для миття автомобілів. Заявка - автомобіль, що прибув у момент, коли пост зайнятий - отримує відмову в обслуговуванні. Інтенсивність потоку автомобілів λ=1,0 (автомобіль за годину). Середня тривалість обслуговування – 1,8 години. Потік автомобілів та потік обслуговування є найпростішими. Тоді в режимі відсоток автомобілів, що отримують відмову в обслуговуванні, дорівнює…
Дослідження операцій- Це комплексна математична дисципліна, що займається побудовою, аналізом та застосуванням математичних моделей прийняття оптимальних рішень при проведенні операцій.
Предмет дослідження операцій- системи організаційного управління або організації, які складаються з великої кількості взаємодіючих між собою підрозділів, які не завжди узгоджуються між собою і можуть бути протилежними.
Мета дослідження операцій- кількісне обґрунтування прийнятих рішень щодо управління організаціями
Операція- Система керованих процесів, об'єднана єдиним задумом і спрямована на досягнення певної мети.
Набір параметрів (змінних), що управляють, при проведенні операції називається рішенням. Рішення називається допустимимякщо вона задовольняє набору певних умов. Рішення називається оптимальним, якщо воно допустиме і, за певними ознаками, краще інших, або, принаймні, не гірше.
Ознака перевагиназивається критерієм оптимальності.
Критерій оптимальностівключає цільову функцію напрям оптимізації або набір цільових функцій і відповідних напрямів оптимізації.
Цільова функція– це кількісний показник переваги чи ефективності рішень.
Напрямок оптимізації- це максимум (мінімум), якщо найкращим є найбільше (найменше) значення цільової функції. Наприклад, критерієм може бути максимізація прибутку чи мінімізація витрат.
Математична модель завдання ІО включає:
1) опис змінних, які потрібно знайти;
2) опис критеріїв оптимальності;
3) опис допустимих рішень (обмежень, що накладаються на змінні)
Мета ІВ– кількісно та якісно обґрунтувати прийняте рішення. Остаточне рішення приймає відповідальна особа чи група осіб, зване ЛПР – особа, яка приймає рішення.
Вектор, який відповідає системі обмежень, називається допустимим рішеннямабо планом ЗЛП. Безліч всіх планів називається допустимою областю абообластю допустимих рішень. План, який доставляє максимум (мінімум), цільової функції називаєтьсяоптимальним планом абооптимальним рішенням ЗЛП. Таким чином,вирішити ЗЛП – значить знайти її оптимальний план.
Привести загальну ЗЛП до основної дуже просто, використовуючи такі очевидні правила.
Мінімізація цільової функції fрівносильна максимізації функції g = – f.
Обмеження як нерівності рівносильне рівнянню за умови, що додаткова змінна.
Якщо на деяку змінну x jне накладається умова неотрицательности, роблять заміну змінної,.
Лінія рівняфункції f, Т. е. лінію, вздовж якої ця функція приймає одне і те ж фіксоване значення з, тобто. f(x 1 , x 2)= c
Безліч точок називається опуклим, якщо воно разом із будь-якими двома своїми точками містить весь відрізок, що з'єднує ці точки.
У разі двох змінних безліч рішень лінійної нерівності (рівняння) є напівплощиною (прямою).
Перетин цих напівплощин (і прямих, якщо в системі обмежень є рівняння) є допустимою областю. Якщо вона не порожня, то є опуклим безліччю і називається багатокутником рішень.
У разі трьох змінних допустима область ЗЛП є перетин напівпросторів і, можливо, площин, і називається багатогранником рішень
Система лінійних рівнянь називаєтьсясистемою з базисом, якщо кожному рівнянні міститься невідоме з коефіцієнтом, рівним 1, відсутнє інших рівняннях системи. Ці невідомі називаються базисними, інші – вільними.
Систему лінійних рівнянь називатимемо канонічної, якщо вона є системою з базисом і всеb i ≥ 0. Базове рішення у цьому випадку виявляється планом, тому що його компоненти невід'ємні. Назвемо його базисним (або опорним) планом канонічної системи.
ОЗЛП називатимемо канонічної (КЗЛП), якщо система лінійних рівнянь цього завдання – канонічна, а цільова функція виражена лише вільні невідомі.
Т. Якщо в симплекс-таблиці серед коефіцієнтів при якомусь вільному невідомому є хоча б один позитивний елемент, то можливий перехід до нового канонічного завдання, рівносильного вихідному, в якому зазначене вільне невідоме виявляється базисним (при цьому одне з базисних невідомих переходить до числа вільних). .
Теорема 2. (Про поліпшення базового плану) j , а в стовпці х j є хоча б один позитивний елемент, причому ключове відношення >0, то можливий перехід до рівносильного канонічного завдання з не гіршим базовим планом.
Теорема 3. (достатня умова оптимальності). Якщо всі елементи індексного рядка симплекс-таблиці задачі максимізації невід'ємні, то базисний план цього завдання є оптимальним, а 0 є максимум цільової функції на безлічі планів задачі.
Теорема 4. (Випадок необмеженості цільової функції). Якщо в індексному рядку симплекс-таблиці завдання максимізації міститься негативний елемент j , а в стовпці невідомого j всі елементи непозитивні, то на множині планів завдання цільова функція не обмежена зверху.
Симплекс-метод:
Записуємо дану КЗЛП у вихідну симплекс-таблицю.
Якщо всі елементи індексного рядка симплекс-таблиці невід'ємні, базисний план завдання є оптимальним (теорема 3).
Якщо індексний рядок містить негативний елемент, над яким у таблиці немає жодного позитивного, то цільова функція не обмежена зверху на безлічі планів і завдання не має рішень (теорема 4).
Якщо над кожним негативним елементом індексного рядка є в таблиці хоча б один позитивний, то слід перейти до нової симплекс-таблиці, для якої базовий план не гірший за попередній (теорема 2). З цією метою (див. доказ теореми 1)
вибираємо в таблиці ключовий стовпець, в основі якого знаходиться якийсь негативний елемент індексного рядка;
виділяємо ключове відношення (мінімальне із відносин b iдо позитивних елементів ключового стовпця), знаменник якого буде ключовим елементом;
складаємо нову симплекс-таблицю; для цього ділимо ключовий рядок (рядок, в якому знаходиться ключовий елемент) на ключовий елемент, а потім з усіх інших рядків (включаючи індексний) віднімаємо отриманий рядок, помножений на відповідний елемент ключового стовпця (щоб усі елементи цього стовпця, крім ключового, стали рівні 0).
При розгляді отриманої симплекс-таблиці неодмінно представиться один із трьох випадків, описаних у пп. 2, 3, 4. Якщо виникнуть ситуації пп. 2 або 3, то процес розв'язання задачі завершується, якщо виникне ситуація п. 4, то процес триває.
Якщо врахувати, що кількість різних базисних планів звичайно, то можливі два випадки:
через кінцеве число кроків завдання буде вирішено (виникнуть ситуації пп. 2 або 3);
починаючи з деякого кроку виникає зациклювання(Періодичне повторення симплексних таблиць і базових планів).
Ці завдання називаються симетричними двоїстими завданнями. Зазначимо такі особливості, що пов'язують ці завдання:
Одне із завдань є завданням максимізації, а інше – мінімізації.
У задачі максимізації всі нерівності – ≤, а задачі мінімізації – ≥.
Число невідомих одного завдання дорівнює числу нерівностей іншого.
Матриці коефіцієнтів при невідомих нерівностях обох завдань є взаємно транспонованими.
Вільні члени нерівностей одного із завдань дорівнюють коефіцієнтам при відповідних невідомих у вираженні цільової функції іншого завдання.
Алгоритм побудови двоїстої задачі.
1. Привести всі нерівності системи обмежень вихідного завдання одного сенсу – до канонічного виду.
2. Скласти розширену матрицю системи А, в яку включити стовпець b i коефіцієнти цільової функції F.
3. Знайти транспоновану матрицю АТ.
4. Записати подвійне завдання.
Теорема 5. Значення цільової функції завдання максимізації для будь-якого її плану не перевищує значення цільової функції двоїстої до неї задачі мінімізації для будь-якого її плану, тобто має нерівність:
f(x) ≤ g(y),
зване основною нерівністю двоїстості.
Теорема 6. (достатня умова оптимальності). Якщо деяких планів двоїстих завдань значення цільових функцій рівні, ці плани є оптимальними.
Теорема 7. (основна теорема двоїстості). Якщо ЗЛП має кінцевий оптимум, то подвійна до неї має кінцевий оптимум, і оптимальні значення цільових функцій збігаються. Якщо цільова функція однієї з двоїстих завдань не обмежена, то умови іншого завдання суперечливі.
Теорема 8. (про додаткову нежорсткість). Для того щоб допустимі рішення та двоїстих завдань були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувались такі співвідношення:
Цінності ресурсів прямої ЗЛП є значення змінних в оптимальному вирішенні двоїстої задачі.
Компоненти оптимального рішення двоїстої ЗЛП дорівнюють відповідним елементам індексного рядка оптимальної симплекс-таблиці прямої задачі, що відповідає додатковим змінним.
Теорема 11.(Критерій оптимальності плану транспортної задачі). Для того, щоб план перевезень був оптимальним, необхідно і достатньо, щоб існували числа () і (), що задовольняють наступним умовам:
а) всім базисних клітин плану (>0);
б) всім вільних клітин (=0).
Метод потенціалів
Крок 1.Перевірити, чи це транспортне завдання закрите. Якщо так, то перейти до другого кроку. Якщо ні, звести її до закритої задачі шляхом введення або фіктивного постачальника, або фіктивного споживача.
Крок 2Знайти вихідне опорне рішення (початковий опорний план) закритого транспортного завдання.
Крок 3Перевірити отримане опорне рішення на оптимальність:
обчислити йому потенціали постачальників u i та споживачів v j
для всіх вільних клітин ( i, j) обчислити оцінки;
якщо всі оцінки непозитивні (), то розв'язання задачі закінчено: вихідний опорний план є оптимальним. Якщо серед оцінок є хоч одна позитивна, то переходимо до четвертого кроку.
Крок 4.Вибрати клітку ( i * ,j * ) з найбільшою позитивною оцінкою та для неї побудувати замкнутий цикл перерозподілу вантажу. Цикл починається і закінчується у вибраній клітині. Отримаємо нове опорне рішення, в якому клітина ( i * , j * ) Виявиться зайнятою. Повертаємось до третього кроку.
Через кінцеве число кроків буде отримано раціональне рішення, тобто раціональний план перевезень продукції від постачальників до споживачів.
Крапка називається точкою локального максимуму якщо існує околиця цієї точки така, що
Необхідні умови оптимальності
Для того щоб функція однієї змінної мала в точці x * локальний екстремум, необхідно, щоб похідна функції в цій точці дорівнювала нулю,
Для того, щоб функція мала в точці локальний екстремум, необхідно, щоб всі її похідні приватні в цій точці зверталися в нуль
Якщо у точці x * перша похідна функції дорівнює нулю, а друга похідна >0, то функція у точці x * має локальний мінімум, якщо 2 вироб,<0 то функция в точке x * має локальний максимум.
Теорема 4.Якщо функція однієї змінної має у точці x * похідні до ( n - 1) порядку, рівні нулю, і похідна n порялка не дорівнює 0, тоді,
якщо nпарно, то крапка x * є точкою мінімуму, якщо fn(x)>0
точкою максимуму, якщо fn(x)<0.
Якщо n непарно, то точка x * - Точка перегину.
Числова матриця називається матрицею квадратичної форми .
Квадратична форма (5) називається позитивно визначеноюякщо для Q(X) >0 і негативно визначеноюякщо для.Q(X)<0
Симетрична матриця Aназивається позитивно визначеною, якщо збудована за нею квадратична форма (5) позитивно визначена.
Симетрична матриця називається негативно визначеноюякщо побудована по ній квадратична форма (6) негативно визначена.
Критерій Сильвестра: матриця є позитивно визначеною, якщо всі її кутові мінори більші за нуль.
Матриця є негативно визначеною, якщо знаки кутових мінорів змінюються.
Для того щоб матриця була позитивно визначеною, необхідно, щоб усі її власні числа були більшими за нуль.
Власні числа- Коріння багаточлена.
Достатня умова оптимальності визначається наступною теоремою.
Теорема 5.Якщо стаціонарної точці матриця Гессе позитивно визначена, то ця точка – точка локального мінімуму, якщо матриця Гессе негативно визначена, то ця точка – точка локального максимуму.
Конфлікт- це протиріччя, викликане протилежними інтересами сторін.
Конфліктна ситуація- Ситуація, в якій беруть участь сторони, інтереси яких повністю або частково протилежні.
Гра -це дійсний чи формальний конфлікт, у якому є принаймні два учасники, кожен із яких прагне досягнення своїх цілей
Правилами гриназивають допустимі дії кожного з гравців, спрямовані на досягнення певної мети.
Платежемназивається кількісна оцінка результатів гри.
Парна гра– гра, в якій беруть участь лише дві сторони (два гравці).
Гра з нульовою сумоюабо антагоністична - парна гра, коли сума платежу дорівнює нулю, т. е. якщо програш одного гравця дорівнює виграшу іншого.
Вибір та здійснення однієї з дій, передбачених правилами, називається ходом гравця. Ходи можуть бути особистими та випадковими.
Особистий хід– це свідомий вибір гравцем однієї з можливих дій (наприклад, хід у шаховій грі).
Випадковий хід– це випадково вибрана дія (наприклад, вибір карти з перетасованої колоди).
Стратегіягравця - це однозначний вибір гравця у кожній із можливих ситуацій, коли цей гравець має зробити особистий хід.
Оптимальна стратегія- це така стратегія гравця, яка за багаторазового повторення гри забезпечує йому максимально можливий середній виграш або мінімально можливий середній програш.
Платіжна матриця- Отримана матриця A або, інакше, матриця ігоры.
Кінцевою грою розмірності(m n) називається гра, визначена матрицею А розмірності (m n).
Максиміномабо нижньою ціною гриназвемо число alpa = max(i)(min aij)(j)
а відповідна йому стратегія (рядок) максимінною.
Мінімаксомабо верхньою ціною гриназвемо число Beta = min(j)(max aij)i
а відповідна йому стратегія (стовпець) мінімаксний.
Нижня ціна гри завжди не перевищує верхню ціну гри.
Граю з сідловою точкоюназивається гра для якої. Alp = beta
Ціною гриназивається величина, якщо.v = alp = beta
Змішаною стратегієюгравця називається вектор, кожна з компонентів якого показує відносну частоту використання гравцем відповідної чистої стратегії.
Теорема 2 . Основна теорема теорії матричних ігор.
Будь-яка матрична гра з нульовою сумою має рішення у змішаних стратегіях.
Т3
Якщо один із гравців застосовує оптимальну змішану стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри незалежно від того, з якими частотами буде застосовувати другий гравець свої стратегії (у тому числі й чисті стратегії).
грою з природою – гра, в якій ми не маємо інформації про поведінку партнера
Ризикомr ijгравця при виборі стратегії А i в умовах H j називається різниця
r ij = b j - a i ,
де b j- максимальний елемент j- м стовпчику.
Графом називається сукупність непустої множини, званої
безліч вершин графа і безліч пар вершин, які називаються
ребрами графа.
Якщо пар вершин, що розглядаються, є впорядкованими, то граф
називається орієнтованим (орграф), інакше –
неорієнтованим. У
Маршрутом (шляхом) у графі, що з'єднує вершини А та В, називається
послідовність ребер, перше з яких виходить з вершини А, початок
наступного збігається з кінцем попереднього, а останнє ребро входить до
вершину Ст.
Граф називається зв'язковим, якщо для будь-яких двох його вершин існує шлях,
їх сполучний. Інакше граф називається нескладним.
Граф називається кінцевим, якщо його вершин звичайно.
Якщо вершина є початком або кінцем ребра, то вершина та ребро
називаються інцидентними. Ступенем (порядком) вершини називається число інцидентних їй ребер
Ейлерів шлях (ейлеров ланцюг) у графі - це шлях, що проходить по всіх
Ребрам графа і до того ж тільки по одному разу.
Ейлерів цикл - це ейлерів шлях, що є циклом.
Ейлерів граф - граф, що містить ейлерів цикл.
Напівейлерів граф - граф, що містить ейлерів шлях (ланцюг).
Теорема Ейлер.
Ейлерів цикл існує тоді і тільки тоді, коли граф зв'язковий і в ньому
відсутні вершини нечетного ступеня.
Теорема. Ейлерів шлях у графі існує тоді і лише тоді, коли граф
зв'язковий і число вершин нечетного ступеня дорівнює нулю або двом.
Деревом називається зв'язковий граф без циклів, що має вихідну вершину
(корінь) та крайні вершини (ступеня 1); шляхи від вихідної вершини до крайніх вершин називаються гілками.
Мережею (або мережевим графіком) називається орієнтований кінцевий
зв'язковий граф, що має початкову вершину (джерело) та кінцеву вершину (стік).
Вагою шляху у графі називатимемо суму терезів його ребер.
Найкоротшим шляхом з однієї вершини в іншу називатимемо шлях
мінімальної ваги. Вагу цього шляху називатимемо відстанню між
вершинами.
Робота – це тривалий у часі процес, що вимагає витрат ресурсів,
або логічна залежність між двома чи кількома роботами
Подія – результат виконання однієї чи кількох робіт
Шлях – це ланцюжок наступних один за одним робіт, що з'єднують
початкову та кінцеву вершини.
Тривалість колії визначається сумою тривалостей
складових його робіт.
Правила складання мережевих графіків.
1. У мережевому графіку не повинно бути тупикових подій (крім
завершального), тобто таких, за якими не слідує жодної роботи.
2. Не повинно бути подій (крім вихідного), яким не передує хоча
б одна робота.
3. У мережевому графіку має бути циклів.
4. Будь-які дві події пов'язані не більше, ніж однією роботою.
5. Мережевий графік має бути впорядкований.
Будь-який шлях, початок якого збігається з вихідною подією, а кінець – з
завершальним, називається повним шляхом. Повний шлях, що має максимальну
тривалість робіт, називається критичним шляхом
Ієрархія є певний тип системи, заснований на припущенні, що елементи системи можуть групуватися в непов'язані множини
Опис методу аналізу ієрархій
Побудова матриць парних порівнянь
Знаходимо лямбда макс і вирішуємо систему щодо вектора ваг
Синтез локальних пріоритетів
Перевірка узгодженості матриць парних порівнянь
Синтез глобальних пріоритетів
Оцінка узгодженості усієї ієрархії
